Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element x facem sa-i corespunda un singur element y. Vom nota f:, y = f(x). x se numeste variabila sau argument, y se numeste valoarea functiei, se numeste multimea de definitie se numeste multimea valorilor functiei.. Daca si vom spune ca f(x) este functie reala de variabila reala. 3. Daca este o submultime a lui ( ) functia f (x) definita pe si egala cu f(x) pe aceasta submultime (f (x) = f(x) ( ) x ) se numeste restrictia lui f(x) la. Invers, f(x) se numeste prelungirea lui f (x) pe. 4. Spunem ca functia f: este descrescatoare daca ( ) x, x A, x x avem f (x) f (x ) 0. x x 5. Spunem ca functia f: este crescatoare daca ( ) x, x A, x x avem f (x) f (x ) 0. x x 6. f: este marginita daca exista doua numere reale m, M astfel incat ( ) x avem m < f(x) < M. 7. Spunem ca functia f: este injectiva daca este verificata una din urmatoarele conditii: a) ( ) x, x, x x f(x ) f(x ) sau b) ( ) x, x, astfel incat f(x ) = f(x ) x = x sau c) ( ) y ecuatia f(x) = y are cel mult o solutie in. Cele trei conditii sunt echivalente. In rezolvarea exercitiilor poate fi folosita oricare din ele. 8. Spunem ca functia f: este surjectiva daca este satisfacuta una din urmatoarele conditii: a) ( ) y, ( ) x astfel incat f(x) = y sau b) ( ) y ecuatia f(x) = y are cel putin o solutie in. c) f() = Cele trei conditii sunt echivalente. In rezolvarea exercitiilor poate fi folosita oricare din ele. 9. functie f: este bijectiva daca este injectiva si surjectiva. 0. f: este bijectiva ( ) y ecuatia f(x) = y are o singura solutie in.
. Daca f : si g : Z, functia notata gof : Z unde ( gof )(x) g(f (x)) se numeste compusa functiilor g(x) si f(x).. este functia identica definita pe : x :, (x) x, ( ) x. 3. Spunem ca functia f : este inversabila daca exista o functie g : astfel incat ( gof)(x) (x) si fog)(y) (y). ( Inversa functiei f(x) se noteaza cu f (x). 4. Functia f : este inversabila daca si numai daca f(x) este bijectiva. 5. Functia f : este para daca f(x) = f(-x) ( ) x ( este o multime simetrica fata de 0). 6. Functia f : este impara daca f(x) = - f(x) ( ) x ( este o multime simetrica fata de 0). 7. Functia f : este periodica, de perioada T, daca ( ) T * astfel incat x +T si f(x + T) = f(x) ( ) x. Cel mai mic dintre aceste numere T pozitive se noteaza cu T * si se numeste perioada principala.
B. Functii elementre proprietati, grafic FUNCTIA PPIETATI FUNCTIA PUTEE f:, f(x) = x n, nn, n Graficul functiei putere a) n par [0,+ ) i) f(x) este descrescatoare pe (-,0] si crescatoare pe [0,+ ) ii) f(x) este para iii) f(x) nu este injectiva pe dar restrictiile ei la (-, 0] si la [0, + ) sunt functii injective iv) f(x) este surjectiva pe v) f(x) nu este bijectiva pe dar restrictiile f f,0 : (-,0] [0,+ ) si 0, : [0,+ ) [0,+ ) sunt bijective b) n impar i) f(x) este crescatoare pe ii) f(x) este injectiva pe iii) f(x) este surjectiva pe iv) f(x) este bijectiva pe v) f: este inversabila iar f :, f (x) = n x FUNCTIA ADICAL f:, f(x) = n x, nn, n Graficul functiei radical a) n par [0,+ ) [0,+ ) i) f(x) este crescatoare pe [0,+ ) ii) f(x) este injectiva pe [0,+ ) iii) f(x) este surjectiva pe [0,+ ) iv) f(x) este bijectiva pe [0,+ ) v) f: [0,+ ) [0,+ ) este inversabila iar inversa ei este f : [0,+ ) [0,+ ), f (x)= x n b) n impar i) f(x) este crescatoare pe iii) f(x) este injectiva pe iv) f(x) este surjectiva pe v) f(x) este bijectiva pe vi) f: este inversabila iar f :, f (x) = x n.
