Základy technických vied 1

Fakulta bezpečnostného inžinierstva Žilinskej univerzity v Žiline Katedra technických vied a informatiky Základy technických vied 1 Zhrnutie: ZÁKLADY MECHANIKY PODDAJNÝCH TELIES

Téma 6: ÚVOD DO MECHANIKY PODDAJNÝCH TELIES - základné pojmy a úlohy PaP, zaťaženie pretvorenie napätosť, metóda mysleného rezu, hlavné druhy namáhania

Vonkajšie zaťaženie Napätosť vs. únosnosť prvku Pretvorenie (deformácia) Mechanické napätie Vnútorné sily a ich intenzita Základná úloha náuky o PaP: Analýza a kvantifikácia vnútorných silových účinkov a pretvorenia (deformácie) telies, vznikajúcich pôsobením vonkajších síl na poddajné telesá a definovanie zásadných súvislostí medzi nimi.

Dva základné typy pevnostných výpočtov v PaP: 1. Priame posudzovanie výpočet napätí a deformácie, ktoré vzniknú v posudzovanej konštrukcii vplyvom pôsobenia vonkajších zaťažení alebo vplyvom teplotných zmien. 2. Nepriame dimenzovanie určenie rozmerov prierezu prvkov tak, aby napätia (tzv. pevnostné dimenzovanie) alebo pretvorenie (tzv. tuhostné dimenzovanie) boli menšie, max. rovné dovoleným (DOV), resp. návrhovým (TAB) hodnotám. Deformácia a jemierou pretvorenia telesa. Deformácia je vzájomná zmena polohy hmotných bodov telesa. Vo všeobecnosti je sprevádzaná zmenou rozmerov, tvaru, ale aj objemu poddajného telesa. Takáto zmena môže mať charakter deformácie: dočasný (elastická, pružná) alebo trvalý (plastická deformácia).

Mechanické napätie vyjadruje intenzitu pôsobenia vnútorných síl v objeme telesa Mechanické napätie je mierou pevnosti konštrukcie. ROZPOR: v oblasti bezpečnosti konštrukcií rozhodujúca požiadavka = spoľahlivosť - zabezpečenie spoľahlivej a bezpečnej funkcie každého prvku konštrukcie. doplnková požiadavka = hospodárnosť - aby bola konštrukcia aj ekonomicky optimálna (spotreba materiálu). Oba požiadavky - spoľahlivosť a hospodárnosť - si však vzájomne odporujú. Spoľahlivosť vedie k väčším rozmerom a kvantite použitého materiálu a tým zvýšeniu výdavkov na konštrukciu, Hospodárnosť prináša menšie rozmery prvkov = znižovanie nákladov na ich zhotovenie, avšak istú mieru rizika zlyhania. Podklady pre správne optimálne vyriešenie tohto rozporu ponúka náuka o PaP.

Základné pojmy: Pevnosť - schopnosť pevných telies odolávať pôsobeniu zaťažujúcich síl, tzn. preniesť určité zaťaženie bez porušenia integrity telesa. Pružnosť - schopnosť pevných telies, vytvorených z konkrétneho materiálu, nadobúdať po prerušení vonkajšieho zaťaženia svoj pôvodný tvar a rozmery. Tuhosť - miera odporu pevných telies deformovať sa (zmeniť tvar a rozmery) v dôsledku vonkajšieho zaťaženia. Stabilita - schopnosť pevných telies aj po ich zaťažení zachovať počiatočný stav tzv. pružnej rovnováhy silových účinkov na teleso pôsobiacich.

