The Prime Number Theorem in Function Fields

È Ò Ô Ø Ñ Ó ÃÖ Ø ËÕÓÐ Â Ø ÛÒ & Ì ÕÒÓÐÓ ÛÒ Ô Ø ÑÛÒ ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ÛÒ Å Ø ÔØÙÕ Ö ÌÓ Â ÛÖ Ñ ÌÛÒ ÈÖÛØÛÒ Ö ÑÛÒ ËÛÑ Ø ËÙÒ ÖØ ÛÒ ôö Ó Ã Ô Ø Ò ØÓÙ Æ ÓÐ ÓÙ ÔÓÔ ÛÒ Ø Â ÓÙÐÓ Ö Ð ÀÊ ÃÄ ÁÇ Đ ¾¼¼

University of Crete School of Sciences & Engineering Department of Mathematics Master Thesis The Prime Number Theorem in Function Fields Georgios Nikolaou Kapetanakis Supervisor: Theodoulos Garefalakis HERAKLION 2008

Ú Ì Ò ØÖ Ñ Ð Ô ØÖÓÔ Ü ÓÐ ÔÓØ Ð Ò Ö Ð Â ÓÙÐÓ ÔÓÔØ ÛÒµ ÄÙ Å Ò Ð ÌÞ Ò Æ Ó

i ÙÕ Ö Ø Â Ð Ò ÙÕ Ö Ø Û ÐÓÙ ÒÓÙ ÔÓÙ Ñ Ó Ò Ñ ØÓÒ ØÖ ÔÓ ØÓÙº Ã Ø ÖÕ ÙÕ Ö Øô Ø Ò Ó Ó Ò ÑÓÙ Æ Ó Å Ö ³ Ö Å ÈÖÓ¹ Ô ÒÓÙ Ö Ð µ ô Ø Ò ÙÖ Ø Ö Ó Ó Ò ÑÓÙ ØÓÒ Ó ÑÓÙ Ñ ØÖ º ËØ ÙÒ Õ Ò Ñ ÐÓ ÙÕ Ö Øô ÐÓÙ ØÓÙ ÐÓÙ ÑÓÙ Ü ÒôÒØ Ô ØÓÒ Ò Ó ÌÖ ÒØ ØÓÒ ÓÔÓÓ ¹ ÖôÒÛ Ø Ò Ö µ Ñ Ø ØÓÙ Ø ÑÓÙ Ô ØÓ È Ò Ô Ø Ñ Ó ÒôÒ ÙÖÓÙ Ñ ØÖ Ö Ó Ù ÐÓ Ê ÔØ Ø ÐÓ ØÓÙ ¹ Ø ÑÓÙ Ô ØÓ È Ò Ô Ø Ñ Ó ÃÖ Ø ØÓÙ ÙÖÓÙ Ð Ü ÃÓÙ ôö Ó ÃÛ Ø Å Õ Ð È Ô Ñ ØÖ Æ Ó ÌÞ Ò º Á Ø Ö Ð Ò ÙÕ Ö Ø Û ØÓÒ Ô Ð ÔÓÒØ Â ÓÙÐÓ Ö Ð Ø Ò ÑÔ ¹ ØÓ Ò ÔÓÙ ÑÓÙ Ü Ø Ò ÝÓ ÙÒ Ö Ø Û Ø Ó Ø ÙÒ Õ Ò ÖÖÙÒ º Ñ Ò Ø Ö Ø Ó ÙÕ Ö Øô ÐÓÙ ØÓÙ ÐÓÙ ÑÓÙº Ì ÐÓ Ø Ò Ó Ò Ò Ò ÖÛ Ø ÔÓÐÐÓ Ô ØÓÙ ÐÐ Ò Ó ÖÓÙ Ó ÐÓÒØ ØÓÒ º ÌÞ Ò Òô ØÓ ÐÓÐÓ Ð ÕÓ Ò È Ô ÖÓÙÕ Ø Ò ÓÔÓ ÙÕ Ö Øôº À Ö ÖôÒ Ø ØÓÒ ÐÓ Ñ Ñ Ø Ò Ó ÌÖ ÒØ ØÓ Ò ÐÐÓÛØÓ Ô ØÓ ÕÖ ÒÓ ÔÖ ØÙÔ ÑÓÙº

ii È ÖÐ Ý À Ð ÛÖ Ö ÑôÒ ÕÓÐ Ø Ñ Þ Ø Ñ Ø ÔÓÙ ÓÖÓ Ò ØÓ ÒÓÐÓ ZÚØÛÒ Ö ÛÒ Ö ÑôÒº ÈÖÓ Ñ ÒÓÙ Ò ÐÙ Ó Ò ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ð ÛÖ Ö ÑôÒ Ò ÔØ Õ Ð Ö ÛÖ Ö ÑôÒ ÓÔÓ Ñ Ð Ø ØÓ ôñ Ð Ñ ØÛÒ ØÓÙ Z Ð ØÓ Q ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ Ö ØôÒ ¹ Ö ÑôÒ Ô Ô Ö Ñ Ò Ð Ö Ô Ø ØÓÙ Ø Ð Ñ Ò Ö Ñ Ø ôñ Ø º ÑÔÒ Ñ ÒÓ Ô Ø ÓÑÓ Ø Ø ØÓÙ ÙÒ ÐÓÙ ZÚÑ ØÓ ÒÓÐÓ F[x] Ð ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ Ñ Ñ Ø Ð Ø Ô ÒÛ Ô Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ôñ F Ñ Ñ Ó Ñ Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ø Ù º ³ Ø Ñ Ð Ø ÓÙÑ ØÓ ôñ F(x) ØÓ ôñ ØÛÒ Ö ØôÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ô ÒÛ Ô Ò Ô Ô Ö ÒÓ ôñ F Ô Ô Ö Ñ Ò Ð Ö Ô Ø ØÓÙ Ø ôñ Ø ÙÒ ÖØ ÛÒº  ÔÓ ÜÓÙÑ ÐÓ Ô Ò Ø ÒØ ØÓ Õ ÛÖ Ñ Ø Ø Ð ÛÖ Ö ÑôÒ ÔÛ ØÓ ôö Ñ ØÛÒ ÔÖôØÛÒ Ö ÑôÒ Ñ ÒÓ ÕØôÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÛÒ Ø ÛÖ Ö ÑôÒ ÔÛ Ø Ò ÙÔ Riemannº Ç Ò Ð Û Ñ Ñ Ø ÓÒØ Ø Ø ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ñ Ð Ø Ó Ò Ñ Ö Ð Ø Ð Ö ÛÑ ØÖ Ñ Ø Ñ Ò ÐÙ ÑÛ ØÓ Ô Ö Ò Ñ ÒÓ ÔÖÓ Ô ÓÙÑ Ò Ô Ö ÓÖ ØÓ Ñ Ñ Ö Ð ÖÓ Ö ÑÓ ¹ ÛÖ Ø ÔÖÓ º ËÙÕÒ ÔÓÐÐ ÔÓØ Ð Ñ Ø Õ ÓÙÒ Ø Ò Ø Ö Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ØÓ FÚ ÒØ Ø Ø Ô ÔÓ Ó ØÙÕ Ó ôñ º  ÔÖÓ Ô ¹ ÓÙÑ Ò Ñ Ò Ô Ö ÓÖ ÓÙÑ Ø Ò Õ ØÛÒ ÔÓØ Ð Ñ ØÛÒ Ò Ø Ø ØÓ Ó Ò Ò Ô Ö Ø ØÓº Ä Ü Ð Â ôö Ñ ÈÖôØÛÒ Ö ÑôÒ Â ÛÖ Ö ÑôÒ È Ô Ö Ñ Ò ËôÑ Ø ËôÑ ¹ Ø ËÙÒ ÖØ ÛÒ ³ Ð Ö Â ôö Ñ Riemann-Roch  ôö Ñ Hasse-Weil ÍÔ Riemannº

iii Abstract Classic Number Theory is studying the set of integers Z. In order to solve several problems of classic Number Theory, Algebraic Number Theory was evolved and Algebraic Number Theory is mainly studying Z s field of fractions, Q, the set of rational numbers and it s algebraic finite extensions, the number fields. Inspired from the similarities between the sets Z and F[x], the set of polunomials of one variable over a finite field F, we are going to imitate the above constructions. So we are going to study the field F(x), the field of rational functions over a finite field F, and its algebraic finite extensions, the function fields. We will show the analogues of several theorems of classic Number Theory, like the Prime Number Theorem, or even the analogues of open problems, like the Riemann Hypothesis. The above constructions can be studied using Algebraic Geometry, or even Complex Analysis, but we keep a more number theoretic aspect of the subject. In several cases many results apply even if we substitute F with the arbitary field. We will try not to limit the power of such results, if possible. Keywords Prime Number Theorem, Number Theory, Function Fields, Finite Fields, Algebra, Riemann-Roch Theorem, Hasse-Weil Theorem, Riemann Hypothesis.

È Ö Õ Ñ Ò ½ ËôÑ Ø ÙÒ ÖØ ÛÒ ½ ½º½ ÈÖÓ Ô ØÓ Ñ Ò Ð Ö Òô º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÖôØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ö Ø L ÕôÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÌÓ ôö Ñ Riemann-Roch ¾¼ ¾º½ ÈÖÓ Ô ØÓ Ñ Ò ÒÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¾º¾ ÌÓ ôö Ñ Riemann-Roch º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ËÙÒ Ô ØÓÙ Riemann-Rochº º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ô Ø ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ º½ Ò Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ô Ø Ø ÖÓ ôñ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º À ÙÒ ÖØ Þ Ø ØÓÙ Riemann º½ ÇÖ ÑÓ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÌÓ ôö Ñ ØÛÒ ÔÖôØÛÒ Ö ÑôÒ Ò ÑÓÖ µ º º º º º º º º ÌÓ ôö Ñ Hasse-Weil º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÙÒ Ô ØÓÙ Hasse-Weil º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º iv

