ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι f( ) (Μονάδες 8) Α Πότε λέμε ότι η ευθεία y l είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο ; (Μονάδες 3) Α3 Πότε το σημείο (, f ( )) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f; (Μονάδες 4) Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη i Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο, και ισχύει f ( ) g( ) κοντά στο, τότε lim f ( ) lim g( ) ii iii Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του που έχει ασύμπτωτη Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3
ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 iv Αν μία συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο της με τετμημένη, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο v Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α, β, γ Δ, τότε ισχύει ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f( ) ln β γ β f ( ) d f ( ) d f ( ) d α α γ Β Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία Β Να βρείτε το σύνολο τιμών της f Β3 Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της Β4 Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από την C f, y y, και την ευθεία (Μονάδες ), τους άξονες (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f : R R με 4 3 f ( ) a β, α, β Αν f ( ) f () για κάθε R, τότε: Γ Να αποδείξετε ότι α Γ Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Γ3 Να βρείτε για ποιες τιμές του β η εξίσωση f ( ) β 7 έχει δύο πραγματικές ρίζες (Μονάδες 7) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3
ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 Γ4 Να βρείτε το όριο lim ημ f ( ) συν f ( ) ΘΕΜΑ Δ Έστω f : R R μία συνάρτηση με f (), η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f ( ) f ( ) f ( ), για κάθε R Δ Να αποδείξετε ότι f ( ), R και στη συνέχεια ότι f ( ) f ( ), R Δ Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( ) και τους άξονες και yy Δ3 Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα Δ4 Να δείξετε ότι f ( ) f ( ) f ( ), για κάθε Στη συνέχεια να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) f ( ), h ( ), είναι γνησίως αύξουσα στο, (Μονάδες 7) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3
ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Απόδειξη Α Ορισμός Α3 Ορισμός Α4 α Σωστό β Λάθος γ Λάθος δ Σωστό ε Σωστό ΘΕΜΑ Β ( ) Β D f (,), f ( ) (,), για κάθε ( ) ( ) Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,) Β Η f είναι συνεχής στο (,) ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων και γνησίως φθίνουσα άρα f ( A ) lim f ( ), lim f ( ) Έχουμε: lim f ( ) lim ln lim ln u και u limln u u Άρα το σύνολο τιμών της f είναι το f ( A) R lim f ( ) lim ln Β3 Η f είναι γνησίως φθίνουσα, άρα " " οπότε αντιστρέφεται ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 6
ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 Β4 Θέτουμε f ( ) y ln y y e y y e ( e ) y e, y f ( A) R Άρα f ( ) e, R e E f ( ) d d d e e ( e ) [ln( )] d e e e ln ln ln e e ΘΕΜΑ Γ 3 Γ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με f ( ) 4 6 a Είναι f ( ) f () για κάθε R οπότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο που είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της Άρα από το θεώρημα του Fermat θα ισχύει: 3 () 4 6 f a α α Γ Για a είναι: 3 ( ) 4 6 με Με το σχήμα Horner f βρίσκουμε ότι ( ) ( )(4 ) Ισχύει ότι f 4 για κάθε, επειδή το τριώνυμο έχει διακρίνουσα 6 6 Οι ρίζες, το πρόσημο της f ( ) και η μονοτονία της συνάρτησης f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο το f () β 7 Γ3 Η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο (,] ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 6
ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 4 3 4 Είναι lim f( ) lim ( β) lim και f () β 7 Άρα το σύνολο τιμών στο θα είναι f ( ) [ β 7, ) Η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο (, ) Είναι lim f( ) β 7 και 4 3 4 lim f ( ) lim ( β) lim Άρα το σύνολο τιμών στο Δ θα είναι f ( ) ( β 7, ) Για να έχει η εξίσωση f ( ) β 7 δύο μόνο πραγματικές ρίζες θα πρέπει το β 7 f( ) και β 7 f( ) Έτσι σε συνδυασμό με τη μονοτονία της f η εξίσωση στο Δ f ( ) β 7 θα έχει μία μόνο ρίζα στο Δ και μία μόνο ρίζα Θα πρέπει λοιπόν να ισχύει: β β β β β β β ή β 7 7 ( ) δηλαδή θα πρέπει β (,) (, ) Γ4 Για (, ) είναι: lim β 4 3 ημ ημ β 3 4 lim β συν 3 4 4 3 συν β Διότι ημ β 3 4 lim συν β 3 4 ημ ημ ημ για Επομένως ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 6
ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 Επειδή ημ ότι lim lim lim από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε συν Όμοια προκύπτει ότι lim ΘΕΜΑ Δ Δ Για ισχύει: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) οπότε f ( ) f ( ) c Για από την παραπάνω ισότητα προκύπτει: Άρα f () f () c c c f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) για Θεωρούμε την φ( ) f ( ), οπότε φ ( ) φ( ), Για τη συνεχή συνάρτηση φ() ισχύει φ ( ) για κάθε επειδή για κάθε Oπότε η φ() διατηρεί πρόσημο στο και επειδή φ() f() θα είναι φ ( ) για κάθε Επομένως φ( ) f ( ) Άρα f ( ) Είναι: f ( ) f( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 6
ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 Άρα f ( ) f ( ), () Δ Είναι g( ) Η συνάρτηση g είναι συνεχής και ( ) Το ζητούμενο εμβαδό θα είναι: g για, g d d d d ( ) ( ) Από τη σχέση () προκύπτει ότι Άρα f ( ) f( ) f ( ) f ( ) f( ) f( ) d d ln f ( ) ln f () ln f () f( ) ln( ) ln ln( ) και Οπότε d d ln ln( ) ( ) ln( ) ln( ) Δ3 Για κάθε, ( ) ( ) f ( ) ( ) οπότε η συνάρτηση f είναι κυρτή Δ4 Για η f είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, Επομένως από το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει ξ, f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ξ) τέτοιο ώστε: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ 6
ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 H f είναι κυρτή επομένως η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο Για ( ) ( ) f ( ) ( ) f ξ f ξ f f f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) για κάθε > Θα δείξουμε πρώτα ότι η h είναι συνεχής στο f ( ) f ( ) f ( ) f () f ( ) f () lim h ( ) lim lim f ( ) f () f ( ) f () f ( ) f () f ( ) f () lim lim lim f () f () f () Αφού f ( ) f () u f ( u) f () lim lim f () u u Επιπλέον h() Άρα η h είναι συνεχής στο Επίσης η h είναι συνεχής για ως πράξεις και σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Είναι: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) h( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f f f f f για κάθε, αφού για είναι: f f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 6 ΑΠΟ 6