Vonkajšie sily: sú všetky mechanické účinky prenášané na teleso z prostredia ktoré ho obklopuje. Sú vyjadrením vzájomného mechanického pôsobenia medzi hmotnými objektmi. Vnútorné sily: sú vyjadrením vnútorných silových pomerov v telese, tzn. miery toho, ako na seba navzájom pôsobia dve susediace časti (oblasti, objemy telesa) konštrukcie. Metóda mysleného rezu: kvantifikácia miery účinku vonkajších síl na deformovaný prvok. K tomu je nutné určiť odozvu PDT na zaťaženie = určiť veľkosť vnútorných silových účinkov vo vnútri prvku. Využívame princíp mysleného rezu. Výslednica P vnútorných síl môže mať v každom bode telesa inú veľkosť a zmysel. V PaP sa preto vyjadruje pomocou inej veličiny tzv. mechanického napätia p. To je definované ako pomer medzi veľkosťou vnútornej sily P a plochou A, na ktorej sila pôsobí. Platí: p = P / A. Napätie vyjadruje mieru pôsobenia vnútorných síl v telese.

Mechanické napätie a druhy napätia F 2 F 1 AČasť I AS?T?N?P Napätia označujeme písmenami p, σ, : p tzv. všeobecné napätie; je ľubovoľne sklonené vzhľadom k rovine rezu Φ o uhol, σ tzv. normálové napätie; je kolmé na rovinu rezu Φ -tzv. šmykové napätie; leží v rovine rezu. F 2 Iné napätie, ako normálové (ťahové, tlakové) alebo šmykové (tangenciálne) neexistuje a v PaP sa využíva iba a. F 1 Časť A I SA??? p

p lim A0 lim A0 lim A0 P dp A da N dn A da T dt A da N P.cos = = A A =p.cos T P.sin = = A A =p.sin p 2 2 Základná merná jednotka napätia je 1 Pascal (Pa). -2 [1 Pa] = [1 N.m ] -2 [1 MPa] = [1 N.mm ]

Všeobecný prípad namáhania - napätia, budú rovnako ako vnútorné sily, v každom bode mysleného rezu rôzne. Na každú elementárnu plôšku A môže teda pôsobiť rôzne veľká elementárna vnútorná sila P, ktorá vyvoláva v každom bode prierezu aj inú veľkosť napätia. Δ A y Δ T XY y B Δ N x B Δ N X xy p x x x Δ P Δ T a) b) z Δ T XZ N dn T dt T dt lim ; lim ; lim x x xy xy xz xz x xy xz A0 A A 0 A 0 x da x Ax da x Ax dax Indexy napätí: prvý index x znamená, že ide o plochu kolmú na os x; druhý index označuje smer napätia, napr. xz označuje šmykové napätie v rovine kolmej na os x, ktoré má smer osi z. Δ A X z xz

Ak teleso rozdelíme rovinou kolmou na os y, v bode B dostaneme napätia σ y, yx a yz (Obr. b). Analogicky: pri rovine rezu kolmej na os z, v tom istom bode B dostaneme normálové napätie z a šmykové napätia zx a zy. Stále sa však jedná o napätia v tom istom bode (bod B) telesa, ale sú uvažované v rôznych rezových rovinách. τ xy σ y τ zy B σ x da y yx da z B B τ zx τ xz a) da x τ yz σ z b) c) PLATÍ: ak poznáme napätia v 3 navzájom kolmých rovinách, preložených bodom telesa, vieme určiť aj napätia v ľubovoľnej rovine, preloženej týmto bodom. Napätia v troch navzájom kolmých rovinách úplne definujú napätosť v bode telesa.

Základné druhy namáhania Jednotlivé zložky vektora výslednice P predstavujú: P x = N normálová (osová) sila, P y = Q y, P z = Q z posúvajúca (priečna) sila, M x krútiaci moment, M y, M z ohybový moment. P y F 1 M y P Namáhanie telies v PP: Jednoduché (čisté, prosté) Časť A I M P x =N Kombinované (zložené) F 2 P z M z M x A S Obr.6.5 Obr. 1.5b b

Rozlišujeme štyri jednoduché (čisté) druhy namáhania a to : ťah / tlak, šmyk, krútenie a ohyb.