ÈÖ ÐÓ Ó ËÙÑ ÓÐ ÑÓ Ë ÓÐ Ð Ö Ø Ò Ö Ñ K ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ø Ò Ð Ö ØÓÙ ôñ ØÓ K Ñ K F Ø Ò Ð Ö ØÓÙ K ØÓ F Ð Ð Ø ØÓ Õ ØÓÙ F ÔÓÙ Ò Ð Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº Ò Ò ÙÔ ÖÕ Ò ÙÒÓ ÕÙ ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ FÚØÓ ØÙÕ Ó Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ôñ Ñ q ØÓ ÔÐ Ó ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ Ñ p Ø Ò Õ Ö Ø Ö Ø ØÓÙº Ò R Ø Ð Ó Ñ R ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÒØ ØÖ Ý ÑÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ Rº Ñ Ñ S ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ ØÓÒ ÔÐ Ö ÑÓ ØÓÙ ÙÒ ÐÓÙ Sº Ì ÐÓ Ø ÕÖôÑ Ø Ø ØÖ ÔÓÙÐ ÙÑ ÓÐÞÓÙÒ ØÓ Ø ÐÓ Ñ Ô Ü Ò Ô Ø Ø Ö Ð ÕÖ ÑÓÔÓ Ø ÓÖ Ø ÕÖôÑ Òô Ö ØÓÙ ØÓ ØÓ ½ Ó Ð Ó ØÓ ØÓ ¾ Ó ºÓº ºµ Ò Ñ ØÙÕ º v

Ã Ð Ó ½ ËôÑ Ø ÙÒ ÖØ ÛÒ ËØÓ Ð Ó ÙØ Ò ÖÓÙÑ ÙÖÛ ÓÖ ÑÓ ÐÐ ÔÓ ÔÐ Ø Ø ØÛÒ ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒº  ÛÖÓ ÒØ ÒÛ Ø ÔÓ Òô Ð Ö ÛÖ Galois ÛÖ Ö ÑôÒ Ð Ö ¹ ÛÖ Ö ÑôÒ Ñ Ò ÐÙ º ½º½ ÈÖÓ Ô ØÓ Ñ Ò Ð Ö Òô ÇÖ Ñ ½º½º½º ³ ØÛ K ôñ F Ô Ø ØÓÙº Ò ÙÔ ÖÕ x F Ñ x Ñ Ð Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ K Ø ØÓ Ó ô Ø Ô Ø F/K(x) Ò Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ø Ø Ð Ñ Ø Ô Ø F/K Õ Ñ ÙÔ Ö Ø Ø Ø ½ Ô Ø F/K ÓÒÓÑ Þ Ø Ð Ö ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ñ Ñ Ø Ð Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ K ÔÐ ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ algebraic function field of one variable function fieldµº ØÓÙ F/Kº Ì ÐÓ ØÓ ôñ K F Ð Ø ØÓ ôñ Ø ÖôÒ Ç Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ Ñ ÑÔÓÖ Ò ÕÒ ÕÖ ØÓ ÑÛ ØÓ Ô Ö ØÛ Ð ÑÑ Ù ÓÐ Ò Ø Ò Ø Ø º Ä ÑÑ ½º½º¾º À Ô Ø F/K Õ Ñ ÙÔ Ö Ø Ø Ø ½ ÒÒ x F \ K F Õ Ø Ô Ø F/K(x) Ò Ô Ô Ö Ñ Ò º Ô Ü º ( ) Ó F/K Õ Ñ ÙÔ Ö Ø Ø Ø ½ Ø Ø z F \K F Ø ØÓ Ó ô Ø F/K(z) Ô Ô Ö Ñ Ò º ½

¾ ³ ØÛ ØÙÕ Ó x F \ K F º Ì Ø x F Ö x Ð Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ K(z) Ö ÙÔ ÖÕ f 1 (X,Z) K(Z)[X] Ñ f 1 (x,z) = 0º ³ Ø ÙÔ ÖÕ f 2 (X,Z) K[Z,X] Ñ f 2 (x,z) = 0 Ö z Ð Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ K(x) Ö [K(x,z) : K(x)] < º Ñ [F : K(z)] < [F : K(z)] = [F : K(x,z)] [K(x,z) : K(z)], Ö [F : K(x,z)] < º Ì ÐÓ ÕÓÙÑ Ø [F : K(x)] = [F : K(x,z)] [K(x,z) : K(x)] Ô Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ø Ð ÓÙÑ Ø [F : K(x)] < Ð ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº ( ) ³ Ñ Óº Ä ÑÑ ½º½º º ³ ØÛ F/K ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒº À Ô Ø K F /K Ò Ô Ô Ö Ñ Ò º Ô Ü º ³ ØÛ ôñ E Ñ K E F E Ð Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº ³ ØÛ ØôÖ x F ÙÔ Ö Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ K k 1,...,k n E Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº Ì Ø ÔÖÓ Òô Ø k 1,...,k n Ò Ö ÑÑ Ò ¹ Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ K(x)º Ñ ÔÖÓ Òô E(x) F Ø Ø Ð ÓÙÑ Ø [E : K] [E(x) : K(x)] [F : K(x)] <. ÖÑ ÞÓÒØ ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ E = K F ÕÓÙÑ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº ÐÐ ÔÓÐ ÕÖ Ñ Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ñ Ø ÓÖ ÛÑ ØÛÒ Ù¹ Ò ÖØ ÛÒ Ò Ó Ô Ö ØÛº ÇÖ Ñ ½º½º º ³ Ò ÓÐ ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ global function fieldµ Ò Ò ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/F ÔÓÙ FÚÔ Ô Ö Ñ ÒÓº ÇÖ Ñ ½º½º º ÌÓ ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K Ð Ø Ö Ø Ò F = K(x) ÔÓ Ó x F º

Å ÙÒ ÖØ ÔÓÙ Ñ ÕÖ Ø Ö Ø Ö Ò Ö Ø ÔÓØÑ ÔÓÙ ÓÖÞ Ø Û Ü ÇÖ Ñ ½º½º º ³ ØÛ F ôñ º Ä Ñ Ø Ñ ÙÒ ÖØ u : F Z { } Ò Ö Ø ÔÓØÑ Ò ÒÓÔÓ Ø Ô Ö ØÛ Ø Ø º µ u(x) = x = 0º µ u(xy) = u(x) + u(y) x,y F º µ u(x + y) min{u(x),u(y)} x,y F º µ z F : u(z) = 1º µ u(a) = 0 a K \ {0}º Ñ Ø Ø ³µ ÓÒÓÑ Þ Ø ØÖ ÛÒ Ò Ø Ø º Ô ØÓÒ Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ Ñ ÓÐ Ð Ô Ò Ø Ñ Ö Ø ÔÓØÑ Ò Ô Òô ØÓ Ô Ö ØÛ Ð ÑÑ Ò ÙØ Ñ Óº Ä ÑÑ ½º½º Á ÕÙÖ ÌÖ ÛÒ Ò Ø Ø µº ³ ØÛ u Ö Ø ÔÓØÑ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K x,y F Ø ØÓ ô Ø u(x) u(y)º Ì Ø u(x + y) = min{(u(x),u(y)}º Ô Ü º Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ½º½º ÕÓÙÑ Ø u(ax) = u(x) a K \{0} Ö u(y) = u( y)º Ñ ÙÔÓ ØÓÙÑ ÕÛÖ Ð Ø Ò Ø Ø Ø u(x) < u(y)º Ì Ø Ò u(x + y) > u(x) Ô ØÓÒ ½º½º ÕÓÙÑ Ø u(x) = u((x + y) y) min{u(x + y),u(y)} > u(x), ØÓÔÓº

½º¾ ÈÖôØÓ Ë ÓÔ Ñ ÙØ Ò Ø Ò Ô Ö Ö Ó Ò Ò ÓÖ ÓÙÑ Ø ÔÖôØ ØÓ Õ Ø Ò ÛÖ Ñ Ò Ñ Ð Ø ÓÙÑ ÔÓ Ø Ø ØÓÙº ÇÖ Ñ ½º¾º½º ³ Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ valuation ringµ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K Ò Ò Ø Ð Ó O ØÓÒ ÓÔÓÓ K O F Ò z F Ø Ø z O z 1 Oº Ó Ñ Ò Ð ÑÑ ÔÓÙ ÙÑÔÐ ÖôÒ ØÓÒ Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ Ñ º Ä ÑÑ ½º¾º¾º Ò O Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ F/K Ø Ø Õ Ø K F Oº Ô Ü º ³ ØÛ x K F º Ò x = 0 Ø Ø ÔÖÓ Òô x O Ø Ñ Ñ Ò Ò ÜÓÙÑ Ø x O x 0º ÈÖ Ñ Ø Ò x 0 x 1 / O Ø Ø Ô x F Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ½º¾º½ Ô ÖÓÙÑ Ø x O ÓÔ Ø Ñ Ñ Ò Ò ÜÓÙÑ Ø x O Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ x 0 x 1 Oº ³ÇÑÛ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ò x 0 x 1 O Ø Ø Ñ ÔÓÙ ØÓ x Ò Ð Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ K ÙÔ ÖÕÓÙÒ n 1 a 0,...,a n 1 K Ø ØÓ ô Ø x n + a n 1 x n 1 + + a 0 = 0. À Ø Ð ÙØ Õ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ ÓÙÑ Ñ x n+1 Ñ Ò Ø x = a n 1 a n 2 x 1 a 0 x n+1, Ô ÔÓÙ ÓÐ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ð Ø Ñ Ð ØÓÙ Ü Ó Ñ ÐÓÙ Ø Ø Ø Ò ÓÙÒ ØÓ O ÔÓÑ ÒÛ x Oº È Ö Ñ ½º¾º º Ò O Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ F/K Ø Ø Õ Ø K F \ {0} O º Ô Ü º ³ Ñ Ó Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º¾º¾º À Ô Ö ØÛ ÔÖ Ø Ñ ÕÒ ÔÓ ÕÖ Ñ Ð Ö Ø Ø ØÛÒ ØÙÐÛÒ ÔÓØÑ ØÛÒ ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒº

ÈÖ Ø ½º¾º º Ò Ó O Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ ÛÑ ØÓ ÙÒ ÖØ ¹ ÛÒ F/K Ø Ø Ó O Ò ØÓÔ Ø Ð Ó ½ º Ô Ü º Ö Ò ÜÓÙÑ Ø ØÓ P := O \ O Ò ô ØÓÙ Oº ³ Ø ØÛ x P z O Ø Ø Ò xz O Õ Ñ Ø x / P ØÓÔÓ Ö xz P º ³ ØÛ ØôÖ x,y P º ÉÛÖ Ð Ø Ò Ø Ø ÙÔÓ ØÓÙÑ Ø x/y Oº Ì Ø 1 + x/y O Ô ØÓ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓ y(1 + x/y) = x + y Oº ³ Ø Ñ ÛÒ Ñ Ø Ò Ø Ð ÙØ ÔÖ Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ñ Ð Ñ ØÓ Ñ ¹ Ø ô P Ò ØÙÐÓÙ ÔÓØÑ Oº ÙØ Ñ Ó Ò ÓÖ ÓÙÑ ØÓÙ ßÔÖôØÓÙÐ Ñ ÔÖ Ò ÑÛ Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ Ó Ñ Ò ÕÖ ÑÓ Ð ÑÑ º Ä ÑÑ ½º¾º º Ò Ó O Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ F/K P ØÓ Ñ ¹ Ø ô ØÓÙ Ø Ø Õ Ø P K F = {0}º Ô Ü º Ò x K F \{0} Ø Ø Ô ØÓ Ô Ö Ñ ½º¾º ÕÓÙÑ Ø x O Ö x / O \ O = P º Ô ØÓ Ø Ð ÙØ Ó ØÓ ÔÖÓ Ò ÓÒ Ø 0 P K F Ô ÖÒÓÙÑ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº ÌÓ ôö Ñ ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ò Ø Ö ÕÖ ÑÓº  ôö Ñ ½º¾º º ³ ØÛ O Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ ÛÑ ØÓ ÙÒ Ö¹ Ø ÛÒ F/K P ØÓ Ñ Ø ô ØÓÙº Ì Ø µ ØÓ P Ò Ö Ó ô µ Ò P = to Ø Ø z F \{0} Õ ÑÓÒ Ò Ô Ö Ø Ø ÑÓÖ z = t n u Ñ n Z u O º Ô Ü º ³µ ³ ØÛ P Õ Ö Ó x 1 P \ {0}º Ö x 2 P \ x 1 Oº Ì Ø P x 1 O Ì Ø x 2 x 1 1 / O Ö ÙÔÓÕÖ ÛØ x 1 2 x 1 P Ð x 1 x 2 P º ËÙÒ ÕÞÓÒØ Ô Û ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ø Ù ÓÙÑ Ñ Ô Ö ½ Δηλαδήέχειμοναδικόμεγιστικόιδεώδες.

