Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Δομή της παρουσίασης 2 Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Πεδίο χρόνου & πεδίο συχνότητας Συνάρτηση Μεταφοράς Ανάλυση σε Γραμμικά Συστήματα Ανάπτυξη Περιοδικών Σημάτων σε Σειρές Furier Παράδειγμα περιοδικής παλμοσειράς Ιδιότητες Σειρών Furier και Παραδείγματα Ανάπτυξη Πραγματικών Σημάτων σε Τριγωνομετρικές Σειρές Furier Συμμετρίες Σημάτων Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Περιοδικά Σήματα Θεώρημα Parseval για Περιοδικά Σήματα

Συχνότητα 3 Η συχνότητα είναι το φυσικό μέγεθος που αναφέρεται σε ένα περιοδικό φαινόμενο και που εκφράζει πόσες φορές λαμβάνει χώρα το φαινόμενο αυτό σε δεδομένο χρονικό διάστημα. Συνήθως τη συχνότητα την αντιλαμβανόμαστε καλύτερα θεωρώντας ένα σώμα σε ορισμένη περιοδική κίνηση που διαγράφει ένα πλήρη κύκλο ή πραγματοποιεί μια πλήρη ταλάντωση, όταν αφού διέλθει από μια σειρά ενδιάμεσων θέσεων ή καταστάσεων επανέλθει στην αρχική του θέση. Ο χρόνος που απαιτείται για ένα πλήρη κύκλο καλείται περίοδος και είναι το αντίστροφο της συχνότητας. Πεδίο Συχνότητας 4 Στην πράξη όμως τα σήματα είναι πιο πολύπλοκα και συνήθως εμπεριέχουν-καταλαμβάνουν, περισσότερες της μιας συχνότητες. Η αναπαράσταση ενός σήματος στο πεδίο της συχνότητας καλείται φάσμα του σήματος. Η φασματική αναπαράσταση είναι εξαιρετικά σημαντική στην ανάλυση και τη σχεδίαση των τηλεπικοινωνιακών συστημάτων, επιτρέποντας την περιγραφή των σημάτων με την μέση ισχύ ή το ενεργειακό περιεχόμενο σε διαφορετικές συχνότητες, την απεικόνιση του εύρους ζώνης, καθώς και της περιοχής του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος που καταλαμβάνουν. 2

Πεδίο Συχνότητας 5 Περιγράφοντας ένα σήμα με το φάσμα του, ουσιαστικά προσδιορίζουμε το πλάτος και τη φάση του συναρτήσει της συχνότητας. Στα συστήματα πολύ σημαντική είναι η συνάρτηση μεταφοράς, δηλαδή μια έκφραση στο πεδίο της συχνότητας που περιγράφει τη σχέση εξόδουεισόδου. Με τη συνάρτηση μεταφοράς προσδιορίζουμε την επίδραση που έχει το σύστημα στο φασματικό περιεχόμενο του σήματος εισόδου. Υποδεικνύει δηλαδή την επίδραση του συστήματος στα στοιχειώδη σήματα εισόδου. Συνάρτηση Μεταφοράς 6 Όπως έχουμε δείξει η συνάρτηση μεταφοράς συμβολίζεται jh( f) j p ft - 2 ( t) H f H f e h e dt ò - 3

Ανάλυση Furier 7 Ανάλυση Furier : ανάλυση των σημάτων σε ημιτονοειδείς συνιστώσες. Με την ανάλυση Furier είναι δυνατή η αναπαράσταση των σημάτων στο πεδίο της συχνότητας, δηλαδή ο υπολογισμός του φάσματος που καταλαμβάνουν. Επιτρέπει το χαρακτηρισμό των συστημάτων με χρήση της Συνάρτησης Μεταφοράς. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την Ανάλυση Furier. Ο τύπος του σήματος καθορίζει το ποια μέθοδος θα χρησιμοποιείται κάθε φορά. Περιοδικά Σήματα αναπαριστώνται με Σειρές Furier. Σήματα Ενέργειας με Μετασχηματισμό Furier. Σειρές Furier και ΓΧΑ Συστήματα 8 H ανάλυση ενός ΓΧΑ συστήματος γίνεται με τη βοήθεια του συνελικτικού ολοκληρώματος, αλλά ο υπολογισμός του δεν είναι πάντα εύκολος. Εναλλακτικά : Αναπτύσσουμε το σήμα εισόδου σε γραμμικό συνδυασμό στοιχειωδών σημάτων. Η έξοδος του συστήματος σε κάθε στοιχειώδη διέγερση είναι εύκολα υπολογίσιμη. Εφαρμόζουμε τη γραμμικότητα του συστήματος για τον υπολογισμό της απόκρισης στο αρχικό σήμα εισόδου. Οι Σειρές Furier είναι ένα πολύτιμο εργαλείο ανάπτυξης περιοδικών σημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα. 4

