University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient Difference Equations) Ένας 2 ος τρόπος αναπαράστασης ΓΧΑ συστημάτων (αντί της συνέλιξης με την κρουστική απόκριση) Χρήσιμος στην υλοποίηση των συστημάτων Ανάλογος των διαφορικών εξισώσεων στα συστήματα συνεχούς χρόνου Accumulator 2 1
Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Ηλύσηδενείναιμοναδική Ομογενής λύση (homogeneous solution) + βεβιασμένη απόκριση (forced response) Μοναδική μόνο με κάποιες βοηθητικές συνθήκες (auxiliary conditions) Χρειάζονται Ν βοηθητικές συνθήκες Αυτές οι συνθήκες καθορίζουν κατά πόσο ένα σύστημα είναι ΓΧΑ και αιτιατό Αν το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ανάπαυσης αρχικά (initial rest) τότε θα είναι όλα τα πιο πάνω yn [ ] = y[ n] + y[ n] N k = 0 p ay[ n k] = 0 k h h 3 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Ηλύσηδενείναιμοναδική Αν είναι γνωστές μια σειρά από τιμές εξόδου μπορούμε να καθορίσουμε τη λύση με αναδρομικές (recursive) εξισώσεις Παράδειγμα yn [ ] = ayn [ 1] + xn [ ] x[ n] = Kδ[ n], y[ 1] = c Είναι ΓΧΑ και αιτιατό; Δεν είναι Γ Δεν ισχύει η αναλογικότητα για x[n]=0 Δεν είναι ΧΑ x 1 [n] = Kδ[n-n 0 ] y 1 [n] y[n] Δεν είναι αιτιατό y[n-1]=a -1 [y[n]-x[n]] y[0] = ac+ K 2 y[1] = ay[0] + 0 = a( ac+ K) = a c+ ak 2 3 2 y[2] = ay[1] + 0 = a( a c+ ak) = a c+ a K 3 2 4 3 y[3] = ay[2] + 0 = a( a c+ a K) = a c+ a K... n+ 1 n [ ] for n 0 yn = a c+ ak 1 yn [ 1] = [ yn [ ] xn [ ]] a [ 2] = ( [ 1] [ 1]) = ( + 0) = 1 1 1 y a y x a c a c y = a y x 1 [ 3] ( [ 2] [ 2] 1 1 2 a a c a c 1 1 2 3 y[ 4] = a ( y[ 3] x[ 3]) = a ( a c+ 0) = a c... yn a c n+ 1 [ ] = for n -1 yn a c Kaun n+ 1 n [ ] = + [ ] for all n ) = ( + 0) = 4 2
Σε ΓΧΑ συστήματα Μιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις είναι ιδιοσυναρτήσεις του συστήματος Είσοδος ημιτονοειδής έξοδος ημιτονοειδής με ίδια συχνότητα (πλάτος και φάση καθορίζονται απότοσύστημα) Χρήσιμος ο μετασχηματισμός Fourier Οι ιδιοτιμές H(e jω ) ονομάζονται απόκριση συχνότητας (frequency response) Είναι συνήθως μιγαδική 5 Παράδειγμα Απόκριση συχνότητας του ιδανικού συστήματος καθυστέρησης (ideal delay system) yn [ ] = xn [ n] hn [ ] = δ[ n n] d d Μέθοδος 1 xn [ ] = e jωn Μέθοδος 2 jωn ω( d ) { } yn [ ] = T e j = e n n jωnd = e e jω He ( ) = e jωnd jω He ( ) = hke [ ] k = jωk jωn jω jωk jωnd He ( ) = δ[ k n] e = e k = d 6 3
Η απόκριση συχνότητας ΓΧΑ συστημάτων διακριτού χρόνου Είναι πάντα περιοδική με συχνότητα ω και περίοδο 2π Καθορίζεται μόνο μεταξύ π < ω π Οι ψηλές συχνότητες βρίσκονται γύρω από το 0 Οι χαμηλές συχνότητες γύρω από το ±π Έξοδος ημιτονοειδής με ίδια συχνότητα (πλάτος και φάση καθορίζονται από το σύστημα) 7 Ιδανικά φίλτρα επιλογής συχνοτήτων (ideal frequency selective filters) 8 4
Απόκριση (Frequency response) Πολλά σήματα μπορούν να καθοριστούν ως ένα άθροισμα μιγαδικών εκθετικών Αν αυτό ισχύει, το σήμα εξόδου y[n] καθορίζεται από την απόκριση συχνότητας Μετασχηματισμός Fourier Αντίστροφος Μετασχηματισμός Fourier ω συνεχής μεταβλητή n διακριτή μεταβλητή Ο μετασχηματισμός Fourier είναι συνήθως μιγαδικός (πλάτος & φάση) Το x[n] αποτελείται από πολλά μικροσκοπικά μιγαδικά ημιτονοειδή 9 Μετασχηματισμός Fourier Είναι συνήθως μιγαδικός (πλάτος & φάση) Είναι περιοδικός με περίοδο 2π Αν το x[n] αθροίζεται (absolutely summable) τότε ο μετασχηματισμός Fourier καθορίζεται και υπάρχει (exists) 10 5
Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο (ideal low pass filter) Μη-αιτιατό Δεν αθροίζεται Το πεπερασμένο (finite) άθροισμα είναι σημαντικό στο σχεδιασμό φίλτρων διακριτού χρόνου 11 Μετασχηματισμός Fourier σταθεράς 12 6
Συμμετρικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier Συζυγής Συμμετρική Σειρά (conjugate-symmetric sequence) Συζυγής Αντι-συμμετρική Σειρά (conjugateantisymmetric sequence) 13 Συμμετρικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier 14 7
Γραμμικότητα μετασχηματισμού Fourier Μετατόπιση στο χρόνο και στη συχνότητα Αντιστροφή στο χρόνο Παράγωγος 15 Θεώρημα του Parseval Ε=ενέργεια Θεώρημα Συνέλιξης Θεώρημα διαμόρφωσης (modulation) ή παράθυρου (windowing) 16 8
Μετασχηματισμοί κάποιων συναρτήσεων 17 Παράδειγμα 18 9
Παράδειγμα 19 10