ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΕΣ -άμμα και -Βήτα συναρτήσεις ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΑΣΙΑ Σούρλα Δ. Βασιλική Επιλέπουσα : Κοκολοιαννάκη. Χρυσή Αν. Καθηήτρια Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα Ιούνιος
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΕΣ -άμμα και -Βήτα συναρτήσεις ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΑΣΙΑ Σούρλα Δ. Βασιλική Επιλέπουσα : Χρυσή Κοκολοιαννάκη Αν. Καθηήτρια Πανεπιστημίου Πατρών Εκρίθηκε από την τριμελή επιτροπή την η Ιουνίου......... Χρ. Κοκολοιαννάκη Β. Παπαεωρίου Ευ. Πετροπούλου Αν. Καθηήτρια Καθηητής Επίκουρος Καθηήτρια Πανεπιστημίου Πατρών Πανεπιστημίου Πατρών Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα Ιούνιος
Σούρλα Δ. Βασιλική Πτυχιούχος Μαθηματικός Πανεπιστημίου Πατρών Cogh Σούρλα Δ. Βασιλική. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All gh v. Απαορεύεται η αντιραφή αποθήκευση και διανομή της παρούσας ερασίας εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής ια εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση αποθήκευση και διανομή ια σκοπό μη κερδοσκοπικό εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της ερασίας ια κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συραφέα. Οι απόεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έραφο εκφράουν τον συραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράουν τις επίσημες θέσεις του Πανεπιστημίου Πατρών. 4
ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η νωστή συνάρτηση Eul : R > είναι μια από τις σπουδαιότερες ειδικές συναρτήσεις στην Ανάλυση και όχι μόνο και συνδέεται με το και το σύμολο Pochh : C ℵ Άμεσα συνδεδεμένη με τη άμμα συνάρτηση είναι η συνάρτηση Βήτα : R > R >. Το 8 οι Rl D και E Pgu εισήααν το -Pochh σύμολo: ια C R και και με τη οήθεια αυτού όρισαν την -άμμα συνάρτηση : ℵ l > C \ Z και την -Βήτα συνάρτηση : R > R > Οι συναρτήσεις αυτές είναι -ενικεύσεις των και συναρτήσεων με την έννοια ότι ια και ια. Έκτοτε αρκετοί έχουν ασχοληθεί με τις ιδιότητες αυτών καθώς και με την εύρεση φραμάτων ανισοτήτων και ασυμπτωτικών σχέσεων των και καθώς και συναρτήσεων που τις περιέχουν. Στην παρούσα διπλωματική ερασία ίνεται μία όσο το δυνατόν καλύτερη καταραφή των νωστών αποτελεσμάτων καθώς επίσης και αποτελεσμάτων που αφορούν τις -ήτα συναρτήσεις και -υπερεωμετρικές. Επιπλέον δίνουμε και νέες ανισότητες ια τις και συναρτήσεις. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ -άμμα -Βήτα συναρτήσεις -Pochh σύμολο 5
6
ASTRACT Th wll-ow Eul uco : R > o o h o uul uco Al coc wh Pochh ol C ℵ Dcl coc wh h G uco h uco : R > R >. : I 8 Rl D E Pgu ouc h -Pochh ol : C R h h -G uco : ℵ l > C \ Z h - uco : R > R > W o h h uco -glo o uco o. Th cocg o o h ov uco ul oc lo w uco volvg h. w ow ul o -G - -Z - goc uco. I o w gv o o ul o uco. KEY WORDS -G uco - uco -Pochh ol. 7