Charakteristiky pretvorenia telies vplyvom zaťaženia alebo zmenou teploty 1. Predĺženie / skrátenie: Pomerné predĺženie: dx dx l l [-] alebo absolútne predĺženie: [m] l l l 2. Uhlové pretvorenie: Pomerné skosenie, skos: [-] alebo absolútne skosenie: [m] 1 v dy v tg. dy

3. Pomerná priečna deformácia: Priečne zúženie, rozšírenie dy, dz y z dy dz x y m x / y / y - Poissonova konštanta - Poissonovo číslo. 4. Dĺžková rozťažnosť pri zmene teploty: l. t. l t m me E x t [m] z [-] t t. t t t t [-] [1/ o C = o C -1 ].

4. Napätie pri zmene teploty a nemožnosti dilatácie telesa E t t t.. te. [MPa]

Základný vzťah napätie deformácia, Hookeov zákon Softvér pri skúške Zariadenie pre skúšku jednoosovým ťahom Trhací stroj

A BOD U - medza úmernosti (σ U, príp. R U ): BOD P - medza pružnosti (σ P, príp. R P ): BOD K - medza klzu horná K a dolná K (σ K, príp. R K ): BOD M - medza pevnosti (σ M, príp. R M ): Hookeov zákon: vyjadruje lineárnu závislosť medzi napätím a deformáciou, ktorá je platná až po medzu úmernosti σ U. tg const( E)

HOOKEOV ZÁKON PRE ŤAH / TLAK: Pomer napätia a jemu prislúchajúceho pomerného predĺženia je až po medzu úmernosti konkrétneho materiálu vždy konštantný. Pomerovou konštantou je tzv. Youngov modul pružnosti v ťahu (E). Pre určenie napätia (platí však iba po medzu úmernosti σ U ) prislúchajúceho zadanej deformácii platí. E hlavný zákon tzv. lineárnej PaP = Hookeov zákon pre čistý ťah / tlak.

Materiálové konštanty E, G, 1. Modul pružnosti v ťahu [MPa] charakterizuje mieru odporu materiálu proti deformácii pri namáhaní ťahom / tlakom tzn. pružnosť materiálu a závisí iba od druhu materiálu (húževnatý krehký) 1. materiálová konštanta neexistujú dva rôzne materiály, ktoré by mali rovnaký modul pružnosti E! 2. Poissonovo číslo [-] Pomer relatívneho predĺženia tyče x k jej relatívnemu priečnemu skráteniu (zúženiu) y, príp. z pri jej naťahovaní vyjadruje súčiniteľ Poissonova konštanta m. x m y

V praxi využívame jej prevrátenú hodnotu Poissonovo číslo μ 1 y (0 < < 0,5) m Poissonovo číslo = 2. materiálová konštanta tzn. neexistujú dva rôzne materiály, ktoré by mali rovnakú hodnotu. Závisí iba na mechanických vlastnostiach materiálu. 3. Modul pružnosti v šmyku [MPa] závislosť medzi šmykovým napätím a uhlovým pretvorením (skosom) je až po bod U tiež lineárna. tzn. až po medzu úmernosti U platí tzv. Hookeov zákon pre čistý šmyk v tvare G. x

Veličina G je ďalšia materiálová konštanta, tzv. modul pružnosti v šmyku. G [MPa] Platí: ak sú moduly pružnosti E, resp. G určitého materiálu vo všetkých smeroch rovnaké (napr. oceľ, sklo a iné), je materiál tzv. izotropný. Inak je látka anizotropná (napr. drevo). Pre izotropné materiály je možné pomocou Poissonovho čísla definovať súvis medzi modulom pružnosti v ťahu E a modulom pružnosti v šmyku G v tvare G E 2(1 ) Pre popis pružných vlastností izotropného materiálu stačí teda poznať iba dve z veličín E, G alebo, tretiu potom jednoznačne možno určiť z tejto rovnice.

