.. Základné pojm mechanik tekutín Základným rodielom medi tekutinou a tuhým telesom je pohbliosť molekúl kapalín a plno. Tuhé teleso sa pohbuje ako tuhý celok hmotných bodo, ak neprihliadame k nepatrným deformáciám. Tekutina je látka, ktorá sa na rodiel od tuhých telies žd neratne deformuje. Nemá lastný tar a pri pôsobení nepatrných dotkoých síl sa jej častice ľahko uedú do pohbu (ýnimkou sú niektoré anomálne nenewtonské kapalin). Tekutin tečú prúde ohraničenom penými stenami alebo toria rohranie (hladin). Pri riešení úloh mechanike tekutín sa cháda predsta tekutin ako spojitého, ronorodého prostredia. Ronorodosťou alebo iotropiou roumieme ronaké lastnosti šetkých čiastočiek kapalin neáisle na ich polohe a smere pôsobenia síl. Tento predpoklad umožňuje ýhodne riešiť úloh mechanik tekutín na olenom, eľmi malom objeme, naýanom elementárn objem tekutin a ododené ákonitosti rošíriť na celý objem. Ako to už bolo uedené, jedná sa o objem eľmi malý hľadom k romeru nádob či prúdu, ašak dostatočne eľký hľadom k strednej oľnej dráhe molekul. Tento objem si môžeme predstaiť napr. ako objem hranola dv ddd alebo ako šeobecný objem dv. obr.. Elementárn objem kapalin Sil, ktoré môžu pôsobiť na tento elementárn objem tekutin, je možné rodeliť šeobecne do doch skupín, tj. na sil hmotnostné (resp. objemoé) a sil plošné, ako je náornené na obr... Sil pôsobiace na elementárn objem kapalin hmotnostné (objemoé) plošné onkajšie hmotnostné sil sil pohbu kapalin obr.. Sil pôsobiace na elementárn objem kapalin Hmotnostné sil ( prípade nestlačiteľnej kapalin - objemoé) - áisia od hmotnosti makroskopickej častice a rýchlenia podľa ťahu F m a, pôsobia ťažisku objemu tekutin. K onkajším hmotnostným silám je možné aradiť tiažoú silu, odstrediú silu a otračnú silu od pohbu nádob, ktorej sa tekutina nacháda. Pokiaľ tekutina prúdi, patria
sem sil otračné od lastného pohbu tekutin a tiež sil hbnostné. Plošné sil sú úmerné eľkosti ploch (tlakoá sila, trecia sila, sil porchoého napätia). V kartéskom súradnicoom sstéme sú sil definoané ako ektor, napr. p F F, F, F p p p. Pritom eľkosť ektora sa onačuje Pokiaľ sa predpokladá prúdenie jednoromerné alebo danom smere, od ektoroého onačenia sa upúšťa, pretože smer je daný jednonačne a sila bude adaná iba eľkosťou, teda súradnicou. Tekutin sú látk, ktorých súdržnosť medi molekulami je eľmi malá. Podľa stlačiteľnosti ich delíme do doch skupín: nestlačiteľné tekutin, ktoré pôsobením tlaku, normáloých síl, len nepatrne menia soj objem sem patria kapalin. Malé objem kapalín toria kapk. Kapalin pĺňajú tar nádob, pôsobením emskej tiaže plňujú jej spodnú časť a tárajú oľnú hladinu. stlačiteľné tekutin, teda i ropínaé, ktoré plňujú žd celý objem nádob. Podľa toho či ich sta je blíko či ďaleko bodu skapalnenia, sú to buď par alebo pln. Spoločný náo je dušnin. F p F p F p F p. Charakteristické ákladné fikálne lastnosti tekutín sú: A) Špecifická (merná) hmotnosť - hustota dm [kg.m -3 ] dv ktorá je definoaná ako hmota pripadajúca na jednotku objemu. V homogénnej nestlačiteľnej tekutine ρ = const. Špecifickú hmotnosť mesi určíme o ťahu ρ = ρ. V + ρ. V + + ρ n. V n V + V + + V n kde ρ, ρ,, ρ n sú špecifické hmotnosti komponento, V, V,, V n sú objem komponento mesí. B) Špecifický (merný) objem dv [m 3.kg - ] dm je objem pripadajúci na jednotku hmotnosti. Hustota aj špecifický objem sú pri kapalinách praktick konštantné. Pri stlačiteľných tekutinách (par, pln) sa eľmi menia s tlakom aj teplotou. C) Viskoita je lastnosť prejaujúca sa nútorným trením, resp. odporom proti pohbu makročastíc tekutin. Ak sa pohbujú susedné rst tekutin rônmi rýchlosťami, niká na ich rohraní šmkoé napätie, ktoré bráni pohbu. Pomalšia rsta je rýchľoaná a naopak asa rýchlejšia brdená. Dotčnicoé (šmkoé, tangenciálne) napätie je olané nútorným
trením, teda iskoitou tekutin. Šmkoé napätie je úmerné mene rýchlosti smere kolmom na smer pohbu podľa Newtonoho ťahu d d [Pa] kde je dnamická iskoita (äkosť) a d d je gradient rýchlosti smere kolmom na smer pohbu. Šmkoé napätie spôsobuje uhloú deformáciu elementárneho objemu tekutin. Šmkoé napätie pri laminárnom prúdení Jednotka dnamickej iskoit sa definuje o ťahu pre šmkoé napätie [ ] [ ] N.s kg [ ] Pa.s [ ] m m.s Romer obsahuje jednotku sil, preto bola táto iskoita onačená ako dnamická, pretože dnamike sa riešia príčin pohbu, tj. sil. Technická sústaa jednotiek (stále použíaná príručkách a tabuľkách) aáda pre jednotku dnamické iskoit onačenie P (Poise), čo je P = g.cm - s - =, Pa.s. Všeobecný ťah na prepočet iskoit kapalín hľadom k teplote: η η = + a. t + b. t kde a,b sú konštant pre danú kapalinu, ρ je dnamická iskoita pri t= C. Pre odu je to (Poisselo ťah): η =,76 +,337.t+,.t Pa.s Kinematická iskoita je definoaná podielom dnamickej iskoit a hustot podľa ťahu 3 kg m [ ] m s ms kg Romer kinematickej iskoit neobsahuje jednotk hmotnosti ani sil. V prai je dosiaľ stále dôležitá jednotka kinematickej iskoit sústae technickej Stokes, pre ktorú platí S = cm s - = -4 m s -. Viskoita kapalín sa meria iskoimetrami, ktorých najbežnejšie sú kapilárne, ýtokoé, prietokoé, rotačné, telieskoé a iné. Z merania iskoit kapalín Engleroým iskoimetrom plýa ďalšia jednotka iskoit, a to Englero stupeň, ktorá sa definuje ako pomer dob ýtoku skúmanej kapalin s objemom cm 3 pri danej teplote k dobe ýtoku destiloanej od s teplotou t = o C, teda E o E H O
iskoitu jadrenú Engleroých stupňoch je možné preiesť na kinematickú iskoitu SI jednotkách pomocou empirického ťahu 6,3 6 7,3 E [m s ] E Dnamická a kinematická iskoita áisí od druhu tekutin. Ich hodnot sú pre äčšinu tekutín tabeloané. Viskoita každej tekutin áisí od teplot a tlaku, teda od staoých eličín. Tieto áislosti sú dané poloempirickými ronicami, ktoré sú uádané odbornej literatúre. Mimo áislosti pre odu a duch, sú technick dôležité áislosti dnamickej iskoit od teplot, pre minerálne oleje. Tieto áislosti je možné dobre aproimoať eponenciálnou funkciou tare A ( kt ) t B e alebo e kde,, k, A, B - sú konštant, ktoré je nutné pre jednotlié druh olejo určiť eperimentálne a štatistick napr. metódou najmenších štorco. V prípade plno, tepelný pohb molekúl preláda nad silami medimolekulárnmi, o ýšením teplot rastá rýchlosť tepelného pohbu molekúl a tým rastie i iskoita plnu. V prípade kapalín je to opačne. Tu sú ýrané medimolekulárne sil oproti tepelnému pohbu molekúl. Zýšením teplot docháda k intenínejšej ýmene hbnosti častíc pohbujúcich sa rstách kapalín a dotčnicoé napätie sa menšuje. Pri kapalinách klesá iskoita s rastúcou teplotou. Tekutosť tekutín je opakom iskoit a tekutosťou sa aoberá samostatný odbor mechanik tekutín mechanik tekutín - reológia. D) Stlačiteľnosť (objemoá stlačiteľnosť) je schopnosť meniť soj objem pôsobením tlaku. Zatiaľ, čo pln a par sa načujú stlačiteľnosťou - ropínaosťou, pretože pĺňajú celý priestor, ktorom sú uareté, kapalin sú eľmi málo stlačiteľné. Stlačiteľnosť sa jadruje súčiniteľom stlačiteľnosti β, kde úbtok objemu olaný stlačením pri konštantnej teplote udáa ronica dv p [Pa - ] V d p Predstame si, že na počiatku je nádobe kapalina s hustotou, objemom V a tlakom p, iď Chba! Nenašiel sa žiaden droj odkao.. Sila F pôsobiaca na plochu piestu S odí menu tlaku p. Objem kapalin pod piestom sa menší o V, takže po stlačení aberá kapalina objem V V V a tlak sa ýši na p p p V, p sú objem, tlak a hustota kapalin po stlačení.., Po dosadení rodielo objemo a tlako pred a po stlačení do ronice dostaneme ťah V V V V V p [Pa - ] V p p V p p V p
ktorý jadruje menu objemu kapalin V V V pripadajúcu na jednotku pôodného objemu p p p. V pri mene tlaku Z predchádajúcich roníc plýa ťah pre objem kapalin po stlačení V V V V Vp V p Hustota po stlačení je daná ronicou m V V m p p p p p p Prerátená hodnota súčiniteľa objemo stlačiteľnosti je modul objemoej pružnosti resp. modul pružnosti šmku V p K V p [Pa] Pri stláčaní kapalin sa jej hmotnosť nemení, preto je možné písať m V konst. Diferencoaním sa dosiahne. dv V. d, čoho pre mernú objemoú menu plýa dv d ťah V. Po dosadení do definičného ťahu dv p V d p sa modul objemoej dp pružnosti kapalin jadrí ťahom K. d Romer modulu objemoej pružnosti kapalín K pripomína modul pružnosti ťahu tuhých látok. Pre odu je modul objemoej pružnosti K, 9 Pa. Všeobecne áisí od staoých eličín, tj. tlaku a teplot. Zmenu objemu s tlakom počítame o ťahu V = V. [ β p. (p p )] E) Rýchlosť uku, tj. šírenie malých tlakoých porúch, ktoré je spreádané menou hustot. Teoretická rýchlosť šírenia uku kapaline je daná ťahom a t K dp [ms - ] d Pre šírenie uku o ode po dosadení a K a dostaneme 9 K, 6 a t, 449[ms - ] Pre teoretickú rýchlosť uku o duchu platí a predpokladu ioentropickej (adiabatickej) staoej men (pri T = 73,5 K a mernej plnoej konštante r = 87 J.kg -. K - ) K dp p a κ κrt 33[ms t - ] ρ dρ ρ F) Teplotná roťažnosť kapalín je schopnosť kapalin meniť soj objem s teplotou. Vjadruje ju teplotný súčiniteľ objemoej roťažnosti resp. súčiniteľ teplotnej roťažnosti.
V t V t pkonst Predstame si, že na počiatku je nádobe kapalina s hustotou, teplotou t a objemom V. Po ahriati kapalin je jej teplota ššia o t a kapalina aberá objem V V V. Objem, teplota a hustota kapalin po ahriati sú. Po dosadení rodielu objemo a V, t, teplôt po a pred ahriatím, do ronice dostaneme ťah, ktorý jadruje menu objemu kapalin V V V pripadajúcu na jednotku pôodného objemu V pri mene teplot t t t. V V V t [ O C - ] V t t V. t Hustota po ahriatí je daná nasledujúcou ronicou. m m [kg.m -3 ] V V Δt Δt t Zmenu objemu počítame o ťahu V = V. [ β t. (t t )] [ O C - ] t G) Porchoé napätie je definoané ako pomer porchoej energie k ploche rohrania alebo ako sila, ktorá pôsobí na jednotku dĺžk rohrania, a to kolmo k tejto dĺžke roine porchu. E a F [N. m - ] S l Kapalina na rohraní (hladina. stena) sa načuje odlišnými lastnosťami, tpickými pre ostatný objem kapalin. Molekul na rohraní majú ššiu potenciálnu energiu oproti molekulám o nútri kapalin a rohranie kapalin sa jaí ako potiahnuté eľmi tenkou a napätou rstou. Príkladom môže bť napr. sila, ktorou je mdloá blana roťahoaná rámčeku s posunými tčkami AB a CD (každá s dĺžkou l), iď Chba! Nenašiel sa žiaden droj odkao.. Sila je daná ýraom F l, pretože dĺžka namáhaného porchu je l a porchoé napätie je. Ak sa äčší porch blan o dĺžku d, koná sa práca da = F d = l d. Touto prácou sa äčší porchoá energia kapalin. Účink porchoého napätia sa prejaia napríklad línaním pri stenách nádob, torbou kapiek, pri táraní ĺn na hladine, úžením lúča kapalin a jeho ropadom, stúpaním, alebo klesaním stĺpca kapalin kapiláre.
