ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε τις κυριότερες από αυτές. ΘΕΩΡΙΑ. Θεωρούµε κύκλο κέντρου Κ και σταθερό σηµείο Σ του επιπέδου. Η ΣΚ τέµνει τον κύκλο στα Α,. Σηµείο Μ διατρέχει τον κύκλο. Τότε το ελάχιστο του (ΣΜ) είναι το (ΣΑ) και το µέγιστο είναι το (Σ). ηλαδή (ΣΑ) (ΣΜ) (Σ) Σ Α M K. Σηµείο Μ διατρέχει κύκλο κέντρου Κ και σηµείο Ν διατρέχει κύκλο κέντρου Λ. Η διάκεντρος ΚΛ τέµνει τους κύκλους στα Α,, Γ,. Τότε το ελάχιστο του (ΜΝ) είναι το (Γ) και το µέγιστο είναι το (Α ). ηλαδή (Γ) (ΜΝ) (Α ) Κ Μ Γ Ν Λ 3. Σηµείο Μ διατρέχει ευθεία (ε) και σηµείο Ν διατρέχει κύκλο κέντρου Κ. Φέρουµε την ΚΑ (ε), που τέµνει τον κύκλο στο. Τότε το ελάχιστο του (ΜΝ) είναι το (Α). Κ Α Γ Ν Μ (ε) Απόδειξη (ΜΝ) (ΚΜ) (ΚΝ) = (ΚΜ) (Κ) (ΚΑ) (Κ) = (Α) Τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΚΜΝ Υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Για το µιγαδικό z δίνεται ότι + i. Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του 4+ 6i. Λύση αλγεβρική z 4 + 6i = z 4 + 6i + + i i = (z + + ( 3 + 4 Η τριγωνική ανισότητα στον (z + + ( 3 + 4 από δεξιά δίνει 4+ 6i = (z + + ( 3 + 4 + i + 3 + 4i + = 6 Άρα η µέγιστη τιµή είναι 6. Η τριγωνική ανισότητα στον (z + + ( 3 + 4 από αριστερά δίνει + i 3 + 4i (z + + ( 3 + 4 = 4+ 6i + i 4+ 6i 4+ 6 i 4 4+ 6i άρα η ελάχιστη τιµή είναι 4 Εκφράζουµε τον ζητούµενο z + 4 + 6i συναρτήσει του δοσµένου z + i Λύση γεωµετρική + i ( i ) η εικόνα Μ του z είναι σηµείο του κυκλικού δίσκου που έχει κέντρο Κ(, ) και ακτίνα. Η ποσότητα 4+ 6i = (4 6 i ) εκφράζει την απόσταση ΜΑ, όπου Α(4, 6) Φέρνουµε την ΑΚ, η οποία τέµνει τον κύκλο στα, Γ. Στο τρίγωνο ΚΜΑ έχουµε (ΜΑ) (ΚΑ) + (ΚΜ) (ΚΑ) + (ΚΓ) = (ΑΓ) Άρα η µέγιστη τιµή του (ΜΑ) είναι (ΑΓ) = (ΑΚ) + = ( 4) ( 6) + + + = 9+ 6 + = + = 6 Στο τρίγωνο ΚΜΑ έχουµε (ΚΑ) (ΚΜ) (ΜΑ) (ΚΑ) (Κ) (ΜΑ) (Α) (ΜΑ) Άρα η ελάχιστη τιµή του (ΜΑ) είναι (Α) = (ΑΚ) = = 4 - -4-6 Ο Γ K M. Για το µιγαδικό z δίνεται ότι z 4i Υπόδειξη Ακολούθησε την άσκηση.. Να αποδείξετε ότι 4 z+ 6