Ανάλυση Γραμμικού Συστήματος 9 0 Ανάπτυξη Περιοδικών Σημάτων σε Σειρές Furier Έχουμε δει ότι τα μιγαδικά εκθετικά είναι ιδιοσυναρτήσεις των ΓΧΑ συστημάτων. Η απόκριση σε ένα μιγαδικό εκθετικό είναι ένα άλλο μιγαδικό εκθετικό της ίδιας συχνότητας αλλά με διαφορετικό πλάτος και φάση. Δηλαδή αν xt Ae ( 2p f t+ J) y t A H f e j ( 2p + J+ ) j f t H f ( ( )) H f H f e h e d j H f ò ( t) - j2p f t - t 5

Ανάπτυξη Περιοδικών Σημάτων σε Σειρές Furier α μιγαδικά εκθετικά είναι ιδιοσυναρτήσεις των ΓΧΑ συστημάτων. Ποια σήματα όμως μπορούν να αναπτυχθούν με μιγαδικά εκθετικά??? Συνθήκες Dirichlet :Θεωρούμε περιοδικό σήμα με περίοδο Τ ο. Αν /2. Το σήμα είναι απόλυτα ολοκληρώσιμο: ò xt dt< - /2 2. Έχει πεπερασμένο αριθμό από μέγιστα και ελάχιστα σε κάθε περίοδο 3. Έχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών σε κάθε περίοδο και επιπλέον οι τιμές των ασυνεχειών είναι πεπερασμένες τότε 2 Ανάπτυξη Περιοδικών Σημάτων σε Σειρές Furier Το σήμα μπορεί να αναπτυχθεί με τη βοήθεια των μιγαδικών εκθετικών σημάτων 2 t j p j2p ft å å - - xt xe xe a+ 2p t a+ - j - j2p f t x x( t) e dt x( t) e dt 0, ±, ± 2, ò ò! a a Όπου α μια αυθαίρετη παράμετρος η τιμή της οποίας επιλέγεται ώστε να διευκολύνει στην ολοκλήρωση. Συνήθως χρησιμοποιούμε a (- /2) ή a 0 6

Περιοδικά Σήματα & Σειρές Furier 3 Αυτή η ανάπτυξη του x(t) καλείται μιγαδική εκθετική σειρά Furier. Οι συντελεστές x καλούνται μιγαδικοί συντελεστές Furier x x e jx Η ποσότητα f / καλείται βασική συχνότητα του σήματος. Οι συχνότητες των μιγαδικών εκθετικών σημάτων είναι πολλαπλάσια αυτής της βασικής συχνότητας και καλούνται αρμονικές. Π.χ. οι όροι με ±2 έχουν συχνότητα διπλάσια της βασικής και καλούνται συνιστώσες 2ης αρμονικής. Περιοδικά Σήματα & Σειρές Furier 4 H ανάπτυξη σε σειρά Furier δεν είναι τίποτε άλλο από την ανάπτυξη του σήματος με ορθογώνια βάση p * και j j t e t e j2 f t - j2pf t /2 /2 j2 ft j2 kft j2 ( k) ft e p - p ì ò e p dt ò e - dt í 0 - /2 - /2 a+ - j2p ft x x( t) e dt a î k ò 0, ±, ± 2,! ¹ k 7

Περιοδικά Σήματα & Σειρές Furier 5 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Για 0 προκύπτει μια σταθερή συνιστώσα του σήματος η οποία συνήθως αποκαλείται και dc συνιστώσα και είναι η μέση τιμή του σήματος στη διάρκεια μιας περιόδου, δηλαδή x ò - /2 /2 x t dt το φάσμα ενός περιοδικού σήματος είναι διακριτό, με συνιστώσες σε συχνότητες ακέραια πολλαπλάσια της βασικής 0, ± f ± 2 f, ± 3 f,! Παράδειγμα 6 Θεωρούμε την περιοδική παλμοσειρά æt- ö å P ç - t è ø A xt - /2 t /2 xt ìa - t / 2 t t / 2 í î 0 στην υπόλοιπη περίοδο 8