Miera bezpečnosti a dovolené namáhanie Ak je známa medza klzu (σ K ) alebo medza pevnosti (σ P ) konštrukčného materiálu, je pre každú technickú úlohu možné určiť takú veľkosť napätia, ktoré môžeme pokladať pre daný prvok z daného konštrukčného materiálu za bezpečné. Takéto max. prípustné napätie = dovolené namáhanie DOV. Ak chceme pripustiť len pružné (vratné) deformácie, dovolené namáhanie musí byť nižšie ako je medza úmernosti σ U použitého konštrukčného materiálu. Zisťovanie medze úmernosti σ U je pri skúškach dosť náročné. Preto pri určovaní hodnoty dovoleného namáhania obvykle uvažujeme medzu klzu (σ K ) alebo medzu pevnosti (σ P ) daného materiálu vydelenú zvolenou hodnotou tzv. koeficientu bezpečnosti k. K P resp. DOV k k DOV k p

Rovnako volíme aj dovolené namáhanie v šmyku: resp. K P DOV DOV b k b p kde k k, resp. k p sú tzv. miery (koeficienty) bezpečnosti, určené vzhľadom na medzu klzu σ K, resp. medzu pevnosti σ P. Vzájomný vzťah medzi σ dov a dov je určený tzv. hypotézami pevnosti. Ak má prvok konštrukcie plniť svoju funkciu s požadovanou mierou bezpečnosti, musí byť splnená základná bezpečnostná podmienka, v tvare, resp. max DOV max DOV kde σ max a max sú maximálne hodnoty predpokladaného (výpočtového) napätia, určeného pri analýze navrhovanej alebo posudzovanej konštrukcie.

Téma 8: PRETVORENIE, NAPÄTIE, NAPÄTOSŤ A ICH VZÁJOMNÉ SÚVISLOSTI

Napätie = výsledok vzájomného pôsobenia častíc telesa, vyvolaného ich premiestnením počas deformácie. Vonkajšie zaťaženie Napätosť = súhrn všetkých napätí Premiestnenie Deformácia Napätie = vnútorná sila / plocha prierezu Doplnkové vnútorné sily a ich intenzita Napätosť je vnútorný mechanický stav telesa spôsobený napätím. Napätosť vzniká v dôsledku pôsobenia vonkajších silových účinkov na vyšetrované teleso.

Napätosť v konkrétnom bode telesa predstavuje súhrn všetkých napätí určených prostredníctvom všetkých rovín, ktoré je možné zvoleným bodom telesa preložiť. Napätosť v ľubovoľnom bode telesa je jednoznačne určená prostredníctvom napätí, pôsobiacich na 3, navzájom kolmých, rovinách preložených týmto bodom. y xz xy p x x x Ak rozklad vykonáme pre tri navzájom kolmé roviny (obvykle roviny tzv. elementárneho hranola), dostaneme celkom 9 zložiek napätí, z ktorých: z 3 zložky sú normálové ( x, y, z ) a Obr.3.2 6 zložiek je šmykových ( xy, yx, xz, zx, yz, zy ).

Normálová zložka () má smer rovnobežný s normálou k rovine (tzn. x je normálové napätie, pôsobiace kolmo na rovinu yz, ktorej normálou je os x). Šmyková zložka () pôsobí v príslušnej rovine elementu. Pre jej jednoznačnosť sú nutné 2 indexy. Prvý = smer normály k rovine, v ktorej zložka leží, druhý = smer, v ktorom napätie pôsobí. Napätosť v ľubovoľnom bode telesa je teda jednoznačne určená deviatimi zložkami, ktoré usporiadané do štvorcovej tabuľky nazývame tenzor napätia T xx xy xz T yx yy yz zx zy zz

Ak sú šmykové napätia v stenách elementu rovné nule, potom platí: p=σ, =0 V takýchto prípadoch sa napr. všeobecné napätie p x stotožňuje s normálovou zložkou napätia x a platí: x = 1, ak =0,. Takéto (na stenu elementu kolmo pôsobiace) napätia nazývame hlavné napätia. Obvykle sa označujú σ 1, σ 2, σ 3 a platí σ 1 > σ 2 > σ 3.

