Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C την ευθεία = και τoν ε) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d στ) Να δείξετε ότι d ζ) Να δείξετε ότι lim α) Πρέπει Για κάθε είναι d d, άρα A β τρόπος: άρα β) Η είναι παραγωγίσιμη στο με για κάθε γ) e e ln lim lim, οπότε Είναι u lim lim ln lim ln u u Είναι lim lim lim οπότε u lim lim ln lim ln u u Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο lim, lim A, το σύνολο τιμών της είναι το
Επειδή A δ) () () (), η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα Το ζητούμενο εμβαδό είναι: E d, E d d d οπότε E d d ln ln ε) d d ln στ) α τρόπος Θωρούμε τη συνάρτηση F d, Επειδή η είναι συνεχής στο, η F είναι παραγωγίσιμη στο με F d άρα η F είναι και συνεχής Για την F ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα, και,, οπότε υπάρχει, και,, τέτοια ώστε: F F F d d d d και F F F d d d d d Είναι και γνησίως αύξουσα στο, άρα d β τρόπος d και επειδή η ισότητα δεν ισχύει για κάθε, είναι: d d d d d d d d d Για κάθε () και επειδή η ισότητα δεν ισχύει για κάθε έχουμε:, d d d d d d d
() d Από τις σχέσεις (),() προκύπτει ότι: d d άρα d d, d d d ζ) Είναι d ln ln γιατί lim lim α) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης () e, β) Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του για την οποία ισχύει e, για κάθε γ) Για λ=e i) να αποδείξετε ότι η ευθεία y εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g() e ii) να βρείτε το πρόσημο και τις ρίζες της δ) Να υπολογίσετε το lim d (Σχολικό βιβλίο και όχι μόνο) α) Η είναι παραγωγίσιμη στο με e e e ln Για κάθε ln είναι,ln για κάθε ln είναι ln, Η έχει ελάχιστο το ln και ln e ln ln lnλ + ] [ β) Είναι e, όμως επειδή η έχει ελάχιστο το ln ln, ισχύει ότι ln, άρα πρέπει ln ln ln ln e Επομένως ma e γ) i) Η ευθεία είναι η ε: y e Για να εφάπτεται στη g e e e Η εφαπτομένη της C g πρέπει να υπάρχει σημείο Cg στο είναι η ευθεία:,g τέτοιο, ώστε
ii) ( ) ln Για y g g y e e y e, δηλαδή είναι η ε Επομένως ο αριθμός μοναδική ρίζα της δ) lim d lim e d lim e lim e e e e e lim αφού lim lim lim DLH DLH Έστω μια συνάρτηση φ τέτοια, ώστε και κάθε α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση συνέχεια να δείξετε ότι για κάθε Έστω τώρα συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο για είναι σταθερή στο και στη για την οποία ισχύει ότι, και για κάθε β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του α ερωτήματος και στη συνέχεια να δείξετε ότι για κάθε γ) Να βρείτε τις εφαπτομένες ε, ε της γραφικής παράστασης της στα σημεία A, και B, δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τις ε, ε ε) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο, στ) Να δείξετε ότι lim g d (Σχολικό βιβλίο και όχι μόνο) α) Η συνάρτηση ψ είναι παραγωγίσιμη στο με c, c Είναι άρα c = και Τότε και για κάθε β) Είναι, και άρα η για κάθε, για κάθε ικανοποιεί τις υποθέσεις του α ερωτήματος, οπότε 4
γ) Είναι και, Η ε έχει εξίσωση y y και η ε : y y δ) Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων των ε, ε προκύπτει και y, οπότε οι ε, ε τέμνονται στο σημείο, Το εμβαδόν του χωρίου Ω είναι: E d d Είναι E E 8 8 4 ε) Η g είναι παραγωγίσιμη στο, με g Έστω h,, Η h είναι παραγωγίσιμη στο, με h h, h Για κάθε h h h h άρα g g, στ) α τρόπος: Είναι: d d d d d u Έστω Gu d, u, Η συνάρτηση είναι συνεχής στο,,, 4, u οπότε η G είναι παραγωγίσιμη στο, με Gu, άρα λόγω του θεωρήματος Μέσης u Τιμής υπάρχει, τέτοιο ώστε: G G G d d d Είναι: άρα και οπότε και d Είναι: lim και lim άρα και lim d 5