8
ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Περίληη 5 Ac..7 Περιεχόμενα...9 Εισαωή.. Κεφάλαιο Σελίδα Ι. Βασικές συναρτήσεις..... άμμα Συνάρτηση..... Βήτα συνάρτηση.....5.. Ζήτα συνάρτηση..5.4. Υπερεωμετρικές συναρτήσεις...6.5. Mg-Ll συναρτήσεις 8 II. -Συναρτήσεις...9. -Pochh σύμολο...9. -άμμα συνάρτηση.... -δίαμμα συνάρτηση 4.4 Βήτα συνάρτηση 6.5 Ζήτα συνάρτηση 9.6 Υπερεωμετρική συνάρτηση..7 Mg-Ll συναρτήσεις...6 III. Προτάσεις και θεωρήματα ια τις -Συναρτήσεις 4 ραφήματα...6 Βιλιοραφία 6 9
ΕΙΣΑΩΗ Οι συναρτήσεις -άμμα > είναι -ενίκευση των νωστών συναρτήσεων άμμα και όταν το τείνει στη μονάδα τότε οι συναρτήσεις τείνουν στις συναρτήσεις. Οι συναρτήσεις προέκυαν από τη σύνδεση της συνδυαστικής και της θεωρίας μέτρου όπως αναφέρεται στην ερασία [] και στη ιλιοραφία της. Πράματι έστω λέεται συνδυαστικό μέτρο αν ακέραιος. Δηλαδή αν μ ένα μέτρο σ ένα διάστημα I [ R. Το μέτρο μ M ℵ η οστή ροπή του μ είναι μη αρνητικός μ μ που είναι ο μετασχηματισμός Mll του I μ τότε το μ είναι συνδυαστικό μέτρο αν και μόνο αν M μ ℵ ℵ. Το πιο νωστό παράδειμα σχέσης συνδυαστικής και θεωρίας μέτρου είναι το που μετρά το σύνολο των μεταθέσεων ενός συνόλου με στοιχεία. Ο μετασχηματισμός Mll του μέτρου R > : είναι η κλασική άμμα συνάρτηση ια Οι ροπές του μέτρου είναι το. Πράματι : R > Χρησιμοποιώντας το σύμολο Pochh : το ράφεται : Οι C ℵ. αυξανόμενοι παραοντικοί αριθμοί : ια R και ℵ που προκύπτουν από τη ενική μορφή του Pochh συμόλου : ια C R και ℵ έχουν σχέση με το σύνολο των μεταθέσεων T των ισομορφισμών κλάσεων- επίπεδων δένδρων με ρία l oo με συκεκριμένες ιδιότητες. Αποδεικνύεται [] και ιλιοραφία της ότι T.
Ο μετασχηματισμός Mll του μέτρου > ια R > δηλαδή : είναι η -άμμα συνάρτηση ια R > C η οποία συνδέεται με την μέσω της ισότητας : Οι > C \ Z αυξανόμενοι παραοντικοί αριθμοί εμφανίονται ως οι ροπές της συνάρτησης : ενικότερα ισχύει η ισότητα : T. Λόω της σχέσης των συναρτήσεων και είναι λοικό να αποδειχθούν ια την ιδιότητες και σχέσεις οι οποίες είναι αντίστοιχες των ιδιοτήτων και σχέσεων που αφορούν στη συνάρτηση και λέονται ενικεύσεις αυτών. Αυτές τις ιδιότητες και σχέσεις καταράαμε και αποδείξαμε αναλυτικά καθώς επίσης και τις αντίστοιχες ια τις συναρτήσεις Mg-Ll υπερεωμετρικές και ήτα συναρτήσεις οι οποίες συνδέονται με τις άμμα συναρτήσεις. Στο ο κεφάλαιο αναφέρουμε ορισμούς και σημαντικές ιδιότητες χωρίς αποδείξεις των νωστών μας συναρτήσεων άμμα Βήτα υπερεωμετρικών F c και των Mg-Ll συναρτήσεων. Στο ο κεφάλαιο ράφονται οι ορισμοί ια τις ενικεύσεις των ανωτέρω συναρτήσεων και αποδεικνύονται αναλυτικά οι αντίστοιχες ιδιότητες που ικανοποιούν. Στο ο κεφάλαιο αποδεικνύονται προτάσεις και θεωρήματα ια τις ανωτέρω συναρτήσεις.
