Θέμα Α ο Διαγώνισμα περιόδου 7-8 στις Συναρτήσεις και τα Όρια Α Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο α,β ; Μονάδες Α Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών και να κάνετε την γεωμετρική του ερμηνεία Μονάδες 3 Α3 Δίνεται η συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο διπλανό σχήμα α) Να βρείτε αν υπάρχουν τα όρια και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας: f i) ii) f iii) f iv) f v) f Μονάδες β) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας i) H συνάρτηση f είναι συνεχής στο - ii) H συνάρτηση f είναι συνεχής στο, iii) To δεν υπάρχει f iv) To σύνολο τιμών της f στο, είναι το διάστημα,4 9 v) H εξίσωση f έχει ακριβώς μία λύση Μονάδες Θέμα Β Β Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση f: είναι γνησίως μονότονη και ορίζεται η h f f τότε αυτή είναι γνησίως αύξουσα Έστω ότι f α β, α Β Να βρείτε τις τιμές των α,β για τις οποίες Β3 Έστω α και β f α) Να υπολογίσετε τα όρια:, β) Να υπολογίσετε τα όρια: γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f f 4 6 f f f f για κάθε ημf f f 3f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο,, Μονάδες 5 Μονάδες 6 Μονάδες 4 Μονάδες 4 Μονάδες 6
Θέμα Γ Δίνονται οι συναρτήσεις f,g των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στο διπλανό σχήμα Επίσης δίνεται η συνάρτηση φ με τύπο ημ α β, * φ,,α,β,όπου u gu h, γ δ h,, γ,δ Γα) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f,g β) Να βρείτε τα φ, φ γ) Να βρείτε το φ συναρτήσει των α και β Αν α f και η συνάρτηση φ είναι συνεχής,να βρείτε : Μονάδες Μονάδες 6 Μονάδες 3 Γα) τους πραγματικούς αριθμούς α, β Μονάδες 3 h,το οποίο και να βρείτε β) τους πραγματικούς αριθμούς γ, δ αν υπάρχει το Μονάδες 4 γ) τον τύπο της φ Μονάδες 3 α π δ) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων φ και τέμνονται σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη αρνητική και μεγαλύτερη του Θέμα Δ Δίνεται συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι Δ Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 4 f f για κάθε Έστω ότι η f είναι συνεχής στο και για κάθε ισχύει ότι π Μονάδες 4 Μονάδες 4 f f 4 Δ Να δείξετε ότι 4 f για κάθε Μονάδες 3 Δ3 Να βρείτε την f αν γνωρίζετε ότι f Μονάδες 5 f,,, α) Να δείξετε ότι f είναι γνησίως αύξουσα στο Μονάδες 4 β) Να δείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών το Μονάδες 4 γ) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f Μονάδες 5 Δ4 Έστω ότι Καλή Επιτυχία! Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς
Θέμα A Λύσεις Α Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα α,β, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του α,β και επιπλέον f() f( α) και f() f( β) α Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και f() f() τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f() και f() υπάρχει ένας, τουλάχιστον (,) τέτοιος, ώστε f() Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία y η τέμνει την γραφική παράσταση της f τουλάχιστον μια φορά στο διάστημα α,β y f(β) η f(a) O a β Α(α,f(α)) β B(β,f(β)) y=η Α3 α) i) f f άρα f ii) f f 4 άρα iii) f 4 f f άρα δεν υπάρχει το f iv) Επειδή f, είναι f v) Επειδή f και f για κάθε,, είναι f f f β) i) Λάθος αφού Θέμα Β ii) Σωστό αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, f f iii) Λάθος αφού f f,, f 4 f, f κοντά στο και iv) Σωστό αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο αντίστοιχο διάστημα και v) Λάθος αφού η ευθεία f,f 4 9 y βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της f Β Έστω ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα, τότε για κάθε, με είναι f f f f f f f f f f άρα η f f είναι γνησίως αύξουσα Ομοίως αν f γνησίως αύξουσα και 3
Β Είναι f f α α β β α αβ β Είναι f f για κάθε, άρα Αν α τότε β β β β Αν α τότε β β α α αβ β αβ β f και ισχύει για κάθε β, οπότε f β, Β3 Είναι f α) f 4 4 f ω ημf ημω f ω ω β) γ) f f 4 4 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 5 4 4 5 f 4 4 3f 3 6 3 4 6 4 6 4 6 f f 4 6 Έστω φ 4 6,, 6 Είναι φ, φ, δηλαδή φ φ 4 6, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, Θέμα Γ Γ α) Αf,,A g,, β) ημ α φ β β 4 και επειδή η φ είναι συνεχής στο φ
ημ α ημ α ημ α οπότε από Κριτήριο παρεμβολής ημ α ua ημ u ημ α φ β a β a β u u u γ) φ αφού gu u gu g g u Γ α) α f 3 f f 3 Η φ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της άρα φ φ α β 3 β β 3 β) Από τη συνέχεια της φ έχουμε h αφού υπάρχει φ φ h οπότε και h γ δ γ δ h οπότε γ δ h δ δ Για δ : γ h γ) Από το προηγούμενο ερώτημα h ημ 3 3, φ,, οπότε: γ δ) Θεωρούμε την συνάρτηση γ φ α, π, Η γ είναι συνεχής στο π, ημ 6π γπ φπ α π 3 π π 3 π γ φ α π π Άρα γπ γ γ γ Επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano οπότε υπάρχει,π γ f α άρα οι γραφικές ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε παραστάσεις των συναρτήσεων φ και σημείο με τετμημένη αρνητική και μεγαλύτερη του α π τέμνονται σ ένα τουλάχιστον π Θέμα Δ Δ Για είναι f f f f f f 5
4 4 4 f f f f f f f f Είναι,, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής είναι και Επειδή f f f Δ Θέτουμε ω, ω η f είναι συνεχής στο 4 και έχουμε: 4 f f ω f ω ω για κάθε ω, άρα και f f 4 f f 4 f 4 () για κάθε Από τις σχέσεις (),() προκύπτει ότι, άρα για κάθε 4 Δ3 Είναι για κάθε g f και επειδή η g είναι συνεχής, διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα, και, Άρα f f για κάθε και κάθε Επειδή f είναι f για κάθε Οι δυνατοί τύποι της f είναι: f, ή Δ4 α) Έστω, με f f, τότε f f για, f,, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, με, τότε f f,, τότε f και, δηλαδή και πάλι f f Έστω, γνησίως αύξουσα στο Έστω f αύξουσα στο β) Είναι f και f Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο έχει σύνολο τιμών το f, f f Α άρα η f είναι οπότε η f είναι γνησίως γ) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, είναι - και αντιστρέφεται Για είναι f y y y Είναι y y, τότε επειδή, είναι y Για είναι f y y y Είναι y y, τότε y,, y f, Άρα y, y f y, y y, y, οπότε 6