Kapilarita sa sktuje pri trubičkách eľmi malého priemeru kapilár, alebo porénom prostredí. Keď adhéne (priľnaé) sil sú äčšie než kohéne (súdržné), stupuje kapalina kapiláre do ýšk h. V opačnom prípade, keď kohéne sil sú äčšia než adhéne, ostáá kapalina kapiláre o ýšku h nižšie než je hladina okolitej kapalin. Príslušné ýšk h je možné spočítať podmienk ronoáh medi graitačnými silami a porchoými silami. 4 h gd H) Tlak nasýtených pár je tlak pri ktorom je odparená kapalina nahradená ronakým množstom skondenoanej kapalin. Čím je tlak nasýtených pár kapalin pri danej teplote šší, tým je kapalina prchaejšia. Tlak nad hladinou musí bť šší, ako je tlak nasýtených pár, inak b došlo k prudkému odpareniu (aru). Ak klesne tlak kapaline pod hodnotu tlaku nasýtených pár, docháda ku kaitácii (nik bublín plnených parou a ich následný ánik). Kaitácia (studený ar) spôsobuje účinkom implóie bublín kaitačnú eróiu a plom niku bublín diskontinuitu kapalného prostredia. Kaitáciu charakteriujeme pre danú kapalinu a pri určitej teplote t. kaitačným číslom χ = p p w ρ. [-] kde p, sú hodnot neoplneného tlaku a rýchlosti, p w je tlak (napätie) nasýtených pár pri danej teplote.
. Tlakoé pomer kapaline pokoji Hdrostatika sa aoberá skúmaním síl pôsobiacich na kapalinu pokoji. Ronoáha síl pokoji nastane ted, keď jej častice sa oči sebe nepohbujú, to namená, že tar objemu kapalin sa nemení. V tom prípade je skutočnej kapaline šmkoé (tangenciálne) napätie od iskoit nuloé a šetk ronice platia i pre skutočnú kapalinu. Do hdrostatik patria aj prípad relatíneho pokoj, ked kapalina oči stenám je pokoji, ale celá sústaa (nádrž + kapalina) konajú pohb. Plošné sil (tiež porchoé) pôsobia na porch uažoaného objemu kapalin, preto ich eľkosť áisí od eľkosti ploch a sú dané tlakom kapalin na danú plochu. F p = p. S [N] Hmotnostné sil sú úmerné hmotnosti (objemu kapalin pre kapalinu s konštantnou hustotou) a sú dané rýchlením daného objemu (napr. tiaž kapalin, odstrediá sila apod.). F o = a. m = a. ρ. V [N].. Tlak a jeho pôsobenie Tlak kapalin je daný eľkosťou tlakoej sil, pôsobiaci kolmo na jednotku ploch. Ak je tlakoá sila ronomerne roložená, je tlak daný pomerom eľkosti sil a ploch F p S Pri neronomernom roložení sil je daný šeobecne d F p a onačuje sa ako miestn tlak. ds Tlakoá sila hdrostatike pôsobí žd kolmo na plochu. Tlak pôsobí danom mieste kapalin šetkými smermi ronako a neáisí na sklonu ploch, tn., že tlak je skalárna eličina. Tento ákon platí šeobecne. Je treba ponamenať, že inom mieste kapalin bude hodnota tlaku šeobecne iná, matematick jadrená p = p(,, )... Euleroa ronica hdrostatik Euleroa ronica hdrostatik je šeobecná podmienka ronoáh síl pôsobiacich na tekutinu pokoji, a to síl hmotnostných a tlakoých. V ľubooľnom objeme tekutin sa olí kontrolný objem dv d. d. d. Na tento objem tekutin pôsobí ektor hmotnostnej resp. onkajšej objemoej sil F o Fo, Fo, F F p Fp, Fp, F o F p o F p F o so súradnicami o o o F, F, F, teda je možné apísať (napr. graitačná alebo odstrediá sila) a ektor tlakoej sil. Vektoroý súčet hmotnostnej a tlakoej sil je roný nule. Pretože hmotnostná sila nie je celom objeme tekutin konštantná, je nutné definoať diferenciál tejto sil pre elementárn objem dv ako ektor
d F o a dm a dv kde rýchlenie hmotnostnej sil je ektor a a, a, a integrálom a F o dv. V. Celkoá sila je tak daná trojným Diferenciál tlakoej sil smere onkajšej normál na plochu elementárneho objemu je daný šeobecne tare p d F p n ds Pritom skalárna eličina je tlak, n je onkajšia normála k elementu ds uaretej ploch. Pretože tlakoá sila hdromechanike je definoaná smere nútornej normál, je nutné túto tlakoú silu definoať so namienkom mínus, teda p d F p p n ds a celkoá tlakoá sila je opäť daná integrálom, ale plošným F p p n ds. Euleroa ronice hdrostatik integrálnom tare je definoaná súčtom hmotnostných a objemoých síl: V a dv S p n ds Plošný integrál je možno podľa Gauss Ostrogradského et nahradiť objemoým integrálom: V a dv grad p dv V p p p kde gradient je ektor deriácie tlaku podľa,, grad p,, Ronica platí pre ľubooľný objem V, bude teda platiť i pre ýra pod integrálom a gradp Tento ýra je možné po delení hustotou ropísať súradnicami do klasického diferenčného taru p a a a p p.3. Hladinoé ploch Hladinoé ploch sú miesta s konštantnou hodnotou skalárnej eličin tlaku, tj. p konst. Prírastok tlaku medi doma bodmi ležiacimi na ronakej hladine musí bť roný S
nule, tj., čo platí i pre súmedné bod. Podľa ronice sa dosiahne šeobecná ronice hladinoých plôch diferenciálnom tare dp a d ad ad (.3.) Hladinoé ploch sú žd kolmé na ýslednú hmotnostnú silu. Hladinoé ploch majú úlohách hdrostatik eľký ýnam, predošetkým šak hladinoá plocha rohraní medi okolitým oduším a kapalinou. Sú to ploch konštantného potenciálu, teplot, hustot. Na kapalinu nádobe pokoji pôsobí hmotnostných síl len emská tiaž. V ľubooľnom mieste kapalin bude tlak p(,,) určený diferenciálnou ronicou ododenou predchádajúcich odstacoch. dp a d a d a d Pri pôsobení len emskej tiaže sú súradnice rýchlenia definoané nasledone a g a a Zrýchlenie emskej tiaže je nutne dosadiť so áporným namienkom, pretože tiaž pôsobí opačnom msle, než je olená orientácia os. Diferenciálna ronica sa teda jednoduší dp gd a integrál je p g konst. Integračná konštanta sa určí okrajoej podmienk. Na rohraní kapalin a duchu je tlak odušia, tj. pre = h je p = p. Dosadením do poslednej ronice sa počíta integračná konštanta: p gh konst konst p gh a hľadaná áislosť tlaku je p g p gh p g h Nech je h h islá dialenosť uažoaného miesta kapaline od hladin tlaku oduší, potom p p gh Ak uažoaný bod leží pod hladinou, je h > (kladné); keď je bod ššie než hladina tlaku odušia je h < (áporné). Uedený ťah platí pre nestlačiteľné kapalin, na ktoré pôsobí emská tiaž, lebo pri integrácii bola merná hmotnosť poažoaná a konštantnú. Tlakoé hladin kapaline pri pôsobení tiaže sú odoroné roin, pretože sa predpokladá, že nádoba s tekutinou nie je roľahlá tak, ab bolo nutné prihliadať k akrieniu porchu emského. Za tohto predpokladu je ronica tlakoých hladín dp g d čo plýa o šeobecnej diferenciálni ronice pre tlakoé hladin po dosadení hmotnostných síl uažoaného prípadu a g, a a. Integráciou sa dosiahne ronica tlakoých hladín g konst konst, čo sú ronice odoroných plôch. Pri riešení technických úloh hooríme o pretlaku, podtlaku alebo absolútnom tlaku. Tlak sa dá jadriť absolútnou alebo relatínou hodnotou. Absolútn tlak je tiahnutý k absolútnej
nule, tj. k ákuu, atiaľ čo relatín tlak je tiahnutý od dohodnutej hodnot tlaku, ktorým je tlak duchu. p p abs p rel kde p abs je absolútn tlak, p rel je relatín tlak a p je atmosférický tlak. Poronaním s ýraom p p gh plýa, že tlak takto definoaný je absolútn tlak, a relatín tlak je daný ťahom. Kladná hodnota relatíneho tlaku sa naýa pretlak a áporná hodnota relatíneho tlaku sa naýa podtlak (Chba! Nenašiel sa žiaden droj odkao.). K onačeniu absolútnej a relatínej hodnot tlaku sa nepoužíajú inde, ašak je potrebné údaj doplniť, o aký tlak ide, napr. p = 8. 5 Pa abs.; p = 7,. 4 Pa rel. Relatín tlak daný ťahom kapaline je naýaný hdrostatický tlak, jadrujúci tlak stĺpca kapalin hĺbke h pod hladinou. Pretože tlak kapalin áisí od ýšk stĺpca kapalin a jej mernej hmotnosti, je možné tlak jadriť ýškou kapalinoého stĺpca, tj. stanoiť tlakoú ýšku p gh h p g p gh metroch. p gh.4. Relatín pokoj kapalin Pri pohbe nádob s kapalinou môžu nastať prípad, ked je kapalina oči stenám nádob pokoji. Na kapalinu pôsobia objemoé (hmotnostné) sil od lastného pohbu nádob s kapalinou, ktorú je nutné ahrnúť do podmienok hdrostatickej ronoáh. A) Ak sa nádoba pohbuje priamočiaro islom smere konštantným rýchlením a, tlak ľubooľnom bode daný ťahom p = p + ρ. (g ± a). h Ploch konštantného tlaku (aj hladinoá plocha) budú horiontálne roin B) Ak sa nádoba pohbuje priamočiaro odoroným smerom konštantným rýchlením a tlak ľubooľnom bode bude daný ťahom p = p + ρ. g. h Kde h je islá dialenosť od hladin. Ploch konštantného tlaku sú roin naklonené pod uhlom α = arctg a k horiontálnej roine g C) Ak nádoba rotuje okolo ertikálnej osi, ploch konštantného tlaku sú rotačné paraboloid s ronicou = r. ω. g + C a tlak ľubooľnom bode kapalin je daný ťahom p = p + ρ. g. h + ρ r. ω Pričom r je polomer dráh, na ktorej bod rotuje a je uhloá rýchlosť otáčania D) Ak nádoba rotuje okolo horiontálnej osi rotácie, ploch konštantného tlaku sú kružnice s ronicou + ( g ω ) = C a tlak možno počítať o ťahu ako pri rotácii okolo islej osi (ak je nádoba naplnená po os).