3 3. Για το µιγαδικό z δίνεται ότι και 3 =. Να αποδείξετε ότι Λύση γεωµετρική z (+ 0 z 7 η εικόνα Μ του z είναι σηµείο του κυκλικού δίσκου που έχει κέντρο Κ(, 0) και ακτίνα. 3 = z (3+ 0 = η εικόνα Μ του z είναι σηµείο του κύκλου που έχει κέντρο Λ(3, 0) και ακτίνα. Άρα το Μ είναι σηµείο του τόξου KB, όπου Α, τα σηµεία τοµής των δύο κύκλων. Το ελάχιστο του z δηλαδή του (ΜΟ) συµβαίνει όταν Μ Κ Και επειδή (ΟΚ) =, θα είναι z Το µέγιστο του z δηλαδή του (ΜΟ) συµβαίνει όταν Μ Α ή ηλαδή z (ΟΑ) () Ο Κ Α Μ Λ Η τετµηµένη του Α είναι (ΚΑ) = ( ) (ΟΑ ) = + () z 7 Λύση αλγεβρική 3 = () () z + ( 0 ) = 4 + = = αφού Α µεσοκάθετος του ΚΛ. = 3 4 = 3 4 + 3 4 = 8 4 = 7 (ΟΑ) = 7 (z )( z ) z z z z + 4 z (z + z ) 3 () 3 = (z 3)( z 3) = z 8 3 z z 3z 3 z + 9 = z 3(z + z ) = 8 3(z + z ) = z 8 z + z = z + 8 3 () + 3 3 z z 6 9 z 7 z 7

4 Τριγωνική ανισότητα z 3 3 z 3 (3) Αλλά 3 z z 3 (4) (ιδιότητα απολύτων τιµών στους πραγµατικούς) Από (3) και (4) 3 z z 3 3 z z 4. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z, για τους z οποίους ισχύει =. Στη συνέχεια να βρείτε εκείνον τον z, ο οποίος έχει το 3 ποιο µικρό µέτρο και εκείνον ο οποίος έχει το ποιο µεγάλο. Περιορισµός: z 3 z z 3 = 3 = z = 3 4 z = 3 4zz = ( 3)( 3) 4zz = ( 3)( 3) 4zz= z 3 3z + 9 3zz+ 3z+ 3z= 9 zz+ z+ z= 3 Θέτουµε z = + i, οπότε ( + ( + + i + i = 3 + + 3 = 0 κύκλος µε κέντρο Κ(, 0) και ακτίνα ρ =. Επειδή z 3 + 0i, πρέπει το σηµείο Λ(3, 0) να µην είναι σηµείο του γεωµετρικού τόπου, δηλαδή να µην ανήκει στον κύκλο. Αυτό πράγµατι συµβαίνει, αφού οι συντεταγµένες του Λ δεν επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου. Σε σύστηµα αξόνων (Ο), γράφουµε τον κύκλο (Κ, ), ο οποίος τέµνει τον άξονα στα σηµεία Α( 3, 0), (, 0). Έστω Μ η εικόνα του τυχαίου z. Τότε z = (ΟΜ) Γνωρίζουµε ότι (Ο) (ΟΜ) (ΟΑ) z 3 M O B Κ Εποµένως, η ελάχιστη τιµή του z συµβαίνει όταν η εικόνα του z συµπίπτει µε το και η µέγιστη όταν συµπίπτει µε το Α. ηλαδή όταν z = (, 0) και z = ( 3, 0) αντίστοιχα. Θεωρία

. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z για τους οποίους ισχύει i = i Από τους παραπάνω µιγαδικούς να βρείτε τους z εκείνους για τους οποίους συµβαίνει z = ma, z = min αντίστοιχα. ii Να υπολογίσετε τα z ma, z min. i = ( i = i = z ( + = i Ως γνωστόν, η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο Κ(, ) και ακτίνα ρ = είναι ( ) + ( ) = Σε σύστηµα αξόνων (Ο), γράφουµε τον κύκλο, ο οποίος τέµνει την ευθεία ΟΚ : = στα σηµεία Α,. Έστω Μ η εικόνα του τυχαίου z. Τότε z = (ΟΜ) z ( + = κύκλος µε κέντρο Κ(, ) και ακτίνα ρ = ( ) + ( ) = Η λύση του συστήµατος δίνει τις συντεταγµένες των = σηµείων Α και. Συγκεκριµένα Α(, ) και (3, 3). Γνωρίζουµε ότι (ΟΑ) (ΟΜ) (Ο) Θεωρία (ΟΑ) z (Ο) Συνεπώς, ο µιγαδικός που έχει εικόνα το σηµείο Α έχει το ποιο µικρό µέτρο, ενώ ο µιγαδικός που έχει εικόνα το σηµείο έχει το ποιο µεγάλο. Όµως,το Α είναι εικόνα του µιγαδικού z = + i ενώ το είναι εικόνα του z = 3 + 3i Εποµένως ο αριθµός µε το µικρότερο µέτρο είναι ο z = + i, ενώ µε το µεγαλύτερο είναι ο z = 3 + 3i. ii Από το (i έχουµε ότι z = + i = min + = Σχόλιο και z = 3 + 3i = 9 + 9= 3 ma Αν θέλαµε να βρούµε µόνο τις τιµές z ma, z min, τότε χωρίς να προσδιορίσουµε τις συντεταγµένε των Α και µπορούµε να πούµε ότι z min = (ΟΚ) ρ = = και z ma = (ΟΚ) + ρ = + = 3 O M K B

6 6. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z, για τους οποίους ο αριθµός w = i z είναι πραγµατικός i Από τους παραπάνω µιγαδικούς z, να βρείτε εκείνον που έχει το ποιο µικρό µέτρο και στη συνέχεια να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιµή του z. Περιορισµός: z Έστω z = + i τότε w = i (+ = + i (i ( ( + i )( + + + 0 = + i ( ) + ( ) + w R + 0 = 0 = + που είναι ευθεία (ε). Επειδή z (, ) (, 0), ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι η ευθεία (ε) εκτός από το σηµείο της Α(, 0). i Έστω Μ η εικόνα του τυχαίου z. Τότε z = (ΟΜ). Φέρουµε ΟΡ ε. Μ Γνωρίζουµε ότι (ΟΡ) (ΟΜ) Εποµένως, ο z µε το ποιο µικρό µέτρο O έχει εικόνα το Ρ. ρίσκουµε την εξίσωση της ΟΡ. ΟΡ (ε) λ ΟΡ λε = λ ΟΡ ΟΡ = Επειδή η ευθεία ΟΡ διέρχεται από το σηµείο Ο(0, 0), η εξίσωση της είναι 0 = ( 0) Λύνοντας το σύστηµα 0 0 Άρα Ρ, 9 9 = = + = βρίσκουµε = 0 9 Συνεπώς, ο z µε το ποιο µικρό µέτρο είναι ο z = 0 9 + 0 9 i Η ελάχιστη τιµή του z είναι z min = 0 + 0 i = 9 9 ε Ρ και = 0 9 0 0 + 9 9 = 0 9 9

7 7. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w, για τους οποίους ισχύει w + i = i Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z, για τους οποίους ισχύει = 3 3 ii Για τους παραπάνω z, w, να βρείτε τη µεγαλύτερη και τη µικρότερη τιµή της παράστασης w z. w + i = w ( + = Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι ο κύκλος µε κέντρο Κ(, ) και ακτίνα ρ = i Έστω z = + i τότε = 3 3 ( ) + i = 3 ( 3) + i ( ) + = 3 ( 3) + ( ) + = 9( 3) + 9 + 4 = 0 4 + 4 + 9 = 0 ( ) + = 9 Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι ο κύκλος µε κέντρο Λ(, 0) και ακτίνα R =3 ii Σε σύστηµα αξόνων (Ο), γράφουµε τους κύκλους Κ, Λ και τη διάκεντρό τους ΑΓ. Έστω Μ, Ν οι εικόνες των τυχαίων w, z αντίστοιχα. Τότε w z = (ΜΝ) Γνωρίζουµε ότι ( Γ) (ΜΝ) Α Άρα η µικρότερη δυνατή τιµή του (ΜΝ) είναι το (Γ) = (ΚΛ) ρ R = 0 3 (ΚΛ) = ( ) ( ) ( 0 ) Θεωρία + = 6+ 4 = 0 Κ = 0 4 Και η µεγαλύτερη δυνατή τιµή του (ΜΝ) είναι το (Α ) = (ΚΛ) + ρ + R = 0 + + 3 = 0 + 4 Σχόλιο Αν θέλαµε να προσδιορίσουµε τους µιγαδικούς για τους οποίους προκύπτουν οι παραπάνω τιµές βρίσκουµε τις συντεταγµένες των σηµείων Α,, Γ,. Εύκολα προκύπτει ότι η ευθεία ΚΛ έχει εξίσωση = + ο κύκλος (Κ, ρ) έχει εξίσωση την ( + ) + ( ) = και ο κύκλος (Λ, R) την ( ) + = 4. Λύνοντας τα συστήµατα των εξισώσεων της ευθείας και κάθε ενός κύκλου βρίσκουµε τα σηµεία Α,, Γ, και εποµένως τους ζητούµενους µιγαδικούς αριθµούς. Μ Ο Γ Ν Λ

