UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY TEÓRIA FOURIEROVÝCH RADOV

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY TEÓRIA FOURIEROVÝCH RADOV Bratislava Marti Varísky

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY TEÓRIA FOURIEROVÝCH RADOV Evidečé číslo: 8d45c-a97e-457-b6-aaca84dda Študijý program: Ekoomická a fiačá matematika Pracovisko: Katedra aplikovaej matematiky a štatistiky Vedúci záverečej práce: RNDr. Ľubica Kossaczká, CSc. Bratislava Marti Varísky

Prehláseie Česte prehlasujem, že som predložeú bakalársku prácu spracoval samostate s použitím uvedeej literatúry a ďalších iformačých zdrojov. V Bratislave,. 5.... podpis autora práce

Moje poďakovaie patrí RNDr. Ľubici Kossaczkej, CSc. za odboré kozultácie a jej odború pomoc pri realizácii mojej bakalárskej práce.

ABSTRAKT VARÍNSKY, Marti: [Bakalárska práca]. Teória Fourierových radov. Uiverzita Komeského. Fakulta matematiky, fyziky a iformatiky, Katedra aplikovaej matematiky a štatistiky. Vedúci: RNDr. Ľubica Kossaczká, CSc. Bratislava: FMFI UK,. počet s. Táto bakalárska práca struče a výstiže sumarizuje základe teoretické pozatky o teórii Fourierových radov, ako aj základé pozatky z matematickej aalýzy potrebé a ujaseie pojmov a súvislostí v tejto tematike. Ďalej sú v práci uvedeé riešeia vzorových príkladov, pri výpočte ktorých sa využíva teória Fourierových radov, ako aj príklady aplikácie Fourierových radov v rôzych oblastiach matematiky a fyziky.

ABSTRACT VARINSKY, Marti: [Bachelor thesis]. Fourier Series. Uiverzita Komeského. Faculty of mathematics, physics ad iformatics, Katedra aplikovaej matematiky a štatistiky. Supervisor: RNDr. Ľubica Kossaczká, CSc. Bratislava: FMFI UK,. počet s. This bachelor thesis cocisely summarizes the basic theoretical kowledge about the theory of Fourier Series ad also the basic kowledge from mathematical aalysis required for eplaatio of cocepts ad cotets i this theme. Furthermore, there are solutios of model eamples, which use the theory of Fourier Series for calculatig ad also eamples of aplicatios of Fourier Series i various areas of mathematics ad physics.

OBSAH. Úvod...8. Trigoometrické Fourierove rady Periodické fukcie...9 Harmoické fukcie...9 Trigoometrické polyómy a rady... Vety o kovergeciách radov... Trigoometrický fudametály systém...4 Fourierov rad fukcie periódy...5 Kovergecia Fourierových radov...7 Kosíusové a síusové rady... Besselova erovosť... Parsevalova rovosť...4. Príklady...6 4. Aplikácie Fourierových radov Fourierove rady v hudbe...4 Izoperimeetrický problém...5 5. Záver...9 6. Použitá literatúra...4

. ÚVOD Teória Fourierových radov je jasým dokladom toho, že vývoj ových matematických teórií je často krát dôsledkom potrieb prae a iých prírodých vied. Samotý rozvoj teórie Fourierových radov ovplyvil tak ako ďalší rozvoj matematických metód v prai, tak aj rozvoj teoretických základov matematickej aalýzy, hlave prehĺbeie a precizovaie pojmov fukcia a itegrál. Išpiráciou pre moju bakalársku prácu boli predášky Matematickej aalýzy(4) a Fakulte matematiky, fyziky a iformatiky. Moja baklárska práca sa zaoberá teóriou Fourierových radov a jej aplikáciou a výpočet rôzych praktických píkladov. Prvá kapitola predstavuje stručý rešerž základých pojmov a vedomostí z matematickej aalýzy, ktoré úzko súvisia s teóriou Fourierových radov, ako aj samotých pozatkov o Fourierových radoch, a v koečom dôsledku Besselovej erovosti a Parsevalovej rovosti. V druhej kapitole uvádzam kokréte riešeia príkladov, pri riešeí ktorých vychádzame hlave z Parsevalovej rovosti a tabuľky trigoometrických rozvojov, spomeutej v. kapitole. Tretia kapitola je zameraá a využitie teórie Fourierových radov v prai a zaoberá sa popísaím základej myšlieky pri mou zvoleých aplikáciách Fourierových radov. 9

