ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός, όπου,. Ο πραγματικός αριθμός α λέγεται πραγματικό μέρος του και συμβολίζεται με Re, δηλ. Re=α Ο πραγματικός αριθμός β λέγεται φανταστικό μέρος του και συμβολίζεται με Im, δηλ. Im=β Να γράψετε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος των παρακάτω μιγαδικών αριθμών 7 5 6 Απάντηση : Re 7 και Im Re 5 και Im Re και Im Re 6 και Im Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός : με. Να βρείτε την τιμή του αν ισχύει : Re Im. Απάντηση : Re και Im άρα Re Im ή. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ και και Άσκηση α σελ. 9 σχολικό βιβλίο A ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y για τους οποίους ισχύει : x y x y. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr Σελίδα
x y x y x y προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει x x x y και αντικαθιστώντας στη η έχω : y y. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ή I Έστω =α+β ή Re Im μιγαδικός αριθμός. Αν με Ι συμβολίζουμε το σύνολο των φανταστικών αριθμών, δηλαδή των αριθμών της μορφής λ, με λ, τότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις ή Im ή I Re Άσκηση σελ. 9 σχολικό βιβλίο A ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε τις τιμές του, ώστε ο αριθμός να είναι :. Πραγματικός αριθμός. Φανταστικός αριθμός.. Πρώτα θα φέρουμε το μιγαδικό στη μορφή =α+β δηλ. θα εκτελέσουμε τις πράξεις : 6 6 6 Im 6 6. I Re ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ & ΔΙΑΤΑΞΗ Γνωρίζουμε ότι η διάταξη και οι ιδιότητες της δεν ισχύουν στο σύνολο των μιγαδικών. Έτσι όταν έχουμε ανίσωση της μορφής ή, τότε ισχύει ότι. Πιο συγκεκριμένα αν Re Im : Im και Re, Im και Re Αν, w τότε σχέσεις της μορφής : w ή w δεν έχουν νόημα. 5 Αν 6 με, να βρείτε το λ ώστε να ισχύει. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr Σελίδα
Im και Re, Im ή Re 6 6. Οι σχέσεις και πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα άρα. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΑΡΙΘΜΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Διανυσματική ακτίνα ενός μιγαδικού αριθμού λέγεται το διάνυσμα έχει αρχή το Ο, και τέλος την εικόνα Μα,β του. Ισχύει, που 6 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί και w 5. Να αποδείξετε ότι οι διανυσματικές τους ακτίνες είναι κάθετες. Θυμήσου Το εσωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων x, y και x, y είναι xx y y. Επίσης : xx y y Έστω Α και Bw οι εικόνες των μιγαδικών,w αντίστοιχα. Τότε οι διανυσματικές τους ακτίνες θα είναι :, και 5,. Για να είναι, αρκεί να δείξω ότι. Έχω ότι : 5. Άρα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr Σελίδα
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ Αν και w 6Α ΠΡΟΣΘΕΣΗ w 6Β ΑΦΑΙΡΕΣΗ w 6ΓΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ w Ειδικότερα. Ο αριθμός συμβολίζεται με. Δηλαδή. λέγεται συζυγής του και 6Δ ΔΙΑΙΡΕΣΗ για να εκφράσουμε το πηλίκο όπου, στη μορφή, πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παρανομαστή και έχουμε:... 7 Άσκηση 5 σελ. 95 σχολικό βιβλίο A ΟΜΑΔΑΣ Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις και να γράψετε το αποτέλεσμα στη μορφή α+β, όπου α,β α 6 7 β 6 γ 8 7 5 δ 5 ε 6 στ ζ α 6 7 6 7 7 6 β 6 6 6 πράξεις : αριθμούς με αριθμούς και τα με τα γ 8 7 5 8 7 5 δ 5 5 8 5 8 ε 6 8 8 8 στο τέλος φέρνω πάντα το μιγαδικό στη μορφή α+β στ 6 9 5 δες. 6Γ στο «ειδικότερα» ζ 6 6 7 8 Άσκηση 6 σελ. 95 σχολικό βιβλίο A ΟΜΑΔΑΣ Να γραφούν στη μορφή α+β, όπου α,β, οι μιγαδικοί αριθμοί : α ε α 6 5 5 5 5 ε 5 5 5 στο τέλος φέρνω πάντα το μιγαδικό στη μορφή α+β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr Σελίδα
6Ε ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ,,,, 9 Άσκηση 8 σελ. 95 σχολικό βιβλίο A ΟΜΑΔΑΣ α Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : 6 6 6 6 6 56 6 9 6ΣΤ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ Οι βασικές ταυτότητες είναι : Να γραφούν στη μορφή α+β, όπου α,β, οι μιγαδικοί αριθμοί :.. Άσκηση σελ. 96 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ. 9 9 5. Άσκηση 7 σελ. 96 σχολικό βιβλίο B ΟΜΑΔΑΣ Να αποδείξετε ότι ος τρόπος 5 5 5 5 5 5 5 5 Ο ος τρόπος λύσης ακολουθεί στην παρακάτω μεθοδολογία ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr Σελίδα 5
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr Σελίδα 6 Άσκηση 7 σελ. 96 σχολικό βιβλίο B ΟΜΑΔΑΣ Να αποδείξετε ότι ος τρόπος ] [ Άσκηση σελ. 96 σχολικό βιβλίο B ΟΜΑΔΑΣ Πόσες διαφορετικές τιμές μπορεί να πάρει η παράσταση ; Αν ν=κ+ τότε : Αν ν=κ+ τότε : Αν ν=κ+ τότε : Αν ν=κ+ τότε : 6Ζ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Αν σε άσκηση εμφανίζονται δυο μιγαδικοί της μορφής : και με,, τότε γράφουμε επειδή τότε 6Η ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Όταν σε μια δύναμη του ο έκθετης είναι Z, τότε διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις : ν=κ+, ν=κ+, ν=κ+, ν=κ+ όπου Z.
