qwφιertyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz Τάξη : Γ Λυκείου ΦΥΛΛΑΔΙΟ 6 : Θεώρημα Rolle cvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ Θεώρημα μέσης τιμής Συνέπειες θεωρήματος μέσης τιμής ωυdfghjργklαzcvbnβφδγωmζqwert 39ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ λκοθξyuiύασφdfghjklzcvbnmqwerty uiopaβsdfghjklzcεrυtγyεuνiιoαpasdf ghjklzcηvbnασφδmqwertασδyuiopa sdfασδφγθμκcvυξσφbnmσφγqwθeξ τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdfghjklzcv ασδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgασργκο ϊτbnmqwertyσδφγuiopasσδφγdfghjk lzσδδγσφγcvbnmqwertyuioβκσλπp asdfghjklzcvbnmqwertyuiopasdγαε ορlzcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ αεργαγρqwertyuiopasdfghjklzασδφ mοιηξηωχψφσuioψασεφγvbnmqwer tyuiopasdfghjklzcvbnmqwertyuiopσ
1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 3ln (1,). 4 3. Να δείξετε ότι η εξίσωση 6 1 από δύο πραγματικές ρίζες., έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα, δε μπορεί να έχει περισσότερες 3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση -ημ-συν = έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες. 3 4. Να δείξετε ότι η εξίσωση 4 3 3 9 6 τουλάχιστον ρίζα στο (,3)., κ,λ R, έχει μία 5. Αν f(1)=1, να δείξετε ότι η εξίσωση ρίζα. f () f () έχει μία τουλάχιστον θετική 6. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,], f() > για κάθε [1,] και f(1)f () f (1)f( ). Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (1,). τέτοιο ώστε f ( ) f ( )f ( ) 7. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [1,3], παραγωγίσιμη στο (1,3) με 3f(1)=f(3)+6. Να δείξετε ότι υπάρχει (1,3 ) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο,f ( ) M, να διέρχεται από το σημείο Α(, ). 8. Δίνεται η συνάρτηση f, άρτια και παραγωγίσιμη στο [ -,]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (-,) τέτοιο ώστε f ( ) ημξ 8. 9. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R. α. Να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον μια ρίζα της f. β. Να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της f περιέχεται το πολύ μια ρίζα της f. 1. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [-8,8], παραγωγίσιμη στο (-8,8) και f(-8) = f(8) =. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (-8,8) τέτοιο ώστε f ( ) f( ξ). 11. Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[α,β] με α> και f(α)=f(β)=. Να δείξετε ότι : α) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β) τέτοιο ώστε ξf (ξ)=f(ξ). β) Αν f () για κάθε (α,β) τότε το ξ είναι μοναδικό. γ) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) διέρχεται
από την αρχή των αξόνων. 1. Τρεις πόλεις Α, Β, Γ βρίσκονται κατά μήκος ενός αυτοκινητόδρομου με αποστάσεις ΑΒ= km, ΒΓ = 4 km και ΑΓ=6 km. Ένα αυτοκίνητο κινούμενο συνεχώς ξεκινά από την πόλη Α, περνάει από την πόλη Β μετά από 3 ώρες και φθάνει στην πόλη Γ σε 6 ώρες. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγμές που διαφέρουν κατά 3 ώρες, έτσι ώστε το αυτοκίνητο τη μία χρονική στιγμή είχε διπλάσια ταχύτητα απ ό,τι την άλλη (η συνάρτηση που εκφράζει το διάστημα συναρτήσει του χρόνου είναι συνεχής και παραγωγίσιμη. (Υπόδειξη : Θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση g(t) = s(t+3) s(t)) (Εξετάσεις ΑΣΕΠ 9 Μαθηματικών) 13. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R με f() για κάθε R τέτοια ώστε f () 3 lim 8 και επίσης f (1) f () f (1) f () f (1). 4 α) Να βρείτε το f() β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση Cf της f έχει μία τουλάχιστον οριζόντια εφαπτομένη. f (4) f ()i 14. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R. Αν ο μιγαδικός αριθμός w i R, να δείξετε ότι υπάρχει ξ (,4) τέτοιο ώστε τα σημεία Α(f(ξ),ξ), Β( f ( ), 1), Ο(,) να είναι συνευθειακά. 15. Έστω f : R R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f() για κάθε R. Αν ισχύει f () 4 4f ( ) για κάθε R. Να δείξετε ότι : α) υπάρχει 1 (,1) τέτοιο ώστε f ( 1) β) υπάρχει ξ (-1,1) τέτοιο ώστε f ( ) 16. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R. Οι μιγαδικοί αριθμοί f (1) f () i w 1, w f (3) 3i είναι ρίζες της εξίσωσης z 4z, α R. Να δείξετε ότι : α) η εξίσωση f()= έχει τουλάχιστον ρίζες στο (1,3) β) υπάρχει ξ (1,3) τέτοιο ώστε f ( ) 17. Έστω f : R R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f συνεχή στο R και f() f(4). Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης Cf της f στο σημείο της f () Α(,f()) είναι παράλληλη στην ευθεία η : f (4) y 1. Να f (4) δείξετε ότι : α) υπάρχει ξ (,4) τέτοιο ώστε f(ξ) f (ξ) f (ξ) β) η εξίσωση f() f () - 1 έχει μία τολάχιστον λύση στο (,4). 3