. Trigoometrické Fourierove rady Periodické fukcie Fukcia f() je periodická, ak eistuje eulová koštata T, že pre každé platí: f(t) f() Číslo T azývame periódou fukcie. Výsledkom elemetáryh operácii ako súčet, rozdiel, ásobeie a deleie fukcií s periódou T je zvyčaje tiež fukcia s touto periódou. Príklad grafu periodickej fukcie Súčase aj ľubovoľé ásobky k.t ( k R, k ) periódy T sú periódami vyššie uvedeej fukcie f(). Uvažujme teraz T >. Potom pre každú fukciu f() s periódou T platí: Ak f() je itegrovateľá a ľubovoľom itervale dĺžky T, potom je itegrovateľá a každom itervale takejto dĺžky, pričom hodota itegrálu zostáva ezmeeá. Pre ľubovoľé a, b platí: a T a f ( )d b T f ( )d b Harmoické fukcie Periodické fukcie tvaru y() A.si( ω. ϕ ) azývame harmoickými fukciami s periódou T ω,kde A je jej amplitúdou, ω -frekvecia, ϕ -fáza. Pre ľubovoľé platí: A.si[ ω ( ) ϕ ] A.si[ ω. ϕ ] A.si [ ω. ϕ ] ω

Na základe trigoometrickej formuly / si( α ± β ) si α cos β ± cos α si β /: A.si( ω. ϕ ) A.(cos ω. si ϕ si ω. cos ϕ ) Nech aa.si ϕ, ba.cos ϕ,potom každá harmoická fukcia môže byť zapísaá v tvare: a.cos ω b.si ω Príklad:.si( ) cos si Ukazuje sa však praktické zadať periódu T priamo rovú l. T l ω, ω l Harmoická fukcia s periódou T l má teda tvar: a.cos b.si l l Trigoometrické polyómy a rady Uvažujme harmoické fukcie.k.k b k. si l l a k. cos s frekveciami.k a periódami l ω k (pre k,,,... ) Tk l ωk k Teda výraz s () A k (a k. cos.k.k bk. si ) l l kde A koštata, je ako súčet fukcií s periódou l tiež fukcia s periódou l. Fukcia s () sa azýva trigoometrický polyóm tého rádu. Defiujme fukciu f() vzťahom: f() A k Nech (a k. cos.k.k bk. si ) l l. t.l t.l T (alebo ). Potom pre fukciu ϕ (t ) f( ) platí: l ϕ (t) A k (a k. cos k.t bk si k.t )

Defiícia absolúte itegrovateľej fukcie Nech fukcia f() je merateľá a <a,b>. Hovoríme, že fukcia f() je absolúte itegrovateľá a <a,b>, keď fukcia f ( ) je itegrovateľá a <a,b>. b Eistecia itegrálu b f ( ) d zaručuje aj eisteciu itegrálu a f ( ). a Veta Nech je fukcia f() a itervale <a,b> všade diferecovateľá, s výimkou koeče veľa bodov,,,, m, takých, že a< < < < < m <b a eistuje f () itegrovateľá a <a,b>. Potom platí: b f(b) f(a) f ( )d a Veta Majme fukcie f() a ϕ (), spojité a diferecovateľé (až a koeče veľa bodov) a <a,b>. Naviac ech derivácie f () a ϕ () sú absolúte itegrovateľé. Potom platí: b f ( ).ϕ ( )d a ϕ b [f() ()] b a - f ( )ϕ ( )d a Ak uvažujeme fukcie f (), f (), f (),, f () itegrovateľé a <a,b>, potom aj súčet týchto fukcií je itegrovateľý a platí: b a k [ f k ( )]d b k a f k ( ) d Podľa: Fourierreihe, Tolstow, I. Kapitola, 4, straa 7 Podľa: Fourierreihe, Tolstow, I. Kapitola, 4, straa 8

Vety o kovergeciách radov Skúmajme teraz ekoečý rad fukcií: f () f () f () f k () k f k ( ). Te sa azýva kovergetý, ak eistuje limita lim s () postuposti jeho čiastočých (parciálych) súčtov s () f k ( ) a má koečú hodotu s(), ktorá sa azýva súčtom k (kovergetého) radu k Rad k f k ( ). f k ( ) koverguje rovomere a itervale <a,b> k fukcii s(), ak ε > s( ) s ( ) ε. > N a < a, b > : N Na základe teórie kovergetosti a rovomerej kovergetosti radov majú veľký výzam asledujúce vety: I. Ak sú čley fukcioáleho radu spojité a <a,b> a f k ( ) a daom itervale k rovomere koverguje, potom: a) je súčet radu je tiež spojitá fukcia b) rad je po častiach itegrovateľý, b a k [ II. Ak rad k b f k ( )]d s ( )d a b k a f k ( ) d f k ( ) koverguje, jeho čley sú diferecovateľé a rad k f () f () f () f () k f k ( )