ÓÐÓÙ (x i ) i N P Ø ØÓ ô Ø x i x i+1 P x i+1 x i i 1º  ÜÓÙÑ Ø Ø Ø ØÓ Ó Ò Ò ØÓº Ö ÐÓ Ô Ò Ò ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ø Ò ØÙÕ Ô Ô Ö Ñ Ò ÓÐÓÙ x 1,...,x n P Ñ x 1 = x P \ {0} x i x i+1 P x i x i+1 1 i n 1 ÕÓÙÑ Ø n [F : K(x)] < º Ô Ø Ð ÑÑ Ø ½º½º¾ ½º¾º Ø Ð ÓÙÑ ØÓ Ø [F : K(x)] < º Ø Ò Ö Ø Ö Ò Ø Ø Ö Ò ÜÓÙÑ Ø Ø x 1,...,x n Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ K(x)º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò n φ i x i = 0 i=1 ½º½µ Ñ φ i K(x) Ò Ñ Ø ØÖ ÑÑ ÒÓ Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ º ÓÐ Ð ÔÓÙÑ Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø φ i K[x] Ø Ò a i := φ i (0) ÙÔ ÖÕ j {1,...,n} Ø ØÓ Ó ô Ø a j 0 a i = 0 i > jº ³ Ø ½º½µ Ò Ø φ j x j = i j φ i x i ½º¾µ Ñ x i x j P i < j φ i = xg i i > j g i K[x]µº ³ Ø ½º¾µ Ò φ j = i<j φ i xi x j + i>j x x j g i x i. ½º µ Ë Ñ ÛÒ Ñ Ø Ô Ö Ô ÒÛ ÐÓ Ó ÖÓ ØÓÙ Ü Ó Ñ ÐÓÙ Ø ½º µ Ò ÓÙÒ ØÓ P Ö φ j P º ³ÇÑÛ φ j = a j + xg j Ñ g j O x P Ð xg j P Ö a j P K \ {0} ØÓÔÓº ³ Ö Ø x 1,...,x n Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ K(x)º ³µ À ÑÓÒ Ø Ø Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ø ØÖ ÑÑ Ò Ö Ö Ò ÜÓÙÑ Ø Ò Ô ÖÜ Ø º ÕÛ Ð Ø Ò Ø Ø ÙÔÓ ØÓÙÑ Ø z O ÐÐ ô z 1 O Ö Þ Ñ Ø Ñ ÖÒ Ø Ó º Ò z O Ø Ø z = t 0 zº Ò z P Ø Ø z = tz 1 Ñ z 1 Oº Ò z 1 O Ø Ð ô Ñ º ÓÖ Ø z 1 / O Ö z 1 P ÓÔ Ø z 1 = tz 2 Ñ z 2 O z = t 2 z 2 º Ò z 2 O Ø Ð ô Ñ ÓÖ Ø z 2 P z 2 = tz 3 ÔÓÙ z 3 O z = t 3 z 3 º ÙØ Ø Ñ Ø Ð ÔÓ Ó Ñ n Ò z n O Ø ÓÖ Ø Õ Ñ Ñ Ô Ö ÓÐÓÙ z,z 1,z 2,... Ñ z z 1 P z 1 z 2 P º º º z i

z i+1 P ÔÛ ØÓ ³µ ÙØ ÔÓ Ð Ø º ³ Ø ÕÓÙÑ Ø z = t n z n Ñ z n O º ÇÖ Ñ ½º¾º º ³ Ò ÔÖôØÓ prime placeµ P ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K Ò ØÓ Ñ Ø ô ÔÓ ÓÙ Ø Ð ÓÙ ÔÓØÑ º Ñ Ñ P F ÔÐ PÚ Ò Ò ÙÔ ÖÕ Ò ÙÒÓ ÕÙ µ ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÔÖôØÛÒ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/Kº Å Ø Ô Ö Ø Ö ØÓÒ Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ Ñ Ò Ø Ó Ø Ð Ó ÔÓØÑ Ó ÔÖôØÓ Ö ÓÒØ ½¹½ ÒØ ØÓ Õ º Ô ØÓ Ð ÑÑ ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ó Ñ Ø Ø Ø ØÓ Ó Ò Û Ø º Ä ÑÑ ½º¾º º ³ ØÛ P ÔÖôØÓ O Ó ÒØ ØÓ ÕÓ Ø Ð Ó ÔÓØÑ ¾ º Á Õ Ø {z F z 1 / P } {0} = O. Ô Ü º ³ ØÛ y O\{0}º Ò y O Ø Ø y 1 O Ö y 1 / P Ð y {z F z 1 / P }º Ò y / O Ø Ø y O\O = P ÔÓÑ ÒÛ y 1 / P Ø y {z F z 1 / P }º ËÙÒÓÐ O {z F z 1 / P } {0}º ³ ØÛ ØôÖ y {z F z 1 / P }º Ò y / O Ø Ø Ô Ó O Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ ÕÓÙÑ Ø y 1 Oº ³ÇÑÛ y 1 / P Ö y 1 O Ð y O ØÓÔÓº ³ Ø Ô Ø Ô Ö Ô ÒÛ Õ Ò Ñ Ó ÖÓ Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ ÔÖô¹ ØÓÙ P Ó ÙÑ ÓÐ Ñ O P := {z F z 1 / P } {0}. Ñ Ñ ÛÒ Ñ ØÓ ³µ ØÓÙ ½º¾º Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ Õ Ò Ñ º ÇÖ Ñ ½º¾º º ³ ØÛ P P F º ÇÖÞÓÙÑ Û Ø Ü ØÓÒ P Ø ÙÒ ÖØ ord P : F Z { } ÔÓÙ Ò P = to z F \ {0} Ø Ø ord P (z) := n ÔÓÙ n ÒÓ ØÓÙ ½º¾º ³µÚµ ord P (0) := º Å ÔÓÐ Ñ ÒØ Ø Ø Ø Ø Ü Ò Ø Ô ØÓ Ô Ö ØÛ ôö Ñ º ¾ Δηλαδήα τόςγιατονο ο ο P = O \ O.

 ôö Ñ ½º¾º½¼º ³ ØÛ F/K ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒº µ P P ÙÒ ÖØ ord P Ò Ö Ø ØÑ ØÓÙ F/Kº µ Á Õ Ø O P = {z F ord P (z) 0}, O P = {z F ord P (z) = 0}, P = {z F ord P (z) > 0} P = xo P ÒÒ ord P (x) = 1º µ Ã Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ F/K Ò Ñ Ø Û ÔÖÓ ØÓÒ Ð ¹ Ñ ÙÔÓ ØÙÐÛÒ ØÓÙ F º Ô Ü º ³µ ÌÓ Ñ ÒÓ Ñ ÔÖÓ Ò Ò Õ Ø ØÖ ÛÒ Ò Ø Ø Ò x,y 0º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò x,y F \ {0}º Ì Ø Ò ord P (x) = n ord P (y) = m Ñ n m ÕÓÙÑ Ø Ò P = to P Ø Ø x = t n u 1 y = t m u 2 Ñ u 1,u 2 OP º ³ Ø x + y = t n (u 1 + t m n u 2 ) = t n z, Ñ z O P º Ò z = 0 Ø Ø ord P (x + y) = > min{ord P (x), ord P (y)}º Ò z 0 Ø Ø z = t k u Ñ k 0 u O P Ø x + y = tn+k u ÓÔ Ø ord P (x + y) = n + k n = min{ord P (x), ord P (y)}. ³µ  ÛÖÓ Ñ Ø P = to P º ÌÓ Ø O P = {z F ord P(z) = 0} Ò ÔÖÓ Ò Ô ØÓ ôö Ñ ½º¾º ØÓÒ ÓÖ Ñ ½º¾º º ³ ØÛ y {z F ord P (z) > 0} Ø Ø y = t (t ord P (y) 1 u) Ñ u O º ³ÇÑÛ t O ord P (y) 1 0 u O ÓÔ Ø t ord P (y) 1 u O ÔÓÑ ÒÛ y to = P º ³ Ø Ô ÖÒÓÙÑ Ø {z F ord P (z) > 0} P º ³ ØÛ y P º Ò ord P (y) = 0 Ø Ø Ô Ø Ô Ö Ô ÒÛ y O P ØÓÔÓº Ò ord P(y) < 0 Ø Ø ord P (y 1 ) > 0 Ñ ÛÒ Ñ Ø Ô Ö Ô ÒÛ y 1 P ØÓÔÓº ³ Ø ord P (y) > 0 Ö P {z F ord P (z) > 0} Ð ÙÒÓÐ {z F ord P (z) > 0} = P º