3. Úod do prúdenia tekutín Prúdenie namená pohb tekutín. Prúdením kapalín sa aoberá hdrodnamika. Prúdenia reálnch kapalín je ložitý proces, ktorý je oplňoaný množstom faktoro. Pri skúmaní tohto pohbu sa teda ámerne aáda určitá idealiácia. Najnámejším, a pre skúmanie najjednoduchším príkladom, je pohb t. ideálnej (neiskónej) kapalin. Aplikoaná hdrodnamika prihliada iac na skutočné pomer, opiera sa o ýsledk eperimentálnch prác a užía teoretické ponatk a je naýaná tiež hdraulikou. Aerodnamika potom skúma siloé pôsobenia na telesá, ktoré sú obtekané prúdom duchu. Aerodnamika má najäčší ýnam letecte, automobilime a architektúre. Prúdenie sa šetruje priestore, roine alebo po krike buď sledoaním pohbu určité častice tekutin ako hmotného bodu, alebo sa sleduje celý prúd určitom časoom okamihu. Dráha alebo trajektória je čiara, ktorá obrauje pohb častice tekutin. Za ustáleného prúdenia sa dráh častíc nemenia s časom, atiaľ čo pri neustálenom prúdení môžu bť každom časoom okamihu odlišné Prúdnice p (iď -obr. 5.) sú obálkou ektoro rýchlosti a ich dotčnice udáajú smer ektoru rýchlosti. Pri neustálenom prúdení tárajú prúdnice rône častice a nie sú totožné s dráhami častíc. Pri ustálenom prúdení sa nemenia rýchlosti s časom, a preto majú prúdnice stále ronaký tar a sú totožné s dráhami častíc. Matematické šetrenie prúdnice je možné riešením diferenciálnej ronice d : d : d : : ktorá plýa podobnosti trojuholníko ložiek rýchlosti a elementárnch dráh smere príslušných osí
Prúdoá trubica je torená äkom prúdnic, ktoré prechádajú olenou uaretou krikou k. Plášť prúdoej trubice má ronaké lastnosti ako prúdnica. Pretože smer rýchlosti je daný dotčnicami k prúdniciam, je každom bode plášťa prúdoej trubice normáloá ložka rýchlosti nuloá. Nemôže teda žiadna častica prejsť stenou prúdoej trubice. n Prúdoá trubica rodeľuje priestoroé prúdoé pole na de časti. Jednu torí nútro prúdoej trubice. Častice tekutin nemôžu pretekať jednej časti prúdoého poľa do druhého, a preto platí, že šetk častice pretekajúce priereom S prúdoej trubice, musia pretekať ľubooľnými prieremi tejto prúdoej trubice. Ak priere prúdoej trubice S, íska sa prúdoé lákno. Prúdoá trubice predstauje pomselné potrubie. S, S 3.. Rodelenie prúdení Prúdenie kapalín je možno rodeliť podľa niekoľkých hľadísk: 3... Delenie podľa fikálnch lastností tekutin Prúdenie tekutin Prúdenie ideálnej (neiskónej) tekutin Prúdenie skutočnej (iskónej) tekutin Potenciálne Vírié Laminárne Turbulentné
Prúdenie ideálnej (dokonalej) tekutin ) Potenciálne prúdenie (neírié) Častice tekutin sa pohbujú priamočiare alebo kriočiare po dráhach tak, že oči pooroateľoi sa neotáčajú okolo lastnej osi iď obr. 5.5. Natočenie častice na kriej dráhe je kompenoané ronako eľkým natočením častice okolo lastnej osi, ale opačnom msle. Medi potenciálne prúdení patrí ronako potenciáln ír, u ktorého častica krúži okolo íroého lákna potenciálne s ýnimkou častice, ktorá torí lákno iď obr. 5.6. ) Vírié prúdenie Častice tekutin sa oči pooroateľoi natáčajú okolo lastných osí iď Chba! Nenašiel sa žiaden droj odkao. Prúdenie skutočnej (iskónej) tekutin ) Laminárne prúdenie Častice tekutin sa pohbujú tenkých rstách, be toho ab sa premiestňoali po prieree ) Turbulentné prúdenie Častice tekutin majú okrem podĺžnej rýchlosti tiež turbulentnú (fluktuačnú) rýchlosť, ktorou sa premiestňujú po prieree iď Chba! Nenašiel sa žiaden droj odkao..
3... Delenie podľa kinematických hľadísk Prúdenie tekutin Usporiadanie priestore Záislosť na čase D D 3D Stacionárne Nestacionárne Podľa usporiadania priestore a) Prúdenie trojromerné teda priestoroé (3D) - eličin, napr. rýchlosť, áisia od poloh priestore,, b) Prúdenie dojromerné teda roinné (D) - rýchlosť áisí od poloh roine, s c) Prúdenie jednoromerné (D) - rýchlosť áisí od poloh na krike Podľa áislosti na čase a) Prúdenie ustálené (stacionárne), ktoré je neáislé na čase t ; t b) Prúdenie neustálené (nestacionárne), u ktorého eličin sú áislé na čase,,, t s, t t. ; ;
4. Základné ronice pre prúdenie ideálnej tekutin 4.. Ronica kontinuit Ronica kontinuit, často naýaná tiež ronica spojitosti, jadruje šeobecný fikáln ákon achoania hmotnosti. Pre elementárn objem, ktorým prúdi tekutina, musí bť hmotnosť tekutin konštantná, a teda celkoá mena hmotnosti nuloá. V kontrolnom objeme môžu nastať de men hmotnosti a to lokálna a konektína, kde lokálna (časoá) mena prebieha elementárnom objeme (tekutina sa stláča alebo ropína) a konektína mena je spôsobená rodielom hmotnosti pritekajúcej a tekajúcej tekutin elementárneho objemu. Súčet konektínej a časoej men prietoku je roný nule. m konst dm Ronicu kontinuit je možné definoať tiež tak, že rodiel stupujúcej hmotnosti do kontrolného objemu a stupujúcej hmotnosti kontrolného objemu je roný hmotnosti, ktorá sa tomto kontrolnom objemu akumuluje. V technickej prai je najbežnejší prípad jednoromerného prúdenia. Pri ododenie ronice kontinuit pre priestoroé prúdenie sa tkne prúdoom poli tekutin elementárn objem dv d. d. d. Týmto hranolom preteká tekutina rýchlosťou, ktorá je určená ektorom so súradnicami,,. Zmen spôsobené konekciou Hmotnostný prietok elementom ploch onačenej d S je daný ťahom: dq m.n ds, kde ektor rýchlosti sa násobí sklárne onkajším normáloým ektorom hľadom k ploche d S, lebo prietok je definoaný smere kolmom k prietočnej ploche d S. Celkoý prietok plochou S ohraničujúci objem V je určený plošným integrálom: Q.n ds m S Q m S.n ds V ddd
Časoá mena Hmotnosť je tiež definoaná ťahom. Pretože hustota nemusí bť celom objeme konštantná, definuje sa hmotnosť elementárnom objeme: dm dv Potom celkoá hmotnosť objemu je roná m dv V m V Za krátk časoý okamih sa táto hmotnosť mení a táto mena je daná parciálnou deriáciou podľa času, čo repreentuje prietok: Q m V t dv V t ddd Podľa ákona achoania hmotnosti (resp. hmotnostného prietoku) platí, že súčet konektínej a časoej men prietoku je roný nule: V V t dv S.n ds ddd t V ddd Pretože predchádajúci ťah platí pre ľubooľný objem V, je možné apísať ronicu kontinuit diferenciálnom tare: t Táto ronica je šeobecná ronica kontinuit pre neustálené priestoroé prúdenie stlačiteľnej tekutin. Pri ustálenom prúdení sa nemenia eličin čase, a preto musí bť a ronica t kontinuit Chba! Nenašiel sa žiaden droj odkao. má diferenciáln tar: Ďalšie jednodušenie nastáa pri nestlačiteľných tekutinách ( = konst). Ronica kontinuit je potom jadrená ťahom diferenciálnom tare: Zaedie sa pojem diergencie ektora pre skrátený ápis ronice kontinuit : di( ) pomocou ktorého sa ronica kontinuit preedie na tar: di ( ) t Pre ustálené prúdenie je ápis jednoduchší:
di ( ). Pre nestlačiteľné prúdenie je: di Pre jednoromerné neustálené prúdenie stlačiteľnej tekutin sa uažuje s prúdoou trubicou s premenným priereom, čo je bežný sstém riešení potrubí technickej prai. Z definície prúdoej trubice plýa, že tekutina prúdi o nútri prúdoej trubice a nepreteká ce jej plášť. Normáloá rýchlosť plášťom prúdoej trubice je teda nuloá ( ). Roloženie rýchlosti po prieree prúdoej trubice sa uažuje ronomerné. Pri neronomernom roložení rýchlosti po prieree sa uažuje jej stredná rýchlosť. V Ako už bolo poedané, o ákona achoania hmotnosti platí ťah: dv.n ds t S ktorý má pre ustálené prúdenie tar S.n ds Pretože rýchlosť na stene prúdoej trubice je roná nule, je možno uažoať prietok len ce prietočné ploch smere prúdenia l. Plošný integrál je potom možno čísliť ako súčet prietoko jednotliými plochami: S.n ds S S, čo namená, že hmotnostný prietok trubicou Q m S je konštantný. Druhý ýra má namienko mínus dôodu opačnej orientácie rýchlosti na stupu do prúdoej trubice proti normáloému ektoru on ploch. Pre nestlačiteľné prúdenie je: S S teda objemoý prietok Q V S je konštantný. n 4.. Euleroa ronica pre prúdenie ideálnej tekutin Euleroa ronice pre prúdení ideálnej tekutin jadruje ronoáhu síl hmotnostných (objemoých), ktoré pôsobia na tekutinu onka, tlakoých (pôsobiacich tekutine) a otračných od lastného pohbu častíc dokonalej tekutin. Pon.: V skutočnej (iskónej) tekutine nikajú pri prúdení edľa normáloých napätí, tj. tlako, i dotčnicoé napätia, ktorých dôsledkom sú sil trecie, ktoré je nutné do podmienk ronoáh síl tiež ahrnúť.
V prúde dokonalej tekutin olíme elementárn objem dv ako predošlom ododení. Na tento objem tekutin pôsobí onkajšia objemoá sila F o Fo, Fo, Fo graitačná alebo odstrediá sila) a tlakoá sila F p Fp, Fp, Fp roná otračnej sile F s F, F, F, iďchba! Nenašiel sa žiaden droj odkao.. F o F s s s Východia podmienka ronoáh síl je teda jadrená ťahom p F s Diferenciál otračnej sil pohbujúcej sa častice tekutin je daná rýchlením D D d F s dm dv Dt Dt Celkoá otračná sila je opäť definoaná objemoým integrálom (napr.. Výslednice týchto síl sa D Dt D F s dv. Dt V a platí Euleroa ronica pre prúdenie ideálnej tekutin integrálnom tare je definoaná súčtom hmotnostných, tlakoých a otračných síl: V V D dv Dt D dv Dt V V a dv a dv S V p n ds grad p dv p p p kde gradient je ektor deriácie tlaku podľa,, grad p,,. Vťah platí pre ľubooľný objem tekutin, bude teda platiť i pre ýra pod integrálom: D a gradp Dt čo je ronoáha síl hmotnostných, otračných a tlakoých definoaná pre jednotku hmotnosti, tj. pre kg. V Euleroých roniciach ropísaných do smeru osí,, je celkom päť nenámch eličín, a to súradnice rýchlosti,,, hustota a tlak p. K určeniu päť nenámch je potrebných päť roníc, ktorých tri sú Euleroe ronice a ďalšími sú ronica kontinuit a staoá ronica p, prípade nestlačiteľnej tekutin je konst. Všetkých päť uedených eličín áisí od poloh prúdiacej častice tekutin a na čase. Pre riešenie sústa roníc je treba adať okrajoé a počiatočné podmienk. Euleroa ronica pre prúdenie ideálnej tekutin je nelineárna parciálna diferenciálna ronica, jej integrácia je obtiažna, súčasnej dobe sa rieši numerick. Aplikáciou tejto ronice je obtekanie leteckých profilo, ked sa predpokladá neiskóne prúdenie. Euleroa ronica je ýchodiskom k ododeniu Bernoulliho ronice. Eulerou ronicu je možné jednodušiť tak, že sa predpokladá jednoromerné prúdenie, tj. rýchlosť a tlak sa menia áislosti na čase a dráhe: t, l p pt, l
Potom sa sústaa Euleroých roníc jednoduší na jednu ronicu nasledone (pritom nie je nutné písať inde a túto súradnicu je možné nahradiť dĺžkou potrubia ): p a t l l Jednoromerné prúdenie nemusí bť nutne ronobežné s jednou osí súradného sstému, ale je odklonené od os o uhol. Zrýchlenie onkajšej objemoej sil sa transformuje do smeru ronobežného s osou potrubí, teda. l acos l Euleroa ronica pre prúdoú trubicu má tar p a cos t l l p acos t l l Každý člen ronice má romer [ms - ], teda romer rýchlenia, tj. jadruje silu, pôsobiacu na kg hmotnosti. Pri prúdení ideálnej tekutin pôsobia na jej častice sil, ktoré pri posunutí po elementárnej dráhe dl konajú elementárnu prácu. Pokiaľ sa ronica Chba! Nenašiel sa žiaden droj odkao. násobí dráhou, obdrží sa súčin rýchlenia dráha, čo jadruje elementárnu prácu, resp. mernú energiu onačenú Y [Jkg - =m s - ]. Ronica bude mať tar p dl dl acos dl dl t l l dl Jednotlié člen ššie uedenej ronice je možné popísať fikálne takto dl - rýchľujúca merná energia prípade neustáleného prúdenia t dl - kinetická merná energia l p dl - tlakoá merná energia l acos dl dudl - potenciálna merná energia Teda ronica má tar p dl dl dudl dl t l l Ak pôsobí na tekutinu len tiažoé rýchlenie, je onkajšie rýchlenie a g. Znamienko áporné je uedené preto, že kladný msel olenej osi je opačný než msel
pôsobenia tiažoého rýchlenia. Príslušný potenciál siloého pola (pre tiažoé rýchlenie) du g cosdl. Naiac platí dh cosdl, teda du gdh p dl dl gdh dl t l l Súčtom (integráciou) šetkých prác po dráhe l dostaneme ťah pre celkoú mechanickú energiu tekutin dl t l dl p dl l gdh Pre nestlačiteľnú tekutinu a pôsobenia tiažoého rýchlenia a pre ustálené prúdenie sa predchádajúca ronice jednoduší l dl p dl g l dh Ronica je tak jadrená ťahom p gh konst Táto ronica predstauje ákon achoania energie hmotnostnej jednotk, pritom kinetická energia, p odpoedá tlakoej energii, gh je polohoá energia. Súčet kinetickej, tlakoej, a polohoej energie prestauje celkoú mechanickú energiu hmotnostnej jednotk, E naýanou merná energia e [J.kg - ]. m Ak sa ronica delí tiažoým rýchlením g, dostaneme p h konst [m]. g g Toto je Bernoulliho ronica. Každý člen ronice predstauje energii tiahnutú na tiažoú jednotku tekutin a formálne má romer ýšk. Prý člen je nám ako rchlostná ýška, druhý člen je tlakoá ýška a tretí určuje polohoú (potenciálnu) ýšku. je Ak sa násobí ronica súčinom p gh konst [Pa] g, dostaneme Každý člen ronice prestauje tlak (kinetický, statický, polohoý). Súčet šetkých energií, tj. kinetickej, tlakoej a polohoej je celkoá mechanická energia tekutin, ktorá podľa Bernoulliho ronice je každom prieree jednej a ronakej trubice konštantná. p p p gh gh... gh gh Y konst Bernoulliho ronica platí pre prúdoú trubicu, ktorej priereoch je rýchlosť ronomerne roložená. Pri neronomernom roložení rýchlosti je nutné oliť prúdoú trubicu eľmi malých priereo, ab rodiel rýchlosti po prieree prúdoej trubice bol anedbateľný. Inak je nutné prihliadať k neronomernému priebehu rýchlosti, čo jadruje stredná rýchlosť podľa kinetickej energie.