Druhy napätosti Vo všeobecnosti, normálové napätia vznikajúce v plochách pravouhlého elementu môžu byť: kladné (ak sú orientované smerom von z elementu), záporné (orientované smerom do elementu) alebo nulové. Podľa usporiadania a veľkosti vznikajúcich napätí rozlišujeme druhy napätosti telies: priamkovú (jednoosovú), rovinnú (dvojosovú) alebo priestorovú (trojosovú) napätosť.

τ yx τ yx

1. Priamková (jednoosová) napätosť F S 1 1. cos 1 2 sin. cos

2. Rovinná (dvojosová) napätosť Rovinná napätosť v bode telesa je vo všeobecnom prípade jednoznačne určená 2 normálovými a 1 šmykovou zložkou. x y x y.cos2 z.sin2 2 2 x y.sin2 z.cos2 2 xy A xy A 1, 2 2 2 2 2 1 A, 1 2 2 1 2 A = = xy yx z τ yx τ yx 2 2 4. x y z A

Invariantnosť napätia Ak vykonáme súčet hlavných napätí dostaneme rovnicu x y 1 x y 1 2.( x y) 1 2 A A 12 2 2 2 2 2 z ktorej vyplýva 1 2 x y konšt. Týmto je preukázaná tzv. invariantnosť napätí, ktorá hovorí: Súčet normálových napätí, pôsobiacich v ľubovoľných dvoch na seba kolmých rovinách, je nemenný (invariantný) a vždy sa rovná súčtu hlavných napätí týchto rovín.

3. Priestorová (trojosová) napätosť Všeobecná priestorová napätosť je jednoznačne určená: 3 normálovými (σ x, σ y, σ z ) a 6 šmykovými napätiami ( xy, yx, yz, zy, xz, zx ), resp. v tzv. Cauchyho vyjadrení 3 združenými šmykovými napätiami z, x, y. x z y T z y x y x z T 1,2 1 0 0 0 2 0 0 0 Tenzor napätosti, určený 3 normálovými a 6 šmykovými (resp. 3 združenými šmykovými) zložkami úplného napätia p, jednoznačne charakterizuje stav tzv. všeobecnej napätosti v určenom bode telesa. 3

Všeobecný postup riešenia priestorovej napätosti: 1. V rovine rezu (známy polohový vektor normály) v tvare n cos,cos, cos bude všeobecné napätie dané vektorom v tvare p T. n 2. Normálovú zložku σ vektora získame z rovnice v tvare T T n. T. nn. p 3. Zo vzťahu pre všeobecné napätie 2 2 2 p je možné získať šmykovú zložku napätia τ vyriešením vzťahu p 2 2 2 T

4. Hlavné napätia σ 1, σ 2, σ 3 je potom možné určiť riešením sústavy rovníc v tvare ( x ) z y z ( y ) x 0 ( ) y x z 5. Vyriešením sústavy je možné získať jeden, dva alebo tri reálne nenulové korene (počet koreňov závisí od druhu napätosti - jedno, dvoj alebo trojosová). 6. Maximálne šmykové napätie je potom určené vzťahom max max 2 kde σ max a σ min sú najväčšie a najmenšie hlavné napätia v analyzovanom bode telesa. min

Téma 9: GEOMETRICKÉ CHARAKTERISTIKY PRIEREZOV (CHARAKTERISTIKY PRIEREZOVÝCH PLOCH)

Charakteristiky prierezov prvkov v PaP (plochy prierezu): Plocha prierezu: A v [m 2 ] Lineárne (statické) momenty prierezu k osi: U v [m 3 ], Kvadratické momenty (st. momenty zotrvačnosti): I v [m 4 ]. Jedná sa hlavne o : - moment zotrvačnosti plochy prierezu I y (vzhľadom k osi), - polárny moment plochy prierezu I p (vzhľadom k bodu), - deviačný moment plochy prierezu D yz (vzhľadom k rovine). Ďalšie charakteristiky prierezových plôch: polomer zotrvačnosti (i) kvadratického momentu plochy (tzv. kvadratický polomer prierezu) modul prierezu v ohybe (W o ) a modul prierezu pri krútení (W k ).