Παράδειγμα 7 /2 2pt /2 2pt - j t j A - x x( t) e dt e dt ò ò x - /2 -t /2 2pt t /2 pt pt - j j j A - Aæ öé ù æ öæ ö ç - êe ú ç - e -e è j2pøê ú è j2pø ç ë û è ø -t /2 A æpt ö si ç 0, ±, ± 2,! p è ø A t æ si p t ö A t æ sic t ö ç ç pt è ø è ø Παράδειγμα 8 Μηδενισμοί για t ±, ± 2,! Παράδειγμα για 4t Duty Cycle æ t ö ç è ø 9

Παράδειγμα 9 Παρατηρήσεις At Το μέγιστο πλάτος είναι και αντιστοιχεί σε μηδενική συχνότητα, δηλαδή πρόκειται για την dc συνιστώσα. Η απόσταση των αρμονικών είναι f Καλείται και Pulse Repetiti Frequecy (PRF) Οι μηδενισμοί συμβαίνουν για που είναι ακέραια πολλαπλάσια του αντιστρόφου duty cycle, δηλαδή m m f m, 2, t Þ t ± ±! Παράδειγμα 20 Η φάση παίρνει τιμές 0 ο και ±80 ο ανάλογα με την πολικότητα της συνάρτησης æt ö sicç è ø 0

Παράδειγμα 2 Τελικά η περιοδική παλμοσειρά γράφεται At æt ö x( t) å sicç e - è ø 2p t j Παρατηρήστε την απειρία των όρων στο άθροισμα. Η βάση των μιγαδικών εκθετικών είναι πλήρης και ορθοκανονική. Τι θα συμβεί αν περιορίσουμε τον αριθμό των όρων??? Παράδειγμα 22

Παράδειγμα Επίδραση Παραμέτρων 23 Σταθερή διάρκεια θετικού μετώπου - μεταβλητή περίοδος Παράδειγμα Επίδραση Παραμέτρων 24 Σταθερή περίοδος μεταβλητή διάρκεια - θετικού μετώπου 2

Παράδειγμα Επίδραση Παραμέτρων 25 Τ ο /RPF Εύρος παλμών a. Παλμοσειρά αναφοράς Παράδειγμα Επίδραση Παραμέτρων 26 a. Παλμοσειρά αναφοράς b. Παλμοί μεγαλύτερου εύρους αλλά με ίδιο PRF δίνουν στενότερους λοβούς με την ίδια όμως πυκνότητα φασματικών γραμμών 3

Παράδειγμα Επίδραση Παραμέτρων 27 a. Παλμοσειρά αναφοράς c. Ίδιοι σε εύρος παλμοί με μικρότερη PRF δίνουν ίδιους σε εύρος λοβούς με μεγαλύτερη πυκνότητα φασματικών γραμμών Παράδειγμα Επίδραση Παραμέτρων 28 a. Παλμοσειρά αναφοράς d. Μεγαλύτερου εύρους παλμοί με μικρότερη PRF δίνουν στενότερους λοβούς με μεγαλύτερη πυκνότητα φασματικών γραμμών 4

Παράδειγμα Επίδραση Παραμέτρων 29 Παράδειγμα 30 Θεωρούμε την κρουστική παλμοσειρά å d ( - ) xt t - Οι μιγαδικοί συντελεστές Furier είναι /2 2pt /2 2 t p -j -j x x( t) e dt ( t) e dt ò d ò - /2 - /2 5

Παράδειγμα 3 Άρα η κρουστική παλμοσειρά γράφεται å d 2p t j å xt t- e - - Το φάσμα είναι διακριτό και αποτελείται από κρουστικές πλάτους /Τ ο και σε συχνότητες ακέραια πολλαπλάσια της βασικής f /. Άρα πρόκειται για κρουστική παλμοσειρά στο πεδίο της συχνότητας, æ ö X( f ) å d ç f - - è ø Ιδιότητες Σειρών Furier - Γραμμικότητα 32 Έστω περιοδικό σήμα g(t) με περίοδο Τ ο, που μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός δύο περιοδικών σημάτων της ίδιας περιόδου a + b g t x t y t Τότε οι μιγαδικοί συντελεστές Furier g γράφονται g ax + by όπου x και y οι αντίστοιχοι μιγαδικοί συντελεστές Furier των x(t), y(t). 6