8 8. Έστω ο µιγαδικός z = λ + (λ )i, λ R και ο µιγαδικός w, για τον οποίο ισχύει w + i =. Για τις διάφορες τιµές του λ, να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z, καθώς επίσης και τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του w. i Να βρείτε την ελάχιστη τιµή της παράστασης w και τους αριθµούς z και w για τους οποίους προκύπτει αυτή η τιµή. Έστω Μ(, ) η εικόνα του τυχαίου z. z = λ + (λ )i = λ και = λ = Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε) : = w + i = w ( + = Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος του w είναι ο κύκλος µε κέντρο Κ(, ) και ακτίνα ρ =. i Σε σύστηµα αξόνων (Ο), γράφουµε τον κύκλο Κ και την ευθεία (ε). Έστω Μ, Ν οι εικόνες των τυχαίων z, w αντίστοιχα. Τότε w = (ΜΝ) Φέρουµε ΚΑ (ε) που τέµνει τον κύκλο στα,. Γνωρίζουµε ότι (Α) (ΜΝ) Θεωρία 3 Άρα η µικρότερη δυνατή τιµή του (ΜΝ) είναι το (Α) = (ΚΑ) (Κ) = d(κ, ε) ρ = Συνεπώς w min = Η εξίσωση της ευθείας ΚΑ είναι = ( (ε) από το Κ) = Η λύση του συστήµατος µας δίνει Α, = Οπότε, ο z που έχει εικόνα το Α είναι z= i ( + ) + ( ) = Η λύση του συστήµατος µας δίνει, = Οπότε, ο w που έχει εικόνα το είναι w= + i Παρατήρηση Θα µπορούσαµε να βρούµε την απόσταση Α αφού προσδιορίσουµε πρώτα τις συντεταγµένες των σηµείων Α και. K N Γ O Α (ε) M

9 9. Αν i, να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή της παράστασης Π = 4 i i ( +. Άρα η εικόνα Ζ του z ανήκει στον κυκλικό δίσκο κέντρου Κ(, ) και ακτίνας ρ =. Π = 4 i Π = (4 +. Άρα η παράσταση (Π) εκφράζει την απόσταση (ΣΖ) της εικόνας Ζ του z από το σηµείο Σ(4, ). Σε σύστηµα αξόνων (Ο), τοποθετούµε τα σηµεία Σ, Ζ και τον κύκλο Κ. Φέρουµε το ΣΖ και τη ΣΚ, η οποία τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Α,. Γνωρίζουµε ότι (ΣΑ) (ΣΖ) (Σ) Εποµένως, η µικρότερη δυνατή τιµή της παράστασης (Π) είναι (ΣΑ) και η µεγαλύτερη είναι (Σ) Είναι (ΣΚ) = ( 4) ( ) + = 9+ 6 = (ΣΑ) = (ΣΚ) ρ = = 3 (Σ) = (ΣΚ) + ρ = + = 7 Τελικά είναι Π min = 3 και Π ma = 7 O Ζ Κ Α Σ( 4, ) Για να βρούµε τους z για τους οποίους συµβαίνει το ελάχιστο µέγιστο, βρίσκουµε την εξίσωση του κύκλου και την εξίσωση της ευθείας ΣΚ και λύνουµε το σύστηµά τους. 0. ν 6 + i = 4, δείξτε ότι 0 z 0+ Θεωρία 6+ i = 4 3+ i = 4 3+ i = (3 = Οπότε, οι εικόνες του z διατρέχουν τον κύκλο µε κέντρο Κ(3, ) και ακτίνα ρ =. Σε σύστηµα αξόνων (Ο), γράφουµε τον κύκλο (Κ, ), ο οποίος τέµνει την ηµιευθεία ΟΚ στα σηµεία Α,. Έστω Ζ η εικόνα του τυχαίου z. Τότε z = (ΟΖ) και (ΚΖ) = ρ =. (ΟΑ) (ΟΖ) (Ο) (ΟΑ) z (Ο) () Ο Z Κ(3, -) B