β τρόπος g,, g g g g άρα και d gd d g d Επειδή gd gd lim και lim, από το κριτήριο παρεμβολής θα είναι και lim g d 4 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι για κάθε ()= α) Να βρείτε το πρόσημο και τις ρίζες της συνάρτησης g() () β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της 5 έχει ακριβώς ρίζα γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση δ) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και y έχουν ένα μοναδικό κοινό σημείο στο, με α) g g[ και - g μοναδική ρίζα αφού η g είναι - g[ g g g Για β) Είναι α τρόπος Για κάθε > είναι Επειδή είναι lim και για 6 g[ g g g g g lim είναι και lim και αφού Για κάθε < είναι g Επειδή είναι lim είναι και lim και αφού lim Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο lim, lim A β τρόπος Λόγω του ΘΜΤ για την στο,, υπάρχει, το σύνολο τιμών της είναι το, τέτοιο, ώστε
Είναι και το όριο στο ομοίως Λόγω του ΘΜΤ για την στο,, υπάρχει, τέτοιο, ώστε Είναι και το όριο στο ομοίως γ τρόπος d d () () Επειδή είναι lim lim είναι και lim και αφού d d () () Επειδή είναι lim είναι και lim και αφού lim Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο lim, lim A, το σύνολο τιμών της είναι το γ) Επειδή το 5 βρίσκεται στο σύνολο τιμών της, η έχει μοναδική ρίζα δ) Επειδή και α,β άκρα διαστήματος Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, σαν διαφορά συνεχών συναρτήσεων g αφού και g αφού β> Επομένως gg Άρα ισχύει το θεώρημα Bolano δηλαδή υπάρχει, τέτοιο ώστε g To μοναδικό αφού η g είναι - Άρα οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και y έχουν ένα μοναδικό κοινό σημείο o στο, 7
5 Για τους μιγαδικούς αριθμός και w ισχύουν: 4 και w i 7, α) Να δείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού ανήκουν στον μοναδιαίο κύκλο β) Αν Α η εικόνα του μιγαδικού και Β η εικόνα του μιγαδικού u iw, να βρεθεί το μήκος (ΑΒ) γ) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι σημεία έλλειψης δ) Να βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή του w (Βασιλείου Πάυλος) α) 4 4 4 4 4 4 4 4 β) AB u i i 7 7 7 7 γ) Έστω yi, y και y () i 7 i i i 8y Είναι: w 7 7 7yi yi 6 8yi i 8y y Αν w yi,, y, τότε y και y 8 y 9 y y Η () γίνεται: 8 64 4 8 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ του μιγαδικού w είναι έλλειψη με 8 64 8 7, β = και 4 9 8 δ) Είναι,, 8,, Β(,) και Β (, - ) 8 Είναι w OA OA και w ma OB OB min 8
6 Έστω μιγαδικός αριθμός με Im για τον οποίο ισχύει ότι οι αριθμοί i και i είναι ρίζες της εξίσωσης α) Να δείξετε ότι β) Να δείξετε ότι i 9 4 και έστω ότι γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του για τον οποίο ισχύει ότι: i 4 δ) Να δείξετε ότι ο είναι ρίζα της εξίσωσης w w 5w 4w 4, w και στη συνέχεια να βρείτε τις υπόλοιπες ρίζες της α) i i i i i Επειδή οι i και i είναι ρίζες της εξίσωσης είναι P i i, άρα β) Για η εξίσωση γίνεται i ή i και i Αν i και i, τότε: 4, από τους τύπους Viea 4 και έχει ρίζες ή Άρα i και i i i i i i i () i i 9 i i 9 i i 9 i 8 8 8 4 Τότε Έστω yi,, y 4 i yi y και y 4 4 4, άρα i Αν i και i, τότε: i i i i i i i () i i 9 i i 9 i i 9 i 8 8 8 4 Τότε 4 iyi y απορρίπτεται γιατί Έστω yi,, y γ) i i i i i i i i i i 4, Επειδή 4 άρα min και min 4 δ) Για να είναι ρίζα πρέπει: 4 i i 5 i 4i 4 6 8i 8i 4 ισχύει Επειδή 4 5 4 4, είναι και () () Im 4 4 5 4 4 5 4 4, άρα και ο i είναι ρίζα της εξίσωσης