Παράδειγμα - Γραμμικότητα 33 Το x(t) είναι τετραγωνικός παλμός A/2 a + b yt g t x t y t x b - At æt ö ì0 για ¹ 0 sicç y í îa/ 2 για 0 è ø ìx για ¹ 0 ï g ax + by x - y í At A ï - για 0 î 2 34 Ιδιότητες Σειρών Furier Χρονική Ολίσθηση yt xt ( -t ) Απλή μετατόπιση στη φάση /2 ( t) 2p t - j y x( t- t) e dt ò - /2 /2 2p t t-t - j e - /2 ( t) ( t+ t ) 2p t /2 2pt - j - j 2p t - j x e d e x e d ò x - /2 ò t t 7

Παράδειγμα Χρονικής Ολίσθησης 35 2p t j p p p j j j t t 2 2 2 - - - - A æ ö A æö y e x e x e sicç e sicç è ø 2 è2ø 36 Ιδιότητες Σειρών Furier Χρονική Αναδίπλωση y( t) x( -t) Αναδίπλωση των συντελεστών y x - Λόγω της ιδιότητας αυτής αν το x(t) είναι άρτιο τότε και οι συντελεστές Furier διατηρούν την αρτιότητα, δηλαδή x- x Αν το x(t) είναι περιττό τότε και οι συντελεστές Furier είναι, δηλαδή x - -x 8

Παράδειγμα Χρονικής Αναδίπλωσης 37 p p p j j A 2 2 æ-ö j A 2 æö g y- e x- e sicç e sicç 2 è 2 ø 2 è2ø 2p t j p p j j 2 2 - A æö g e x e x e sic ç 2 è2ø 38 Ιδιότητες Σειρών Furier Χρονική Κλιμάκωση Έστω περιοδικό σήμα x(t) με περίοδο Τ ο και xat yt Το y(t) είναι πάλι περιοδικό με περίοδο a/ ή βασική συχνότητα af. y( t) x( at) å xe p - j af t 2 δηλαδή ενώ οι συντελεστές δεν μεταβάλλονται, η όλη ανάπτυξη έχει αλλάξει λόγω της αλλαγής της βασικής συχνότητας. 9

Παράδειγμα Χρονικής Κλιμάκωσης 39 x At æt ö sicç è ø t t 2pt 4 t j p At æt ö j At æt ö å x t sicç e sicç e - è ø - è ø 2 å Ιδιότητες Σειρών Furier Πολλαπλασιασμός Σημάτων Μιγαδική Συζυγία 40 Αν συμβολίσουμε ως g(t) το γινόμενο δύο περιοδικών σημάτων x(t), y(t), τότε Ουσιαστικά πρόκειται για τη συνέλιξη δύο σημάτων διακριτού χρόνου g å xiy-i i- Για τη μιγαδική συζυγία Αν y(t)x*(t) τότε y x * - 20

4 Ανάπτυξη σε Τριγωνομετρικές Σειρές Furier Τα πραγματικά σήματα αναπτύσσονται σε τριγωνομετρικές σειρές Furier. Αν το x(t) είναι πραγματικό x x * - x x x- - x - [ x ] [ x ] [ x ] - [ x ] Re Re Im Im - - Θέτουμε x a - jb x a + jb - 42 Ανάπτυξη σε Τριγωνομετρικές Σειρές Furier 2pt 2pt 2pt 2pt j - j j - j + - ( - ) + ( + ) x e x e a jb e a jb e 2pt 2pt 2pt 2pt æ j - j ö æ j - j ö a e + e - jb e -e ç ç è ø è ø æ2p t ö æ2p t ö 2acs ç + 2bsi ç è ø è ø é æ2pt ö æ2pt öù xt a0 + 2å acsç + bsiç êë è ø è øúû 2

43 Ανάπτυξη σε Τριγωνομετρικές Σειρές Furier cs[ 2p ] 2cs 2p( 2 ) 3cs 2p( 3 ) bsi[ 2p f t] bsi é2p( 2 f ) tù bsi é2p( 3 f ) tù xt a+ a ft+ a éë f tùû+ a éë f tùû+! + + + 2 ë û+ 3 ë û+! Συντελεστές Furier a+ æ2p t ö a x( t) cs dt, 2, ò ç! a è ø a+ æ2p t ö b x( t) si dt, 2, ò ç! a è ø x a 0 0 Παράδειγμα 44 2 2 æ2p t ö a x( t) cs dt ( A) cs( pt) dt ( 0) cs( pt ) dt 2ò ç + è 2 ø 2ò 2ò 0 0 A Aæ ö cs( pt) dt si ( pt) 0 για 0 2ò ç ¹ 2 èp ø 0 0 A A a cs( 0 ) 2òA p t dt dt 2ò 2 0 0 22