Bernoulliho ronica pre dokonalú kapalinu písaná pre da priere jednej a tej istej prúdoej trubice obsahuje šesť eličín: p,, h, p,, h. Hustota tekutin sa poažuje a námu. Ab sa pomocou Bernoulliho ronice určili parametre prúdenia, musí bť počet nenámch a počet roníc ronaký. Pri riešení najjednoduchšieho prípadu je možné teda Bernoulliho ronice počítať jednu nenámu. Ostatné eličin musia bť náme. Bernoulliho ronica pre pln má tar a a konst. 4.3. Veta o mene hbnosti Veta o mene hbnosti sa použía tam, kde sa sleduje siloý účinok tekutin na stenu peného telesa. t Zmena hbnosti m d je roná impulu sil F dt F dt = t m d Pre konštantnú silu (F = konst) a hmotnosť (m = konst) ískame po integrácii F. t = m( ) = m. F = m t = Q m. = Q m ( ) = H H = H H - je prietokoá hbnosť. Sila F olaná prúdiacou kapalinou je roná mene prietokoej hbnosti H H. Kapalina, ktorá teká do kontrolného objemu V rýchlosťou a teká neho rýchlosťou olá pri prietoku Q silu F. Hbnostná eta mechanike tekutín slúži k ýpočtu síl, ktoré b bolo nutné určiť integráciou Euleroých roníc. t
5. Základné ronice prúdenia skutočnej tekutin 5.. Naier-Stokesoe ronice Ronoáha síl pri prúdení skutočnej tekutin je jadrená Naier-Stokesoými ronicami, jadrujúcimi ťah, ked otračná sila je roná súčtu hmotnostnej, tlakoej a trecej sil t p s F F F F Teda oproti Euleroej ronici, pre prúdenie ideálnej tekutin pristupujú prípade skutočnej tekutin trecie sil, ktoré sú spôsobené iskoitou tekutin. Pre matematické jadrenie trecích síl sa použije Newtono ťah aplikoaný súradnicoom sstéme. Tento ýra jadruje ťah medi iskónm napätím a deriáciou rýchlosti podľa súradnice kolmej na smer pohbu. Treciu silu je možné jadriť obdobne ako silu tlakoú S d d S d d S F t, kde je kinematická iskoita. Ak sa stanoí ronoáha šetkých síl pôsobiacich na elementárn objem tým, že sa skôr ododená Euleroa ronica rošíri o men normáloých a dotčnicoých napätí, presnejšie o ich deriácie podľa súradníc, dostaneme Naier - Stokesou ronicu, ktorá o ektoroom ápise pre nestlačiteľnú tekutinu praouhlom súradnom sstéme má tar p a grad t Δ grad. V tejto ronici ýra t je t. lokálna (miestna) deriácia, ktorá nie je áislá od premiestňoania tekutin. Výra.grad je t. konektín člen (konektína deriácia), áisí od rýchlosti premiestňoania častíc. Tento ýra je nelineárn čo prináša problém pri integrácii NS ronice. Posledný ýra., je iskón člen a predstauje treciu potrebnú k prekonaniu iskóneho trenia tekutin. je t. Laplaceo operátor aplikoaný na tri súradnice rýchlosti. Táto ronica sa od Euleroej ronice pre ideálnu tekutinu líši práe týmto posledným členom na praej strane. Naier Skokesou ronicu je možné ropísať do troch smero súradníc,, p a t p a t p a t Pri riešení prúdoého poľa sa spraidla určuje roloženie rýchlostí a tlako. Vedľa pohboej ronice sa uplatní i ronica kontinuit. V sstéme diferenciálnch Naier - Stokesoých roníc a ronice kontinuit sú štri nenáme eličin, tj. ložk rýchlosti,, a tlak p. Pre riešenie týchto roníc musia bť náme onkajšie rýchlenia a, hustota tekutin a okrajoé podmienk. Naier-Stokesoe ronice patria medi nelineárne parciálne diferenciálne ronice a nie sú šeobecne riešiteľné. Analtické riešenie je dostupné pre jednoduchšie prípad laminárneho prúdenia. V súčasnej dobe i ložité prípad laminárneho prúdenia sú riešiteľné numerickými metódami, napr. metódou konečných objemo a metódou konečných prko.
5.. Bernoulliho ronica pre skutočnú tekutinu Ronoáha síl pri prúdení skutočných tekutín je jadrená Naier-Stokesoou ronicou o ektoroom tare. grad a gradp Δ t Ďalej sa predpokladá prúdenie jednoromerné trubici, teda predchádajúce ronice sa jednodušia tak, že sa uažuje len jeden súradný smer, ektor rýchlosti má jen jednu súradnicu a taktiež sa píše be indeu a romer je onačený p dl dl acos dl dl t l l l K jednotliý členom ššie uedenej ronice pribudla stratoá merná energia dl t l - rýchľujúca merná energia prípade neustáleného prúdenia dl - kinetická merná energia p dl - tlakoá merná energia l ν l - stratoá merná energia acos dl dudl - potenciálna merná energia Integráciou ššie uedenej upraenej ronice je dl t l dl p dl l dl l l dudl Pre nestlačiteľné prúdenie sa číslia integrál pre priere - prúdoej trubice dl p p dl U U t l Včíslenie integrálu jadrujúceho trecie sil je obtiažne, preto sa praktick určuje poloempirickými ťahmi a onačuje sa e. Predstauje prácu trecích síl na jednotku hmotnosti prúdiacej tekutin, čo je roptýlená (disipoaná) merná energia, alebo tiež merná stratoá energia spotreboaná na prekonanie hdraulických odporo na úseku prúdoej trubice. Tato merná stratoá energia menšuje mechanickú energiu (tlakoú + kinetickú + polohoú) tekutin a mení sa na teplo. Bernoulliho ronica pre prúdenie skutočnej tekutin, na ktorú pôsobí len tiažoé rýchlenie a g a teda U gh má tar p p gh gh e s
e Merná stratoá energia sa môže jadriť ako násobok kinetickej energie alebo tlakoá stratoá energia, poprípade stratoá ýška es gh. Poronaním uedených ťaho sa íska ps es ghs ps ghs Posledná ronica jadruje hdraulický odpor tlakoým rodielom, ktorému sa tradične e S p hoorí tlakoá strata. Podobne eličina h s, je onačená ako stratoá ýška i keď nejde o stratu, ale nežiadanú premenu mechanickej energie tepelnú. Obe eličin a sú mierou roptýlenej (stratoej) energie. Súčiniteľ je stratoý súčiniteľ a áisí na druhu hdraulického odporu či strat. Bernoulliho ronica pre skutočnú tekutinu písaná pre priere, prúdoej trubice pomocou mernej stratoej energie je p p gh gh e gh S s gh s p s h S e S p s Kapalina prúdi od priereu k priereu. Stratoá ýška ahŕňa šetk hdraulické strat na úseku medi prieremi -. Podobne ako pri prúdení dokonalej tekutin je možné náorniť grafick tiež Bernoulliho ronicu pre skutočnú tekutinu. Odčítaním stratoej energie pre jednotlié priere Y sa určí mechanická energia tekutin, tj. súčet od konštant Bernoulliho ronice gh tlakoej, kinetickej a polohoej energie uažoaných priereoch, ktorá je náornená diagrame príslušnou čiarou. Rodiel medi čiarou celkoej energie a čiarou mechanickej energie predstauje roptýlenú (stratoú) energiu. V tepelne ioloanej prúdoej trubici sa šetka roptýlená energia ako tepelná ododáa tekutine, čím rastá jej nútorná energia a stúpa teplota tekutin. Člen so stratoou ýškou ronici narušuje smetriu ronice. Pre lepšiu náornosť je Bernoulliho ronice jadrená o ýškach, tj. polohoej, tlakoej, kinetickej a stratoej ýške h S
6. Laminárne prúdenie Laminárne prúdenie je podstatne jednoduchšie ako turbulentné. V technickej prai sa sktuje tam, kde sú malé prietočné kanál, äčšia iskoita kapalin a menšie prietokoé rýchlosti. Jednoduché prípad lineárneho prúdenia je možné riešiť analtick integráciou N-S roníc. Zložitejšie prípad sa riešia numerickými metódami. Pri riešení laminárneho prúdenia sa uplatňuje Newtono ťah šmkoého napätia, ktorý odpoedá skutočnosti, a preto sa dosahuje dobrá hoda s eperimentálnmi ýsledkami. d j d Kapalin ktoré sa hodujú s týmto ákonom sa naýajú newtonoské. Pre ktoré tento ťah neplatí sú nenewtonoské. Toto poronanie platí iba laminárnej oblasti prúdenia, lebo pri turbulentnom prúdení rastie odpor a teda aj dotčnicoé šmkoé napätie rýchlejšie dôsledku fluktuačných rýchlostí. Zatiaľ čo pomer dotčnicoého napätia newtonoských kapalín šmkoej rýchlosti je konštantným látkoým parametrom, charakteriujúcim danú kapalinu, pre nenewtonoské kapalin je tento pomer premenliý. Jeho okamžitá hodnota sa mení podľa použitého napätia a nemôže slúžiť pre jadrenie konistencie nenewtonoských kapalín. Pre tento pomer sa použía pojem danliá iskoita μ a = τ = τ d j d Okrem danliej intenit sa pre hodnotenie nenewtonoskej kapalin pri určitom šmkoom napätí t. diferenciálna iskoita μ = dτ dj Pretože ani danliá ani diferenciálna iskoita nie sú pro nenewtonoskú kapalinu konštantné, je potrebné pre fikálne ohodnotenie týchto kapalín udáať ich áislosť na šmkoom napätí. Takéto grafické obraenia sa naýajú tokoé krik alebo reogram. Najobklejšími súradnicami pre kreslenie týchto reogramo sú oči j alebo ich logaritm.