ÌÓ Ø O P = {z F ord P (z) 0} Ò Ñ Ó Ô Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò ØÓ Ø O P = P OP Òô ØÓ Ø P = xo P ÒÒ ord P (x) = 1 Ò Ñ Óº ³µ ³ ØÛ O Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K P ØÓ Ñ Ø ô ØÓÙ z F \ Oº Ö Ò ÜÓÙÑ Ø F = O[z]º ÈÖ Ñ Ø Ò y F Ø Ø Ñ ÔÓÙ ord P (z 1 ) > 0 Ó z / Oµ k 0 Ö Ø Ñ ÐÓ ÕÓÙÑ Ø ord P (yz k ) 0 Ö Ò w := yz k Ø Ø w O y = wz k O[z]º ÓÒ ØÓ P Ò Ñ Ø ô ØÓÙ O P ØÓ O P / P Ò ôñ ÓÐ Ð Ô Ò Ø P K = {0}º ³ Ø Ð Ñ ÒÓÒØ ÙÔ Ý Ò ØÓ Ø Ü ÓÖ ÑÓ K O P ÕÓÙÑ Ø ØÓ K Ò ÙÔ ÛÑ ØÓÙ O P / P Ö Õ Ò Ñ Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ º ÇÖ Ñ ½º¾º½½º ³ ØÛ P ÔÖôØÓ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K Ø Ø Ó Ö Ñ deg P := [ O P / P : K ] ÓÒÓÑ Þ Ø Ñ ØÓÙ P º ÌÓ Ô Ö ØÛ ôö Ñ Ñ ÕÒ Õ Ñ ÒÓ Ø Ó Ñ Ò ÔÖôØÓÙ Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ÐÐ Ñ Ò Ò ÒÛ Ö Ñ º  ôö Ñ ½º¾º½¾º ³ ØÛ P ÔÖôØÓ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K x P \ {0} Ø Ø deg P [F : K(x)] <. Ô Ü º Ã Ø ÖÕ ÔÖÓ Òô ØÓ x Ò ÙÔ Ö Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ K Ø Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º½º¾ Ö Ò ÜÓÙÑ Ø Ò Ö Ø Ö Ò Ø Ø º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò z 1,...,z n O P Ø ØÓ ô Ø Ø z 1,..., z n O P / P Ñ z i := z i + P Ò Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº  ÜÓÙÑ Ø Ø z 1,...,z n Ò την αγματικότητατο K δενε ναι όσ ματο OP / P αλλ ηεικόνατο K στο O P / P μέσ τηςεμ τε σης ο ε ναιισόμο ημετο K. φ : K OP / P x x + P,

½¼ Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ K(x)º Ò Õ ÙÔ ÖÕÓÙÒ φ i K(x) Ø ØÓ ô Ø n φ i z i = 0. i=1 ½º µ ÇÑÓÛ Ñ Ø Ò Ô Ü ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ ½º¾º ÙÔÓ ØÓÙÑ Ø φ i K[x] Ø Ò φ i = a i + xg i a i K, g i K[x]µ Ø Ø Ò Ò Ð Ø a i = 0º ³ÇÑÛ x P a i K Ö φ i = ā i = a i Ø ½º µ Ô ÖÒôÒØ ØÓÒ Ô Ð Ó Ø Ð Ó Ò n a i z i = 0, i=1 Ð Ò Ò Ñ Ø ØÖ ÑÑ ÒÓ Ñ Ò Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ z 1,..., z n ØÓ¹ ÔÓº Ç Ô Ö ØÛ ÓÖ ÑÓ Ñ ô ÓÙÒ ÒÒÓ ÔÓÙ Ñ ÒÓ Ò ÔÓÐ ÕÖ ¹ Ñ Ø ÕÒ ÔÔ Óº ÇÖ Ñ ½º¾º½ º ³ ØÛ F/K ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ z F P P F ord P (z) = mº Ò m > 0 Ø Ø Ð Ñ Ø Ó P Ò ÖÞ ØÓÙ z Ø Ü m Ò m < 0 Ø Ø Ð Ñ Ø Ó P Ò Ô ÐÓ ØÓÙ z Ø Ü mº Ó Ñ ØôÖ Ñ Ñ ÒØ Ø Ø ØÛÒ Ô ÐÛÒ ØÛÒ Ö ÞôÒ ØÓ Ô Ñ ÒÓ ôö Ñ Ñ Ó ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ ÔÓØ Ð Ñ º  ôö Ñ ½º¾º½ º ³ ØÛ F/K ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ R Ø Ð Ó Ø ØÓ Ó ô Ø K R F º Ò I Ò Ñ Ø ØÖ ÑÑ ÒÓ ô ØÓÙ R Ø Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó P P F Ø ØÓ Ó ô Ø I P R O P º Ô Ü º  ÛÖÓ Ñ ØÓ ÒÓÐÓ F := {S S ÙÔÓ Ø Ð Ó ØÓÙ F Ñ R S IS S}. ÈÖÓ Òô R F Ö F º Ñ ØÓ F Ò Ó Ñ ÒÓ Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ñ Ö Ø Ü ØÓÙ Ð ÑÓ Òô Ò H F Ò ÙÔÓ ÒÓÐÓ ØÓÙ F Ñ ÓÐ Ø Ü Ø Ø ØÓ T := {S S H} Ò ÙÔÓ Ø Ð Ó ØÓÙ F Ñ R T º  ÜÓÙÑ Ø IT T º

½½ ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò Ø IT = T Ø Ø 1 = n i=1 a is i Ñ a i I s i T º ÓÒ ÑÛ ØÓ H Õ ÓÐ Ø Ü ÙÔ ÖÕ S 0 H Ø ØÓ Ó ô Ø s 1,...,s n S 0 Ö 1 = n i=1 a is i IS 0 ØÓÔÓº ³ Ö Ô ØÓ Ð ÑÑ ØÓÙ Zorn Sha к ¼ µ ØÓ F Ô Ö Õ ÔÓ Ó Ñ Ø ØÓ Õ Ó ØÛ Oº  ÜÓÙÑ Ø ØÓ O Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ º ÓÒ I {0} IO = O ÕÓÙÑ Ø O F I O \ O º ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø ÙÔ ÖÕ z F Ñ z,z 1 / O Ð Ø ØÓ O Ò Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ µº Ì Ø IO[z] = O[z] IO[z 1 ] = O[z 1 ] ÐÐ ô ØÓ O Ò Ø Ò Ñ Ø ØÓ Õ Ó ØÓÙ F µ Ö ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÖÓ Ñ a 0,...,a n,b 0,...,b m IO Ø ØÓ ô Ø 1 = a 0 + a 1 z + + a n z n ½º µ 1 = b 0 + b 1 z 1 + + b m z m, ½º µ Òô ÔÖÓ Òô m,n 1º ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø m,n Ø ØÓ ô Ø m n Ò Ø Ð Õ Ø ÙÒ Ø º ÈÓÐÐ ÔÐ ÞÓÙÑ Ø Ò ½º µ Ñ 1 b 0 Ø Ò ½º µ Ñ a n z n Ô ÖÒÓÙÑ 1 b 0 = (1 b 0 )a 0 + (1 b 0 )a 1 z + + (1 b 0 )a n z n 0 = (b 0 1)a n z n + b 1 a n z n 1 + + b m a n z n m. ÈÖÓ ØÛÒØ Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ü ô Ô ÖÒÓÙÑ Ø Ò 1 = c 0 + c 1 z + + c n 1 z n 1 Ñ c i IOº ³ÇÑÛ ÙØ Ò ØÓÔÓ Ð Û Ø Ð Õ Ø Ø Ø ØÓÙ nº ÌÓ Ô Ö Ô ÒÛ ôö Ñ ÕÒ ÔÓÐ Ö Ñ ÒÓ ÑÛ ØÓ Ô Ö ØÛ Õ Òµ Ñ Ó Ô Ö Ñ Ò Ø Ö ÕÖ ÑÓº È Ö Ñ ½º¾º½ º ³ ØÛ F/K ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ z F ÙÔ Ö Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº Ì Ø ØÓ z Õ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ò Ô ÐÓ Ñ ÖÞ º Ô Ü º  ÛÖÓ Ñ ØÓÒ Ø Ð Ó R = K[z] ØÓ ô I = zk[z]º Ô ØÓ ôö Ñ ½º¾º½ ÙÔ ÖÕ P P F Ñ z P Ð Ó P Ò ÖÞ ØÓÙ z ÓÑÓÛ ÙÔ ÖÕ Q P F ÖÞ ØÓÙ z 1 Ð Ô ÐÓ ØÓÙ zº

½¾ ÌÓ Ø Ð ÙØ Ó Ô Ö Ñ Ñ ÕÒ Ñ Ø Ü ÐÐÛÒµ Ø P F º ËØ Ò ÔÖ ¹ Ñ Ø Ø Ø Õ Ø ÔÓÐ ÕÙÖ Ø ÖÓ Ø Ð P F = Sti Iº µº ³ÇÑÛ Ô Ð Ñ ÕÖ Ø Ñ Ò Ñ ÔÓ Ó ØÓ Õ Ó ØÓÙ P F ÔÓ Ð Ó Ø ØÓ Õ ÙØ Ô ÖÓÑÓ ÞÓÒØ Ñ ØÓÙ ÔÖôØÓÙ Ö ÑÓ º Ò ÒÓÙÑ Ø Ø ØÓ Ó Ô Ñ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ¹ ÛÒ K(x)/K Ð ØÓÙ Ö ØÓ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒº Ò Û Ó p(x) K[x] ÓÖÞÓÙÑ Û { } f(x) O p(x) := g(x) f(x),g(x) K[x], p(x) g(x) Ð ÔÓÙÑ ÓÐ Ø ÙØ Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ K(x)/K Ñ ÒØ ØÓ ÕÓ Ñ Ø ô ØÓ P p(x) = { f(x) g(x) } f(x),g(x) K[x], p(x) f(x), p(x) g(x). ³ Ò ÐÐÓ Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ K(x)/K Ò Ó O := { f(x) g(x) Ñ Ñ Ø ô ØÓ P = { f(x) g(x) } f(x),g(x) K[x], deg f(x) deg g(x) } f(x),g(x) K[x], deg f(x) < deg g(x), ÔÓÙ Ð Ø ÔÖôØÓ ØÓÙ Ô ÖÓÙ ÖÕ Ñ Ó ÔÖôØÓº ÌÓ Ô Ö ØÛ ô¹ Ö Ñ Ñ ÕÒ Ø ØÓ Ö Ø ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ñ ÒÓ Ó Ô Ö Ô ÒÛ ÔÖôØÓ º  ôö Ñ ½º¾º½ º ËØÓ Ö Ø ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ K(x)/K Ò P P K(x) Ø Ø P = P P = P p(x) ÔÓ Ó p(x) K[x] Ò Û Óº Ô Ü º ³ ØÛ P P K(x) Ñ P P º ÖÒÓÙÑ Ô Ö ÔØô º Ò x O P Ø Ø K[x] O P ØÓÙÑ I := K[x] P ØÓ ÓÔÓÓ ÓÐ Ð ÔÓÙÑ Ø Ò ÔÖôØÓ ô ØÓÙ K[x]º ³ÇÑÛ K[x] Ò Ô Ö ÓÕ ÙÖÛÒ Û ôò Ø ØÓ K Ò ôñ µ ØÓ I Ò ÔÖôØÓ ô Ö ÙÔ ÖÕ p(x) K[x] Ò Û Ó Ø ØÓ Ó ô Ø I = p(x)k[x]º ³ Ø Ò ØÓ g(x) K[x] Ò Ö Ø