rovomere koverguje a <a,b>, potom f k ( ) s () k k f k ( ). V ďalšom sa budeme zaoberať pre zjedodušeie fukciami s periódou. Trigoometrický fudametály systém Pod pojmom trigoometrický fudametály systém rozumieme systém asledových fukcií:, cos, si, cos, si, cos,..., cos, si,... pričom všetky tieto fukcie majú spoločú periódu. Pre ľubovoľé celé čísla a m ( m) potom platia asledujúce vzťahy: cos. cos md si. si md si. cos md Teda itegrál ásobku dvoch ľubovoľých rôzych fukcií ášho systému a itervale <-, > je rový ule. Z defiície ortogoality máme, že fukcie ϕ () a ψ b () a itervale <a,b> sa azývajú ortogoále, ak ϕ ( ).ψ ( )d. a Na základe tejto defiície ám vyplýva, že aj fukcie predchádzajúceho trigoometrického systému sú avzájom (párovo) ortogoále, teda aj systém je ortogoály (a každom ľubovoľom itervale <a, a >). Tieto ortogoále vzťahy fukcií síus a kosíus využíva aj teória fourierových radov, akoľko fourierov rad sa chápe ako rozvoj periodickej fukcie f() z hľadiska koečého súčtu fukcií síus a kosíus. 4

Fourierove rady Začiatočé úvahy o myšlieke fourierových radov sa črtajú v Eulerových a Beroulli-ho prácach, Ale teória fourierových radov sa reále začala formovať až s podrobou prácou Fouriera o tepelej vodivosti začiatkom 9. storočia. Fourier si všimol, že periodické fukcie ie je rozumé rozvíjať do Taylorovho radu mociových fukcií typu,,,,..., m,... Pretože ie sú periodické. A rozvíja ( -) periodické fukcie do fukcioáleho radu, ktorého bázové fukcie sú periodické fukcie si, cos, si, cos,.... Fourierov rad fukcie periódy Fukcia f() periódy sa dá teda apísať v tvare fukcioáleho radu, ktorého bázové fukcie sú práve spomíaé periodické fukcie, a teda: a f() (a k k. cos k bk. si k ) ( *) Na základe jedozačosti určeia fukcie f() si ďalej staviame úlohu výpočtu jedotlivých koeficietov a, a k a b k pre k,,... Za týmto cieľom predpokladáme, že áš rozvoj fukcie f() do fukcioáleho radu je po častiach itegrovateľý, ako aj rady, ktoré dostaeme asledujúcimi výpočtami. a f ( )d. d k ak. cos kd bk. si kd Práve a základe už spomíaej ortogoality dostávame vzťah: f ( )d.a Vyjadrime ďalej vzťah pre ďalší koeficiet a : a f() ( a. cos k b. si k ) k f ( ). cos d k a. cos d k a. cos k. cos d b. k k k si k. cos d 5

Pre k je pravá straa rová ule (opäť z vlastosti trigoometrického fudametáleho systému), teda f ( ). cos d a. cos d, Kde a pravej strae je itegrál prislúchajúci koeficietu a. f ( ). cos d a. Aalogicky dostávame vzťah pre koeficiet b úpravou výrazu: f ( ). si d : f ( ). si d b. pre,,,,... Ak je teda f() itegrovateľá a dá sa rozviť do trigoometrického radu, pričom predpokladáme, že teto rad a rady, ktoré z eho vzikli ásobeím s cos a si (,,,...) sú po častiach itegrovateľé, sme schopí vypočítať hodoty a a b zo vzťahu ( *). Tieto koeficiety a a b sa azývajú Fourierove koeficiety fukcie f(). Príslušý trigoometrický rad s týmito koeficietami sa azýva Fourierov rad. Treba tiež poukázať, že sme rozoberali prípad itegrovateľej fukcie f() s periódou.teda môžeme uvažovať ľubovoľý iterval dĺžky, a ktorom budeme fukciu itegrovať. Teda všeobece: a a. f ( ). cos d,,,,... a a b. f ( ). si d,,,,... a 6

Kovergecia Fourierových radov Zásadou otázkou v teórii Fourierových radov je problém kovergecie týchto radov. Vráťme sa teda späť do teoretických pozatkov z matematickej aalýzy, aby sme mohli eskôr popísať základé vety, ktoré zhŕňajú základé výsledky skúmaia problematiky.. Zadefiujme si pojem espojitosť.druhu. Defiícia. Bod, v ktorom eistujú vzájome rôze vlasté limity fukcie y f() zprava a zľava, tj. lim f () lim f(), sa azýva bodom espojitosti. druhu fuckie f(). Číslo lim f () - lim f() sa azýva skok fukcie f() v bode. Ako príklad môžeme uvažovať fukciu f() - pre < pre pre >,kde bod je bodom espojitosti.druhu. Graf fukcie f() Vykresleé cez http://recherolie.de/fuctio-graphs/ 7