Kapalin, ktoré sú charakterioané poklesom danliej iskoit pri rastúcom šmkoom napätí sa naýajú pseudoplastické (rednúce tekutin). Medi pseudoplastické tekutin patria napr. suspenie nesúmerných častíc, niektoré koloidné rotok, kal, past, taenin a rotok polméro, celulóoé deriát, kaučuk, late, farb, maiá, suspenie papieru apod. S rastúcim rýchlostným gradientom sa nesúmerné častice alebo molekul postupne ronáajú. V pokojoom stae sú častice náhodne premiešané, atiaľ čo pri pohbe sa postupne orientujú hlanými osami do smeru pohbu. Zdanlio iskoita stále klesá s rastúcim rýchlostným gradientom až k určitej hodnote, pri ktorej už nie je možné dokonalejšie usporiadanie častíc. Od tejto hodnot je už ťah pre lineárn Hpotéa pseudoplastického spráania sa predpokladá, že mena štruktúr, tj. orientácie častice nastane okamžite akonáhle ačne pôsobiť šmkoé napätie, alebo čase tak krátkom, že použitím bežných iskoimetrických metód nie je možné časoý úsek istiť. Ak mena štruktúr nenastane okamžite a k jej toreniu je potrebný určitý čas, takéto kapalin sa naýajú tiotropné. Reciprokým jaom k pseudoplasticite je dilatácia charakterioaná rastom danliej iskoit o rastajúcim dotčnicoým napätím (hustnúcej tekutin). Sú to napr. ropúšťadlá farieb, niektoré náteroé a tlačiarenské farb, odné suspenie želeité čerené, oidu inočnatého, niektorých pigmento, kobaltoej modrej, škroboého mau, betón, arabská guma a niektoré polméroé rotok, med aj. Binghamoa tekutina je charakterioaná tím, že pokoji má tekutina trojromernú štruktúru, ktorá má tuhosť, schopnú doroať ľubooľnému napätiu menšiemu než napätiu na medi deformácie p. Po dosiahnutí tohto napätia sa štruktúra ropadne a hmota sa spráa ako newtonoská tekutina. 6.. Laminárne prúdenie medi ronobežnými doskami Medi ronobežnými stenami je tlakoým spádom p = p p olané laminárne prúdenie o odoronom smere. Predpokladá sa iotermické a ioiskóne prúdenie. Vertikálna dialenosť dosiek je h. Ronoáha síl je jadrená tlakoými a trecími silami.
Predpokladá sa odoroná štrbina, teda hmotnostné (tiažoé) sil sú roné nule ( Prudenie je ustálené, rýchlosť sa čase nemení a teda aj otračné sil sú roné nule ( ). Rýchlostný profil je inutý a po dĺžke štrbin sa nemení. Uažuje sa s jednoromerným prúdením, teda a a šetk ich men (deriácie) sú nuloé. Fikálne lastnosti ako hustota a iskoita sú konštantné. Rýchlostný profil je daný iba menou po ýške štrbin. Za týchto predpoklado sa Naier - Stokesoa ronica jednoduší na tar p čo je spomínaná ronoáha tlakoých a trecích síl. Ak sa predpokladá, že na dĺžke dôjde ku tlakoej strate, potom na áklade daného p p tlakoého spádu a okrajoých podmienok rýchlosti na stenách je možné ododiť l rýchlostný profil úkej medere. p p l p konst l p l konst. konst l Pre určenie integračných konštánt a sa užije okrajoá podmienka na stenách, kde je nuloá rýchlosť, tj. pre je, po dosadení je konst a pre h je h p a konst h. Výsledkom je parabolická áislosť rýchlosti na. l p h l p a D Dt ).
Rýchlostný profil je kadratická parabola. Maimálna rýchlosť sa určí podmienk pre maimum, tj. d. d Maimálna rýchlosť je uprostred dialenosti dosiek h, čiže h p ma 8 l Prietok sa určí integráciou elementárneho prietoku plochou b.d h h b p 3 h d h h dq b d, ktorý preteká elementárnou b p Q bd l l Stredná rýchlosť podľa prietoku je Q Q h p s S bh l Pomer strednej a maimálnej rýchlosti je s ma 3 Prúdenie medere môže bť oplnené okrem tlakoého spádu tiež pohbom hornej sten rýchlosťou. Pre tento prípad sa ododí rýchlostný profil pre okrajoé podmienk, h u. Potom sa menia integrační konštant a po dosadení do ronice je rýchlostný profil určený ťahom p h u l 4 h h u p Ak je prúdenie olané len unášaním, potom l u h a rýchlostný profil je lineárn 6.. Laminárne prúdenie potrubí kruhoého priereu Laminárne prúdenie trubici kruhoého priereu nastane pri Re Re krit 3. Potrubie je odoroné, prúdenie je ustálené, rýchlostný profil je inutý. Na prúdiacu tekutinu pôsobia sil tlakoé a trecie. V dôsledku iskoit dôjde na dĺžke potrubia l ku tlakoej strate. Pri prúdení o odoronom potrubí sa predpokladá alcoý súradný sstém
Pri aiálnom prúdení nestlačiteľnej tekutin dlhej trubke s kruhoým priereom je možné predpokladať jednodušenie pre rýchlosti uhloé a radiálne a deriácie šetkých premenných podľa uhla hľadom k alcoej smetrii. Potom analogick podľa predchádajúceho postupu ašak hľadom k alcoému súradnicoému sstému sa ododí ronica pre rýchlostný profil p p R r D d 4 l 6 l Grafické náornenie ronice rýchlostného profilu roine reu prechádajúceho osou trubice je kadratická parabola. V priestore predstauje rýchlostný profil rotačný paraboloid. Na stene pre r R bude rýchlosť, ose potrubia pre r je rýchlosť maimálna p p ma r rr R D 4 l 6 l Prietok trubicou sa určí integracou elementárneho prietoku kapalin dq rdr, ktorý preteká elementárnm medikružím na polomere r so šírkou tlakoým rodielom p na dĺžke trubice R D R r 4 p D p Q ds r. dr r. dr 8 l 8 l S Táto ronica sa onačuje ako Hagen-Poiseuilleoa, alebo ako Hagen-Poiseuilleo ákon. Stredná rýchlosť podľa prietoku sa počíta o ťahu 4 D D p Q.. s, 4 8 l D p s 3 l Z poronania strednej a maimálnej rýchlosti plýa s ma Zákon Hagen-Poiseuilleo platí len pre ustálené laminárne prúdenie, ked rýchlostný profil jednotliých priereoch je ronaký, čo nastáa po určitej dráhe od ačiatku trubice. Tekutina po stupe do trubice má rýchlostný profil odpoedajúci dokonalej tekutine. V prom okamihu majú častice kapalin pri stene rýchlosť ronakú ako ostatnom prúde kapalin. dr
Až stkom kapalin so stenou sú častice brdené, čím nikajú dotčnicoé napätia od iskoit medi jednotliými rstami prúdu a objaujú sa rodiel rýchlostiach častíc. Tak sú postupne brdené ďalšie častice a jadre prúdu sú častice naopak urýchľoané. Dráha na ktorej sa íja rýchlostný profil, sa naýa robehoou dráhou laminárneho prúdu. Pre robehoú dráhu uáda Boussinesq ýra,65 Re r, Schiller r,5. Re. d d K ustáleniu rýchlostného profilu dôjde dosť ďaleko od stupného priereu, takže krátkch trubiciach sa laminárn rýchlostný profil netorí, a preto u nich ákon Hagen-Poiseuilleo neplatí. 6.3. Laminárne prúdenie medikruží V hdraulických strojoch a ariadeniach sa často stretáame s prípadmi, ked kapalina prúdi alcoou mederou (prietočný priere je medikružie) Tak je to prípade čerpadiel, turbín, šupátok, entilo, klných ložísk apod. Prúdenie o alcoej roine je možné riešiť pre malé hodnot s/d ako roinutú alcoú mederu do roin, čím sa prípad preedie na prúdenie medi doma ronobežnými doskami. Valcoé meder slúžia k tesneniu rônch častí hdraulických strojo a ariadení, ktorých jedna koná oči druhej relatín pohb. Najjednoduchší prípad nastane, keď obe časti sú relatínom pokoji. Vájomná poloha oboch častí môže bť buď súosá alebo ýstredná. Prietok alcoou mederou je možné určiť ako prietok medi doma doskami. Šírka meder tomto prípade sa roná obodu kružnice, teda b = p.d a dialenosť dosiek h odpoedá hrúbke alcoej meder, čiže h = s. Po dosadení ískame prietok Q = π p d. h3 η d a stredná rýchlosť s = Q S = h p ηl kde prietočná plocha alcoej meder S = π. d. s. Na prietok má tiež pl ýstrednosť meder, ktorá nastane ak os oboch alcoých plôch s priemermi d a d nebudú totožné. Maimálna ýstrednosť je e ma = d d. Prietok mederou s maimálnou ýstrednosťou je,5 äčší ako prípade súosej alcoej meder. 6.4. Stekanie po islej stene Viskóna kapalina ktorá, priľne na islej stene, steká po nej plom tiažoého rýchlenia. Predpokladá sa iotermické a ioiskóne prúdenie. Na elementárnu časticu kapalin so šírkou
b s romermi d. d pôsobia tiažoé a trecie sil smere os. Predpokladá sa ustálené ronomerné prúdenie. Výslednice síl smeroch osí, sú nuloé. Na rohraní stekajúcej kapalin so šírkou kapalin h s oduším je tlak duchu p. Tlak stekajúcej rste je konštantný. Priebeh šmkoého napätia stekajúcej rste je daný ronicou τ = ρ. g. (h ) Rýchlostný profil stekajúcej kapalin na stene = g s (h ) Priebeh rýchlosti je parabolický. Maimálna rýchlosť na rohraní rst so duchom g. h ma = Prietok h Q = b d = gb (h gbh3 ) d = 3 Šírka rst 3 h = 3Q gb Stredná rýchlosť o rste s = Q bh = gh 3 h Poronanie strednej rýchlosti s maimálnou plýa s = 3 ma 6.5. Prúdenie nenewtonoských kapalín Najstarším analtickým jadrením áislosti šmkoej rýchlosti na dotčnicoom napätí nenewtonoských kapalín sú mocninoé funkcie. Najčastejšie sa použía formulácia Ostwalda a de Waelea
τ = K ( d dr ) n = kj n K - súčiniteľ konistencie, n - inde toku, ktorého hodnota pre pseudoplastické tekutin je menšia ako, atiaľ čo pre newtonoské tekutin je roná a pre dilatantné tekutin je äčšia ako Rýchlosť prúdenia potrubí = n n + ( p sr LK ) n r + [ ( R ) n ] R Maimálna rýchlosť potrubí ma = n n + ( p sr LK ) n R Objemoý prietok potrubí Q = πn 3n+ (p sr ) n R 3 = πn LK 8(3n+) (p sd ) n D 3 4LK Stredná rýchlosť s = Q πr = n 3n + ( p sr LK ) n n + R = ma 3n + Veľkosť šmkoého napätia pre Binghamské tekutin je daná ronicou τ = τ p + μ B ( d dr ) = τ p + μ B. j τ p - počiatočné šmkoé napätie μ B - plastická iskoita Rýchlosť prúdenia potrubí p s = (R r ) τ p (R r) = [ p s 4Lμ B μ B μ B 4L (R r ) τ p (R r)] Objemoý prietok potrubí Q = πp sr 4 [ 4 8Lμ B 3 (r R ) + 4 3 (r R ) ]
Stredná rýchlosť s = Q πr = p sr [ 4 8Lμ B 3 (r R ) + 4 3 (r R ) ] 6.6. Turbulentné prúdenie trubici kruhoého priereu Skutočná tekutina sa môže pohboať domi kalitatíne úplne odlišnými tpmi prúdenia, ktoré onačujeme laminárne alebo turbulentné. Rohranie medi obomi druhmi prúdenia udáa Renoldsoo kritické číslo. Jeho hodnota je áislá na parametroch ako napr. na geometrii prúdu, tlakoom spáde, atd. Pre potrubie kruhoého priereu je spodní hranica asi 3. Pre ustálené laminárne prúdenie je charakteristické, že sa častice tekutin pohbujú po paralelných dráhach, jednotlié rst sa naájom nemiesia (neuažujeme molekulárnu difúiu). Pre turbulentné prúdenie sú tpické náraoitosti šetkých eličín napr. rýchlosti. Trajektórie častíc tekutin sú nepraidelné, docháda k intenínemu premiešaaniu celého objemu prúdiacej tekutin. Turbulentné prúdenie je trojromerný, časoo premenliý pohb tekutin, pri ktorom eličin charakteriujúce prúdenie (rýchlosť, tlak, hustota, teplota) sa menia náhodne čase. Okamžité hodnot eličín neustále kolíšu okolo strednej hodnot, takže každom okamihu je napríklad rýchlosť daná súčtom strednej rýchlosti a fluktuačnej ložk Pre ložku okamžitej rýchlosti smere bude platiť kde je stredná hodnota rýchlosti čase a Stredná hodnota (resp., ) a čas T je fluktuačná ložka rýchlosti sa určí o ťahu dostatočne eľkom počte oriek nahradiť aritmetickým priemerom časoý interal dostatočne dlhý, je stredná hodnota fluktuační ložk T T t T dt (čo je pri T N N i i ). Ak je nuloá dt. T Intenita turbulencie charakteriuje relatínu eľkosť amplitúd fluktuácii rýchlosti hľadom k strednej hodnote rýchlosti, napr. pre smer je I. Intenita turbulencie pri inutom prúdení potrubí kruhoého priereu je áislá na smere - podĺžne fluktuácie sú äčšie ako priečne, osi majú minimum, maimum je tesnej blíkosti sten a na stene sú roné nule.