½ Ô ØÓ p(x) Ø Ø g(x) / I Ö g(x) / P Ö 1/g(x) O P º ËÙÒÓÝÞÓÒØ ÕÓÙÑ Ø O p(x) = { f(x) g(x) } f(x),g(x) K[x], p(x) g(x) O P. ³ÇÑÛ Ô ØÓ ôö Ñ ½º¾º½¼ ³µ Õ Ø O P = O p(x) º Ò ØôÖ x / O P Ø Ø ÔÛ ÔÖ Ò K[x 1 ] O P x 1 P K[x 1 ] P K[x 1 ] = x 1 K[x 1 ] Ö { } f(x 1 ) O P g(x 1 ) f(x 1 ),g(x 1 ) K[x 1 ], x 1 g(x 1 ) { } a0 + a 1 x 1 + + a n x n = b 0 + b 1 x 1 + + b m x m b 0 0 { } a0 x m+n + + a n x m = b 0 x m+n + + b m x n b 0 0 { } u(x) = v(x) u(x),v(x) K[x], deg u(x) deg v(x) = O. ³ Ø Ô Ð O P = O º ½º Ö Ø L ÕôÖÓ À ÒÒÓ ØÓÙ Ö Ø Õ Ø ÖÞ ØÓÙ Ø Ò Ð Ö ÛÑ ØÖ Õ Ø Ò Ð ÛÖ Ö ÑôÒº È Ö Ð ÙØ Ò Ò Ô Ô ØÓ ÓÑÑ Ø Ø ÛÖ Ñ Ñ ÔÓÙ Õ Ö ÙØ Ò ÔÓ ÜÓÙÑ ØÓ ôö Ñ Riemann- Roch ØÓ Ð Ó ¾ ÔÓÙ Ò Ò Ø ÐÙØ Ñ ÔÓØ Ð Ñ ÔÛ Ó Ñ Ö Ø Ö º ÇÖ Ñ ½º º½º À Ð Ö Ð Ò ÓÑ ÔÓÙ Ô Ö Ø Ô ØÓÙ ÔÖô¹ ØÓÙ Ò ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ ÓÒÓÑ Þ Ø ÓÑ Ö ØôÒ group of divisorsµ ÙÑ ÓÐÞ Ø Û D F º Ì ØÓ Õ Ø ÓÑ Ö ØôÒ ÓÒÓÑ ÞÓÒØ Ö Ø divisorsµº

½ ³ Ø Ó ØÙÕ Ó Ö Ø Ò Ò ØÙÔ ÖÓ Ñ Ø ÑÓÖ D = P P F a P P Ñ a P Z a P = 0 Õ Ò ÐÓÙ ØÓÙ P º Ì a P ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ Ø ÔÓÙ ÙÑ ÓÐÞÓÒØ Û ord P (D) ÓÒÓÑ ÞÓÒØ Ø Ü ØÓÙ Ö Ø º ³ Ò Ö Ø Ò Ó 0 := P P F 0 P, Òô Ò D = P P F Ø Ø Ð Ñ Ø Ó D Ò ÔÖôØÓ Ö Ø º ³À Ð ÔÓÙÑ Ø ØÓ D F ÑÔÓÖ Ò ÓÖ Ø Ñ Ö Ø Ü D 1 D 2 ord P (D 1 ) ord P (D 2 ) P P F µº Å Ð Ø Ò D > 0 Ø Ø Ð Ñ Ø Ó D Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø effectiveµº à ÔÓ Ó Ñ ÕÖ ÑÓ ÓÖ ÑÓ Ò Ó Ô Ö ØÛº ÇÖ Ñ ½º º¾º ³ ØÛ D Ö Ø º Ï Ø Ö Ñ supportµ ØÓÙ D ÓÖÞÓÙÑ ØÓ ÒÓÐÓ supp(d) := {P P F ord P (D) 0}. ÇÖ Ñ ½º º º Ï Ñ ØÓÙ Ö Ø D ÓÖÞÓÙÑ ØÓÒ Ö Ñ deg F D := P P F ord P (D) deg P. Ò Ò ÙÔ ÖÕ Ò ÙÒÓ ÕÙ ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ ØÓÒ deg F D ÔÐ Û deg Dº Ñ ÓÐ Ð Ô Ò Ø Ô ØÓÒ Ñ ØÛÒ Ö ØôÒ ÔÖÓ ¹ ÔØ Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñ deg : D F Zµº Ô ÓÐ ÔÓ Ò Ø Sti Iº µ Ø Ò x F \ {0} Õ Ñ ÒÓ Ô Ô Ö Ñ Ò ØÓ ÔÐ Ó ÖÞ Ô ÐÓÙ Ö Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ Õ Ò Ñ º ÇÖ Ñ ½º º º ³ ØÛ x F \ {0}º ÇÖÞÓÙÑ Û (x) 0 := ord P (x)p, ØÓÒ Ö Ø ØÛÒ Ö ÞôÒ ØÓÙ x, (x) := P P F ord P (x)>0 P P F ord P (x)<0 ( ord P (x))p, ØÓÒ Ö Ø ØÛÒ Ô ÐÛÒ ØÓÙ x (x) := (x) 0 (x) ØÓÒ Ö Ó Ö Ø principal divisorµ ØÓÙ x.

½ ³ Ò Ò ÖÓÒ Ð ÑÑ Ò ØÓ Ô Ö ØÛº Ä ÑÑ ½º º º Á Õ Ø x K F (x) = 0º Ô Ü º µ ³ ØÛ x K F \{0} P ÔÖôØÓº Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º¾º ÕÓÙÑ Ø P K F = {0} Ö x / P Ô ØÓ ôö Ñ ½º¾º½¼ ord P (x) 0º ÇÑÓÛ ord P (x 1 ) 0 Ð ord P (x) 0º ËÙÒÓÝÞÓÒØ Ø Ð ÓÙÑ Ø ord P (x) = 0º µ ³ Ñ Ó Ô ØÓ Ô Ö Ñ ½º¾º½ º Å ÙÔÓÓÑ Ø Ö Ñ Ò Ô Ö ØÛº ÇÖ Ñ ½º º º ÌÓ ÒÓÐÓ P F := { (x) x F \ {0} } ÓÒÓÑ Þ Ø ÓÑ Ö ÛÒ Ö ØôÒ group of princpal divisorsµ ØÓÙ F/Kº Ò ÔÖÓ Ò Ø ØÓ P F Ò ÙÔÓÓÑ Ø D F º ³ Ø Õ Ò Ñ Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ º ÇÖ Ñ ½º º º À Ô Ð ÓÓÑ C F := D F / PF ÓÒÓÑ Þ Ø ÓÑ Ð ÛÒ Ö ØôÒº Ò D D F ÒØ ØÓ Õ Ð ÙÑ Óй Þ Ø Ñ [D]º Ó Ö Ø D,D D F ÓÒÓÑ ÞÓÒØ Ó Ò ÑÓ Ò [D] = [D ] ÙÑ ÓÐ D D µº ËØ ÙÒ Õ ÓÖÞÓÙÑ ØÓÙ L ÕôÖÓÙ ÔÓÙ Ô ÜÓÙÒ ÙØÓ ÔÖÛØ Û¹ Ò Ø Ö ÐÓ Ø ÛÖ Ñ ØÓ ôö Ñ Riemann-Rochº ÇÖ Ñ ½º º º ³ ØÛ A D F ÕÓÙÑ Ø L(A) := {x F (x) A } {0}. Å ÔÓÐ ÕÖ Ñ Ô Ö Ø Ö Ò Ø L(A) {0} ÒÒ ÙÔ ÖÕ A A Ñ A 0º À Ô Ö ØÛ ÔÖ Ø Ñ ÕÒ ÔÓ ÔÓÐ Ñ ÒØ Ø Ø ØÛÒ L ÕôÖÛÒº

½ ÈÖ Ø ½º º º ³ ØÛ A D F º Ì Ø µ ØÓ L(A) Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô ÒÛ Ô ØÓ K µ Ò A D F Ñ A A Ø Ø L(A) = L(A ) Û ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ µ L(0) = K µ Ò A < 0 Ø Ø L(A) = {0}º Ô Ü º ³µ ³ ØÛ x,y L(A) a Kº Ì Ø P P F Õ Ø ord P (x + y) min{ord P (x), ord P (y)} ord P (A), Ð x + y L(A) ord P (ax) = ord P (a) + ord P (x) ord P (A), Ð ax L(A)º ³µ Ó A A ÕÓÙÑ Ø A = A + (z) ÔÓ Ó z F \ {0}º  ÛÖÓ Ñ Ø Ô ÓÒ φ : L(A) L(A ) x xz φ : L(A ) L(A) x xz 1 Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ò Ð ÓÖ Ñ Ò K¹ Ö ÑÑ Ñ ÒØ ØÖÓ Ø ÐÐ º ³ Ø φ Ò ÓÑÓÖ Ñ º ³µ ÈÖÓ Òô K L(0)º ³ ØÛ ØôÖ x L(0) \ {0} Ø Ø (x) 0 Ö ØÓ x Ò Õ Ô ÐÓÙ Ö x K Ô ØÓ Ô Ö Ñ ½º¾º½ º ³µ ³ ØÛ x L(A) \ {0} Ø Ø (x) A > 0 Ð ØÓ x Õ ÖÞ ÐÐ Õ Ô ÐÓÙ ØÓÔÓº ËØ Ò Ô Ö Ô ÒÛ ÔÖ Ø Ñ Ø Ò L ÕôÖÓ Ò ÒÙ Ñ Ø Õô¹ ÖÓ Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº ËØ ÙÒ Õ Ñ Ð Ø ÓÙÑ Ø Ø Ø ØÓÙ Û ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ Ø Ð ÜÓÙÑ Ø Õ Ô Ô Ö Ñ Ò Ø º Ä ÑÑ ½º º½¼º ³ ØÛ A,B D F A Bº Ì Ø L(A) L(B) dim K ( L(B) / L(A) ) deg B deg A.