0 Εποµένως, η ελάχιστη τιµή του z συµβαίνει όταν η εικόνα του z συµπίπτει µε το Α και η µέγιστη όταν συµπίπτει µε το. 3 + = 0 Είναι (ΟΚ) = ( ) (ΟΑ) = (ΟΚ) (ΑΚ) = 0 (Ο) = (ΟΚ) + (Κ) = 0 + Η () γίνεται 0 z 0+. Για το µιγαδικό αριθµό z ισχύει 00Ιm(z) + 00 + 00i 3 = 0 Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι ο κύκλος µε κέντρο Κ, και ακτίνα ρ = εκτός του σηµείου του Λ(, 0) i Από τους παραπάνω z, να βρείτε εκείνον που έχει το µικρότερο και εκείνον που έχει το µεγαλύτερο µέτρο. ii Να βρείτε εκείνον το µιγαδικό z, του οποίου η εικόνα απέχει την ποιο µεγάλη απόσταση από το µιγαδικό w = i, όπως και εκείνον του οποίου η εικόνα απέχει την ποιο µικρή απόσταση από το µιγαδικό w = i Περιορισµός: z 0 z 0 z 0 z Έστω z = + i µε (, ) (, 0) Η δοσµένη σχέση γράφεται 00 + 00 + 3 00 = 0 ( ) + 00 00 0 ( ) + + = 0 ( ) + + = + + + = 0 () Επειδή Α + 4Γ = 4 + 4 = > 0, η εξίσωση () παριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ, εκτός του σηµείου του Λ(, 0) λόγω του περιορισµού. i Φέρνοντας την ΟΚ, παρατηρούµε ότι ο µιγαδικός που έχει το ποιο µικρό µέτρο, έχει εικόνα το Η, ενώ ο µιγαδικός µε το µεγαλύτερο - O Γ Η K Α(, - ) χ

µέτρο έχει εικόνα το. (Για την απόδειξη βλέπε άσκηση ) Εύκολα βρίσκουµε ότι η ευθεία ΟΚ έχει εξίσωση =. Θεωρία Λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων του κύκλου και της ευθείας βρίσκουµε ότι = + και =, Η = 0 και Η = + 0 Άρα ο µιγαδικός µε το µικρότερο µέτρο είναι ο + + 0 i και µε το µεγαλύτερο είναι ο + + 0 i ii Η εικόνα του w είναι το σηµείο Α,. Η ΑΚ τέµνει τον κύκλο στα σηµεία, Γ οπότε πλησιέστερα στο Α βρίσκεται το σηµείο και µακρύτερα το Γ. H ΑΚ έχει εξίσωση = και εύκολα βρίσκουµε, ότι τέµνει τον κύκλο στα 3,, Γ, Οπότε, ο µιγαδικός που απέχει λιγότερο από το Α είναι ο z = 3 i και περισσότερο ο z = i. 3 Έστω w = + i z i, όπου z = α + βi µε α, β R Να βρείτε τους Re(w) και Im(w) συναρτήσει των α, β. i Να δείξτε ότι η εικόνα του αριθµού w διατρέχει την ευθεία = 3. ii Να βρείτε την ελάχιστη τιµή της παράστασης Π = w 3 i α 3β iν) Να δείξτε ότι w = 0 0 ν) Αν w =, να βρείτε τις εξισώσεις των γραµµών τις οποίες διατρέχει η εικόνα του z. ν Όταν ισχύει το (ν) και z, z είναι δύο από τους µιγαδικούς z που δεν ανήκουν στην ίδια γραµµή, να βρείτε την ελάχιστη τιµή της ποσότητας Ρ = z z.