Παράδειγμα 45 2 2 æ2p t ö b x( t) si dt ( A) si ( pt) dt ( 0) si ( pt) dt 2ò ç + è 2 ø 2ò 2ò 0 0 A Aæ ö Aæ ö si ( pt) dt cs ( pt) cs ( p) 2ò ç - ç - + 2 è p ø 2 è p pø 0 0 A é - cs 2p ë ( p ) ùû ( p ) é æ2p t öù A éé - cs ù ù x( t) a0 + 2 b si A ë û å ç + åê si ( p t) ú êë è øúû 2 êë p úû A 2Aé ù + si ( pt) si ( p3t) si ( p5t) 2 p ê + + +! 3 5 ú ë û Συμμετρίες Σημάτων 46 Αν το πραγματικό σήμα x(t) είναι άρτιο æ2p t ö b 0 xt a + 2åacsç è ø Αν το πραγματικό σήμα x(t) είναι περιττό æ2p t ö a 0 xt 2åb siç è ø 23

Παραδείγματα 47 si ( 2p ft) xt a 0 b si 2 f t si 2 f t dt ( p ) ( p ) 0 0 { é p ù é p ù} cs 2 ft cs 2 ft dt ò - - + 2 ë û ë û ò cs é2p ft( ) ùdt cs é2p ft ( ) ùdt 2 ò ë - û - + 2 ò ë û 0 0 Για όλες τις τιμές του εκτός από, b 0 b dt 2 2 ò ( p ) 0 { } ( p ) xt 2 bsi 2 ft si 2 ft Παραδείγματα 48 -j * j - x a- jb - jb x- x 2 2j 2 2j si 2 ( p ) j2p ft - j2p ft e - e ft e - e 2j 2j 2j Όμοια για το xt cs ( 2p ft) a dt 2 ò 2 0 j2p f t - j2p f t b 0 * x a- jb a x- x x a 2 2 24

Παραδείγματα 49 si ( t) xt 0 < t < p b 0 p p 2 a si ( t) dt éë- cs ( t) ùû [ + ] ò 0 p p p p 0 p p p æ2p t ö a x( t) cs dt si ( t) cs( 2t) dt si ( t 2t) si ( t 2t) dt pò ç é + + - ù p pò pòë û è ø 0 0 0 p 0 é cs é 2+ tù cs é 2- tùù é- cs é 2+ pù cs é 2- pù-ù ë û ë û ë û ë û ê- + ú ê + ú p êë 2+ 2- úû p êë 2+ 2- úû Παραδείγματα 50 ( ) pùû ( p) ( ) pù ( p) cs éë 2 + - cs 2 - cs éë 2 - û - cs 2 - a ( ) ( 2-) -( 2+ ) ù - 2 2 ( )( ) ( ) é 2 2 ù 2 é 2-2 + ù ê - ú ê - ú p êë( 2+ ) ( 2- ) úû p êë 2+ 2-2- 2+ úû 2 é 2 é 2 ù 4 é ù ê ú - p 2 + 2 - p ê ë4 -ú û p ê ë4 -ú êë úû û 2-4é ù å 2 p p ê4 -ú ë û + 2 cs( 2t) xt 25

Παραδείγματα 5 b a 0 0 3 /4 /4 3 /4 A -A a x t f t dt f t dt + f t dt ò cs( 2p ) ò cs( 2p ) ò cs( 2p ) 2 2 /4 - - /4 /4 ì ï0 για άρτιο A æp ö ï A si ç í για,5,9,! p è 2 ø ïp ï - A για 3,7,,! ïî p Παραδείγματα 52 2A é ù xt cs( 2p ft ) cs( 2p3 ft ) cs( 2p5 ft ) p ê - + -! 3 5 ú ë û k 0 (-) k 2A å cs é2p 2 + p 2k + ë ( k ) ftùû 26

Θεώρημα Parseval 53 Το περιεχόμενο ισχύος ενός περιοδικού σήματος ισούται με το άθροισμα του περιεχομένου ισχύος των αρμονικών συνιστωσών του, δηλαδή x a+ 2 å ò - a 2 P x x t dt όπου x οι μιγαδικοί συντελεστές Furier. Αν χρησιμοποιήσουμε τις τριγωνομετρικές σειρές Furier, τότε a+ 2 2 2 P 2 x a + å a + b x t dt ò a 54 Ευχαριστώ για την προσοχή σας Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Τηλ: +30 20 442759 e-mail: kaatas@uipi.gr 27