½ Ô Ü º ÌÓ Ø L(A) L(B) Ò ÔÖÓ Ò º Ò ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò ÐÐ Õ Ò Ö Ø Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø B = A + P Ñ P P F Ò Ô ÖÔØÛ ÙÒ Ô Ø Ô Û º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò Ø B = A + P Ñ P P F t F Ñ ord P (t) = ord P (B) = ord P (A) + 1º x L(B) ÕÓÙÑ Ø ord P (x) ord P (B) = ord P (t), Ö ord P (xt) 0 Ð xt O P º ÔÓÑ ÒÛ Õ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ñ Ø Ò Ô Ö ØÛ Ô Ò ψ : L(B) O P / P x xt, ÓÔÓ Ò K¹ Ö ÑÑ x ker ψ ord P (xt) > 0 Ð ord P (x) ord P (A)º ³ Ø Ø Ð ÓÙÑ Ø kerψ = L(A) Ö Ô ØÓ ½ Ó ôö Ñ ÓÑÓÖ ÑôÒ dim K ( L(B) / L(A) ) dimk ( OP / P ) = deg P = deg B deg A. ÈÖ Ø ½º º½½º A D F Ó L(A) Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ø ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº Ô Ü º  ÛÖÓ Ñ Ø A = A + + A Ñ A + A Ø ÔÖÓ Ò µº Ó L(A) L(A + ) Ö Ò ÜÓÙÑ Ø dim K L(A + ) deg A + + 1. ³ÇÑÛ 0 A + Ö Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º º½¼ Õ Ø dim K ( L(A+ ) / L(0) ) deg A+. Ñ Ô Ø Ò ÔÖ Ø ½º º ³µ ÕÓÙÑ Ø L(0) = K Ö dim K L(A + ) = dim K ( L(A+ ) / L(0) ) + 1 ÙÒ Ù ÞÓÒØ Ø Ó Ô Ö Ô ÒÛ ÕÓÙÑ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº α ητέτοιο tε ασ αλ εταια ότο εώ ημα...

½ ËØ Ø Ð ÙØ ÔÖ Ø Ñ Ø Ò L ÕôÖÓ Ò Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ø ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº ³ Ø Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ Õ Ò Ñ º ÇÖ Ñ ½º º½¾º Ò Ò A D F Ó Ö Ó l(a) := dim K L(A) ÓÒÓÑ ¹ Þ Ø Ø ØÓÙ Aº ÔÓ Ò Ø Sti Iº µ Ø x F \ K Õ Ø Ø deg(x) 0 deg(x) Ò ØÓ ÔÓÐ Ñ [F : K(x)]º ËØÓ Ô Ö ØÛ ôö Ñ Ó Ñ Ø Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ø Ø Õ Ø Ø º  ôö Ñ ½º º½ º x F \ K Õ Ø deg(x) 0 = deg(x) = [F : K(x)]. Ô Ü º  ØÓÙÑ n := [F : K(x)] B := (x) Ñ ÛÒ Ñ Ø Ô Ö ¹ Ô ÒÛ Ö Ò ÜÓÙÑ Ø deg B nº Ô Ð ÓÙÑ {u 1,...,u n } Ñ Ø Ô Ø F/K(x) C D F Ø ØÓ Ó ô Ø C 0 (u i ) C i = 1,...,nº Ñ Ô Ø Ñ Ô ØÓÙ ÓÖ ÑÓ Ø k 0 Õ Ø x i u j L(kB + C) 0 i k 1 j nº Ô ÓÐ Ð ÔÓÙÑ Ø Ø Ô Ö Ô ÒÛ ØÓ Õ Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ K Ö l(kb + C) n(k + 1) ½º µ k 0º  ØÓÙÑ c := deg C Ô Ø Ò Ô Ü Ø ½º º½½ Ô ÖÒÓÙÑ Ø n(k + 1) l(kb + C) k deg B + c + 1º ³ Ø k(deg B n) n c 1 ½º µ k Nº ³ÇÑÛ c > n Ó Ô Ø Ò Ô Ü Ø ½º º½½ ÕÓÙÑ Ø c > l(c) Ó C 0 l(c) n Ô ½º µ k = 0º ØÓÔÓ Ò deg B < n Ö deg B nº ³ Ø ½º µ Ò ÌÓ Ô Ö Ô ÒÛ ôö Ñ ÔÓ Ò Ø Ù ÓÐ Ø Ö Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø ØÓ K Ò Ø Ð Ó ôñ ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ Ø Ø Ø ØÓÙ K[x] Û ØÙÐÓÙ

½ Dedekind Ros к µ ÑÛ ô ÔÖÓØ Ñ Ñ Ñ Ô Ó Ù Ö Ñ ¹ Ò ÔÖÓ º Ì ÐÓ ÔÖ Ò Ð ÓÙÑ ØÓ Ð Ó Ó Ñ Ñ Ö Ñ ÔÓÖ Ñ Ø ØÓÙ Ø Ð ÙØ ÓÙ ÛÖ Ñ ØÓº È Ö Ñ ½º º½ º Ò x F \ {0} Ø Ø deg(x) = 0º Ô Ü º ³ Ñ Ó Ô ØÓ ôö Ñ ½º º½ ØÓÒ ÓÖ Ñ ½º º º È Ö Ñ ½º º½ º ³ ØÛ A,A D F Ñ A A º Ì Ø l(a) = l(a ) deg A = deg A º Ô Ü º ÌÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ Ô Ø Ñ Ô ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ Ø Ò ÔÖ Ø ½º º ³µº È Ö Ñ ½º º½ º Ò A D F Ñ deg A 0 Ø Ø l(a) = 0 Ø Ò A 0 ÓÔ Ø l(a) = 1º Ô Ü º Ò deg A < 0 x L(A)\{0} Ø Ø deg((x)+a) = deg A < 0 Ô ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ deg((x)+a) 0 Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ L(A) ØÓÔÓ Ö L(A) = {0} l(a) = 0º Ò deg A = 0 x L(A) \ {0} Ø Ø (x) + A 0 deg((x) + A) = 0 Ö (x) + A = 0 Ö A 0º Ì ÐÓ Ò A 0 Ø Ø Ô Ô Ö Ñ ½º º½ l(a) = l(0) Ñ ÔÓÙ L(0) = K Ô Ø Ò ÔÖ Ø ½º º ³µ l(0) = 1º ιατονο ισμότο δακτ λ ο Dedekindδες Neu σελ..

Ã Ð Ó ¾ ÌÓ ôö Ñ Riemann-Roch ÌÓ ÒØÖ ÔÓØ Ð Ñ ØÓÙ Ð ÓÙ ÙØÓ Ò ØÓ ôö Ñ Riemann- Rochº ÌÓ ôö Ñ Riemann-Roch Õ Ø ÖÞ ØÓÙ Ø Ò Ð Ö ÛÑ ¹ ØÖ Òô Ø ÒØ ØÓ ÕÓ Ò ÙÔ ÖÕ Ø Ò Ð Â ÛÖ Ö ÑôÒº Ò ÖÓÙÑ ØÓ ôö Ñ Riemann-Roch Ø Ò Ò Ô Ò ÕÙÖÓ Ö Ð Ó ØÓ ÓÔÓÓ Ñ Ó Ò ÕÓÙÑ ÔÓØ Ð Ñ Ø Ø Â ÛÖ Ö ÑôÒ ôñ Ø ÙÒ ÖØ ÛÒ Ù ÓÐ Ø Ö Ô Ø Ø Ò Ð Â ÛÖ Ö ÑôÒ ÔÛ Ó Ñ Ø Ô Ñ Ò Ð º À Õ ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ Riemann-Roch Ò Ø Ó Ñ Ð ÔÓÙ Ø ÔÓÐÐÓ ÔÖ Ø ØÓ Ñ ÒØ Ø ÖÓ ÔÓØ Ð Ñ Ø ÛÖ ØÛÒ ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒº ËØÓ Ð Ó ÙØ ÛÖÓ Ñ Ô ÒØ Ø ØÓ F/K Ò ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ø K F = Kº ¾º½ ÈÖÓ Ô ØÓ Ñ Ò ÒÒÓ ËØ Ò Ô Ö Ö Ó ÙØ ØÓ Ñ Ñ Ð Ñ Ò Ò ÓÖ ÓÙÑ ØÓ ÒÓ Ò ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ ô ÙØ Ô Ü ÓÖ Ø Ö ÐÓº Ü Ò ¹ ÓÙÑ ÐÓ Ô Ò Ô Ñ Ó Ø ÔÖ Ø º ÈÖ Ø ¾º½º½º ÍÔ ÖÕ ÔÓ Ø Ö γ Z Ø ØÓ ô Ø A D F Ò Õ deg A l(a) γ. ¾¼

¾½ Ô Ü º Ã Ø ÖÕ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º º½¼ ÕÓÙÑ Ø Ò A 1,A 2 Ò Ö Ø Ø Ø A 1 A 2 deg A 1 l(a 1 ) deg A 2 l(a 2 ). ¾º½µ  ÛÖô Ò Ù Ö ØÓ x F \ K ØÓ ÓÔÓÓ Ô Ü Ó Ø Ö ÐÓ Ø Ò Ô Ü ØÛ B := (x) º Ì Ø ÓÐÓÙ ôòø Ø Ò Ñ Ò Ø Ô Ü ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ ½º º½ ô ØÓ ½º º½ Ø Ð ÓÙÑ Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó C D F ÔÓÙ Ü ÖØ Ø Ô ØÓ x Ø ØÓ Ó ô Ø C 0 k 0 Õ Ø l(kb + C) (k + 1) deg B. ¾º¾µ Ñ Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º º½¼ ÕÓÙÑ Ø k 0 Õ Ø l(kb + C) l(kb) deg(kb + C) deg(kb) l(kb + C) deg C + l(kb). ¾º µ ËÙÒ Ù ÞÓÒØ Ø ¾º¾µ ¾º µ Ø Ð ÓÙÑ Ø k 0 l(kb) (k + 1) deg B deg C = deg(kb) + (deg B deg C) Ð ÔÓ Ó γ Z Õ Ø deg(kb) l(kb) γ. ¾º µ  ÐÓÙÑ Ò ÜÓÙÑ Ø ¾º µ Õ Ñ Ò ÒØ Ø Ø ÓÙÑ ØÓ kb Ñ ØÓ ØÙÕ Ó ØÓ Õ Ó ØÓÙ D F º Á ÕÙÖ Þ Ñ Ø Ø A D F ÙÔ ÖÕÓÙÒ A 1,D D F k Z 0 Ø ØÓ Ó ô Ø A A 1 A 1 D D kbº ÈÖ Ñ Ø Ò Ô Ð ÜÓÙÑ ÔÓ Ó A 1 D F Ø ØÓ Ó ô Ø A 1 A A 1 0 Ø Ø k Ö Ø Ñ ÐÓ l(kb A 1 ) l(kb) deg A 1 Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º º½¼µ deg(kb) γ deg A 1 Ô Ø Ò ¾º µúµ > 0 Ö Ø Ñ ÐÓ kµ º ³ Ö ÙÔ ÖÕ z L(kB A 1 ) \ {0} ØÓÒØ D := A 1 (z) Ô ÖÒÓÙÑ Ø A 1 D D A 1 (A 1 kb) = kbº