Ι. Βασικές συναρτήσεις. άμμα Συνάρτηση Ορισμός.. [ 4] : Η συνάρτηση άμμα ορίεται ισοδυνάμως με τους κάτωθι τρόπους : μέσω του ολοκληρώματος : R >. που δόθηκε από τον Eul και μέσω του άπειρου ορίου : l που δόθηκε από τους Eul-Gu. Χρησιμοποιώντας το σύμολο του Pochh... ℵ. που ορίεται ως : C ℵ. ο ορισμός. μπορεί να πάρει τη μορφή : l μέσω του απειροινομένου : / C \ Z ℵ που δόθηκε από τους W όπου.4.5 l... l. 57757 η σταθερά Eul-Mco. Ιδιότητες της άμμα συνάρτησης [ 4] : Z {}
4 π ± ±... π 5 6 π 7 π 8 π διπλασιασμού του Lg π Lg Dulco Foul τύπος 9 π π R > R > τύπος του Gu Ορισμός.. : Η λοαριθμική παράωος της άμμα συνάρτησης λέεται δίαμμα συνάρτηση ή διαφορετικά και ορίεται ως εξής : ' l....6 Ιδιότητες της δίαμμα συνάρτησης : C ℵ ια : Η τάξης παράωος της δίνεται : C ℵ 4
. Βήτα συνάρτηση Ορισμός.. [ 4] : συνάρτηση Βήτα ορίεται ια R > R > ισοδυνάμως από τα ολοκληρώματα : π co.7.8.9 Ιδιότητες της Βήτα συνάρτησης [ 4] : 4. Ζήτα συνάρτηση Ορισμός.. [] : Ορίουμε ως ήτα συνάρτηση την έκφραση : R > R >. Παρατήρηση : ια η. μας δίνει τη συνάρτηση :. νωστή ως συνάρτηση του R. 5
Ιδιότητες της Ζήτα συνάρτησης [9] : π π π R R > R > Ιδιότητες της συνάρτησης R [9] : π π π π co R >.4 Υπερεωμετρικές συναρτήσεις Ορισμός.4. [ 5] : Η υπερεωμετρική συνάρτηση Gu F c δίνεται υπό μορφήν σειράς : F c C c C \ Z. c και είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης : '' ' [ c ] 6
Ορισμός.4. [ 5] : Η υπερεωμετρική συνάρτηση F c δίνεται υπό μορφήν ολοκληρώματος : F c c c c R > Rc > g π. Ιδιότητες υπερεωμετρικής συνάρτησης [] : F c F c F F 4 F c c c c c R c > c 5 F c F c c c 6 F c F c c 7 [ ] F c F c ℵ ℵ Ορισμός.4. [5] : Η ενικευμένη υπερεωμετρική συνάρτηση F...... δίνεται υπό μορφήν σειράς : F...... C.4 είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης : [ θ θ θ ] w όπου θ και w F και συκλίνει ια πεπερασμένα αν συκλίνει ια αν και αποκλίνει ια όλα τα αν >. 7
.5 Mg-Ll συναρτήσεις Ορισμός.5. [5] : Η Mg-Ll συνάρτηση με μια παράμετρο ορίεται ως εξής : E R >.5 Ορισμός.5. [5] : Η Mg-Ll συνάρτηση δυο παραμέτρων ορίεται ως εξής : E R R >.6 Ορισμός.5. [5] : Η ενικευμένη Mg-Ll συνάρτηση ορίεται ως εξής : E α C R R >.7 Παρατήρηση : Η συνάρτηση.7 ια δίνει την.6 και η.6 ια δίνει την.5. 8
II. -Συναρτήσεις. -Pochh σύμολο Η έκφραση :. παρουσιάεται σε πολλά προλήματα της Συνδυαστικής Ανάλυσης []. Σημειώνουμε ότι ια προκύπτει το νωστό Pochh σύμολο. Η επαναλαμανόμενη εμφάνιση της έκφρασης. οδήησε στην εισαωή της - άμμα συνάρτησης. Ορισμός.. [] : Η έκφραση : ια C R και ονομάεται -Pochh σύμολo. ℵ. Ιδιότητες ια το -Pochh σύμολο [] : C \ Z > ℵ. C \ Z > ℵ.4 9
Συνεπώς προκύπτει Όπως είναι νωστό ακόμα Άρα.. -άμμα συνάρτηση Ορισμός.. [] : Η -άμμα συνάρτηση ορίεται από την ισότητα : l > C \ Z.5 Σημείωση : Παρατηρούμε ότι όταν τότε. Θεώρημα.. [] : Η -άμμα συνάρτηση ράφεται ως εξής : > C \ Z R >.6
Στον ορισμό.4 της άμμα συνάρτησης l αντικαθιστούμε το με οπότε :. l l l Πολλαπλασιάουμε και τα δυο μέλη της τελευταίας ισότητας με οπότε προκύπτει : l l.5 Πρόταση.. [] : Η -άμμα συνάρτηση ικανοποιεί τη σχέση : ια R > C.7 Θεωρούμε το ολοκλήρωμα και θέτουμε συνεπώς..6.