. Hladké a po častiach hladké fukcie Defiícia 4: Fukcia f() sa azýva hladká (spojite diferecovateľá) a itervale <a,b>, ak má a daom itervale spojitú deriváciu. Graficky to zameá, že sa smer dotyčice v bodoch v priebehu krivky meí plyulo. Teda grafom hladkej fukcie je epretržitá krivka bez zlomov. Defiícia 5: Spojitá fukcia f() sa azýva po častiach hladká a itervale <a,b>, keď teto iterval vieme rozdeliť a mešie pod-itervaly tak, že fukcia f() je a každom z ich- v zmysle predchádzajúcej defiície hladká. Aj espojitú fukciu f() azývame po častiach hladkou a <a,b> v prípade, ak fukcia f() má a tomto itervale body espojitosti. druhu, a to le koeče veľa takých bodov. Po krátkom výťahu z aalýzy sa teraz môžeme ďalej veovať kovergecii Fourierových radov. Ak bod je bodom hladkosti fukcie f(), tak potom jej Fourierov rad bodove koverguje k f() v bode, tj. f() a k bk. si k. a k. cos T T k Tvrdeie6: Ak bod je bodom espojitosti. druhu po častiach hladkej fukcie f s periódou, pričom eistujú limity zprava a zľava, tj. f( ), f( ), potom Fourierov rad koverguje k aritmetickému priemeru medzi f( ) a f( ),tj. a ( a k. cos k k bk. si k ) f( ) f( ) Tvrdeie7: Nech f je spojitá a (, ) a periodická s periódou.nech f je absolúte itegrovateľá a <, >. Potom Fourierov rad príslušý k fukcii f rovomere koverguje k f a itervale (, ). 4 Podľa: Fourierreihe, Tolstow, I. Kapitola, 9, straa 7 Podľa: Fourierreihe, Tolstow, I. Kapitola, 9, straa 7 6 Podľa: Fourierreihe, Tolstow, I. Kapitola,, straa 8 7 Malá ecyklopédia matematiky, Obzor-Bratislava, 978, Fourierove rady, Veta 5, straa 67 5 8

V prai sa však zvyčje stretávame so situáciou, že fukcia f, ktorú chceme rozviť pomocou Fourierovho radu, je defiovaá iba a itervale <, >, resp. (, ). V takom prípade musíme ajprv zostrojiť periodické pokračovaie f * fukcie f. Ukážme to a príklade8: Nech f() a itervale (, ). Pre (-,) položme f * () f(-); f * ( ) f * (- ), f * () Pre <(k-),(k) > (k ±, ±, ±,...), položme f * () f * (-k ). Ak teraz vypočítame čísla a,b, ktoré azývame aj Fourierovými koeficietmi fuckie f *, dostaeme: f * () ~ 4 cos cos... cos( ).... ( ) Teda podľa predošlého tvrdeia ám vyplýva rovosť medzi pravou straou výrazu a hodotou z itervalu <, >. 8 Z Malá ecyklopédia matematiky, Obzor-Bratislava, 978, Fourierove rady, straa 67 9

Kosíusové a síusové rady Majme daú páru fukciu f() a itervale <-, > (alebo tiež páru periodickú fukciu). Keďže fukcia cos (,,,, ) je zjave pára fukcia, bude aj f().cos pára (Podľa vlastosti: Súči dvoch párych alebo dvoch epárych fukcií je párou fukciou.) Obdobe sa môžeme zaoberať súčiom f().si, ktorý je pre,,,... epárou fukciou, akoľko aj samotá fukcia si (,,,...) je epára. (Využijúc vlastosť: Súči párej fukcie s epárou ám dáva epáru fukciu.) Použime už vyššie odvodeé vzorce pre výpočet Fourierových koeficietov fukcie f().. f ( ). cos d a. f ( ). cos d,,,,... b. f ( ). si d,,,,... Teda vidíme, že Fourierov rad prislúchajúci k párej fukcii f() obsahuje le čley s fukciou kosíus v určitom tvare. Obdobe, uvažujúc epáru fukciu f() a itervale <-, > (alebo tiež epáru periodickú fukciu), majú jej Fourierove koeficiety asledujúci tvar: a. f ( ). cos d,,,,.... f ( ). si d b. f ( ). si d,,,,... Teda Fourierov rad prislúchajúci k epárej fukcii f() obsahuje čley s fukciou síus v určitom tvare.