Είναι w iw i w 4 και 4 4 w w 5w 4w 4 w w 4w w 4w 4 w w 4 w w 4w 4 w w 4 w w 4 w 4 w 4 w w w 4 w i ή i w w w, 7 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : και ο μιγαδικός Αν η εικόνα του μιγαδικού κινείται στην ευθεία y α) Να δείξετε ότι β) Να δείξετε ότι () e () Im(()) d γ) Να υπολογίσετε το δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () () ()d i, 4 e έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα, α) Αφού η εικόνα του μιγαδικού κινείται στην ευθεία y οι συντεταγμένες του την επαληθεύουν οπότε ( e ) () ()d e () e ()d e e ()d e e ()d e c, c () ( e ) () () c και e ()d e ()d e H συνάρτηση είναι συνεχής οπότε η συνάρτηση ()d είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση Παραγωγίζουμε τη σχέση () και έχουμε () e β) H ελάχιστη τιμή του είναι : () min (OA) d(o, ) Άρα () ος τρόπος Επειδή () e, είναι e e i Είναι ()d e d e e, οπότε e e e e e e e,
g e e, Έστω Η g είναι παραγωγίσιμη στο με g 4e e e e e e g e e e e ln ln ln Για κάθε ln g g >,ln και για κάθε ln e e e είναι είναι g g ln, [ Η g έχει ελάχιστο το e e ln ln ln ln e e g ln e e e e, άρα 4 g για κάθε γ) Im() e d e e Im(()) d ( e )d e d d e d e d e e d e e 4 e e e e e 4 δ) e e 4 4 ή 4 e Έστω h,, Είναι h, h δηλαδή hh και επειδή η h είναι συνεχής, υπάρχει, τέτοιο ώστε - - - - h 4 8 Έστω η συνάρτηση ln, α) Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία β) Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής της γ) Να λύσετε την εξίσωση ln ln δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της ε) Να αποδείξετε ότι ln ln για κάθε, e στ) Να αποδείξετε ότι για κάθε e
α) Η είναι παραγωγίσιμη στο, με Γνωρίζουμε ότι ln για κάθε β) Είναι ln (ln ),, άρα ( ln ) ( ln ) ln ln e,e άρα η είναι κυρτή στο (,e] Για κάθε είναι e είναι e, e δηλαδή το e, e Για κάθε Παρουσιάζει σημείο καμπής το άρα η είναι κοίλη στο [e, ) γ) Πρέπει ln > ln ln ln () () απορρίπτεται ln άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, δ) Είναι lim lim ln κατακόρυφη ασύμπτωτη της άρα η ευθεία = δηλαδή ο άξονας y y είναι C ln ln Είναι lim lim lim, αφού ln ln ln lim lim lim lim και DLH DLH lim lim ln, άρα η C δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη ln lim lim ln lim ασύμπτωτη, άρα η C δεν έχει και οριζόντια ln ln ln ln 4 ln ln 4 ε) e e e 4 e Επειδή η είναι κυρτή στο (,e] και κοίλη στο [e, ) η είναι γνησίως αύξουσα στο (,e] και γνησίως φθίνουσα στο [e, ), οπότε παρουσιάζει μέγιστο στο = e Άρα e για κάθε > Οπότε e ln ln () και e e e