Σημείωση : ια προκύπτει το νωστό ολοκλήρωμα Gu. Ιδιότητες της -άμμα συνάρτησης > [ 6] : R 4 ℵ 5 6 Z C \ > ℵ 7 π ℵ 8 R 9 όπου l... l π π
ρτησης συν αμμα της τητα ιδι ά ό..6 Αντικαθιστούμε στην.6 όπου το R οπότε : 4 Η ιδιότητα ια ℵ δίνει : 5 Προκύπτει από την ιδιότητα 4 ια. 6 Από την σχέση.5 έχουμε : συμολου τητα ιδι Pochh ό l l l l l.5 7 Αντικαθιστoύμε στην.6 όπου το οπότε : συναρτησης αμμα της τητα ιδι ό π 8 Στην ιδιότητα 5 της άμμα συνάρτησης αντικαθιστούμε όπου το και ρίσκουμε : Θέτουμε όπου με και οπότε :
4 Πολλαπλασιάουμε και τα δύο μέλη της ανωτέρω σχέσης με οπότε προκύπτει :.6 9 Από την σχέση.6 παίρνουμε :.5 / / όπου η σταθερά Eul-Mcho.6 ά ά ό π π ρτησης συν μμα της τητα ιδι 4 π π. -δίαμμα συνάρτηση Ορισμός.. [] : Η λοαριθμική παράωος της -άμμα συνάρτησης ονομάεται -δίαμμα συνάρτηση και ορίεται ως εξής : ' l >.8 Ιδιότητες της -δίαμμα συνάρτησης > [ 6] : l ℵ.9 l.
5 Η οστή παράωος της δίνεται : ℵ. Παίρνoυμε τον λοάριθμο και στα δύο μέλη της σχέσης.6 οπότε έχουμε : l l ] l[ Παραωίουμε ως προς οπότε :.8 ' l ] l[.6 l l l Επειδή η ισότητα.9 ια ίνεται : l l l l Η σχέση αυτή θα δειχθεί με τη μέθοδο της επαωής. Παραωίοντας την.9 ως προς : ' ' ' η οποία είναι η. ια. Έστω ότι ισχύει ια δηλαδή : Θα δείξουμε ότι ισχύει ια δηλαδή : Πράματι :
' [ ] που είναι η προς απόδειξη σχέση..4 Βήτα συνάρτηση Ορισμός.4. [] : Ορίουμε ως Βήτα συνάρτηση την έκφραση : > R > R >. Ιδιότητες της -Βήτα συνάρτησης > [ 6] : 4 5 6 7 8 6
7 9 > ] [ ℵ Χρησιμοποιώντας τις παρακάτω σχέσεις: η σχέση. μετασχηματίεται : ρτησης συν ητα της τητα ιδι ά ό Στον ορισμό της Βήτα συνάρτησης αντικαθιστoύμε το με και το με συναρτησης τα της τητα ιδι - ή ό Β Θεωρούμε το ολοκλήρωμα : και θέτουμε άρα οπότε :.8 ά ή ό ρτησης συν τα της τητα ιδι Β 4 Εφαρμόοντας την ιδιότητα 9 της άμμα συνάρτησης στον ορισμό της Βήτα συνάρτησης προκύπτει το εξής :
8 5 Αντικαθιστούμε στον ορισμό της Βήτα συνάρτησης το με : 6 Αντικαθιστούμε στον ορισμό της Βήτα συνάρτησης το με : 7 Αντικαθιστούμε στον ορισμό της Βήτα συνάρτησης το με : 8 Αντικαθιστούμε στον ορισμό της Βήτα συνάρτησης το με : 9 Εφαρμόοντας την ιδιότητα στον ορισμό της Βήτα συνάρτησης και θέτοντας όπου το και όπου το προκύπτει : Αντικαθιστούμε στον ορισμό της Βήτα συνάρτησης το με και το με : συναρτησης της τητα αμμα ιδι ό 4 ] [