Pre technické ýpočt prai sú stredné hodnot rýchlosti istené a dostatočne dlhý časoý interal dôležité pre popis rýchlostného profilu, určeniu Re čísla, prietoku, strát potrubí, apod. a túto rýchlosť onačujeme občajným písmenom. Na rodiel od laminárneho prúdenia je odpor proti pohbu pri turbulentnom prúdení omnoho äčší. Boussinesq aiedol danliú (íroú, turbulentnú) iskoitu, ktorá je analógiou dnamické iskoit Newtonoho ťahu pre šmkoé napätie pri laminárnom prúdení. Na rodiel od nej šak íroá (turbulentná) iskoita nie je látkoou lastnosťou, ale funkciou súradníc a je áislá na geometrii a ďalších charakteristikách prúdoého poľa. Pre roinné turbulentné prúdenie je možné turbulentné šmkoé napätie jadriť ronicou d t t. V blíkosti sten, kde docháda k brdeniu prúdiacej tekutin, sa prejaí aj d šmkoé napätie podľa Newtona a ýsledné dotčnicoé napätie turbulentnom prúde bude d. t roné súčtu d V prai je možné rýchlostný profil potrubí popísať logaritmickou alebo mocninoou funkciou. Logaritmický rýchlostný profil, je možné definoať ťahom * ln K kde * je trecia rýchlosť a môže bť definoaná ťahom *, kde t je dotčnicoé napätie na stene, je odľahlosť od sten potrubia, je t. Kármánoa konštanta, ktorej hodnota sa pohbuje okolo,4 a K je integrační konštanta. Tento t. logaritmický ákon neplatí blíkosti sten, pretože na stene, pre = dáa nekonečne sokú rýchlosť. Ani integračnú konštantu nemôžeme ako obkle stanoiť podmienk, že na stenu tekutina priľne a rýchlosť je nuloá. Prandtl a Kármán preto rodelili turbulentný prúd blíkosti sten na tri oblasti Viskóna podrsta sa torí tesnej blíkosti hladkej sten, kde preažuje iskóne dotčnicoé napätie nad danliým turbulentným napätím, pretože priečne ložk fluktuačných rýchlostí sú stenou tlmené. Táto rsta je eľmi tenká, lomk milimetro, ale má eľký ýnam pri prestupe tepla. Rýchlostný profil je priamkoý. Prechodoá rsta, čo je ta časť prúdu, kde dotčnicoé napätia spôsobené iskoitou alebo turbulentným miešaacím pohbom sú rádoo ronako eľké a rýchlosť plnule precháda priamkoého na logaritmický ákon. Turbulentné jadro prúdu sa nacháda určitej dialenosti od sten, kde už je dotčnicoé napätie od iskoit tekutin anedbateľné poronaní so danliým turbulentným napätím. V tejto oblasti platí logaritmický ákon, tejto forme aný ákon sten. Na áklade eperimento konaných hladkých trubiciach boli stanoené aj nenáme konštant logaritmickom ákone: * 5,75log 5,5 * V literatúre sa aáda beromerná rýchlosť *
a beromerná odľahlosť od sten * Logaritmický ákon má tar 5,75log 5,5 a je náornený semilogaritmických súradniciach + 5 5 5 3 log + + * + laminární podrsta = * prechodoá rsta turbulentní jádro = + + = f( ) * = + + = 5.75 log 5.5 Miesto logaritmického ákona sa turbulentnom prúdení použía tiež starší empirický mocninoý rchlostný profil. ma R n kde je maimálna rýchlosť tj. rýchlosť osi potrubia ktorého polomer je R. Eponent n nie je konštanta, ale mení sa s Renoldsoým číslom od 7 do a s drsností potrubia. Pre pomer střednej a maimálnej rýchlosti m potrubí je možné ododiť s m n n ma ma Eponent n a pomer rýchlostí m môžeme určiť podmienk ronoáh síl trecích a tlakoých. Ich hodnot platía pre určitý rosah Re čísla: 5 pre hdraulick hladké potrubie 3 Re n /7.43, m. 87 4 6 pre 8 Re 5 n /8.5, m. 837 6 pre äčšiu rýchlosť rosahu Re 5 n /., m. 866 Rýchlostný profil potrubí môžeme merať (napríklad Pitotoou trubicou) a mocniteľ n určiť eperimentálne.
Mocninoý ákon houje dobre pre jadro prúdu, ale pre oblasť blíko sten (iskóna a prechodoá rsta) nie je táto funkcia platná. Mocninoý rýchlostný profil je možné jadriť ma R n kde je dialenosť od osi potrubia, polomer potrubia. Eponent mocninoom rýchlostnom profile je funkcia Re čísla a eperimentálnch ýsledko bol pre určený ťah Re 6. Pomer strednej a maimálnej rýchlosti m n 5 m s ma. n R Vššie uedené prístup k popisu roloženiu rýchlosti po prieree potrubia môžu posktnúť iba stredné hodnot ložiek rýchlostí, prípadne súčiniteľ turbulentných trecích strát. Nedokážu šak stanoiť ďalšie dôležité eličin, ktoré charakteriujú turbulenciu, ako sú napr. Renoldsoe napätia, kinetická energie turbulentných fluktuácii k eličin šak spadajú už do problematik štatistických modelo turbulencie. n, atd. Tieto
7. Prúdenie skutočných tekutín - strat Pri prúdení skutočných tekutín nikajú následkom iskoit hdraulické odpor, tj. sil, ktoré pôsobia proti pohbu častíc tekutin. Mechanimus hdraulických odporo je ložitý ja, ktorý sa dosiaľ nepodarilo eaktne riešiť, preto sa hdraulických ýpočtoch uplatňuje množsto polo empirických metód. Pod pojmom hdraulické odpor (strat) pri prúdení skutočnej tekutin sú ahrnuté šetk účink, ktoré spôsobujú roptl energie. Roptýlená (stratoá) energia na hdraulických odporoch sa prejaí buď ako tlakoý úbtok (nútené prúdenie potrubí apod.), alebo úbtok kinetickej energie energie mgh m p (prúdenie kortách, graitačné potrubie, atd.) p s (napr. ýtok nádob otormi), alebo níženie polohoej Roptýlenú (stratoú) energii ťahujeme obkle na jednotku hmotnosti alebo tiaže a platí ťah ps es Ys ghs [Jkg - ] es Ys ps hs [m] g g g g kde je stratoý súčiniteľ. Z hľadiska fikálnej podstat je možné odpor (strat) potrubí rodeliť na da tp: trecie odpor, ktorých príčinou sú trecie sil a ktoré áisia na dĺžke potrubia, kanálu, apod. Stratoý súčiniteľ trecieho odporu je teda priamo úmerný dĺžke potrubia L. miestne odpor, ktoré nikajú miestach, kde sa mení eľkosť rýchlosti (mena prietočného priereu), smer rýchlosti (akriené potrubie), poprípade eľkosť i smer rýchlosti (armatúr) a docháda pritom k odtrhnutiu prúdu a niku íriej oblasti. Stratoý súčiniteľ miestneho odporu áisí na geometrii uažoaného miesta a na prúdení.
7.. Trecie strat potrubí 7... Laminárne prúdenie V prípade laminárneho prúdenia pre ýšk dá ododiť analtick. Pri riešení jdeme ronice pre strednú rýchlosť potrubí a upraíme psd 3L p s 3L 3L d d kde súčiniteľ trenia 64 Re 64 d ; L d d Re ; 64 Re Re3 sa eľkosť tlakoej strat či stratoej L d L d Pre stratoú ýšku je možné ododiť ťah (t. Darc-Weisbachou ronicu) ps L hs g d g kde L je stratoý súčiniteľ. d 7... Turbulentné prúdenie s V prípade turbulentného prúdenia je šmkoé napätie äčšie a preto sú strat trením äčšie ako prípade laminárneho prúdenia. Súčiniteľ trenia je áislý na eľkosti Renoldsoho čísla d k a relatínej (beromernej) drsnosti, prípadne k r, kde [mm] je absolútna k d drsnosť sten potrubia, definoaná ako stredná hodnota neroností na stene. Ronice pre ýpočet súčiniteľa trenia sú stanoené na áklade eperimentálneho merania. Pre hladké potrubie ( k ) ododil Blasius empirický ťah,364 4 4 ( Re k Re 8. ) Re Nikuradse pre hladké potrubie udáa podľa ýsledko pokusu orec 4 Re 6. log Re,8 Súčiniteľ trenia Altšuloom orci pri uažoaní drsnosti potrubia je eplicitne jadrený o forme.5 k. Re d Platí pre oblasť, ktorej sa uplatní tak pl Re čísla, tak aj drsnosti (oblasť miešaného trenia). Pre tuto oblasť bolo ododených desiatok roníc, najčastejšie sa šak použía orec, ktorý ododil Colebrook - White k
,5 k log,7 Re d Tato ronica je implicitná a sa musí riešiť iteráciami. Preto boli posledných rokoch ododené pre eplicitné orce. Ako príklad je uedená ronica ododená Churchillom 8 8 Re a b,5 6,9 6 7 3753,457ln a,7 b Re Re Pre danú pomernú drsnosť má súčiniteľ trenia od určitého Renoldsoho čísla hodnotu stálu a neáleží na Re. V tejto oblasti naanej inuté turbulentné prúdenie jadril Nikuradse súčiniteľ trenia ťahom k platným pre Re 9, d d log,38 k Grafick spracoané áislosti súčiniteľa trenia na Renoldsoom čísle a prípadne drsnosti ako f Re, parametra boli hodnotené diagrame Nikuradseho k r
Absolútna drsnosť potrubia áisí od druhu materiálu, spracoania a preádkoých podmienok (koróie, eróie). Podľa skúsenosti rônch autoro sú uedené drsnosti braných materiálo. k tab. 7. Absolútna drsnosť materiálo potrubia k Materiál potrubia Pôodný sta Korodoaný (mm) (mm) Ťahané trubk mosadné, medené, hliníkoé,5 až,3,3 až, Beošé trubk oceľoé,4 až,, až,9 Ťahané trubk oceľoé,3 až,, až,9 Zárané trubk oceľoé,5 až,, až,9 Poinkoané trubk oceľoé,5 až,5,5 až 3,5 Vodoodné potrubie po a iac rokoch preádke,6 až 3, Sklenené trubk, trubk plasto, 5 až, Pržoé hadice, až,3 Betónoé potrubie,3 až 6, sta 7... Strat trením nekruhoých prietočných priereoch Laminárne prúdenie nekruhoých potrubiach sa dá riešiť matematick. V prípade laminárneho prúdenia sa trením o sten potrubia brdia častice celom prietočnom prieree.