FUNCTIA PPIETATI FUNCTIA EPNENTIALA f: f(x) = a x, a > 0, a Graficul functiei exponentiale a) a > (0,+ ) i) f(x) este crescatoare pe ii) f(x) este injectiva pe iii) f(x) este surjectiva pe iv) f(x) este bijectiva pe v) f: (0,+ ) este inversabila iar f : (0, + ), f (x) = log a x. b) a(0, ) (0,+ ) i) f(x) este descrescatoare pe ii) f(x) este injectiva pe iii) f(x) este surjectiva pe iv) f(x) este bijectiva pe v) f: (0, + ) este inversabila iar f : (0, + ), f (x) = log a x. FUNCTIA LGAITMICA f(x) = log a x, a > 0, a Graficul functiei logaritmice a) a > (0,+ ) i) f(x) este crescatoare pe (0,+ ) ii) f(x) este injectiva pe (0,+ ) iii) f(x) este surjectiva pe (0,+ ) iv) f(x) este bijectiva pe (0,+ ) v) f: (0, + ) este inversabila iar f : (0, + ), f (x) = a x. b) a(0, ) (0,+ ) i) f(x) este descrescatoare pe (0,+ ) ii) f(x) este injectiva pe (0,+ ) iii) f(x) este surjectiva pe (0,+ ) iv) f(x) este bijectiva pe (0,+ ) v) f: (0,+ ) este inversabila iar f : (0,+ ), f (x) = a x.
FUNCTIA PPIETATI FUNCTIA SINUS f:, f(x) = sin x -π -π/ π/ π - FUNCTIA CSINUS f:, f(x) = cos x -π/ π/ π 3π/ - FUNCTIA TANGENTA f:, f(x) = tg x -π/ π [-, ] [-, ] \ +k,kz iii) f(x) este periodica cu perioada T= k, kz, T * = este perioada principala. iv)f(x) nu este injectiva pe dar restrictia la, este injectiva v) f(x) este surjectiva pe vi) f(x) nu este bijectiva pe dar restrictia f:, [-,] este: - crescatoare si bijectiva Inversa sa este f : [-,],, f (x)= arcsin(x). ii) f(x) este para iii) f(x) este periodica cu perioada T= k, kz T * = este perioada principala. iv) f(x) nu este injectiva pe dar restrictia la [0, ] este injectiva v) f(x) este surjectiva pe vi) f(x) nu este bijectiva pe dar restrictia f: [0, ][-,] este: - descrescatoare si bijectiva Inversa functia f : [-,] [0, ], f (x)= arccos(x). i) f(x) este impara ii) f(x) este periodica cu perioada T = k, kz T * = este perioada principala. iii) f(x) nu este injectiva pe \ +k,kz dar restrictia la, este o functie injectiva π/ 3π/ iv) f(x) este surjectiva pe \ +k,kz v) f(x) nu este bijectiva pe \ +k,kz dar restrictia FUNCTIA CTANGENTA f:, f(x) = ctg x π π π/ 3π/ \ {k,kz} f:, este crescatoare si bijectiva, si are ca inversa functia f :,, f (x)=arctg (x). i) f(x) este impara ii) f(x) este periodica cu perioada T = k, kz T * = este perioada principala. iii) f(x) nu este injectiva pe \ {k,kz}, dar restrictia la 0, este o functie injectiva iv) f(x) este surjectiva pe \ {k,kz} 0, v) f(x) nu este bijectiva pe \ {k,kz} dar restrictia f: este descrescatoare si bijectiva, si are ca inversa functia f : 0,, f (x)= arcctg (x).
FUNCTIA PPIETATI FUNCTIA ACSINUS f:, f(x) = arcsin x π/ - -π/ [-, ], iii) f(x) este crescatoare pe [-, ] iv) f(x) este injectiva pe [-, ] v) f(x) este surjectiva pe [-, ] vi) f(x) este bijectiva pe [-, ] vii) f(x) este inversabila pe [-, ] iar inversa este f :, [-,], f (x) = sin x FUNCTIA ACCSINUS f:, f(x) = arccos x - π π/ [-, ] [0, ] ii) f(-x) = - f(x), x[-, ] iii) f(x) este descrescatoare pe [-, ] iv) f(x) este injectiva pe [-, ] v) f(x) este surjectiva pe [-, ] vi) f(x) este bijectiva pe [-, ] vii) f(x) este inversabila pe [-, ] iar inversa este f : [0, ] [-,], f (x) = cos x FUNCTIA ACTANGENTA f:, f(x) = arctg x π/ -π/, iii) f(x) este crescatoare pe iv) f(x) este injectiva pe v) f(x) este surjectiva pe vi) f(x) este bijectiva pe vii) f(x) este inversabila pe iar inversa este f :,, f (x) = tg x FUNCTIA ACCTANGENTA f:, f(x) = arcctg x π π/ 0, ii) f(-x) = - f(x), ( ) x iii)f(x) este descrescatoare pe iv) f(x) este injectiva pe v) f(x) este surjectiva pe vi) f(x) este bijectiva pe vii)f(x) este inversabila pe iar inversa este f : 0,, f (x) = ctg x