Charakteristiky plochy: tvar, rozmery, obsah, ťažisko + zotrvačné vlastnosti plochy (lineárne a kvadratické momenty). Plocha prierezu: určená integrálnym súčtom v tvare y T yda. yi. Ai da A ( A) i1 n ( A) n i1 i m z T zda. zi. Ai da A ( A) i1 n Lineárny (statický) moment U plochy A k osi, napr. y a z Uy zda. m, U y. da m ( A) n i1 3 3 z ( A) ( A) i A m ( A) da y T U z. A, U y. A y T z T n U y. A U z. A z A A A A i i i i i1 y i1, z n T n i i1 i1 n i

Osový kvadratický moment (st. moment zotrvačnosti prierezovej plochy vzhľadom na určenú os, ležiacu v rovine prierezu) I y zda, I yda mm 2 2 4 z ( A) ( A) Obdĺžnik: Štvorec: Trojuholník: I z I y zz ds da 1.. hb 12 1.. bh 12 3 3 dz z A S y y 1 I I a y x 12 I y Kruh: I z 4. d 64 4 h z 0 I y b(z) b bh. 12 3 z dz y

I y2 y i. A Napr. pre obdĺžnik kde A je plocha prierezu [m 2 ] a i y je tzv. polomer zotrvačnosti kvadratického momentu plochy v [m]. i y 3 I y bh. h A 12. bh. 2 3 Polárny moment plochy prierezu Kvadratický moment prierezovej plochy vzhľadom k osi na prierez kolmej (bod obvykle ťažisko prierezovej plochy) Ip da m I 2 4 ( A) p I x Polárny kvadratický moment plochy vzhľadom k bodu roviny je rovný súčtu osových kvadratických momentov dvoch, navzájom kolmých osí, prechádzajúcich práve týmto bodom. I y

Kruh: I p. d 32 4 Medzikružie: I p D d 32 4 4 ( ) Výpočet osových a deviačných momentov zložených plôch: Steinerova veta: Momentové charakteristiky plochy prierezu vzhľadom k posunutým osiam sú rovné súčtu momentovej charakteristiky plochy prierezu k centrálnym osiam, prechádzajúcim ťažiskom prierezu (I T ) a prírastku, daného súčinom veľkosti plochy prierezu (A) a štvorca vzájomného posunutia (a 2 ) osí. y y T 2. I I a A

Postup aplikácie Steinerovej vety pre zložené prierezy: 1. Zvolíme ľubovoľný lokálny pravouhlý súradnicový systém. 2. Rozdelíme prierezovú plochu na jednoduché časti, ktorých ťažiská vieme určiť priamo, napr. podľa viet o symetrii, príp. využitím hodnôt statických momentov plôch jednotlivých častí a určíme súradnice ťažiska celej prierezovej plochy. 3. Určíme osové kvadratické momenty prierezov jednotlivých častí k ich vlastným centrálnym osiam, ktoré musia byť rovnobežné s hlavnými osami celého prierezu (prechádzajú práve určeným ťažiskom celej zloženej plochy). 4. Určíme centrálne kvadratické momenty celého prierezu vzhľadom k jeho hlavným osiam x, y pomocou vzťahu I 2. y Iy T a A Ide o aplikáciu Steinerovej vety o určení momentov prierezových plôch k iným, tzv. vhodne posunutým osiam prierezu.