.5 Ζήτα συνάρτηση Ορισμός.5. [] : Ορίουμε ως ήτα συνάρτηση με μορφή σειράς : > R > R >. Ορισμός.5. [6] : Ορίουμε ως R ήτα συνάρτηση με μορφή ολοκληρώματος : >.4 Ιδιότητες της ήτα συνάρτησης > και > [ 6] : l l 4 5 6 ια όλες τις αποδείξεις των ανωτέρω ιδιοτήτων θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό.. Η σχέση αυτή θα δειχθεί με τη μέθοδο της επαωής. η οποία είναι η προς απόδειξη σχέση ια. Έστω ότι ισχύει ια δηλαδή : 9
. Θα δείξουμε ότι ισχύει ια δηλαδή : Πράματι : Από τον ορισμό έχουμε : Εφαρμόουμε ια : ' Όμως ξέρουμε από τη σχέση. ια : l Άρα l. Ξαναράφουμε το ως l οπότε από την σχέση. προκύπτει : l l l l οπότε ια l επιπλέον έχουμε Συνεπώς l 4 Η σχέση αυτή θα δειχθεί με τη μέθοδο της επαωής. ια ισχύει διότι : Έστω ότι ισχύει ια δηλαδή : Θα δείξουμε ότι ισχύει ια δηλαδή : Πράματι
[ ] [ ] 5 Προκύπτει άμεσα από τις σχέσεις. και.. 6 Από τον ορισμό.5. έχουμε ότι : ν ν ν ν.6 Υπερεωμετρική συνάρτηση Ορισμός.6. : Η υπερεωμετρική συνάρτηση Gu δίνεται F υπό μορφήν σειράς : F C C \ Z >.5 Ορισμός.6. : Η υπερεωμετρική συνάρτηση δίνεται υπό F μορφήν σειράς : F C C \ Z >.6 Ορισμός.6. : Η υπερεωμετρική συνάρτηση F c δίνεται υπό μορφήν σειράς :
............ F C >.7 Σημείωση : Οι ορισμοί.6. και.6. προκύπτουν από την ερασία [] ια κατάλληλες τιμές των παραμέτρων. Ιδιότητες της υπερεωμετρικής συνάρτησης F > : F F F F ℵ F Προκύπτει άμεσα από τον ορισμό. Η σχέση αυτή θα δειχθεί με τη μέθοδο της επαωής. ια η προς απόδειξη σχέση ίνεται : F F η οποία ισχύει διότι : F F Έστω ότι ισχύει ια δηλαδή : F F
Θα δείξουμε ότι ισχύει ια δηλαδή : F F Πράματι : F F F Θεωρούμε την συνάρτηση και υπολοίουμε τις παραώους της: ' '' '''
4 Επαωικά προκύπτει : Στη συνέχεια υπολοίουμε τις αντίστοιχες τιμές ια : ' ' ' '' ' Αναπτύσσουμε την ύρω από το : F. Θεώρημα.6. : Αν R R > > > Z τότε ια όλα τα πεπερασμένα ισχύει : F.8 Έχουμε συναρτησης αμμα της ιδιοτητα και Από τις ανωτέρω σχέσεις προκύπτει : συναρτησης ητα της ιδιοτητα Β
5 Από την ανωτέρω σχέση και τον ορισμό.6 έχουμε : F Επειδή από την τελευταία ισότητα προκύπτει η προς απόδειξη σχέση : F Σημείωση : Στην ερασία [] έχει δειχθεί η πιο ενική σχέση :...... F Θεώρημα.6. : Αν R R > > τότε ια όλα τα πεπερασμένα ισχύει : F.9 Στην απόδειξη του θεωρήματος.6. δείξαμε ότι ισχύει : Από τον ορισμό.5 και χρησιμοποιώντας την ανωτέρω σχέση έχουμε :
6 F α 4 ό συναρτησης υπερεωμετρικης της τητα ιδι Σημείωση : Στην ερασία [] έχει δειχθεί η πιο ενική σχέση :...... F.7 Mg-Ll συναρτήσεις Ορισμός.7. [4] : Έστω R C R R R > η Mg- Ll συνάρτηση ορίεται από την ακόλουθη σειρά : E. Ιδιότητες της συνάρτησης Mg-Ll [4] : E E / E / E R.