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 7Α ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Δυο μιγαδικοί αριθμοί και w είναι συζυγείς, αν και μόνο αν έχουν ίδια πραγματικά μέρη και αντίθετα φανταστικά. Δηλ. Re Re w w Im Im w Να βρεθούν οι τιμές των, ώστε οι μιγαδικοί w να είναι συζυγείς. Έχω και w. Είναι Re Re w 6 w Im Im w 6 6 η λογω της γίνεται : 6 6 6 6 6 8 6 ή. Για 6 από 8. Για από. και 7Β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Τα Re και Im ως συνάρτηση των και Έστω ο μιγαδικός, όπου,. Τότε ισχύουν οι σχέσεις : a Re Im Δηλ. Re, Im 5 Για κάθε, wc με w να δείξετε ότι : Re Im. w w w Re w w w w Im w w w w ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr Σελίδα 7
w w w w w που ισχύει. w w 7Γ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Κριτήρια ή Ισχύουν οι ισοδυναμίες : I Τις παραπάνω σχέσεις για να τις χρησιμοποιήσω πρέπει να τις αποδεικνύω ως εξής : Im και I Re ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Για να αποδείξω ότι ένας μιγαδικός w ή w ξεκινώ από το w, κάνω αντικατάσταση στη σχέση, εφαρμόζω τις ιδιότητες του συζύγους και με διαδοχικές ισότητες καταλήγω σε w ή w. Δηλ. w... w άρα w ή w... w άρα w I 6 Αν, wc, να αποδειχθεί ότι ο αριθμός u w w είναι φανταστικός. Έχω u w w w w u άρα u u u I. 7 Αν, wc, να αποδείξετε ότι ο αριθμός w είναι πραγματικός. Έχω w w άρα w w w. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Αν μου δίνεται δεδομένο από την άσκηση ότι w ή w και μου ζητείται να αποδείξω κάτι άλλο τότε ξεκινώ με w w, αν w και με διαδοχικές συνεπαγωγές καταλήγω στο ζητούμενο. αντίστοιχα, w w αν w I. Δηλ. w w w... ζητούμενο ή w I w w... ζητούμενο. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr Σελίδα 8
8 Άσκηση σελ. σχολικό βιβλίο B ΟΜΑΔΑΣ Έστω ο μιγαδικός με a, όπου * a a. Να αποδείξετε ότι : ο w I a μόνο αν ο είναι φανταστικός. a a w I w w a a a a a a, αν και a a a a a a a a a a a a I a ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 8Α ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής με,, και βρίσκουμε τη διακρίνουσα και αν : Δ> Δ= Δ< Η εξίσωση έχει Η εξίσωση έχει μια διπλή Η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες : συζυγείς μιγαδικές ρίζες : ρίζα :,, Τύποι του Veta : Αν, είναι ρίζες της εξίσωσης ισχύουν : 9 Να λυθούν στο μιγαδικό σύνολο οι παρακάτω εξισώσεις :. 6. 5... 6, 6 5 6,, 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr Σελίδα 9
.. 5 5 5 5 5 5 ή ή, ή ή. ή Άσκηση σελ. 96 σχολικό βιβλίο A ΟΜΑΔΑΣ Αν μια ρίζα της εξίσωσης x x, όπου,, είναι, να βρείτε τις τιμές β και γ. Έστω x τότε x οι ρίζες είναι συζυγείς μιγαδικοί. Από τύπους Veta έχω : x x 6 και x x 9 6. Δίνεται η εξίσωση, όπου C με.. Να βρείτε τις ρίζες, της εξίσωσης.. Να αποδείξετε ότι :. ο ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ. 8,,. 5 5 5 5 5 5 6 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr Σελίδα
8Β ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ, Ή ΟΡΟ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Για να λύσουμε εξισώσεις που περιέχουν, ή ορό της μορφής, θέτουμε x y, κάνουμε τις πράξεις και καταλήγουμε σε ισότητα μιγαδικών, από την οποία προκύπτει σύστημα με αγνώστους x, y το οποίο και λύνουμε. Να λυθούν στο μιγαδικό σύνολο οι παρακάτω εξισώσεις :. 6. x y. 6 x y 6 x y x xy y 6x 6y. x y 6x x y 6x xy 6y xy 6y : xy 6y y x y ή x 6 Για y η γίνεται : x 6x x, άρα οι ρίζες της εξισώσεις είναι οι μιγαδικοί :, Για x η γίνεται : 9 y 8 y 5 y 5 άρα οι ρίζες της εξισώσεις είναι οι μιγαδικοί : 5, 5 x y x y x y x xy y x xy y x y x y x y x y y y : y y x y x y Για y η γίνεται : x 8 x 8 x 9 x άρα οι ρίζες της εξισώσεις είναι οι μιγαδικοί :, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr Σελίδα