¾¾ ³ Ø ÙÔÓ ØÓÙÑ Ø A 1 D ÔÛ Ô Ö Ô ÒÛ ÕÓÙÑ Ø deg A l(a) deg A 1 l(a 1 ) Ô Ø Ò ¾º½µÚµ = deg D l(d) Ô Ô Ö Ñ ½º º½ µ deg(kb) l(kb) Ô Ø Ò ¾º½µÚµ γ Ô Ø Ò ¾º µúµ Ð ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº Ë Ñ ÛÒ Ñ Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ ÔÖ Ø Õ Ò Ñ Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ º ÇÖ Ñ ¾º½º¾º ÌÓ ÒÓ genusµ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K ÓÖÞ Ø Û g := max{deg A l(a) + 1 A D F }. ÌÓ ÒÓ Ò ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ò ÓÖ Ø Ñ ÑÛ Ò Ò Ó ÙÔÓÐÓ Ñ ØÓÙ Ò Ò ÓÐÓº Ñ Õ Ø g 0. ¾º µ ÌÓ ÔÓØ Ð Ñ ÙØ ØÓ Ð Ñ ÒÓÙÑ Ò ÛÖ ÓÙÑ ØÓÒ Ñ Ò Ö Ø Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ Ø deg 0 = 0 l(0) = 1 ÓÔ Ø deg 0 l(0) + 1 = 0 Ö Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ ÒÓÙ g 0º Å ÐÐ Õ ÔÓÙ ÔÓÖÖ Ñ Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ ÒÓÙ Ò Ø A D F Õ Ø l(a) deg A + 1 g, ¾º µ ÐÐ ô Ò Ø Ø Riemannº Ñ Õ ØÓ Ô Ö ØÛ ôö Ñ º  ôö Ñ ¾º½º Riemannµº Ò g ØÓ ÒÓ ØÓÙ F/K Ø Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó c Z ÔÓÙ Ü ÖØ Ø Ô ØÓ F/K Ø ØÓ Ó ô Ø Ò A D F Ñ deg A c Õ Ø l(a) = deg A + 1 g. Ô Ü º ³ ØÛ A 0 D F Ø ØÓ Ó ô Ø ½ deg A 0 l(a 0 ) + 1 = g c := deg A 0 +gº Ò A D F Ñ deg A c Ø Ø Ô Ø Ò Ò Ø Ø Riemann Õ Ø l(a A 0 ) deg(a A 0 ) + 1 g c deg A 0 + 1 g = 1. ½ α ητέτοιο A 0 ε ασ αλ εταια ότονο ισμότο γένο ς.

¾ ÔÓÑ ÒÛ ÙÔ ÖÕ z L(A A 0 ) \ {0}º  ÛÖÓ Ñ ÐÓ Ô Ò ØÓÒ Ö Ø A := A + (z) ØÓÒ ÓÔÓÓ Õ Ø A A 0 º ³ Ø ÕÓÙÑ deg A l(a) = deg A l(a ) Ô Ô Ö Ñ ½º º½ µ deg A 0 l(a 0 ) Ô Ð ÑÑ ½º º½¼µ = g 1. ÔÓÑ ÒÛ l(a) deg A + 1 g ÙÒ Ù ÞÓÒØ Ñ Ø Ò Ò Ø Ø Riemann ÓÐÓ Ð ÖôÒÓÙÑ Ø Ò Ô Ü º ¾º¾ ÌÓ ôö Ñ Riemann-Roch ÌÓÒÞÓÙÑ ØÓÒ Ò Òô Ø Ø Ñ Ø Ò Ø ÔÛ ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ Riemann-Roch ÕÖ Þ Ø Ö Ø Ñ ÔÖÓÔ Ö Ù º ËØ Ò Ò Ø Ø ÙØ ØÙÔô ÓÙÑ ÔÓ ÜÓÙÑ ØÓ ôö Ñ Riemann-Roch ôö Ñ ¾º¾º½ µº Ë ÓÐ Ð Ö Ø Ò Ò Ø Ø Ñ g ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ ØÓ ÒÓ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/Kº Â Ü Ò ÓÙÑ ÒÓÒØ ÔÓ ÓÙ ÕÖ ÑÓÙ ÓÖ ÑÓ º ÇÖ Ñ ¾º¾º½º A D F Ó Ö Ó i(a) := l(a) deg A + g 1 ÓÒÓÑ Þ Ø Ø Ö Ø Ø index of specialityµ ØÓÙ Aº À Ò Ø Ø Riemann Õ ¾º µúµ Ñ Ü ÐÞ Ø A D F Õ Ø i(a) 0 Òô Ô ØÓ ôö Ñ Riemann ôö Ñ ¾º½º µ ÕÓÙÑ Ø Ò deg A Ò Ö Ø Ñ ÐÓ Ø Ø i(a) = 0º ÇÖ Ñ ¾º¾º¾º ÌÓ ÒÓÐÓ { A F := (α P ) P PF } α P O P Õ Ò Ð Ø P P F P P F F ÓÒÓÑ Þ Ø Ø Ð Ó ÕÛÖ ÑôÒ adele space repartition space adele ring idèle ringµº

¾ ÓÐ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ó Ñ Ø Ó Ø Ð Ó ÕÛÖ ÑôÒ Ò ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ Õ ÔÖ Ñ Ø ÓÑ ØÙÐÓÙ ÐÐ ÙØ Ñ Ô ÕÓÐ Ø Ö º ÒØ Ø Ñ ÒØ Ö ÐÓ Ø ÛÖ Ô Ü ØÓ ÓÒ Ø Õ ÓÑ K¹ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙº Ô x F Õ Ô Ô Ö Ñ Ò ØÓ ÔÐ Ó ÖÞ Ô ÐÓÙ Sti к ½ Ö Ñ φ : F A F z (z) P PF Ò Ð ÓÖ Ñ Ò Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ó Ñ ØÓ F Û K¹ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ A F º Ô ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ô Ø ÒÓÙÑ Ø Ù ØÖ ÔÓ Ø Ò Ø Ü Ò ÔÖôØÓÙ Ô ØÓ F ØÓ A F ÓÔ Ø P 1 P F ÓÖÞÓÙÑ ord P1 : A F Z { } (α P ) P PF ord P1 (α P1 ) ØÓ ÓÒ Ø Ò α A F Ø Ø ord P (α) 0 Õ Ò Ð Ø P P F Ò Ñ Ó Ô ØÓÙ ÓÖ ÑÓ º Ó Ñ ØôÖ Ñ ÔÓÐ Ñ ÒØ Ó Ó Ò K¹ÙÔ ÕÛÖÛÒ ØÓÙ A F º ÇÖ Ñ ¾º¾º º A D F ÓÖÞÓÙÑ A F (A) := {α A F ord P (α) ord P (A) P P F }. ÌÓ Ô Ö ØÛ ôö Ñ Ñ Ó Ò ÕÓÙÑ Ñ ÔÖôØ ß ÓÕ Ð ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ Riemann-Roch ô Ò Ò Ñ Õ Ö Ø Ö Ñ ØÓÙ ÒÓÙº  ôö Ñ ¾º¾º º A D F Õ Ø ( i(a) = dim AF K / AF (A)+F). Ô Ü º Ã Ø ÖÕ ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò A 1,A 2 D F Ñ A 1 A 2 Ø Ø A F (A 1 ) A F (A 2 ) ( dim AF (A 2 ) K / AF (A 1 )) = deg A2 deg A 1. ¾º µ ÌÓ Ø A F (A 1 ) A F (A 2 ) Ò ÔÖÓ Ò º Ø Ò Ô Ü Ø ¾º µ Ö Ò ÜÓÙÑ Ø Ò Ô ÖÔØÛ A 2 = A 1 + P 1 Ñ P 1 P F Ò Ô ÖÔØÛ Ô Ø Ñ Ô Û º Ô Ð ÓÙÑ ¾ t F Ñ ord P1 (t) = ord P1 (A 1 )+1 ÓÑÓÛ ¾ α ητέτοιο tε ασ αλ εταια ότονο ισμότηςτ ηςενός ώτο.

¾ Ñ Ø Ò Ô Ü ØÓÙ Ð ÑÑ ØÓ ½º º½¼ Ô Ò φ : A F (A 2 ) O P 1 / P1 (α P ) P PF tα P1 Ò Ð ÓÖ Ñ Ò K¹ Ö ÑÑ kerφ = A F (A 1 )º Ñ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø x O P1 Ò (β P ) P PF A F Ñ β P Ø ØÓ ô Ø ord P (β P ) = ord P (A 2 ) P P 1 β P1 = t 1 x Ø Ø (β P ) P PF A F (A 2 ) φ((β P ) P PF ) = x Ð φ Ò Ôº ³ Ø Ô ØÓ ½ Ó ôö Ñ ÓÑÓÖ¹ ÑôÒ Ô ÖÒÓÙÑ Ø Ò ¾º µº ËØ ÙÒ Õ ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò A 1,A 2 ÔÛ ÔÖ Ò Ø Ø ( dim AF (A 2 ) )+F K / AF (A 1 )+F ÈÖ Ñ Ø ÛÖÓ Ñ Ø Ò ÓÐÓÙ = (deg A 2 l(a 2 )) (deg A 1 l(a 1 )). ¾º µ 0 σ 1 L(A2) σ / 2 L(A1 ) A F (A 2 ) / AF (A 1 ) σ 3 A F (A 2 )+F / AF (A 1 )+F σ 4 0 ¾º µ Ñ σ i Ø ÔÖÓ Ò º ³ ÕÓÙÑ Ø ÔÖÓ Òô imσ 1 = ker σ 2 im σ 3 = kerσ 4 imσ 2 kerσ 3 º ³ ØÛ ØôÖ α A F (A 2 ) Ñ σ 3 (α + A F (A 1 )) = 0 Ø Ø α A F (A 1 ) + F ÓÔ Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó x F Ñ α x A F (A 1 )º à ô A F (A 1 ) A F (A 2 ) Ø Ð ÓÙÑ Ø x A F (A 2 ) F = L(A 2 )º ³ Ø α + A F (A 1 ) = x + A F (A 1 ) = σ 2 (x + L(A 1 )) Ð kerσ 3 imσ 2 Ð ÙÒÓÐ imσ 2 = ker σ 3 º ³ Ø ÓÐÓÙ Ø Ò ¾º µ Ò Ö Õ Ö Rei к µ Ö ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ò ¾º µ Ô ÖÒÓÙÑ ( dim AF (A 2 ) )+F K / AF (A 1 )+F ( = dim AF (A 2 ( ) K / AF (A 1 )) L(A2 ) ) dimk / L(A1 ) = (deg A 2 deg A 1 ) (l(a 2 ) l(a 1 )). Ñ ÜÓÙÑ Ø Ò B D F Ñ l(b) = deg B + 1 g Ø Ø A F = A F (B) + F. ¾º½¼µ

