Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο, ότι κι οι τρεις έχουν ως φετηρί την κνονική κτνομή 1 Πρόκειτι γι την κτνομή χ (διβάζετι χι τετράγωνο), την κτνομή t κι την κτνομή F Γιτί οι τρεις υτές κτνομές, είνι χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί, θ γίνει εύκολ κτνοητό ότν στ επόμεν μιλήσουμε γι τις σττιστικές συνρτήσεις (δειγμτοσυνρτήσεις) κι το ρόλο τους στις συμπερσμτικές σττιστικές διδικσίες Πρτηρείστε στον ορισμό υτών των κτνομών, που δίνουμε στη συνέχει, ότι πρόκειτι γι κτνομές συνρτήσεων νεξάρτητων τυχίων μετβλητών κι θυμηθείτε ότι ότν λέμε τυχίο δείγμ μεγέθους πό ένν πληθυσμό εννοούμε νεξάρτητες κι ισόνομες τυχίες μετβλητές X, X,, X 1 Την κτνομή χ εισήγγε ο F R Helert το 1876, την κτνομή t το 1908 ο W L Gosset κι την κτνομή F ο GW Sedecor (το 1934) ο οποίος της έδωσε το όνομ F προς τιμήν του δικεκριμένου σττιστικού (κι γενετιστή) R A Fisher, γι υτό στη βιβλιογρφί συνντάτι κι ως κτνομή Fisher, ως κτνομή Sedecor ή ως κτνομή Sedecor-Fisher Σημειώνουμε, επίσης, ότι η κτνομή t είνι γνωστή κι ως κτνομή Studet, ψευδώνυμο του Gosset με το οποίο δημοσίευε τ άρθρ του Γι την προέλευση (γέννηση) της κτνομής t, θ δώσουμε σε επόμενη ενότητ κι κάποιες επιπλέον χρήσιμες πληροφορίες Στη συνέχει, γι κάθε μι πό υτές τις τρεις κτνομές, δίνουμε μόνο τον ορισμό της, τη γρφική πράστση της συνάρτησης πυκνότητάς της, τη μέση τιμή της, τη δισπορά της κι τ άνω -ποσοστιί σημεί της, δηλδή, μόνο τις ελάχιστες πληροφορίες που μς είνι πρίτητες γι ν κτνοήσουμε κι ν μπορούμε ν εφρμόζουμε σωστά βσικές σττιστικές μεθόδους της Σττιστικής Συμπερσμτολογίς Η κτνομή χ (chi-square distributio) Αν Z, Z, 1, Z είνι νεξάρτητες τυποποιημένες κνονικές τυχίες μετβλητές, δηλδή, ν Z i ~ N(0, 1), i 1,,,, τότε η κτνομή της τυχίς μετβλητής, X Z1 + Z + + Z ονομάζετι κτνομή χι-τετράγωνο με βθμούς ελευθερίς κι συμβολίζετι με χ Είνι προφνές ότι πρόκειτι γι οικογένει κτνομών Γι κάθε τιμή του πίρνουμε κι μι άλλη κτνομή χι-τετράγωνο Είνι επίσης προφνές ότι μι τυχί μετβλητή Χ που κολουθεί μι χ κτνομή δεν πίρνει ρνητικές τιμές Στο σχήμ που κολουθεί φίνετι η γρφική πράστση της συνάρτησης πυκνότητς της X Z1 + Z + + Z ~ χ γι διάφορες τιμές του 1 Φυσικά, δε μς κάνει εντύπωση! Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής / Γ Ππδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 93
Οι Κτνομές χ, t κι F Αποδεικνύετι ότι η μέση τιμή της χ είνι ίση με κι η δισπορά της είνι ίση με Δηλδή, ν X χ τότε E ( X ) κι V ( X ) ~ Πρτηρείστε στο πρπάνω σχήμ ότι όσο το υξάνετι τόσο η γρφική πράστση της συνάρτησης πυκνότητς της χ γίνετι πιο συμμετρική Γι > 30, προσεγγίζετι πολύ ικνοποιητικά πό την κνονική N (, ) Όπως θ διπιστώσουμε στ επόμεν, στη Σττιστική Συμπερσμτολογί μάς είνι χρήσιμ τ άνω -ποσοστιί σημεί της χ τ οποί έχει επικρτήσει ν συμβολίζοντι με χ ; ή με χ ( ) Όπως