7 Από τον ορισμό. προκύπτει :. E.6.7 E Η ισοδυναμία προκύπτει αν θέσουμε στην αποδειχθείσα σχέση όπου το. E E E. Ξεκινώντας από το δεύτερο μέλος :. E E ό συναρτησης της τητα αμμα ιδι. E Έστω C R R > τότε : E E E. Ξεκινώντας από το πρώτο μέλος και χρησιμοποιώντας τη σχέση. έχουμε :
8 E E E E / /.7.7 E /. E 4 Αν C R R > και ℵ τότε : E E.4 Η σχέση αυτή θα δειχθεί με τη μέθοδο της επαωής. E η οποία είναι η προς απόδειξη σχέση ια. Έστω ότι ισχύει ια δηλαδή : E E. Θα δείξουμε ότι ισχύει ια δηλαδή :
9 E E Πράματι E E E 5 Έστω C R R > και R τότε : E E.5 Κατ αρχήν ισχύει : συναρτησης αμμα τη ς ιδιοτητα. Ξεκινώντας από το πρώτο μέλος της σχέσης.5 και λαμάνοντας υπόιν την προηούμενη σχέση : E που είναι το ητούμενο αποτέλεσμα.
4 III. Προτάσεις και θεωρήματα ια τις -Συναρτήσεις Θεώρημα.. [6] : Έστω > > και. Τότε η συνάρτηση ικανοποιεί την παρακάτω ανίσωση :. ια και. ια την απόδειξη των ανισοτήτων. θα χρειαστούμε το κάτωθι λήμμα : Λήμμα.. : Έστω > και. Τότε η συνάρτηση ικανοποιεί την παρακάτω ανίσωση :. ια και. / / ια / τότε : / / / / /
4 / / Άρα η ανίσωση ίνεται : / ια / τότε : / / / / / / / Άρα η ανίσωση ίνεται : / Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω σχέσεων : / / Συνεπώς / / Τελικά Ομοίως προκύπτει η αντίστροφη ανισότητα ια.
4 Απόδειξη Θεωρήματος.. : Αντικαθιστούμε όπου το και όπου το στη σχέση. : Ομοίως προκύπτει η αντίστροφη ανισότητα ια. Πόρισμα.. [6] : Έστω >. Τότε η συνάρτηση ικανοποιεί την παρακάτω ανίσωση :. ή.4 Αντικαθιστούμε όπου το στη σχέση. : Aπό την ιδιότητα 5 της -Βήτα συνάρτησης : Αν θέσουμε όπου το στη σχέση. : Aπό την ιδιότητα 6 της -Βήτα συνάρτησης :
4 Θεώρημα.. [6] : ια το ινόμενο των συναρτήσεων με και ισχύουν οι παρακάτω ανισώσεις :.5 Θέτουμε όπου το στις ανισότητες. οπότε προκύπτει : Δηλαδή Πρόταση.. [] : Η παράωος ως προς της συνάρτησης δίνεται από την ισότητα : log R >.6 Παραωίοντας την έκφραση προκύπτει :
44 log log log που είναι το ητούμενο. Θεώρημα..4 [] : Έστω θετικά ορισμένη συνάρτηση στο. Θεωρούμε ότι > και λοαριθμικά κυρτή τότε. ια να δείξουμε ότι αρκεί να δείξουμε χρησιμοποιώντας την.5 : l log l log Εφόσον όμως είναι λοαριθμικά κυρτή ισχύει : log log log Εφόσον επιπλέον ισχύει η σχέση : έχουμε : log log log log log log log log log log log log log log log log log log
45 log log l log l log log l log l log log log l Επομένως. Θεώρημα..5 [ 6] : Η συνάρτηση l ια > είναι λύση της ραμμικής μερικής διαφορικής εξίσωσης :.7 Λοαριθμίουμε τη σχέση.6 οπότε : l l l l l l l ' '
46 l l l l ' l ' l Με αντικατάσταση των ανωτέρω σχέσεων στην δοθείσα σχέση παίρνουμε το ητούμενο. Θεώρημα..6 [6] : Έστω η συνάρτηση l ια >. Τότε η συνάρτηση είναι πλήρως μονότονη. Λοαριθμίουμε τη σχέση.6 οπότε : l l l l l l l '.8 " Επαωικά ρίσκουμε : Αφού τότε η οποία είναι πλήρως μονότονη ια > αφού είναι πλήρως μονότονη ια >.
