Πανελλαδικές εξετάσεις 8 Ενδεικτικές απαντήσεις στο μάθμα «Μαθματικά ΟΠ» Θέμα Α A Απόδειξ (Σχολικό βιβλίο σελίδα 99) Α α) ΨΕΥΔΗΣ β) (Αντιπαράδειγμα σχολικό σελ 5), g ( ), > είναι - αλλά δεν είναι γνσίως μονότον Α Θεώρμα ΘΟΛ (Σχολικό βιβλίο σελίδα 6) Α α) ΛΑΘΟΣ β) ΛΑΘΟΣ γ) ΣΩΣΤΟ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ Θέμα Β Β Η συνάρτσ ( ) είναι συνεχής και παραγωγίσιμ για κάθε (,) (, ) ως ρτή 8 ( ) 8 8 8 ( ) 8
- - + - + + + + + ( ) + - + 8 ( ) 8,, συνεχής για,, άρα Η συνάρτσ είναι γνσίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, ] και (, ) 8 ( ) 8,, συνεχής για Η συνάρτσ Άρα άρα είναι γνσίως φθίνουσα στο διάστμα παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στ θέσ O πίνακας μονοτονίας-ακροτάτων δίνεται παρακάτω:, ( ) με τιμή ( ) - + - ( ) 9 9 TM B 5 5 8 8 8 8 ( ) 6 6 για καθένα από τα διαστήματα (,) και (, )
( ) ( ) - - Επομένως είναι κοίλ σε καθένα από τα διαστήματα (,) και (, ) και δεν υπάρχουν σμεία καμπής B (κατακόρυφες ασύμπτωτες) lim ( ) lim lim lim lim ( ) lim lim lim Επομένως έχει κατακόρυφ ασύμπτωτ τν ευθεία (πλάγιες ή οριζόντιες ασύμπτωτες: y ) Για ( ) lim lim lim lim ( ) lim lim Επομένως έχει ως πλάγια ασύμπτωτ τν ευθεία y άρα άρα καθώς Για ( ) lim lim lim lim ( ) lim lim Επομένως έχει ως πλάγια ασύμπτωτ τν ευθεία y άρα άρα καθώς
B O πίνακας μονοτονίας και κυρτόττας είναι ο παρακάτω: ( ) ( ) ( ) 9 9 6 8 6 TM H C τέμνει τον για y ( ) H C δεν τέμνει τον yy αφού Aπό τα παραπάνω γραφική παράστασ είναι εξής:
Θέμα Γ Γ Έστω l Τότε: l περίμετρος του τετραγώνου πλευράς και και l 8, με και 8 8 To τετράγωνο έχει πλευρά l το μήκος του κύκλου ακτίνας,8 Άρα επομένως το εμβαδόν του είναι O κύκλος έχει μήκος 8 8 ( ) ( ) 6 l 8 8, επομένως το εμβαδόν του είναι Άρα το συνολικό εμβαδόν είναι: 8 8 8 ( ) ( ) ( ) 6 6 6 6 56 6 6 6 56,,8 6 6 6 Γ Η συνάρτσ ( ) είναι συνεχής και παραγωγίσιμ στο διάστμα,8 ως πολυωνυμική ( ) 6 56 6,,8 6 6 ( ) 6 6 6 ( ) 6 6 και ( ),8 ( ) - + 8 ( ) 9 ΟΕ Άρα ( ) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 5
οπότε 8 () 8 8 8 8 () ( ) Άρα από () και () έχουμε Γ Αναζτούμε μοναδική λύσ για τν εξίσωσ ( ) 5 και επομένως θα βρούμε το σύνολο τιμών τς ( ) Η ( ) είναι γνσίως φθίνουσα και συνεχής στο 6 6 ( ), lim ( ),, 6 56 6 6 Επομένως: 6 56 6 56 56 6 lim ( ) lim 6 6 6 6 6 Είναι: 5 6 5, που ισχύει 5 6 5 6 5 5 Επομένως αφού ( ) : που ισχύει Είναι συνεχής στο 5 ( ), Θα υπάρχει τουλάχιστον γνσίως μονότον στο,, άρα και - τέτοιο ώστε 5, όμως το μοναδικό αφού ( ) είναι 6
Η ( ) είναι γνσίως αύξουσα και συνεχής στο 6 ( ) lim ( ), lim ( ), 8 [ lim ( ) διότι ( ),8, είναι συνεχής στο (,8) Επομένως: 6 56 6 68 56 lim ( ) lim 8 8 6 6 Επειδή το 6 5, εξίσωσ Κατά συνέπεια βρήκαμε μοναδική λύσ τς εξίσωσς 5 είναι αδύνατ στο διάστμα 5 ] στο (,8),8 Θέμα Δ Δ Η e R a a (),, είναι συνεχής στο R ως άθροισμα συνεχών Η Η είναι παραγωγίσιμ στο R με ( ) ( a a e ) e a a a είναι παραγωγίσιμ στο R με ( ) (e ) e (e ) () a a a (e ) e e e a e a a a () (e ) e e e a a () a () - + () α ΣΚ Άρα για κάθε τιμή του a γραφική παράστασ τς συνάρτσς a, με, το a, a ( a) e a a έχει ακριβώς ένα σμείο καμπής στο 7
Δ, a Αφού () στο διάστμα Αφού () στο διάστμα,, a () είναι γνσίως φθίνουσα στο () είναι γνσίως αύξουσα στο [, ) () () α - + 9 Στο,a () ( ) ( ), lim () [, ) είναι γνσίως φθίνουσα και συνεχής άρα a a u [ lim () lim (e ) ( ), διότι lim e lim e ] Στο a, () είναι γνσίως αύξουσα και συνεχής άρα u lim ( ), lim () ( a ), lim () (, ) διότι lim ( ) ( a) αφού συνεχής στο a a a a e e e t lim () lim ( ) ( ) αφού lim lim lim e DHL t Θέλουμε να δείξουμε ότι εξίσωσ ( ) έχει ακριβώς ρίζες Ισχύει a, και γνσίως φθίνουσα στο Άρα υπάρχει μοναδικό a ώστε a,, και γνσίως αύξουσα στο Άρα υπάρχει μοναδικό a ώστε, Oπότε εξίσωσ ( ) έχει ακριβώς ρίζες, με a ( ) ( ) Για a ( ) ( ) Για a ( ) ( ) Για 8
( ) ( ) Για α ( ) + - + ( ) 9 9 ΤΜ, Στα διαστήματα, στο διάστμα και ΤΕ, είναι γνσίως φθίνουσα είναι γνσίως αύξουσα στ θέσ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο, ενώ στ θέσ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο Δ ( ) a () (e ) Στο διάστμα, a είναι γνσίως φθίνουσα () ( ) Άρα: a Αφού Στο διάστμα Oπότε, γνσίως φθίνουσα άρα - ( ) () μοναδική λύσ, άρα εξίσωσ ( ) () Αλλά, είναι αδύνατ στο διάστμα 9
Δ Για ( ) e ( ) e () () H εφαπτομέν τς C στο σμείο, () δίνεται από τν εξίσωσ: y () ()( ) y ( ) y, Επειδή είναι κυρτή στο ( ) ( ) θα ισχύει (Η ισόττα ισχύει μόνο για Άρα ( ) d d () Θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα: Αν θέσουμε u u u ) d, οπότε d Για u και για u Eπομένως d u u udu u u du u u du 5 u u 5 5 5 5 Eπομένως από () ( ) d 5 udu