φίνετι κι στο σχήμ που κολουθεί, ν μι τυχί μετβλητή Χ κολουθεί την κτνομή χ, δηλδή ν X ~ χ, τότε χ είνι εκείνη η τιμή της Χ γι την οποί ισχύει P ( X > χ ), ή ισοδύνμ, το ; P ( X χ ) 1 ; ; Γι διευκόλυνσή μς, έχουν δημιουργηθεί πίνκες που μς δίνουν τ χ ; γι διάφορες τιμές του κι του Έτσι πό τον πίνκ που υπάρχει στο τέλος της ενότητς πίρνουμε, γι πράδειγμ, χ 9 488, χ 15 086 κι χ 0989 7 ;0995 4 ;005 5 ;001 Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής / Γ Ππδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 94
Οι Κτνομές χ, t κι F Η κτνομή t ή κτνομή Studet (t-distributio ή Studet distributio) Έστω Ζ μι τυχί μετβλητή η οποί κολουθεί την τυποποιημένη κνονική κτνομή, δηλδή Z ~ N(0, 1), κι S μι τυχί μετβλητή νεξάρτητη πό την Ζ η οποί κολουθεί την κτνομή τυχίς μετβλητής, χ, δηλδή T S χ Τότε, η κτνομή της ~ ονομάζετι κτνομή t ή κτνομή Studet με βθμούς ελευθερίς κι συμβολίζετι με t Είνι προφνές ότι πρόκειτι γι οικογένει κτνομών Γι κάθε τιμή του πίρνουμε κι μι άλλη κτνομή t Είνι επίσης προφνές ότι μι τυχί μετβλητή T που κολουθεί μι t κτνομή πίρνει τιμές πό έως + όπως η κνονική κτνομή Στο σχήμ που κολουθεί φίνετι η γρφική πράστση της συνάρτησης πυκνότητς της T ~ t γι κι γι 10 Επίσης φίνετι η γρφική πράστση της συνάρτησης πυκνότητς της Z ~ N(0, 1) Z S Πρτηρείστε στο πρπάνω σχήμ ότι η γρφική πράστση της συνάρτησης πυκνότητς της T ~ t έχει κωδωνοειδή μορφή κι είνι συμμετρική ως προς τον κτκόρυφο άξον στο 0, όπως η Z ~ N(0, 1), όμως έχει πιο «πχιές» ουρές (είνι πιο πεπλτυσμένη) Όσο το υξάνετι η t προσεγγίζετι ικνοποιητικά πό την κνονική N ( 0, ( ) ) Γι > 30, προσεγγίζετι πολύ κλά πό την τυποποιημένη κνονική N (0, 1) Αποδεικνύετι ότι η μέση τιμή της t είνι ίση με 0 (γι > 1) κι η δισπορά της, γι >, είνι ίση με ( ) Δηλδή, ν T ~ t τότε E ( T ) 0 (γι > 1) κι V ( T ) (γι > ) Γι την κτνομή t υπάρχουν πίνκες που δίνουν, γι διάφορες τιμές του κι του, τ άνω -ποσοστιί σημεί της, τ οποί συμβολίζοντι με t ; ή με t ( ) Όπως φίνετι κι στο σχήμ που κολουθεί, ν μι τυχί μετβλητή Τ κολουθεί Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής / Γ Ππδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 95
Οι Κτνομές χ, t κι F την κτνομή t, δηλδή ν οποί ισχύει T > ) ( t ; T ~ t, τότε το ; P, ή ισοδύνμ, P T ) 1 t είνι εκείνη η τιμή της Τ γι την ( t ; Όπως στην κνονική κτνομή, λόγω συμμετρίς της γρφικής πράστσης της συνάρτησης πυκνότητς της t, προφνώς ισχύει ότι: t ; 1 t ; a Έτσι, γι πράδειγμ, ν μς ενδιφέρει το ποσοστιίο σημείο t 8;0 90, πρότι υτό δε δίνετι στον πίνκ που υπάρχει στο τέλος της ενότητς, η τιμή του προκύπτει πό τη σχέση t t 1 397 φού πό τον πίνκ έχουμε ότι t 1 397 8;090 8;010 8 ;010 Άσκηση: Χρησιμοποιείστε τον πίνκ της τυποποιημένης κνονικής κτνομής γι ν επληθεύσετε ότι η τελευτί γρμμή του πίνκ της κτνομής t δίνει τις τιμές των ντίστοιχων άνω -ποσοστιίων σημείων της τυποποιημένης κνονικής κτνομής, δηλδή, τ ντίστοιχ z Γιτί συμβίνει υτό; Η κτνομή F (F-distributio) Έστω S κι S δύο νεξάρτητες τυχίες μετβλητές οι οποίες κολουθούν τις κτνομές χ κι χ ντίστοιχ Τότε, η κτνομή της τυχίς μετβλητής, S F ονομάζετι κτνομή F με κι βθμούς ελευθερίς κι συμβολίζετι με S F, Όπως κι γι τις κτνομές χ κι t, πρόκειτι γι οικογένει κτνομών Γι κάθε τιμή του κι κάθε τιμή του πίρνουμε μι άλλη F, κτνομή Επίσης, είνι φνερό ότι μι τυχί μετβλητή Χ που κολουθεί μι F, κτνομή δεν πίρνει ρνητικές τιμές Στο σχήμ που κολουθεί φίνετι η γρφική πράστση της συνάρτησης πυκνότητς της F, γι διάφορες τιμές των κι Πρτηρείστε ότι όσο υξάνοντι οι βθμοί ελευθερίς κι τόσο η (θετική) συμμετρί της γρφικής πράστσης της συνάρτησης πυκνότητς της F, μειώνετι Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής / Γ Ππδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 96
Οι Κτνομές χ, t κι F Αποδεικνύετι ότι η μέση τιμή κι η δισπορά μις τυχίς μετβλητής Χ που κολουθεί την κτνομή F, ( X ~ F, ) είνι, ντίστοιχ, E ( X ) (γι ( + ) > ) κι V ( X ) (γι > 4 ) Πρτηρείστε ότι η μέση τιμή ( ) ( 4) της F, εξρτάτι μόνο πό τους βθμούς ελευθερίς,, του πρνομστή Όπως γι τις κτνομές χ κι t που προυσιάσμε προηγουμένως, έτσι κι γι την κτνομή F με κι βθμούς ελευθερίς έχουν δημιουργηθεί πίνκες που δίνουν, γι διάφορες τιμές του, του κι του, τ άνω -ποσοστιί σημεί της, τ οποί συμβολίζοντι με F,; ή με F, ( ) Όπως φίνετι κι στο σχήμ που κολουθεί, ν μι τυχί μετβλητή Χ κολουθεί την κτνομή F,, δηλδή ν X ~ F,, τότε το F,; είνι εκείνη η τιμή της Χ γι την οποί ισχύει P ( X > F, ; ), ή ισοδύνμ, P ( X F ; ) 1 Έτσι πό τον πίνκ που υπάρχει στο τέλος της ενότητς πίρνουμε, γι πράδειγμ, F 48, F 4 06 κι F 3 6,6;005 10,6;005 6,10;005 Τέλος, νφέρουμε ότι εύκολ μπορεί ν ποδειχθεί ότι, F, ;1 1 F, ; Έτσι, ν γι πράδειγμ, θέλουμε την τιμή F 6,10;0 95, ενώ υτή δε δίνετι πό τους πίνκες που συνήθως υπάρχουν στ βιβλί Σττιστικής, μπορούμε ν την υπολογίσουμε πό την προηγούμενη σχέση ως εξής: F F F 1 406 046 6,10,095 6,10;1 005 1 10,6;0 05 Αν X ~ F τότε, 1 X ~ F Άρ,, P ( X F, ;1 ) P(1 X 1 F, ; 1 ) κι επομένως πό τον ορισμό των άνω -ποσοστιίων σημείων προκύπτει η ζητούμενη σχέση (φού 1 ~ ) X F, Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής / Γ Ππδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 97
Οι Κτνομές χ, t κι F Τιμές χ ;a της κτνομής χ Ο Πίνκς δίνει τ άνω -ποσοστιί σημεί της κτνομής χ με βθμούς ελευθερίς Αν X χ, ισχύει, P ( X > χ ) ~ ; 0995 099 0975 095 005 005 001 0005 1 0000 0000 0001 0004 3841 504 6635 7879 0010 000 0051 0103 5991 7378 910 10597 3 007 0115 016 035 7815 9348 11345 1838 4 007 097 0484 0711 9488 11143 1377 14860 5 041 0554 0831 1145 11070 183 15086 16750 6 0676 087 137 1635 159 14449 1681 18548 7 0989 139 1690 167 14067 16013 18475 078 8 1344 1647 180 