18. Να δείξετε ότι : ln( ) ln( ) α) εφα < < εφβ, < α < β < β), < α β < 1 1 1 γ) ln(1 ), > 1 19. Να αποδείξετε ότι e e π e. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) f ( ) f ( ) με f ( ), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε 3 3 f ( ). 1. Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Aν η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(α,f(α)) τέμνει τη Cf στο Β(β,f(β)), με β > α, να δείξετε ότι : α) η f δεν είναι 1 1 β) υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε f ( ).. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο [α,β] συνάρτηση f για την οποία ισχύουν f(α)=β+4α, f(β)=α+4β. Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ1, ξ, ξ3 (α,β) τέτοια ώστε f ( 1) f ( ) f ( ξ ) 9 ξ 3. 3. Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,6] για την οποία ισχύει f(4)=f()+f(6). Να δείξετε ότι υπάρχει (,6) τέτοιο ώστε f ( ). 4. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,3] με f(1)= και -3 f () (1,3). Να δείξετε ότι f (3) 4. 1 για κάθε 5. Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο [1,], παραγωγίσιμη στο (1,) με f(1) = και f() = 4. Nα δείξετε ότι : α) υπάρχει (1,) τέτοιο ώστε f() = (3-) β) υπάρχουν ξ1, ξ (1,) τέτοια ώστε ( ) f ( ) 4. f 1 6. Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με f ( ) 3f ( ) για κάθε R. f( ) α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g( ) 3 είναι σταθερή στο R. β) Να βρείτε τη συνάρτηση f αν είναι γνωστό ότι η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(,1). e 4
7. Για τη συνάρτηση f : R R, ισχύει f ( ) f ( ) 1 ( ) α,β R. Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή στο R. β για κάθε 8. Να αποδείξετε ότι ( 4 4 4 ρ) ρ ( ρ ρ ) για κάθε R. 9. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f για την οποία ισχύει 1 f () ( 3)f () e, για κάθε R και f()=e. 3. Να βρείτε συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το R, για την οποία ισχύουν f () ( 1) f () f () 1 και f() =. (Εξετάσεις ΑΣΕΠ 6 Μαθηματικών) 31. Δίνεται η συνάρτηση f : R R δύο φορές παραγωγίσιμη με f() = f ()=1 και f ()f () [f ()] f () f (), R. Να αποδείξετε ότι : 1 α) f ()f () e, για κάθε R β) f () e, για κάθε R γ) f () e, για κάθε R 3. Να βρείτε παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (,+ ) R τέτοια ώστε f(y)=f()+f(y) για κάθε, y R και f (1) 1. 33. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g δύο φορές παραγωγίσιμες στο R με f () g () για κάθε R. Αν f(1) = f (1)= και g(1)= g (1) = 1, να δείξετε ότι f() g() =. 34. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει f(+y) = f()+f(y)+y+y για κάθε,y R και f ()=. 35. Έστω f : R R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f(1)=1, f()= 1, f(3)= και f (4). Να δείξετε ότι : α) υπάρχει (1,3 ) τέτοιο ώστε f ( ) β) υπάρχει (1,4 ) τέτοιο ώστε f ( ) f (ξ) 36. Έστω f : R R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f ( 1)=1 και f ( )= και f () 3 lim. ξ α)να δείξετε ότι υπάρχει ξ (, 1) τέτοιο ώστε f ( ) e β) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης Cf της f στο σημείο Α(,f()) γ) η εξίσωση f () f () έχει μία τουλάχιστον λύση στο (,) 5
37. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R με f() για κάθε R και f(1) f()= f(3) f(4). Να δείξετε ότι : α) υπάρχει ξ1 [1,] τέτοιο ώστε f ( 1) f (1) f () β) υπάρχει ξ (1,4) τέτοιο ώστε f ( ) 38. Έστω f : [λ,1] R, παραγωγίσιμη με f () 3 για κάθε [λ,1], f(λ)= (λ+1) 3, f(1)=8. α) Να βρείτε την τιμή του λ R β) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ R τέτοιο ώστε f ( ) f( ) 1 39. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R και ο μιγαδικός αριθμός z με z R τέτοιος 1 1 ώστε z f (1) και z f (). z z α) Να δείξετε z 1 β) Να δείξετε ότι f () f (1) γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (1,) τέτοιο ώστε f( ) f ( ) 1 4. Έστω f συνεχής στο [α,β] και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) με f συνεχή στο (α,β). Αν ισχύει f(α)=f(β)= και υπάρχουν γ, δ (α,β) με γ<δ και f(γ)<<f(δ), να δείξετε ότι : α) Υπάρχει (α,β) τέτοιο ώστε f()= β) Yπάρχουν ξ1, ξ (α,β) τέτοια ώστε f ( 1) και f ( ) γ) Υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α,β) τέτοιο ώστε f ( ) 1 41. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R με f() για κάθε R. Αν f ( ) 1 f () f(1 ) e για κάθε R, να βρείτε τον τύπο της f. και 4. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο (,+ ) για την οποία ισχύει f(1)= και η εφαπτομένη που διέρχεται από το τυχαίο σημείο Μ(,f()) της Cf τέμνει τους άξονες και y y στα σημεία Α, Β αντίστοιχα, έτσι ώστε το Μ να είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. 6