Κάνοντας αντικατάσταση στον w, όπου z = α + βi, µετά από πράξεις βρίσκουµε 3 9 3 w = α β + α+ β i Άρα Re(w) = 3 α 9 β και Ιm(w) = α+ 3 β i Αν (, ) τυχαία εικόνα του w, τότε = 3 α 9 β και = α + 3 β Κάνοντας απαλοιφή των α και β βρίσκουµε ευθεία (ε) : = 3 ii Η παράσταση Π = w 3 i = w (3 + εκφράζει την απόσταση του σηµείου Α(3, ) από τα σηµεία της ευθείας (ε).. ε : = - Φέρουµε Α ε. 3 Οπότε, για το οποιοδήποτε σηµείο Μ της (ε) Ο B είναι Α ΑΜ Μ Άρα η ελάχιστη τιµή της παράστασης Π είναι το (Α). Η εξίσωση της ευθείας Α είναι = 3 8 () (διέρχεται από το Α και είναι κάθετη (ε) ). 4 Η λύση του συστήµατος των (), () δίνει B, Εποµένως, ο µιγαδικός w που η εικόνα του απέχει την µικρότερη απόσταση από το σηµείο Α(3, ), είναι ο w = 4 i iν) 3 9 3 α 3β w = α β + α+ β = πράξεις= 0 ν) 0 0 α 3β Αφού w =, τότε από το (iv) θα έχουµε = 0 α 3β = α 3β = ± Συνεπώς η εικόνα του z διατρέχει τις παράλληλες ευθείες ε : 3 = ε : 3 = ν Έστω Ζ η εικόνα του τυχαίου z ε Ζ και Ζ η εικόνα του τυχαίου z ε Έστω ακόµα Ζ Κ η απόσταση των ε, ε Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΖ Ζ έχουµε Ζ Κ Ζ Ζ. Οπότε η ελάχιστη τιµή της παράστασης Ρ = z z είναι ίση µε την απόσταση O () Κ ε ε Ζ

3 των δύο παραλλήλων. Θεωρούµε συγκεκριµένο σηµείο Ρ της ε ( για = 0, η εξίσωσή της δίνει = ), οπότε Ρ(, 0) z z min = d(ρ, ε ) = + 9 = 0 3. ίνεται η συνάρτηση f(z) = z +, όπου z = + i µε, R και z 0. z Να γράψετε τον f(z) στην µορφή α + βi i είξτε ότι : f(z) R z R ii Αν ισχύει f(z) f(z) =, να δείξετε ότι οι εικόνες του z κινούνται στον κύκλο µε κέντρο Κ(, 0) και ακτίνα ρ =. iν) Για τους µιγαδικούς του προηγούµενου ερωτήµατος να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή της ποσότητας f(z). f(z) = z + = + i + ( + i + )( + + = = z + i ( + ( + i Με βάση το προηγούµενο ερώτηµα έχουµε f(z) R + = 0 = 0 z = R ii f(z)f(z) = z + z + = z z + z + z + = z z z z + = 0 ( ) + = + + + + Ο Κ(, 0) + i Εξίσωση που παριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ(, 0) και ακτίνα ρ =, και στον οποίο δεν ανήκει το σηµείο Ο(0, 0). (Θυµίζουµε ότι δίνεται z 0 = 0 + 0 iν) Παρατηρούµε ότι η µέγιστη τιµή του z είναι z ma = O = +, ενώ η ελάχιστη είναι z min = OB = Όµως f(z) = z + = z + z = z z z πράγµα που σηµαίνει ότι η ποσότητα f(z) γίνεται ελάχιστη όταν η z γίνεται µέγιστη και η ποσότητα f(z) γίνεται µέγιστη όταν η z γίνεται ελάχιστη. Από την () θα είναι f(z) min = Και f(z) ma = z z ma min = = () + = ( + )( ) Α = = = + = + ( + )( )