Medná rsta plňuje celý prietočný priere a jeho tar má pl na roloženie rýchlosti alebo rýchlostný profil. Preto je nutné pre každý priere ododiť ťah pre trecie strat a nie je možné ich prepočítať jedného priereu na druhý. V prípade turbulentného prúdenia potrubí sa pl trecích síl na obtekaných stenách obmedí na podstatne menšiu rstu, ktorá poronaní s charakteristickými romermi prietočného priereu je eľmi malá. Hrúbka mednej rst u turbulentného prúdu áisí predošetkým na Re čísle. Ak tar prietokoého priereu potrubia nemá podstate pl na súčiniteľ trenia, sú strat trením turbulentného prúdenia potrubí nekruhoého priereu určené ronakými orcami ako pre kruhoé potrubie. Miesto priemeru kruhoého potrubia je šak treba dosadiť ekialent pre nekruhoé priere, pomocou ktorého sa počíta Re-číslo, súčiniteľ trenia a stratoá ýška. Tento ekialent sa naýa hdraulický priemer d h a je určený ťahom S d h konst o Konštantu úmernosti je možno oliť. Výhodne sa stanoí podmienk, ab hdraulický priemer kruhoého potrubia bol roný jeho priemeru d čiže. Pretože kruhoom potrubí je prietočný priere d h S 4 d a máčaný obod d 4 d d h k k k 4 d 4 Je teda hdraulický priemer definoaný ťahom S d h 4 o Hdraulický priemer potrubie o setlosti d d o d, je d h d d h je teda ekialent nekruhoého priereu a predstauje kruhoé d, ktorom sú ronaké hdraulické strat ako nekruhoom prieree. h Hdraulický priemer sa môže dosadiť do ýrau pre pomernú drsnosť, do Renoldsoho čísla a do ýrau pre stratoú ýšku a toho je rejmé, že ýpočet strat trením nekruhoom potrubí (turbulentné prúdenie) je hodný s ýpočtom strat kruhoom potrubí. 7.. Miestne odpor (strat) V každom potrubí býajú okrem roných úseko i rône kolena, odbočk, armatúr, meracie ariadenia, čističe, chladiče apod., okrem toho sa môže meniť priere potrubia. V týchto častiach potrubí docháda k mene eľkosti i smeru rýchlosti prúdenia, čo olá írenie, poprípade odtrhnutie prúdu kapalin spojené s roptlom energie. Energia prúdiacej kapalin sa roptľuje mieste potrubí, kde docháda k mene ektoru rýchlosti, preto je roptl naaný miestnmi stratami. Veľkosť miestnch strát, tj. stratoá energia pri miestnch stratách sa jadruje obdobne ako strata trením rýchlostnou ýškou a stratoým súčiniteľom ps es ghs m Stratoý súčiniteľ m áisí od druhu miestnej strat, konštrukčných parametroch, drsnosti stien, taru rýchlostného profilu a na režimu prúdenia. Vpl Renoldsoho čísla sa prejauje obdobne ako prípade trecích odporo predošetkým pri malých hodnotách tohto čísla. Určuje
sa meraniami. Je možné stanoiť súčiniteľ nameranej tlakoej strat 5 Re odpore. Pre hodnot Renoldsoho čísla konštantné. Miestne odpor potrubí sa môžu jadriť ekialentnou dĺžkou trením ronako eľká ako miestna strata. p s na miestnom sú hodnot stratoého súčiniteľa takmer l e potrubia, ktorom je strata le le d g d g Za súčiniteľ trenia a priemer sa dosadia hodnot platné pre roný úsek potrubia. Pri menách priereu sa mení prietočná rýchlosť a miestne strat sa môžu jadriť áislosti od prítokoej alebo odtokoej rýchlosti Strat náhlm rošírením priereu S p p S h s g g Z tejto ronice plýa ťah pre prepočet stratoých súčiniteľo S S upraený pomocou ronice kontinuit S S. Pre kruhoé priere platí d 4 d ; d d 4 Pri náhlom rošírení priereu sa odtrhne prúd kapalin od stien a toria sa ír. Potom sa prúd kapalin rošíri po celom prieree, pri rošírení priereu klesá stredná rýchlosť, a preto musí stúpnuť statický tlak. Borda ododil pre stratoú ýšku pri náhlom rošírení priereu ťah h S S s S g S g g Strat náhlm úžením priereu
Pri strate náhlm úžením priereu docháda mieste náhleho úženia, k rýchleniu kapalin. Prúd kapalin nemôže sledoať tar stien potrubia. Postup ododenia je podobný ako predchádajúcom prípade. h s = p p ρg + g = ( S S ) S S g = S S = g g g Strat difúore Ak bude prechod menšieho priereu na äčší pooľný, ako je tomu difúore, strat môžu bť podstatne menšie. Difúor sa použía hlane tam, kde je potrebné premeniť kinetickú energiu prúdu na tlakoú s najmenšími stratami. Je náme, že eľmi malým rošírením priereu sa mení prúdenie, a to najmä rýchlostný profil, ktorý je tým iac natiahnutý smere prúdenia, čím je uhol rošírenia äčší. Do uhla rošírenia α = 6 8 ostáa rýchlostný profil smetrický k osi difúora. Pri ďalšom äčšení uhla sa prúd účinkom tlakoého gradientu odtrhne od sten a smetria prúdu sa poruší. Pri uhloch rošírenia α = 5 nastáa odtrhnutie prúdu spraidla od jednej sten, na ktorej je rýchlosť menšia. Rýchlostný profil sa stane nesmetrickým. Nesúmernosť prúdu je často dopreádaná nestabilným odtrháaním, čo olá kmitanie prúdu a torenie íro. V difúoroch s äčším uhlom rošírenia ako 5-6 nemôže prúd sledoať sten difúora a odtrháa sa po celom prieree. Odtrháanie od sten je spreádané menšími puláciami prúdu. Zšuje sa šmkoé napätie následkom äčšenia turbulencie, čo spôsobuje ýšenie strát. V difúore nikajú aj strat trením, preto celkoú stratoú ýšku je možné ropísať na stratoú ýšku spôsobenú stratami trením a stratami menou priereu h sd = h st + h sr. Skutočný tlakoý rodiel difúore je daný rodielom tlako rošírenom a počiatočnom prieree. p p = ρ ρgh sd Stratoé súčinitele priereoch a sú dané ξ d = h sd g = ( ) p p ρ = ( S ) p p S ρ
ξ d = h sd g = p p = ( S ) p p ρ S ρ Hdraulické strat difúore sú spojené so menou priereu, a preto je ich možné jadriť pomerom k strate náhlm rošírením priereu ξ r = h sd h sd = h sn ( ) g Tento súčiniteľ sa naýa stupeň ráu. Pri rastúcom uhle rotorenia difúora, ked mena priereu precháda náhlu menu priereu, sa stupeň ráu blíži hodnote. ξ d = ( S ) ξ S r ξ d = ( S S ) ξ r Strat kužeľoom potrubí - konfúore Pri užoaní priereu je hdraulická strata spôsobená takisto trením integráciou na elementárnej dĺžke kužeľoého potrubia. Stratoá ýška na elementárnom úseku d je určená je ju možné určiť dh s = λ d d g Celkoá strata sa určí integráciou diferenciálnej ronice, pričom je nutné uažoať menu priemeru a rýchlosti po dĺžke kužeľoého potrubia. Súčiniteľ trenia sa mení s Re číslom, ašak malom romedí, takže sa uažuje stredná hodnota λ s ako konštanta. Stratoá ýška kužeľoom potrubí je tak h s = 4 λ l s d g ( l 4 4 l ) = 4 λ l s ( d 4 d d 4 d ) g = ξ g ξ = 4 λ l ( d d d 4 d ) = λ s 8. tg α Zmena smeru prúdenia - oblúk 4 [ ( d 4 ) ] d V každom potrubnom sstéme sa spraidla sktuje prok, ktorom sa mení smer a rýchlosť tekutin. Tento prok torí akriené potrubie, oblúk, kolená a tiež kombinácie oblúko. V týchto prkoch docháda k roptlu energie, ktorá sa jadruje miestnou stratou menou smeru prúdenia.
K toreniu predsta prúdenia akrienom potrubí je potrebné si šimnúť prúdenie dokonalej kapalin kruhoom oblúku. Predpokladá sa, že kapalina priteká ku kolenu konštantnou rýchlosťou roloženou po celom prieree ronomerne. Následkom akriením dráh pôsobí na častice kapalin odstrediá sila, ktorá musí bť ronoáhe s tlakoou silou. Ab nikla tlakoá sila pôsobiaca do stredu akrienia, musí na äčšom polomere r pôsobiť äčší tlak. Toto je možné dosiahnuť súlade s Bernoulliho ronicou tak, že sa rýchlosť častice níži. Záislosť rýchlosti a polomeru je grafick náornená na nasledujúcom obráku Skutočná tekutina nemôže pretekať kolenom ako dokonalá. Častice pomalšie budú brdiť častice rýchlejšie, pričom skutočnej kapaline sa častice premiestňujú na äčší alebo menší polomer. Vniká ložitý špiráloitý priestoroý pohb. Súčasťou tohto prúdenia je írié prúdenia priečnom ree, charakteristické doma írmi opačného smeru. Prúd na nútornej hrane kanála sa môže odtrhnúť, takže nikajú ír aj pri stenách. Priebeh tlaku na nútornej a onkajšej stene je na predchádajúcom obráku. V diagrame je náornená tlakoá strata a jej ložk odpoedajúce trecím stratám a íreniu. Armatúr (entil, šupátka, kohútik a klapk) slúžia k uaretiu potrubia alebo k regulácii prietoku.
Pri úplne otorených uáerách majú bť strat čo najmenšie. Najmenšie odpor majú šupátka a kohútik. Hdraulický odpor je spôsobený jednak trením, ale hlane írením. Doskou šupátka, entilu, klapk alebo telesom kohútika sa užuje prietočný priere. Prúd kapalin nesleduje prúdnicami men priereu a docháda k odtrhnutiu prúdnic a niku íriých oblastí. Tieto ja oláajú hdraulický odpor spojený s roptlom energie. Stratoý súčiniteľ sa isťuje meraním. Všeobecne áisí od konštrukčného preedenia armatúr, na jej pomernom otorení a Re čísle. Pretože armatúr predstaujú premenliý odpor, použíajú sa často technickej prai aj na reguláciou prietoku tekutín. V prípade entilo sa hodný priebeh stratoého súčiniteľa dosahuje tarom kuželk. Regulačné lastnosti armatúr sú charakterioané t. menoitou kapacitou armatúr K. Menoitú kapacitu armatúr K = má armatúra, ktorou preteká prietok Q = m 3 h pri tlakoom spáde Δp = 5 Pa. Všeobecne sa menoitá kapacita armatúr počíta pre prúdenie od ronice K = Q Δp pre inú látku je to K = Q. ρ Δp ρ kde ρ je hustota od pri teplote 5 C.
8. Príklad hdraulického ýpočtu potrubí 8... Jednoduché potrubie s nádržou Potrubie slúži k doprae tekutín. Pri jeho nárhu chádame predpokladu jednoromerného prúdenia. Za jednoduché potrubie poažujeme potrubie s konštantným priereom. V prípade dlhých potrubí preažujú strat trením, u kratších potrubí sa môžu ýnamne uplatniť strat miestne. Jednoduché potrubie pripojené k nádrži má dĺžku l, priemer d. Predpokladá sa, že nádrž je romerná a teda rýchlosť prúdenia na tejto hladine je temer nuloá. Potom pre priere (hladina nádrži o ýške h) a (ýstup potrubia do odušia) platí Bernoulliho ronica: p p gh gh a po dosadení p p l gh g. d a po úprae l gh c d Z tejto ronice je možné jadriť skutočnú rýchlosť gh l d gh Je rejmé, že rýchlostný súčiniteľ e s c t t je daný pomerom skutočnej a teoretickej rýchlosti. V ronici sú uažoané strat trením i súčet strát miestnch. Celkoý stratoý súčiniteľ l l le c ahrnuje strat trením a šetk strat miestne. d d Jednoduché potrubie je určené pre hdraulický ýpočet štrmi eličinami: dĺžkou potrubia l, priemerom potrubia d, spádom h a rýchlosťou alebo prietokom Q. Súčasne sú náme fikálne lastnosti tekutin, absolútna drsnosť sten potrubia, trecí súčiniteľ a stratoý súčiniteľ šetkých miestnch strát. Jedna eličín l d h alebo Q môže bť určená riešením Bernoulliho ronice, pri čom pre trecí súčiniteľ je hodné oliť pre jednoduchosť eplicitnú ronicu.
