1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika A(x 1, x 2 ) = (x 1, ax 1 + 2x 2 ), za neki a R. Odredite jednu vrijednost a za koju je preslikavanje s skalarni produkt te jednu vrijednost a za koju s nije skalarni produkt. Sve tvrdnje detaljno obrazložite. Napomena. S (..) označavamo standardni skalarni produkt na R 2. Rješenje: Očito je s(x, x) = x 2 1 + ax 1 x 2 + 2x 2 2 pa uočavamo da je strogost ispunjena za a = 0, a i ostala svojstva se lako dobiju (analogno kao i kod standarnog sklarnog produkta na R. Za a = 2 2 je S(x, x) = (x 1 + 2x 2 ) 2 pa uočavamo da strogost nije ispunjena u tom slučaju jer je npr. S( 2, 1) = 0, a ( 2, 1) 0. Time smo dobili da s nije skalarni produkt za a = 2 2. M. Erceg, L. Rimanić, L. Žunić, J. Šiftar NAPOMENE: Vrijeme rješavanja je 120 minuta. Raspored bodova je 10+10+15+15+10. Na svaki list papira čitljivo se potpišite.
2. (10 bodova) Neka je A = {(x, y, z, w) C 4 : x y z + w = 0, x + z = 0}. Nađite A te po jednu ortonormiranu bazu za A i A. Rješenje: Najprije odredimo bazu za A što je {(0, 1, 0, 1), (1, 2 1, 0)}, a potom nađemo bazu za A : {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 2, 1)}. Gram-Schmidtovim postupkom ortonormiramo obje baza pa dobivamo { 2 (0, 1, 0, 1), 1(1, 1, 1, 1)}, odnosno { 2 (1, 0, 1, 0), 1 ( 1, 1, 1, 1)}. 2 2 2 2
3. (15 bodova) Neka je P 3 vektorski prostor polinoma stupnja manjeg ili jednakog 3. Neka je S : P 3 P 3 definiran sa a) Dokažite da je S linearan operator. (Sp)(t) = p (t 1) + (t p(t)). b) Odredite matrični prikaz operatora S u kanonskoj bazi. c) Odredite rang i defekt te po jednu bazu za jezgru i sliku. Rjesenje: a) Uočimo najprije: Raspišimo sada po definiciji: (tp(t)) = (p(t) + tp (t)) = 2p (t) + tp (t) ( tp (t)!!). S(αp 1 + βp 2 )(t) = (αp 1 + βp 2 ) (t 1) + (t(αp 1 + βp 2 )(t)) = (svojstva derivacije) = αp 1(t 1) + βp 2(t 1) + 2(αp 1 + βp 2 ) + t(αp 1 + βp 2 ) (t) = (αp 1(t 1) + (2αp 1(t) + αtp 1(t))) + (αp 2(t 1) + (2αp 2(t) + αtp 2(t))) = αsp 1 (t) + βsp 2 (t). b) Za proizvoljni p(t) = at 3 + bt 2 + ct + d dobivamo pa je matrični prikaz jednak (Sp)(t) = 15at 2 + ( 6a + 8b)t + 3a 2b + 3c, c) Vrijedi (Sp)(t) = 0 ako i samo ako je 0 3 2 3 0 0 8 6 0 0 0 15 0 0 0 0 15a = 0 6a + 8b = 0 3a 2b + 3c = 0. Odavde vidimo da je p Ker S ako i samo ako je p(x) = d, za neki d R, tj. baza za Ker S je {1}. Nadalje, vrijedi Stoga je baza slike. (Sp)(t) = a(15t 2 6t + 3) + 2b(4t 1) + 3c 1. {15t 2 6t + 3, 4t 1, 1}. Očito slijedi r(s) = 3, d(s) = 1, što je u skladu s teoremom o rangu i defektu jer je dimp 3 = 4. Napomena. Vrijedi da je baza slike operatora S jednaka {t 2, t, 1}, ali se to mora dodatno obrazložiti.
4. (15 bodova) Operator T : V 3 (O) V 3 (O) djeluje tako da vektor najprije ortogonalno projicira na xz-ravninu, a zatim tako dobiveni vektor rotira s obzirom na os z za kut π 3. Odredite: a) djelovanje operatora T na proizvoljan vektor v = x i + y j + z k, b) udaljenost vektora a = 1 3 i + 3 3 j + 3 k i b = 3 i + 3 j k od slike operatora T. Rješenje: a) Neka je A operator ortogonalne projekcije na xz-ravninu, a B rotacije s obzirom na os z za kut π. Tada je A(x i + y j + z k) = x i + z k i B(x i + y j + z k) = ( 1x 3 y) i + 3 2 2 ( 3 x + 1y) j + z k, a onda T (x i + y j + z k) = B(A(x i + y j + z k)) = 1x i + 3 x j + z k. 2 2 2 2 b) Iz a) uočavamo da bazu slike čine vektori v 1 = 1 2 i + 3 2 j i v 2 = k. Vektor a se nalazi u slici pa je udaljenost jednaka nula, a za vektor vektor b standarnim postupkom dobivamo d( b, Im) = 3 2 (1 3).
5. (10 bodova) Neka je V unitarni prostor dimenzije 3 i v V jedinični vektor. Može li se zadati linearni operator A : V V tako da vektori v, A(v) i A 2 (v) čine ortonormiranu bazu? Obrazložite odgovor i napišite matricu takvog operatora u primjeru prostora V 3 (O), u ortonormiranoj bazi ( i, j, k), ako se izabere v = i.
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika A(x 1, x 2 ) = (2x 1 + ax 2, x 2 ), za neki a R. Odredite jednu vrijednost a za koju je preslikavanje s skalarni produkt te jednu vrijednost a za koju s nije skalarni produkt. Sve tvrdnje detaljno obrazložite. Napomena. S (..) označavamo standardni skalarni produkt na R 2. M. Erceg, L. Rimanić, L. Žunić, J. Šiftar NAPOMENE: Vrijeme rješavanja je 120 minuta. Raspored bodova je 10+10+15+15+10. Na svaki list papira čitljivo se potpišite.
2. (10 bodova) Neka je A = {(x, y, z, w) C 4 : x + y + z w = 0, y z = 0}. Nađite A te po jednu ortonormiranu bazu za A i A.
3. (15 bodova) Neka je P 3 vektorski prostor polinoma stupnja manjeg ili jednakog 3. Neka je S : P 3 P 3 definiran sa a) Dokažite da je S linearan operator. (Sp)(t) = p (t) + (t p(t 1)). b) Odredite matrični prikaz operatora S u kanonskoj bazi. c) Odredite rang i defekt te po jednu bazu za jezgru i sliku.
4. (15 bodova) Operator T : V 3 (O) V 3 (O) djeluje tako da vektor najprije ortogonalno projicira na yz-ravninu, a zatim tako dobiveni vektor rotira s obzirom na os y za kut π 6. Odredite: a) djelovanje operatora T na proizvoljan vektor v = x i + y j + z k, b) udaljenost vektora a = 2 i + 3 3 j + 2 3 k i b = 3 i j + 3 k od slike operatora T.
5. (10 bodova) Neka je P linearni operator na unitarnom prostoru V 3 (O) takav da za vektore i, j iz jedne ortonormirane baze { i, j, k} vrijedi P ( i) = j, P ( j) = i. Napišite opći oblik matrice takvog operatora P u bazi { i, j, k}. Može li se P ( k) zadati tako da za svaki vektor v V 3 (O) bude ispunjeno v P ( v) = 0? Obrazložite.