Príklad. Rozložte fukciu tvaru f() A. B. C pre - < < do Fourierovho radu, pričom ech A.B.C sú koštaty. Príklad fukcie f() pre peve zvoleé koštaty A,B,C9 Počítajme teda Fourierove koeficiety a,a a b. a f ( )d A ( A B C ) d C. a. f ( ). cos d ( A. f ( ). si d metódu per partes// B C ) cos d //počas ďaľšieho výpočtu využijeme krát metódu per partes// b ( A 4A.( ) B C ) si d //opäť pri výpočte využijeme B.( ) Výpočtom kokrétych Fourierových koeficietov fukcie f() a dosadeím do predpisu pre Fourierovu radu fukcie sme dospeli k asledujúcemu riešeiu: f() A. B. C a ( a. cos b.si ) A si cos C 4 A. ( ). B. ( ). 9 Z: Fourierreihe, Tolstow, I. Kapitola, 4, straa 8

Príklad. Pozrime sa teraz a Fourierov rad fukcie f() A. B. C pre < <. Príklad fukcie f() pre peve zvoleé koštaty A,B,C Zmeeím hraíc itervalu sa ám budú meiť aj hodoty itegrálov, v ktorých vystupujú fukcie sius a kosíus, čo aše hodoty Fourierových koeficietov ovplyví asledove: 4 A a. B C a 4A b - (A B) Teda po dosadeí ových hodôt dostávame asledový tvar Fourierovho radu fukcief(): f() A. B. C a ( a. cos b.si ) 4 A cos si ( 4 A B ). B C 4 A. Z: Fourierreihe, Tolstow, I. Kapitola, 4, straa 8

Besselova erovosť Ozačeie: L (-, )- priestor fukcií itegrovateľých s.mociou a (-, ). Defiícia: Ak fukcie f,g sú itegrovateľé s druhou mociou a itervale <a,b>, potom b (f,g) f ( ) g ( )d a azývame skalárym súčiom týchto fukcií. Z defiície ortogoality spomeutej v časti o trigoometrickom fudametálom systéme vyplýva, že skaláry súči fukcie f() so samou sebou, pričom fukcia f je itegrovateľá a < a,b >, je ezáporý. Teda : (f, f). (Pretože itegrál z ezáporej fukcie je ezáporý). Defiícia: Normou fukcie f azveme číslo f ( f, f ), pričom fukcia f je ormovaá práve vtedy, ak f. Defiícia: Nech {ϕ } je ortogoála postuposť a itervale < a,b >, f je itegrovateľá a < a,b >. Potom čísla c ( f,ϕ ) ( f,ϕ ) (ϕ, ϕ ) ϕ azývame Fourierovými koeficietami fukcie f vzhľadom k postuposti {ϕ c ϕ Fourierovým radom fukcie f vzhľadom k postuposti {ϕ Defiícia: Nech f a g } a radu }. sú itegrovateľé fukcie a itervale < a,b >. Potom kvadratickou odchýlkou fukcií f, g azveme číslo: b f g [ f ( ) g ( )] d. a Veta: Nech {ϕ } je ortogoála postuposť a itervale < a,b > a f je itegrovateľá a < a,b >. Potom pre každé,,, má ajmešiu kvadratickú odchýlku od fukcie f tá zo všetkých lieárych kombiácií fukcií ϕ, ϕ,, ϕ, ktorej koeficiety sú práve Fourierovými koeficietami fukcie f vzhľadom k postuposti {ϕ }.

Pre každé takéto,,,... platí pre príslušé Fourierové koeficiety c k fukcie f tzv. Besselova idetita, f k z ktorej s ohľadom a f k ck ϕ k f k k c k ϕ k k ck ϕ ck ϕ k vyplýva Besselova erovosť: f pre ľubovoľé Ν Pre trigoometrický fudametály systém:, cos, si, cos, si, cos,..., cos, si,... dostávame: d cos cos d d (,,,...) si si (,,,...) Nech f() L (-, ) je daá fukcia. Aplikovaím a trigoometrický fudamet. systém adobúda Besselova erovosť tvar: a f ( )d (a cos b si ) alebo a f ( )d (a ) b Odkiaľ dostávame: f ( )d a (a b ) teda tvar, ktorý Besselova erovosť adobúda pre prípad trigoometrického fudametáleho systému. 4

Parsevalova rovosť Nech je trigoometrický systém úplý, pričom fukcia f: R R je periodická s periódou T a po častiach spojitá, L (, ) a a k bk. si k a k. cos T T k Potom Besselova erovosť sa zužuje a rovosť, rad k a k ak bk je jej Fourierov rad. ak bk je kovergetý a platí: T f ( ) d T Tabuľka trigoometrických rozvojov Pre počítaie príkladov s tematikou Fourierových radov je pre ás viac ež výhodé používať tabuľku trigoometrických rozvojov. Preto sú v asledujúcej tabuľke sústredeé iektoré vypočítaé rozvoje, z ktorých budeme v ďaľšom počítaí vychádzať.. cos log si ( < < ). si ( < < ). cos 6 si y log si dy 4. 5. ( ) ( ) cos log cos (- < < ) ( ) si (- < < ) 6. ( ) Tolstow: Fourierreihe, IV. Kapitola,, straa 7 5

7. ( ) cos (- ) ( ) si (- ) 8. 9. cos( ) log tg ( < < ). si( ) 4 ( < < ) cos( ). ( ) 8 ( ) si( ). 8 ( ) ( ) 6