ln ln () e e e Με πρόσθεση κατά μέλη των (),() έχουμε ότι ln ln e ln ln ln ln που ισχύει αφού e και η είναι γνησίως φθίνουσα στο [e, ), στ) ln ln ln ln 9 Δίνονται οι συναρτήσεις,g,h, : για τις οποίες ισχύουν : για την οποία ισχύει () (y) y g( ) ( ) h( ) ( ) () e α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο β) Nα δείξετε ότι : i) η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο και ii) η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο γ) Να εξετάσετε τη συνάρτηση α ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα δ) Αν g h g h 4,όπου μιγαδικός αριθμός : i) να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών ii) να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του 4i iii) να δείξετε ότι η εξίσωση () Re() α) () (y) y () Αρκεί y lim () ( ) για κάθε είναι αδύνατη στο, () () ( ) () ( ) ( ) () ( ) lim ( ) lim ( ) Άρα από κριτήριο παρεμβολής είναι και β) Έστω, με,y lim () ( ), οπότε η είναι συνεχής στο () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) g( ) g( ) οπότε η g είναι γνησίως φθίνουσα
() ( ) ( ) h( ) h( ) οπότε η h είναι γνησίως αύξουσα γ) () e () e e e Οπότε για () και επειδή η α συνεχής στο άρα και στο [, ) είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) Για () και επειδή η α συνεχής στο άρα και στο, είναι γνησίως φθίνουσα στο, Παρουσιάζει ελάχιστο στο το () δ) i) Οι συναρτήσεις g,h είναι γνησίως μονότονες άρα είναι - συναρτήσεις g h g h g h 4 h h(4) 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ο μοναδιαίος κύκλος 4i 5 4 και ii) min 4i M 5 6 ma iii) Re Im Im Re Οπότε 4 Re Re Re Re ], lim (), lim (), Το Re, άρα η ζητούμενη εξίσωση είναι αδύνατη στο, Έστω η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύουν : () Re ()d Re ( )d Re() * όπου i,, (),για κάθε, α) Να δείξετε ότι Re Re() β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Αν επιπλέον () και γ) Να δείξετε ότι () ()d δ) Να δείξετε ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε ( ) ε) Να δείξετε ότι υπάρχει [,] τέτοιο ώστε 4 ()d Re()
α) Re ()d Re ( )d Re() Re ()d Re ( )d Re() () Θέτουμε u du d Για έχουμε u και για είναι u Re ()d Re (u)du Re() () Θεωρούμε g() Re ()d Re ()d Re() Παρατηρούμε ότι g() H είναι συνεχής άρα η συνάρτηση Re() ()d είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση με παράγωγο () Επίσης η είναι παραγωγίσιμη σαν πολυωνυμική με παράγωγο Re() άρα η g είναι παραγωγίσιμη σαν άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με g Re () Re () Re() g() g οπότε η g παρουσιάζει μέγιστο στο, το είναι εσωτερικό σημείο του A g και η g παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό άρα ισχύει το θεώρημα Ferma δηλαδή g Re () Re () Re() Re Re Re() Re Re β) Re Re() (4) i i i Είναι (4) Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι ο μοναδιαίος κύκλος y g() Re ()d Re ()d 6 Re() Re Re() 6 Re() γ) Re 4 Re() Re Re() g() g οπότε η g παρουσιάζει μέγιστο στο, το εσωτερικό σημείο του και η g παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό άρα ισχύει το θεώρημα Ferma δηλαδή A g 5
g Re () Re () 9 Re() Re() Re () Re () 9Re() () () 9 () 9 () δ) Η είναι συνεχής στο [,], () () οπότε από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει (,) τέτοιο ώστε ( ) ε) Re Im Im Re Οπότε Θεωρούμε Re Re Re h() () d Re() H είναι συνεχής άρα η h() Re() ()d είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση επομένως και συνεχής h() ()d Re() Re() Re() Αν h(),τότε το είναι ρίζα της h() Αν h(),τότε το είναι ρίζα της h() Αν h() h() Η h είναι συνεχής σαν διαφορά συνεχών στο, ( Re() σταθερή συνάρτηση) Τότε ισχύει το θεώρημα Bolano και υπάρχει, h( ) () d Re() τέτοιο ώστε Κάθε Επιτυχία στις εξετάσεις! Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς 6