4 4. Για τους µιγαδικούς αριθµούς z και w ισχύει w = 3z + z και οι εικόνες του z κινούνται στον κύκλο µε κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ =. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του w κινούνται σε έλλειψη. i Να βρείτε α) τους µιγαδικούς w που έχουν το µικρότερο µέτρο β) τους µιγαδικούς w που έχουν το µεγαλύτερο µέτρο Έστω z = κ + λi Τότε w = 3z + z = 3κ + 3λi + κ + λi κ λi = 3κ + 3λi + (κ + λ(κ λ κ λi = 3κ + 3λi + κ + λ Οι εικόνες του z κινούνται στον κύκλο (Ο, ) κ + λ = () Άρα w = 3κ + 3λi + κ λi = 3κ + 3λi + κ λi = 4κ + λi Έστω Μ(, ) η εικόνα του τυχαίου w = 4κ και = λ κ = 4 και λ = Η () 6 + =, που είναι εξίσωση έλλειψης µε εστίες στον άξονα 4, µεγάλο ηµιάξονα α = 4 και µικρό ηµιάξονα β =. i α) Οι µιγαδικοί w που έχουν το µικρότερο µέτρο, έχουν εικόνες τα σηµεία,, εποµένως είναι οι w = i, w = i β) Οι µιγαδικοί w που έχουν το µεγαλύτερο µέτρο, έχουν εικόνες τα σηµεία Α, Α, εποµένως είναι οι w 3 = 4, w 4 = 4 Ο (, 0) Α(4, 0)

. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z, για τους οποίους ισχύει + z + = 4 i Από τους παραπάνω z, να βρείτε α) εκείνους που έχουν το µικρότερο µέτρο β) εκείνους που έχουν το µεγαλύτερο µέτρο + z + = 4 ( + 0 + ( +0 = 4 Αυτό σηµαίνει ότι το άθροισµα των αποστάσεων των εικόνων των αριθµών z από τα σταθερά σηµεία Ε(, 0), Ε (, 0) είναι σταθερό και ίσο µε 4. Άρα οι εικόνες των z διατρέχουν έλλειψη µε εστίες Ε(, 0), Ε (, 0) και µεγάλο άξονα 4. Οπότε α = και γ = i Όπως η άσκηση 4 6. β = α γ = 4 = 3 και η εξίσωση της έλλειψης θα είναι + = 4 3 z Έστω µιγαδικός αριθµός z i και η συνάρτηση f(z) = i Να βρείτε το µιγαδικό z για τον οποίο ισχύει f(z) = + i i Αν οι εικόνες των f(z) κινούνται σε κύκλο µε κέντρο Κ(, 0) και ακτίνα ρ =, να αποδείξετε ότι οι εικόνες των z κινούνται σε κύκλο µε κέντρο Λ(0, ) και ακτίνα R =. ii Αν z, z είναι δύο από τους µιγαδικούς του ερωτήµατος (i τέτοιοι ώστε z z = 4, να αποδείξετε ότι z + z = 4 z f(z) = + i = + i z = z i + zi + zi = i i z = z = + i i i Oι εικόνες των f(z) κινούνται σε κύκλο µε κέντρο Κ(, 0) και ακτίνα ρ = z f(z) = i z + i i = = = i i = i = ( 0 + = i κύκλος µε κέντρο Λ(0, ) και ακτίνα R =

6 ii Έστω Α, οι εικόνες των z, z. z z = 4 (Α) = 4 =. = ρ Άρα το τµήµα Α είναι διάµετρος του κύκλου Λ. Οπότε z + z = O + OB = ΟΛ (z ) Λ(0, ) B(z ) = OΛ =. = 4 Ο