. Príklady Príklad 4 Spočítajte: Riešeie: Z tabuľky ( vzťah 7.) vieme, že: ( ) cos (- ) Teda ak pravú strau rovosti chápeme ako fukciu f() a ľavú strau ako jej Fourierov rad s Fourierovými koeficietami: a, b, a ( ), môžeme použiť zeie Parsevalovej rovosti: 4 ( ) (. 7 ) 95 4 d. 4 7 5 9 Príklad Spočítajte: ( ) 4 Riešeie: Aalogicky podľa príkaldu jede použijeme z tabuľky (vzťah ). cos( ) ( ) 8 Pričom : a, b, a ( ) 4 ( ( ) ) ( ). Potom použitím Parsevalovej rovosti dostávame: d 8 ( 4 ) 4 4 d 4 4 4 96 7

Príklad ( ) Spočítajte: 4 Riešeie: Teto výraz vieme asledove upraviť: ( ) 4 ( ) 4 - ( ) 4 ( ) 4 /použijúc riešeia z predchádzajúcich Príklad a Príklad/ 6 4 7 4 4. 96 6 9 7 4 Príklad4 Spočítajte: 6 Riešeie: Postupujeme aalogicky podľa riešeia Príkladu. Z tabuľky (vzťah 8) vieme, že platí: ( ) si (- ) Aplikáciou Vety o parsevalovej rovosti a teto vzťah, pričom pre Fourierove koeficiety platí: a, a, b 6, sa dostávame k asledujúcemu výpočtu. 6 d 7 ( 4 ) 4 6 d 7 4 5 7 6 5 7 945 8

Príklad5 Spočítajte: ( ) 6 Riešeie: si( ) ( ) 8 Z tabuľky (vzťah ): Pre Fourierove koeficiety dostávame: a, a, b ( ) 6 8 d ( 4 ( ), teda: ( ) ) 4 d 4 4 5 6 5 96 Príklad6 Spočítajte: ( ) 6 Riešeie: Teto výraz vieme asledove upraviť: ( ) 6 ( ) 6 - ( ) 6 ( ) /použijúc riešeia z predch. Príklad4 a Príklad5/ 6-64 6 6 9 6 96 64 945 97 6 9

Príklad7 Nájdite hodotu itegrálu: log si d Riešeie: Graf fukcie l og si Skôr, ako budeme počítať hodotu tohto itegrálu, ukážme eisteciu evlastého itegrálu log si d a teda že eistuje limita: ε log si ε log si d /per partes/ l ( si ) - ε ε d pre ε :. l( si ). cos d si ε ε ε lim. l (si ). si ε ε ε ε lim ε. l ( si ) l (si ). si ε lim ε ε si l t. l t t lim t. l t lim t /L Hospital/ lim t t t t Vykresleé cez http://recherolie.de/fuctio-graphs/

Teraz sa zaoberajme ε. l( si ). cos d pre ε. si Máme dokázaú eisteciu itegrálu: l( si )d l( si )d <. Teda aj l( si ).g ( )d eistuje, kde g() je ľubovoľá ohraičeá, spojitá fukcia. V ašom prípade: g() A preto log si si.. cos L (, ) ( priestor fukcií itegrovateľých s. mociou ) Teda môžeme počítať aj Besselovou erovosťou aj s Parsevalovou rovosťou. Z tabuľky trigoometrických rozvojov (vzťah): cos log si ( < < ) Teda vyplývajúc z tejto rovosti a využitím Parsevalovej rovosti: a log si d (a ) b / pričom a, b, a /z tabuľky (vzťah6)/ / d 6 A teda: log si d 6 6 Leže my máme rátať itegrál le a itervale <, >, ale zo symetria fukcie teda dostaeme: log si d 6 Tolstow: Fourierreihe, III.Kapitola, 4, straa 84

Príklad8 Nájdite hodotu itegrálu: log cos d Graf fukcie l og cos 4 Postupujeme obdobe ako pri príklade 7. Potrebujeme ukázať eisteciu evlastého itegrálu log cos d a teda že eistuje limita: log ε cos d pre ε. Kedže táto fukcia je le istým posuutím vzhľadom a fukciu v predchádzajúcom príklade, bude teto itegrál eistovať ( L (, ) ). Podľa tabuľky (vzťah5) a Parsevalovej rovosti: ( ) cos log cos (- < < ) log cos d /viď príklad7/ 6. Teda tak ako v predošlom príklade je hodota zadaého itegrálu rová 4. Vykresleé cez http://recherolie.de/fuctio-graphs/