733 15507 17535 0090 1955 9 1735 088 700 335 16919 1903 1666 3589 10 156 558 347 3940 18307 0483 309 5188 11 603 3053 3816 4575 19675 1,90 475 6757 1 3074 3571 4404 56 106 3337 617 8300 13 3565 4107 5009 589 36 4736 7688 9819 14 4075 4660 569 6571 3685 6119 9141 31319 15 4601 59 66 761 4996 7488 30578 3801 16 514 581 6908 796 696 8845 3000 3467 17 5697 6408 7564 867 7587 30191 33409 35718 18 665 7015 831 9390 8869 3156 34805 37156 19 6844 7633 8907 10117 30144 385 36191 3858 0 7434 860 9591 10851 31414 34170 37566 39997 1 8034 8897 1083 11591 3671 35479 3893 41401 8643 954 1098 1338 3394 36781 4089 4796 3 960 10196 11689 13091 3517 38076 41638 44181 4 9886 10856 1401 13848 36415 39364 4980 45558 5 1050 1154 1310 14611 3765 40646 44314 4698 6 11160 1198 13844 15379 38885 4193 4564 4890 7 11808 1878 14573 16151 40113 43194 46963 49645 8 1461 13565 15308 1698 41337 44461 4878 50994 9 1311 1456 16047 17708 4557 457 49588 5335 30 13787 14953 16791 18493 43773 46979 5089 5367 40 0706 164 44331 6509 55756 5934 63691 66766 50 7991 9708 33574 34764 67505 7140 76154 79490 60 35535 37485 404817 43188 7908 8398 88379 9195 70 4375 4544 487576 51739 90531 9503 10045 10415 80 5117 53540 57153 6039 101879 10669 1139 11631 90 59196 61754 656466 6916 113145 118136 14116 1899 100 6738 70065 7419 77930 1434 19561 135807 140169 Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής / Γ Ππδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 98
Οι Κτνομές χ, t κι F Αν Τιμές t ; a της κτνομής t Ο Πίνκς δίνει τ άνω -ποσοστιί σημεί της κτνομής t με βθμούς ελευθερίς T ~ t, ισχύει, P ( T > t ; ) Επίσης, ισχύει, t ; 1 t ; a 01 005 005 001 0005 1 3078 6314 1706 3181 63657 1886 90 4303 6965 995 3 1638 353 318 4541 5841 4 1533 13 776 3747 4604 5 1476 015 571 3365 403 6 1440 1943 447 3143 3707 7 1415 1895 365 998 3499 8 1397 1860 306 896 3355 9 1383 1833 6 81 350 10 137 181 8 764 3169 11 1363 1796 01 718 3106 1 1356 178 179 681 3055 13 1350 1771 160 650 301 14 1345 1761 145 64 977 15 1341 1753 131 60 947 16 1337 1746 10 583 91 17 1333 1740 110 567 898 18 1330 1734 101 55 878 19 138 179 093 539 861 0 135 175 086 58 845 1 133 171 080 518 831 131 1717 074 508 819 3 1319 1714 069 500 807 4 1318 1711 064 49 797 5 1316 1708 060 485 787 6 1315 1706 056 479 779 7 1314 1703 05 473 771 8 1313 1701 048 467 763 9 1311 1699 045 46 756 18 1645 1960 36 576 Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής / Γ Ππδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 99
Οι Κτνομές χ, t κι F Τιμές F, ; a της κτνομής F, Οι Πίνκες δίνουν τ άνω -ποσοστιί σημεί της κτνομής F με κι βθμούς ελευθερίς, γι 0 05 κι 0 01, ντίστοιχ Αν X ~ F,, ισχύει, P( X > F, ; a ) a Επίσης ισχύει, F, ;1 1 F, ; Εργστήριο Μθημτικών & Σττιστικής / Γ Ππδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos) 100