8... Tlakoá čiara Pri nárhu potrubia je nutné hľadom k spoľahliej činnosti potrubia dodržať dôležitú podmienku a síce, že os potrubia žd leží pod čiarou tlaku. Pre definoanie čiar tlaku sa predpokladá odoroné potrubie s nádržou. Ak sa odpočíta od hladin nádrži rýchlostná ýška a spojí sa takto niknutý bod s koncom potrubia, dostaneme čiaru tlaku. Pretože pri g potrubí obkle platí h, potom čiaru tlaku je možné jednodušene dostať ako spojnicu g hladin nádrži s koncom potrubia.. Na sa uáda čiara tlaku u potrubia s miestnou stratou, napr. armatúrou situoanou o šeobecnom mieste potrubí. 8... Potrubný sstém Potrubný sstém je buď jednoduchý, torený jedným potrubím alebo ložený, poostáajúci äčšieho počtu potrubí toriacich sieť obsahujúcu ul a et (iď teória elektrických obodo), prípadne droje kapalin. Na obr. je schéma prípadu jednoduchého potrubného sstému. Na obr. je schematický náornený ložený potrubný sstém, kde je možno identifikoať časti roeteného a okružného sstému kombinácii. Okruh nikne prepojením doch ulo pomocí diagonál. Nárh etenej potrubnej siete spočía určení hodných priemero potrubí jednotliých etách a ýpočet tlaku, t. tlakoé čiar sieti. Ak sú priemer potrubí dané, obmedí sa ýpočet na určenie tlakoej čiar s prípadným odporučením men nehoujúcich priemero potrubí. Ak je sieti uaretá slučka (okruh), je nutné použiť niektorú metód pre riešenie okruhoých sieti, ktoré sú aplikáciou Kirchhoffoých ákono (ale na rodiel od elektrické siete je nutné potrubných sieťach pre odu uažoať nelineárnu áislosť medi tlakoou stratou p a prietokom Q). Riešenie takého sstému je matematick ložitejšie, užía sa maticoý prístupu k popisu sstému a počítače pri numerickom spracoaní.
8.. Charakteristika potrubia Pre jednoduché potrubie stáleho priereu, platí Bernoulliho ronica, ktorá poronáa energiu kapalin napr. na počiatku () a konci () potrubného úseku. p p gh gh gh s Pokiaľ sa predpokladá potrubie konštantného priereu (jedná sa o jedno potrubie), potom pri platnosti ronice spojitosti ( ) sa Bernoulliho ronica jednoduší na tar p p gh gh gh s p p gh h c L kde c. Pretože býa kom jadroať charakteristiku potrubia ako d áislosť tlakoého spádu na prietoku Q, potom p p p g p 4 d c h h Q gh k Q gh k Q Q Tlakoá strata je úmerná druhej mocnine prietoku bude jednoducho tlakoá strata úmerná ýrau potrubí, je konštanta 8l k Q d 5 k Q určená ťahom Q Q Q. Pokiaľ b prúdenie menilo smer, potom. Ak je uažoaná len trecia strata Prepočet medi mernou energií, tlakoou stratou a tlakoou ýškou je nasledujúca p Y gh p p kde Y je merná energia, p p p je tlakoý spád a tlakoá ýška H udáa g rodiel tlakoých ýšok na počiatku a na konci potrubia, ktorý je potrebný pre prietok Q. Ak je potrubie odoroné, potom h a áislosť p f Q je kadratická parabola s rcholom počiatku súradníc Q, p. Ak je na ačiatku potrubia spätná klapka, ktorá bráni prietoku opačnom msle, potom charakteristika potrubia tretom kadrante splnie so ápornou osou p. Charakteristika potrubnej et so stúpaním je posunutá o islom smere a to o tlak p gh. Pri tlakoom spáde ápornom sa nastaí prietok opačnom msle, pokiaľ o ete nie je spätná klapka. Q Q
potrubný úsek odoroný potrubný úsek so stúpaním Potrubný úsek so spádom
9. Výtok kapalin nádob, prepad 9.. Výtok malým otorom Uažujeme ýtok kapalin otorom na dne nádob podľa Chba! Nenašiel sa žiaden droj odkao.. Nádoba má konštantný priere S n (alec, hranol) a je naplnená do ýšk h. Na dne je malý ostrohranný otor s priereom S, ktorým kapalina teká do tlaku odušia p. Vo šeobecnom prípade sa uažuje nádrži tlak p, ktorý je od tlaku odušia p odlišný. Pretože polohoá ýška je pre celý otor konštantná, je rýchlosť otore ronomerne roložená. Výtokoá rýchlosť sa tomto prípade počíta Bernoulliho ronice. Pre skutočnú kapalinu platí Bernoulliho ronica písaná pre hladinu nádrži a pre ýtokoý priere tare: p p gh gh s Predpokladáme, že priere ýtokoého otoru S je poronaní a priereom nádrže S n eľmi malý, potom rýchlosť poklesu hladin. Pre stratoú ýšku platí náma ronica h s g Z ronice pre ýtokoú rýchlosť sa ododí ťah p p p p gh gh Pre teoretickú ýtokoú rýchlosť dostaneme p p t gh Pomer skutočnej a teoretickej rýchlosti je rýchlostný súčiniteľ t o Pri ronakom tlaku nádrži a o ýtokoom otore p p je ýtokoá rýchlosť určená ronicou gh Pre je teoretická rýchlosť t gh
čo je Torricelliho ýra. Pri ýtoku nádob neplňuje prúd kapalin spraidla celý ýtokoý otor, lebo prúdnice sa nemôžu náhle akriiť podľa hrán otoro.. Zotračnosťou častíc kapalin je spôsobené úženie alebo kontrakcie lúča. Vjadruje sa súčiniteľom kontrakcie S, odtiaľ S S S Súčiniteľ úženia áisí šeobecne na taru ýtokoého otoru, jeho umiestneniu oči bočným stenám a na Re-čísle. Skutočný ýtok kapalin otorom je Q S S gh So gh kde Q Q t je ýtokoý súčiniteľ, ktorý ronako áisí na taru otoru či nátrubku a Re-čísle.,, f Re pre ostro hranný otor podľa ýsledko meraní je uedený na Záislosť
ýtok pri dne ýtok bočným otorom ýtok otorom na dne nádob μ =,6,6 ostrohranný μ =,6,64 aoblený μ =,7,8 d/d,,,3,4,5 μ,6,6,6,6 3,6 5,6 8 9.. Výtok eľkým otorom bočnej stene Pri relatíne eľkom otore o islej stene je nutné rešpektoať áislosť ýtokoej rýchlosti kapalin na hĺbke uažoaného miesta pod hladinou tlaku odušia. Výtok kapalin nádob sa určí integráciou. Elementom ýtokoého otoru teká elementárn skutočný prietok kapalin dq ds b gh dh ds bdh Výtok romerným otorom je určený šeobecne integrálom Q dq b gh S h h dh Ak má otor obdĺžnikoý priere b = konst, potom ýtok určíme integráciou ronice 3 3 Q b g h h 3 9.3. Výtok ponoreným otorom Kapalina teká otorom do prostredia plneného ronako kapalinou. Ide podstate o prietok otorom medi doma nádobami. Otor je pod oboma hladinami nádržiach, preto je onačoaný ako ponorený. Výtokoá rýchlosť otorom áisí na rodiele hladín nádobách.
K ododeniu ťahu pre ýtokoú rýchlosť sa pomselne otor akrje doskou. Tlak kapalin pôsobiaci na dosku oboch strán je priamo úmerný hĺbke uažoaného miesta do hladin tlaku odušia. Ich priebeh je načený na obráku priamkami. Tlak pôsobia proti sebe, preto ýsledný tlak je daný ich rodielom, ktorý je po celej stene omočenej oboch strán konštantný p gh Po odkrtí otoru ačne kapalina pretekať teoretickou ýtokoou rýchlosťou t gh Tento ýra je formálne totožný s Torricelliho ýraom. Pretože tlakoý rodiel je po celom prieree ponoreného otoru ronaký, je ýtokoá rýchlosť o šetkých miestach ronaká a neáislá na tare otoru S. Pre objemoý prietok preto platí ronica Q S g h 9.4. Výtok pri súčasnom prítoku Z otorenej nádob teká kapalina Qp Q. Výtok pri ľubooľnej ýške h Q V S gh Ak je Q otorom S hladin je určený ťahom a súčasne priteká Qp Q poloha hladin sa nádobe bude meniť. Pokiaľ je Qp Q opačnom prípade p Q p, pričom, hladina stúpa, Q Q hladina klesá. Stúpanie, poprípade klesanie hladin trá tak dlho, až sa dosiahne ronoáha Q Q. Tomuto ustálenému stau odpoedá ýška h k, a platí Q Q S gh VP k p Všetríme menu poloh hladin áislosti na čase t. Predpokladá sa, že ronoážnom stae čase t je hladina o ýške. Skokom sa mení prietok kapalin na hodnotu Q p konst., napr. sa Q p h äčší. V ľubooľnom časoom okamžiku t spôsobí rodiel pritekajúcej a tekajúcej kapalin a elementárn čas dt ýšení dh hladin p nádobe s priereom S n : Sn dh Sn dh dt Qp Q S g hk h Integráciou tejto ronice sa stanoí čas, a ktorý hladina stupne alebo klesne pôodnej hodnot h na hodnotu h.
Vo šeobecnom prípade je potrebné tiež uážiť, že S n f h a Q p f t : 9.5. Vprádňoanie nádob Ak do nádob nepriteká kapalina a teda Q, hladina klesá, až sa nádoba prádni p h. Čas potrebný k prádneniu nádob sa počíta diferenciálnej ronice do ktorej sa dosadí Q alebo h. Potom platí p S dt S n o dh k gh Z otorenej nádob s konštantným priereom níženiu hladin h p ýšk h na h Sn Sn t h dh h S g S g h h S n sa íska integráciou doba t potrebná k Pri úplnom prádnení nádob je konečná ýška hladin roná h a potrebná doba prádnenia nádob sa počíta o orca Sh Sh V t S gh Q Q kde V o je objem nádrže Q S g h o je ýtok na ačiatku prádňoania. Vpočítaná doba úplného prádnenia nádob pri menších ýškach hladin h sa môže líšiť od skutočnej dob prádnenia. To je spôsobené kalitatínmi menami o ýtoku kapalin otorom, lebo pri určitej ýške hladin nad otorom nikne nálekoitý ír. 9.6. Prepad Prepad je ýtok neaplneným otorom alebo otorom s neuaretým obrsom. (Chba! Nenašiel sa žiaden droj odkao.) Najnižšie miesto ýtokoého otoru je korunou prepadu. Výška hornej hladin (pred prepadom) nad korunou prepadu je prepadoá ýška h.
S prepadom sa stretáame na priehradách, kde aisťujú prepúšťanie pri maimálnch prietokoch a udržanie hladin nádrži pod maimálnou úroňou. Prepad majú ýnam ronako pre meranie eľkých prietoko, napr. laboratóriách. Podľa poloh spodnej hladin sa rolišujú prepad dokonalé a nedokonalé. Dokonalý prepad je taký, pri ktorom spodná hladina neoplňuje prietok prepadom. U dokonalého prepadu je spodná hladina pod korunou prepadu. Nedokonalý prepad má oplnený prietok spodnou hladinou, ktorá je ššie než koruna prepadu. Prepadoá stena môže bť pomerne tenká alebo hrubá, poprípade so aoblením. Dokonalý a nedokonalý prepad Prietok dokonalým prepadom s oľným prúdom sa stanoí ako ýtok eľkým otorom stene nádob Q g b h dh S Tato ronica je ronica Dubuatoa pre šeobecný tar prepadu. Súčiniteľ prepadu je obdobný ýtokoému súčiniteľu. Je áislý na prepadoé ýške a lastnostiach prepadu, tn. (Re, geom. tar ). h
Pre obdĺžnikoý prepad so šírkou korun prepadu eľkým otorom stene nádob. Ak sa dosadí b h, je prietok určený orcom pre ýtok a, potom h h Q bh gh 3 Pre prepad s ostrou hranou a pre oľný prúd, ktorý je dobre adušnený (duch má prístup pod prepadajúci prúd), je stredná hodnota súčinitela prepadu, pokiaľ šírka prepadu b je roná šírke celého kanálu. b,65 Pre prepad iných priereo ťah pre prietok je možné nájsť odborné literatúre. Pre meranie prietoku sa eľmi často použía prepad trojuholníkoý.