Príklad9 Nájdite hodotu itegrálu: log tg d Graf fukcie l og tg d 5 Skôr, ako budeme počítať hodotu tohto itegrálu, ukážme eisteciu evlastého itegrálu log tg d. Na základe vzorcov: l tg l l si l cos. cos si Nakoľko sme v príklade 7 a príklade 8 ukázali, že obe fukcie l si, aj l cos sú itegrovateľé s. mociou, tak aj pre ich rozdiel platí: L (, ), čo ám opäť umožňuje použiť Parsevalovu rovosť. 5 Vykresleé cez http://recherolie.de/fuctio-graphs/

Z tabuľky (vzťah9): cos( ) log tg pre ( < < ) Použitím Parsevalovej rovosti dostávame: log tg d. ( ) Na výpočet súčtu dohoto radu využijeme opať tabuľku trigoometrických rozvojov si( ) 4 (vzťah): ( < < ) ( ) 4 d 4 4

4.Aplikácia Fourierových radov Jedým z ajčastejších využití teórie Fourierovych radov je riešeie problémov s hraičou hodotou v parciálych diferečých roviciach, ako apríklad pri úlohách o tepelej vodivosti a rôzych iých fyzikálych úlohách. Veujme sa teraz bližšie využitiu Fourierových radov v hudbe, a to v aalýze a sytéze hudobého tóu. Fourierove rady v hudbe Akékoľvek zmey tlaku v určitom prostredí (mechaické vleie), ktoré sú spôsobeé periodickým, mechaickým kmitaím pružého telesa sa ozačujú výrazom tó. Ako je ale možé, že ľudské ucho vie rozlíšiť tó tej istej výšky zahraý a dvoch rozličých ástrojoch? Farba tóu fyzikále závisí od tóového spektra 6 Rozličé hudobé ástroje majú odlišú farbu tóu a teda majú rôzy tvar kmitaia chvejúceho sa telesa a teda rôze tzv. tóové spektrum, ktoré určuje práve to, ktoré čiastkové tóy zejú súčase s tóom a v akom pomere. Nasledujúce grafy ám popisujú odchýlku od stáleho tlaku zvuku pre flautu a violu (pri hraí rovakého tóu) ako fukciu času. Vyjadrime tieto krivky ako : t t t t b si... P(t) a a cos b si a L L L L 6 Malá kiha o hudbe,.kapitola- Všeobecá hudobá áuka, straa 8 5

Takto sme tó vyjadrili ako súčet jedoduchých čiastkových tóov, ktoré azývame alikvotými a zejú súčase so základým tóom a ktorých frekvecie sú postupe -, -,...,- ásobkom frekvecie základého tóu. Rozdiel v počutom zvuku medzi dvoma ástrojmi môžeme teda pripísať rôzym veľkostiam Fourierových koeficietov príslušých kriviek. Popri aalyzovaí zvuku kovečých hudobých ástrojov, ám teória Fourierových radov umožňuje sytetizáciu zvukov. Myšlieka za hudobými sytetizátormi je v možosti kombiácie rôzych alikvotých tóov a vytvoreie bohatšieho tóu cez zdôrazeie istých alikvótov určeím väčšej hodoty Fourierových koeficietov. Izoperimetrický problém Ktorá uzavretá krivka pri daom polomere ohraičuje ajvačšiu plochu? Týmto problémom sa Euklides a Archimedes zaoberali už v. storočí pl., ale úloha ebola dôslede doriešeá až do roku 84, kým Steier epublikoval viacero dôkazov. Odpoveďou a daú otázku izoperimetrického problému je kružica a Fourierove metódy poskytujú jedoduché overeie tohto faktu. Zadefiujme teraz krivku k v rovie fukciou p, ktorá každému reálemu číslu t z itervalu J priradí práve jede vektor p(t). Teda fukcia má tvar: pp(t) pre t J. Ozačme p (t ) a p (t ) body, odpovedajúce a krivke k pevej hodote t a ejakej hodote t z itervalu J. Na itervale J defiujme fukciu (všetky derivácie podľa všeobecého parametra ozačujeme bodkou): t s (t ) p (t ) dt t t p (t ) p(t ) dt t respektíve t s (t ) ( (t )) ( y (t )) ( z (t )) dt t Každej hodote parametra t J môžeme priradiť číslo s (t ), ktoré vyjadruje dĺžku krivky medzi bodmi P(t ) a P(t). Derivácia s (t ) ( (t )) ( y (t )) ( z (t )) p (t ) p (t ) 6