47 Θεώρημα..7 [ 6]: Η -άμμα συνάρτηση είναι λοαριθμικά κυρτή στο. Από τη σχέση.8 συμπεραίνουμε άμεσα ότι η -άμμα συνάρτηση είναι λοαριθμικά κυρτή στο. Θεώρημα..8 ενίκευση του τύπου διπλασιασμού Lg ια την [6] : Η -άμμα συνάρτηση ικανοποιεί την παρακάτω ισότητα : π ια R > C.9 Αν στη σχέση θέσουμε προκύπτει : Αν τώρα θέσουμε u προκύπτει : u u u u u u Από την ιδιότητα της -άμμα συνάρτησης ια ξέρουμε π και επειδή επίσης η ανωτέρω σχέση ίνεται :
48 π π π Θεώρημα.. [8] : Ισχύει η παρακάτω ισότητα : c l π > c. Λαμάνοντας υπόη τη σχέση : π [] και τη.6 η -Βήτα συνάρτηση παίρνει την παρακάτω μορφή : c c c c c c c c c c c π π π c c c c π π Άρα c l π c c l
49 c c c c l c c l Επειδή l > και l l l θα ισχύει : c l π l Θεώρημα.. [8] : Ισχύει η παρακάτω ισότητα : l >. Λαμάνοντας υπόη τη σχέση : π [] και τη.6 προκύπτει : π π Ομοίως π Με διαίρεση κατά μέλη των δυο παραπάνω σχέσεων προκύπτει : π π
5 Άρα l αφού l Θεώρημα.. : Η συνάρτηση > και ℵ ικανοποιεί τις παρακάτω ανισότητες : l l. όπου... και....577 η σταθερά του Eul. Η ισότητα ισχύει ια. Από τη σχέση. ια έχουμε : ' > ' ια δεδομένη αυστηρώς φθίνουσα θετική συνάρτηση με l g ισχύει η σχέση: g g g g Συνεπώς αν θεωρήσουμε ότι g και g τότε ια την ' ισχύει :
5 ' Ολοκληρώνοντας την ανωτέρω σχέση από έως δεδομένου ότι η σειρά συκλίνει προκύπτει : ' ] l[ ] l[ ] l[ ] l[ ] l[ ] l[ ] l[ ] l[ l l l l Ολοκληρώνοντας ξανά την παραπάνω ανίσωση από έως δεδομένου του ότι η σειρά συκλίνει προκύπτει : l l Υπολοίουμε το ολοκλήρωμα l θέτοντας w και w w w w οπότε :
5 l l l l l l l w w w w w w w w Τελικά η παραπάνω ανίσωση ίνεται : l l l l l l l l l l l l l l l Από τη σχέση. προκύπτει : l l l l l l επιπλέον λόω του ότι : l... l l l τελικά έχουμε : l l η οποία είναι η..
5 Τέλος ια παίρνουμε : l l η οποία ισχύει διότι. Πόρισμα..5 : Η συνάρτηση > ικανοποιεί τις παρακάτω ανισότητες : l l. όπου....577 η σταθερά του Eul. Οι ανισότητες προκύπτουν από την. ια. l l l l Πόρισμα..6 : Ισχύουν οι παρακάτω ανισότητες ια το π : π 5 4 4 5 4 4 5.4 όπου....577 η σταθερά του Eul.
54 Αν στην. αντικαταστήσουμε όπου το και δεδομένου του ότι π προκύπτει : l l 4 5 4 5 l l 5 4 5 4 5 5 π π 5 4 4 5 4 4 5 Πόρισμα..7 : Η συνάρτηση > και ℵ ικανοποιεί τις παρακάτω ανισότητες : l l.5 όπου... και....577 η σταθερά του Eul. Η ισότητα ισχύει ια. Αν στη σχέση. αντικαταστήσουμε το από την ιδιότητα της προκύπτει :
55 l l l l l l l l Θέτοντας το προκύπτει : l l l l l l ο.ε.δ.
56 Σημείωση : Το θεώρημα.. και τα πορίσματα..5 και..6 αποτελούν - ενίκευση του θεωρήματος και πορίσματος της ερασίας []. Ανάλοο θεώρημα με το θεώρημα.. έχει δειχθεί με την ίδια μέθοδο και στην ερασία [] όπου σημειώνονται λάθη και δεν αποτελεί -ενίκευση του θεωρήματος της ερασίας [] όπως θα έπρεπε. Πόρισμα..8 : Η συνάρτηση > ικανοποιεί τις παρακάτω ανισότητες : l l.6 όπου... και....577 η σταθερά του Eul. Από την.5 έχουμε : l l l l Πολλαπλασιάοντας τις ανωτέρω σχέσεις κατά μέλη προκύπτει :
57 l l Πολλαπλασιάοντας την ανωτέρω σχέση κατά μέλη με την παρακάτω : l l προκύπτει τελικά : l l l l l l l l l l l l
58 Υπολοίουμε τα εκθετικά : l l l l l l l l l l l l l l Τελικά προκύπτει : l l l l. Θεώρημα..9 [7] : Έστω > και >. Τότε η θετική συνάρτηση φθίνει ως προς και ως προς. Έστω > και >. Τότε η θετική συνάρτηση φθίνει ως προς ια > και > ν και αυξάνεται ως προς ια > ν ν ν.