Téma 10: ZÁKLADNÉ VÝPOČTOVÉ VZŤAHY PRE HLAVNÉ DRUHY JEDNODUCHÉHO (ČISTÉHO) NAMÁHANIA

Základné vzťahy pre jednoduché (čisté) druhy namáhania: 1. Čistý ťah / tlak: Bez uvažovania vlastnej tiaže prúta: S uvažovaním vlastnej tiaže prúta: Pomerná deformácia: x Podmienka pevnosti: 1 F (. l ) E A max N A max F F. l g.. l A A l 2 Fl.. l Fl. Gl. l EA. 2 E EA. 2. EA. max N A DOV DOV K k Nl. ES.. F y y (. x) E E A kde

Základné vzťahy pre jednoduché (čisté) druhy namáhania: 2. Čistý šmyk: Šmykové napätie: Pretvorenie = skos : tg Hookeov zákon pre čistý šmyk: - modul pružnosti G v šmyku : G Podmienka pevnosti v šmyku: s a max T A DOV.G G max 2.(1 ). E kde T max A 0,5;1,0 DOV 2.(1 ). E E G= 2.(1 + μ) DOV

Základné vzťahy pre jednoduché (čisté) druhy namáhania: 3. Čisté krútenie: Šmykové napätie: Pretvorenie (skrútenie) prierezov: - Pomerný uhol skrútenia : - Celkový uhol skrútenia : M k kde k p / W G.I p nazývame tuhosť vkrútení (častejšie ako torzná tuhosť). k W I r d M k. dx G.. I M k. l. l GI. p p M k GI. p Podmienka pevnosti: max DOV

Základné vzťahy pre jednoduché (čisté) druhy namáhania: 4. Rovinný ohyb: Normálové napätie: Šmykové napätie: Rovnica priehybovej čiary: 1 M max max y M M o max I kde W z max 0 W y o max W z M o o( x) ( x) EI. EI. z z Podmienka pevnosti: - Na ohyb - Na šmyk T. U max I. b z max dov DOV 0 Tmax. U I. b z z T max M omax napr. pre obdĺžnikový prierez: A z max 3 T 3. T max 2 bh. 2. A max max Charakteristické priebehy a pri ohýbanom nosníku max

Ohyb - priebeh normálového napätia Ohyb - priebeh šmykového napätia

Téma 11: STABILITA POLOHY A TVARU TELIES, STABILITA TVARU ŠTÍHLYCH PRVKOV = VZPERNÝ TLAK

Stabilita polohy a tvaru telies Vo všeobecnosti možno stabilitu telies a spôsoby jej riešenia rozdeliť na riešenie problémov: stability polohy telies stability tvaru telies. 1. Stabilita polohy telies Stabilita je schopnosť telesa sa po vychýlení z rovnovážnej polohy vrátiť naspäť do pôvodnej rovnovážnej polohy. Stabilitou teda môžeme nazvať aj mieru stálosti rovnovážnej polohy. Čím väčšou silou budeme musieť na teleso pôsobiť, aby sme ho uviedli do labilnej (vratkej) polohy, tým väčšiu bude mať stabilitu.

Stabilitu telesa najčastejšie určujeme vyjadrením veľkosti práce W, ktorú je potrebné vykonať pri zmene polohy telesa (napr. aby sme teleso prevrátili z polohy stabilnej do polohy vratkej). Potom platí W = m. g. (h 2 -h 1 ), (9.1) kde m... hmotnosť telesa, h 1...výška ťažiska v stabilnej polohe, h 2... výška ťažiska vo vratkej polohe, g...tiažové zrýchlenie a h... hodnota zmeny polohy ťažiska pri jeho preklopení vplyvom vykonanej práce (zmena z polohy stálej do polohy vratkej).

Stabilita telesa je miera jeho schopnosti udržiavať si rovnovážnu polohu stálu. Je to veľkosť práce, ktorú musíme vykonať, aby sme teleso z rovnovážnej polohy stálej dostali do rovnovážnej polohy vratkej. 2. Kontrola stability polohy telies Teleso je z hľadiska polohy stabilné, ak sa výpočtom alebo skúškou preukáže, že stabilizujúce silové účinky sú väčšie, ako účinky síl destabilizujúcich.