je pre všetky t J rôza od uly. Fukcia ss(t), t J je teda rýdzo mootóa a môžeme k ej zostrojiť iverzú fukciu: tt(s). Pre deriváciu tejto iverzej fukcie platí: dt ds s(t ) ( (t )) ( y (t )) ( z (t )) p (t ). p (t ) Pre všetky t J. Pomocou fukcie tt(s) môžeme spraviť trasformáciu parametra. Dostaeme tak ovú rovicu krivku: Pp[t(s)]p(s),s I v ktorej parametrom je dĺžka oblúka krivky od bodu P(t ) do bodu P(t) a ktorú azývame prirodzeou parametrizáciou krivky. Všetky derivácie podľa oblúka dp dp dt ds dt ds budeme ozačovať čiarkou, t.j. p p dt ds Pre veľkosť vektora p platí: p p. p p. p dt ds p. p p. p Táto vlastosť je utou a zároveň postačujúcou podmiekou a to, aby parametrizácia pp(s) bola prirodzeou parametrizáciou regulárej krivky k. Teda majme krivku daú dvojicami fukčých hodôt ((t),y(t)). Vezmime bod O(,y ) a krivke. Pre ľubovoľý bod X a krivke ech t je dĺžka oblúka krivky od bodu O do bodu X. Ďalej, ech (t) a y(t) sú -ová a y-ová súradica bodu X. Ak obvod krivky je rový, potom platí rovosť: ((t),y(t)) ((t),y(t)), ((),y()y ) 7

Predpokladajme, že je táto krivka hladká a teda, že eistujú prvé derivácie d/dt a dy/dt a obe sú spojité, čo výraze uľahčí defiíciu a výpočet obvodu krivky. Pričom pri veľmi malom dt môžeme z Pythagorovej vety odvodiť rovosť: d dy dt d dy dt dt dt {(d / dt ) ( dy / dt ) }dt Obdobe: Pre ašu oblasť ohraičeú krivkou začíame s deleím tvaru a teké vertikále pásy, berúc do úvahy časť oblúka medzi t a dt. Oblasť ohraičeá touto časťou oblúka, osou a priamkami yy(t) a yy(tdt)je potom: da {(t)-(tdt)}.y(t) -d/dt.y(t)dt Celú plochu potom môžeme vyjadriť ako: A - y(t )d / dtdt Teraz sme pripraveí riešiť izoperimetrický problém. Fukcie (t) a y(t) sú hladké periodické fukcie periódy, takže sa dajú rozviť pomocou Fourierových radov: (t)k A cos( t ) y(t)l m B si( t ) C cos( t ) D si( t ) Derivovaím týchto výrazov dostávame: d dt dy dt ( A ) si( t ) ( C ) si( t ) ( B ) cos( t ) ( D ) cos( t ) Môžeme tiež tvrdiť, že daý tvar je umiesteý v strede súradicovej osy tak, aby KL. 8

Podľa predchádzajúcich výrazov pre a y a použijúc Parsevalovu rovosť: d dy dt dt dt ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) [ A B C D ] Pre oblasť dostávame: A y (t ) d dt - [ B C A D ] dt ( A D B C ) Kombiovaím týchto dvoch rovostí: (/ )(/( )-A) [ ( A B C D ) ( A D B C )] [( A ( )( D ) ( B C ) D C )] Pravá straa výrazu je súčtom štvorcov, teda emôže byť záporá, čo vedie k tomu, že ľavá straa je tiež ezáporá, preto plocha A ohraičeá krivkou emôže prevýšiť /4. Ale plocha kružice obvodu je rová /4, teda žiada krivka eohraičuje väčšiu oblasť ako kružica toho istého obvodu. 9

5. ZÁVER Vo svojej bakalárskej práci som sa zameral a rešerž teoretických pozatkov z teórie Fourierových radov dopleý o výpočet praktických príkladov a aplikácie Fourierových radov v prai. V rámci svojej bakalárskej témy som si vedomý, že som evyčerpal všetky iformácie, ktoré sa vzťahujú k tejto téme, z dôvodu, že je veľmi obsiahla. Preto si myslím, že táto téma by sa dala širšie spracovať v diplomovej práci. Realizácia bakalárskej práce bola pre mňa veľmi príosá. Načerpal som možstvo hlbších iformácii, iele ohľadom Fourierových radov, ktoré mi rozšírili moje vedomosti. Dúfam, že táto práca išpiruje ďalších študetov, ktorí sa budú teóriou Fourierových radov zaoberať a bude pre ich aspoň sčasti poučá. 4

6. POUŽITÁ LITERATÚRA [] Tolstow: Fourierreihe, Deutscher Verlag der Wisseschafte, 95 [] Has-Joche Bartsch, Matematické vzorce, Praha [] Malá ecyclopedia matematiky, Obzor-Bratislava, 978 [4] Ecyclopedia of Physical Sciece ad Techology, Fourier Series, James S. Walker [5]Malá kiha o hudbe, Peter Šidlík, Božea Dlháňová, 994 [6] Fourierovy řady, Bakalářská práce, Tomáš Krisl, 6 [7] predásky: Matematická aalýza 4, doc. RNDr. Daiel Ševčovič, CSc. [8] http://www.stewartcalculus.com/ [9] http://fstroj.uiza.sk/ []http://recherolie.de/fuctio-graphs/ 4