Όπως είδαμε και παραπάνω ια > και > : Επίσης ια > και > : ν ν ν ν ν ν ν ν Από τις δυο τελευταίες σχέσεις καταλήουμε στο ητούμενο. Παραωίοντας την σχέση. ως προς : log ν ν ν.7 Αν > τότε ια ν > > ν ν > log ν >. Έτσι από την σχέση.7 συμπεραίνουμε ότι η φθίνει με >. Αν και ν log ν. Έτσι η αυξάνει με >. ν Θεώρημα.. [7] : Έστω η R ήτα συνάρτηση. Τότε ισχύει η ανίσωση : >.8 Έστω g δυο μη αρνητικές συναρτήσεις με πραματικούς αριθμούς τέτοιους ώστε να ισχύει η ανισότητα Schw : g g g Έτσι εφαρμόοντας στην ανίσωση αυτή : καταλήουμε : και μέσω του ορισμού.5. έχουμε : g 59
6 Όμως από την ιδιότητα της συνάρτησης προκύπτει τελικά : που είναι το ητούμενο. Θεώρημα.. [7] : Έστω u η R ήτα συνάρτηση. Τότε ισχύει η ανίσωση : v u v u v u v u / / / /.9 όπου > > v u και v u >. Θεωρούμε την ανισότητα ol ια > : g g Εφαρμόοντας την ανίσωση αυτή ια : u και v g καταλήουμε : v u v u v u v u
6 v u v u v u v u Όμως από τον ορισμό.5. έχουμε : / / / / v u v u v u v u που είναι η.9.
ΡΑΦΗΜΑΤΑ 5 ράφημα της άμμα συνάρτησης. Σχήμα 5 4 4 ράφημα της άμμα συνάρτησης ια 5. Σχήμα 4 4 4 ράφημα της άμμα συνάρτησης ια. Σχήμα 4 6
ράφημα της Βήτα συνάρτησης. Σχήμα 4 ράφημα της Βήτα συνάρτησης ια 5. Σχήμα 5 Σημείωση : Παρατηρούμε ότι τα σχήματα και είναι ανάλοα με το σχήμα καθώς και το σχήμα 5 με το σχήμα 4. 6
ΒΙΒΛΙΟΡΑΦΙΑ [] M. Aow I. A. Sgu 97. oo o hcl Fuco wh Foul Mhcl Tl Dov Nw Yo. [] R. D E. Pgu 7. O hgoc uco -Pochh ol Dvulgco Mc 5.7-4. [] R. D C. O E. Pgu. O h -g -uo Cl Euo Joul o Mhc 8.448-458. [4] G. A. Dogo R. A. Cu. Th -Mg-Ll Fuco I. J. Co. Mh. Scc 7 5.75-76. [5] A. Kl. Svv J. Tullo 6. Tho Alco o Fcol Dl Euo Elv. [6] C.G. Koolog. Po Iul o Gl - G Z Fuco I. J. Co. Mh. Scc 5 4.65-66. [7] C.G. Koolog- V. K. So o o h -G uco L Mhch LXVIII I.- o:.448/.68.. [8] V. K. A l o h -G - Fuco I. Mh. Fou 5.6-67. [9] W. Mgu F. Ohg R. P. So 966. Foul Tho o h Scl Fuco o Mhcl Phc Sg-Vlg Nw Yo Ic. [] SF. Movc. Pow ouc Iul o h uco I. Joul o Mh. Al 4.7-. [] S. Mu G. M. ullh. A Igl Ro o So - goc Fuco I. Mh. Fou 7 4.-7. [] E. D. Rvll 96. Scl Fuco Chl Pulhg Co Nw Yo. [] Z. Sc. Pow ouc ul o h uco Kguvc J. Mh. 4.8-84. [4] Παναιώτης Σιαφαρίκας 7. Ειδικές Συναρτήσεις Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών. 64