3. Stabilita tvaru štíhlych prútov (tzv. namáhanie vzperným tlakom) Deformácie pri tzv. vzpernej stabilite niesúpriamoúmerné veľkosti zaťaženia. e Vzper je spôsob namáhania priamych štíhlych prútov zaťažených osovým tlakom. V dôsledku nevyhnutných výrobných nepresností (výroba a montáž konštrukcie) nepôsobí tlaková sila presne v osi prúta (ktorá tiež nebýva vždy ideálne priama), prút pri jeho zaťažovaní vybočí a je dochádza ku zmene namáhania prút je namáhaný aj ohybom. Namáhanie tenkých priamych prútov na vzperný tlak je jednou z najvýznamnejších úloh pri riešení stability tvaru telies. F

3.1. Výpočet kritickej sily v elastickej oblasti Podľa spôsobu uloženia vzpery = 4 základné (Eulerove) prípady: 1.prípad - jeden koniec votknutý, druhý voľný 2.prípad - na oboch koncoch v kĺboch (1 kĺb pevný, 1 posuvný) 3.prípad - jeden koniec votknutý, druhý v posuvnom kĺbe 4.prípad - votknutie na oboch koncoch.

Vzpera sa pri určitej hodnote zaťaženia tzv. kritickej sile F KRIT prehne a vybočí (jej dovtedy priama os sa deformuje) strata stability tvaru. Veľkosť kritickej sily F KRIT závisí na geometrických rozmeroch (štíhlosť) a tvare prierezu vzpery, na spôsobe uloženia (väzbách) jej koncov a na použitom konštrukčnom materiáli vzpery. 2 F n.. E. I KRIT 2 l min kde n... má pre jednotlivé prípady hodnoty n = (1/4; 1; 2; 4). F KRIT 2. EI. l 2 vzp min kde l vzp je tzv. vzperná (redukovaná) dĺžka prúta. Pre jednotlivé prípady vzperu nadobúda hodnoty l vzp = k.l = 2.l ; l ; 0,7.l ; 0,5.l KRIT F A KRIT KRIT 2. EI A. l min 2 vzp KRIT 2 E 2

KRIT 2 E 2 l vzp i min je tzv. štíhlostný pomer (jeho hodnota nezávisí na druhu materiálu, ale iba na rozmeroch a tvare prierezu prúta). m n. u 2. E n. E u medzný štíhlostný pomer m na rozdiel od štíhlostného pomeru, závisí aj na druhu materiálu, aj na podmienkach uloženia prúta, t.j. uvažovanom prípade vzperu. Podmienku obmedzujúcu rozsah platnosti použitia Eulerovho vzorca(preurčenie veľkosti kritickej sily F KRIT ) možno vyjadriť aj vzťahom m

3.2 Súčinitele vzpernosti V technickej praxi sa obvykle kritické napätia v elastickej ako aj plastickej oblasti nepočítajú, ale namáhanie na vzper sa redukuje na namáhanie centrickým tlakom pomocou tzv. súčiniteľov vzpernosti c, ktoré priamo závisia od hodnoty štíhlostného pomeru. Prút musí v tomto prípade spĺňať podmienku v tvare F c A. DOV

Postup použitia súčiniteľov vzpernosti: zvolíme hodnotu c 0 a určíme prierezovú plochu F z tabuliek alebo výpočtom určíme požadovaný profil (I, T, U a pod.), resp. d, b, h a pod. A DOV. c 0 pre príslušný zvolený profil určíme hodnotu štíhlosti z tabuľky zistíme hodnotu c 1 a posúdime, či F c A 1. DOV l vzp i min iteračný postup opakujeme dovtedy, kým nedosiahneme F c. i A DOV