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9 : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ 9Α ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΟΥ ΙΚΑΝΟΠΟΕΙ ΜΙΑ ΣΧΕΣΗ Ή ΙΣΟΤΗΤΑ Όταν μας δίνεται μια σχέση για ένα μιγαδικό και ζητείται να βρούμε το γεωμετρικό τόπο στον οποίο ανήκει η εικόνα του τότε θέτουμε =x+y και καταλήγουμε σε εξίσωση γραμμής ευθεία, κύκλος, παραβολή, έλλειψη, υπερβολή Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει : x y x y x y x y x y [ x y x y] x y 8x x y x y x y 8x y x y 8x 6y x y 8x 6y άρα οι εικόνες του μιγαδικού ανήκουν σε κύκλο με κέντρο 6 6,, και ακτίνα 5. Θυμήσου Κύκλος είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Οχψ τα οποία απέχουν σταθερή απόσταση ρ, ακτίνα του κύκλου, από ένα σταθερό σημείο Κ, κέντρο του κύκλου. Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του x, y και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει εξίσωση: x + y =ρ τότε έχει κέντρο: Κ, και ακτίνα ρ και αντίστροφα. Αν ο κύκλος έχει εξίσωση: x x + y y =ρ τότε έχει κέντρο: Κx, y και ακτίνα ρ και αντίστροφα. Αν όμως έχει τη γενική μορφή: x + y + Ax + By + Γ=, τότε έχει κέντρο: Α Β Α +Β - Γ Κ -,- και ακτίνα ρ= με Α + Β Γ >. Άσκηση 9 σελ. 97 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει :. Re 5Re. Im Im. Θέτω x y και πρέπει x y x και y δεν θέλω να είναι ταυτόχρονα και τα μηδέν άρα απορρίπτεται το σημείο Ο, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr Σελίδα
Για να βρω το Re πρέπει να χωρίσω τον μιγαδικό σε πραγματικό και x y x y φανταστικό μέρος. Έχω : x y x y x y x y x y x y x y x y x x x y...... y y x y...... Re Im Άρα : Re x x 5Re x 5x x x x y x y x y x ή x y. Άρα ο γεωμετρικός τόπος του x y x y μιγαδικού είναι η ευθεία ε : x ο άξονας y y με εξαίρεση το σημείο Ο, καθώς και ο κύκλος C : x y με κέντρο Ο, και ακτίνα. Im y y Im y y y y x y x y x y y ή x y. Άρα ο γεωμετρικός τόπος του x y x y μιγαδικού είναι η ευθεία ε : y ο άξονας x x με εξαίρεση το σημείο Ο, καθώς και ο κύκλος C : x y με κέντρο Ο, και ακτίνα.. 9B ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ w=f ΓΙΑ ΤΟΝ ΟΠΟΙΟ ΙΣΧΥΕΙ w Ή w I Έστω ο μιγαδικός αριθμός w=f. Αν θέλουμε το γεωμετρικό τόπο του Μ ώστε _ w ή w I, απαιτούμε αντίστοιχα : w w ή w w. Μπορούμε ωστόσο αν οι πράξεις είναι απλές να γράψουμε τον w στη μορφή α+β όποτε παίρνουμε : w ή w. Η επεξεργασία των παραπάνω ισοτήτων μας οδηγεί στον ζητούμενο γεωμετρικό τόπο. _ 5 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών όταν : w I Απ. Κύκλος Κ,- και εκτός του σημείου Α,- x y Πρέπει x y x y x και y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr Σελίδα
w I w w x y 6 x y x y x y x y 6 x y x y x y 6 x y y 6 x y y άρα οι εικόνες του μιγαδικού ανήκουν σε κύκλο με κέντρο,, και ακτίνα εκτός του σημείου Α,- λογω περιορισμού. 9Γ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΣΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Αν στο Re ή στο Im υπάρχει παράμετρος π.χ λ τότε θέτω =x+y, μετά x Re και από τις σχέσεις που προκύπτουν προσπαθούμε να απαλείψουμε την y Im παράμετρο λ. 6 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς =λ++λ, λr. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, για τις διάφορες τιμές του λr ο ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 9 x x έστω x y τότε y y x y Άρα από και ισχύει x y x y άρα η ζητούμενη ευθεία είναι η : x y. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr Σελίδα