¾ ÈÖ Ñ Ø Ø ÖÕ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º º½¼ Ò B 1 B Ø Ø l(b 1 ) deg B 1 + l(b) deg B = deg B 1 + 1 g. Ì ÙØ ÕÖÓÒ Ô Ø Ò Ò Ø Ø Riemann Õ ¾º µúµ l(b 1 ) deg B 1 +1 g Ö ÙÒÓÐ l(b 1 ) = deg B 1 + 1 g B 1 B. ¾º½½µ ³ ØÛ ØôÖ α A F º ÈÖÓ Òô ÙÔ ÖÕ B 1 B Ø ØÓ Ó ô Ø α A F (B 1 )º Ô Ø ¾º µ ¾º½½µ ÕÓÙÑ ( dim AF (B 1 ) )+F K / AF (B)+F = (deg B 1 l(b 1 )) (deg B l(b)) = (g 1) (g 1) = 0, Ð A F (B) + F = A F (B 1 ) + F ÓÒ α A F (B 1 ) Ø Ð ÓÙÑ Ø α A F (B) + F Ð Ü Ñ Ø Ò ¾º½¼µº Ì ÐÓ ØÛ A Ö Ø º Ô ØÓ ôö Ñ Riemann º ¾º½º µ ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó Ö Ø A 1 A Ø ØÓ Ó ô Ø l(a 1 ) = deg A 1 + 1 gº Ô Ø Ò ¾º½¼µ A F = A F (A 1 ) + F Ø ¾º µ Ò ( dim AF ( K / AF (A)+F) = AF (A dimk 1 ) )+F / AF (A)+F = (deg A 1 l(a 1 )) (deg A l(a)) = (g 1) + l(a) deg A = i(a). ÌÓ Ô Ö Ô ÒÛ ôö Ñ Ñ ÕÒ Ø A D F Õ Ø l(a) = deg A + 1 g + dim K ( AF / AF (A)+F), ¾º½¾µ ÔÓÙ Ò Ñ ÔÖÓ Ø Ö Ø Ø ÔÛ ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ Riemann-Rochº ¹ Ñ Ñ Ò Ò Ò Ñ ØÖ ÔÓ ÙÔÓÐÓ ÑÓ ØÓÙ ÒÓÙ ÔÛ Ð ÔÓÙÑ ØÓ Ô Ö ØÛ Ô Ö Ñ º È Ö Ñ ¾º¾º º Á Õ Ø g = dim K ( AF / AF (0)+F).

¾ Ô Ü º Ô ØÓ ôö Ñ ¾º¾º Õ Ø dim K ( AF / AF (0)+F) = i(0) := l(0) deg 0 + g 1 = g. ËØ ÙÒ Õ Ó Ñ Ø Ò ÒÒÓ ØÓÙ ÓÖ Ó Weilº ÇÖ Ñ ¾º¾º º ³ Ò ÓÖ Weil ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K Ò Ñ K¹ Ö ÑÑ Ô Ò ω : A F K ÔÓÙ Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F (A) + F ÔÓ Ó A D F º ÌÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÓÖ ôò Weil ØÓÙ F/K ÙÑ ÓÐÞ Ø Ñ Ω F º ÓÐ Ð Ô Ò Ø ØÓ Ω F Ò K¹ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ñ Ø Ò ÔÖÓ¹ Ò ÔÖ ÔÓÐÐ ÔÐ Ñ Ò x K ξ A F ω Ω F ÓÖÞÓÙÑ Û (xω)(ξ) := ω(xξ)µº ÓÐ Ð Ô Ò Ñ Ø Ñ Ó Ó ¹ Ò K¹ÙÔ ÕÛÖÛÒ ØÓÙ Ω F Ô Ö Ö Ø ØÓÒ Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ º ÇÖ Ñ ¾º¾º º A D F ÓÖÞÓÙÑ Ω F (A) := {ω Ω F ØÓ ω Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F (A) + F }. Ñ Ø ÔÐ ÓÒ Ò ô ÓÙÑ Ò Ò Ñ ØÖ ÔÓ ÙÔÓÐÓ ÑÓ Ø Ø Ö Ø Ø Ò Ö Ø º Ä ÑÑ ¾º¾º º A D F ÕÓÙÑ Ø dim K Ω F (A) = i(a)º Ô Ü º à ØÓ Õ Ó ØÓÙ Ω F (A) Ò K¹ Ö ÑÑ Ô Ò A F K Ö ÓÑ ÒÓÙ Ø ØÓ A F Ò K¹ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Õ Ö Ø ÖÞ Ø ÔÐ ÖÛ Ô Ø Ò Ò ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ Ø K¹ ØÓÙ A F º Ì ÙØ ÕÖÓÒ ÑÛ Ö ô Ô ÙØ ÔÓØ ÐÓ Ò Ø Ò K¹ ØÓÙ A F (A)+F Ò Ñ ÙÑ Ò ô ÔÖ Ô Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ¾º¾º Ò Ó ÒØ Ñ Ñ Òº ³ Ø Ø Ð ÓÙÑ Ø ( dim K Ω F (A) = dim AF ) K / AF (A)+F Ô ØÓ ôö Ñ ¾º¾º ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ Ô Ø Ñ º Ô ØÓ Ø Ð ÙØ Ó Ð ÑÑ Ð ÔÓÙÑ Ø Ò Ô ÖÓÙÑ Ò Ò Ö Ø A ÕÓÙÑ dim K Ω F (A) = i(a) = l(a) deg A + g 1, ¾º½ µ

¾ Ø Ò deg A 2 Ø Ø Ð Ñ ÒÓÒØ ÙÔ Ý Ò ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ µ ÕÓÙÑ Ø dim K Ω F (A) 1 Ð Ω F (A) {0} ÓÔ Ø Ω F {0}º Å Ñ ÔÓÐ Ñ ÒØ Ô Ö Ø Ö Ò Ø Ô ØÓ Ð ÑÑ ¾º¾º ØÓÒ ÓÖ Ñ ¾º¾º½ ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ ÕÓÙÑ Ø ØÓ ÒÓ Õ Ø g = dim K Ω F (0), ¾º½ µ Ð ØÓ ÒÓ ÑÔÓÖ Ò ÙÔÓÐÓ Ø Ñ Û ØÛÒ ÓÖ ôò Weilº Ì ÐÓ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ó K¹ ÑÛØ ÔÓÐÐ ÔÐ Ñ ÔÓÙ ÓÖ Ñ Ô ¹ Ö Ô ÒÛ Ò ÜÓÙÑ Ø ØÓ Ω F Ò K¹ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô Ø Ò Ø Ù ÓÐÓ ØÓ F º ³ Ø ØÓ Ω F Ò F ¹ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ñ Ø ÓÖ ÑÛ Ø ØôÖ Ò x F ω Ω F Ñ ØÓ ω Ò Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F (A) + F ØÓ xω Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F (A + (x)) + F º ³ Ø Ø Ω F (A) Ñ A D F Ò Ò F ¹ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ Ω F º Å Ô ÕÖ Ñ Ô Ö Ø Ö ÔÓÙ ÔÓÖÖ Ô ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ Ò Ø Ò x F ω Ω F \ {0} xω = 0 Ø Ø x = 0 Òô ÔÖÓ Òôµ Õ ØÓ ÒØ ØÖÓ Óº À Ø ØÓÙ Ω F Û F ¹ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ Ñ Ô ÕÓÐ Ó Ò ÓÖ Ø Ñ Ø Ò Ô Ü ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ Riemann-Roch ÔÖôØ ÑÛ ÓÖ ÓÙÑ ØÓ Ö Ø Ò ÓÖ Ó Weilº ÌÓ Ô Ö ØÛ Ð ÑÑ Ñ Ó Ò Ò Ð ÓÖ Ñ Ò ÒÒÓ ÙØ º Ä ÑÑ ¾º¾º º ³ ØÛ ω Ω F \{0}º Ì Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó ÑÓÒ A D F Ø ØÓ Ó ô Ø ω(a F (A) + F) = {0} Ó A Ò Ò Ñ Ø Û ÔÖÓ ÙØ Ò Ø Ò Ø Ø º Ô Ü º Ô ØÓ ôö Ñ Riemann º ¾º½º µ ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó c Ø ØÓ Ó ô Ø i(a) = 0 A D F Ñ deg A cº ³ÇÑÛ Ô ØÓ ôö Ñ ¾º¾º ÕÓÙÑ Ø Ò deg A c Ø Ø A F = A F (A)+F Ö ØÓ ω Ñ ÒÞ Ø ÓÐ Ð ÖÓ ØÓ A F Ð ω = 0 ØÓÔÓº ³ Ø Ò ÓÙÑ T := {A D F ω(a F (A)+F) = {0}} ÕÓÙÑ Ø Ó ÑÓ ÐÛÒ ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ T Ö ÓÒØ Ô ØÓ cº ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò A T Ñ ØÓÙ ÑÓ º  ÜÓÙÑ Ø Ó A Ò Ó Þ ¹ ØÓ Ñ ÒÓ Ö Ø º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò A T Ø Ø ÔÖÓ Òô lcm(a,a ) T

¾ ÔÓÙ lcm(a,a ) := max{ord P (A), ord P (A )}P D F. P P F ³ÇÑÛ deg lcm(a,a ) deg A Ö Ô Ø Ò Ñ Ø Ø Ø ØÓÙ deg A Ô Ø Ø deg lcm(a,a ) = deg A Ð ÔÖ Ô lcm(a,a ) = A Ð A Aº À ÑÓÒ Ø Ø ØÓÙ A Ò Ø ØÖ ÑÑ Ò º Ô ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ Ð ÑÑ Õ Ò Ñ Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ º ÇÖ Ñ ¾º¾º½¼º Ç Ö Ø ÔÓÙ Ô Ö Ö Ø ØÓ Ð ÑÑ ¾º¾º ÓÒÓÑ Þ Ø Ö Ø ØÓÙ ÓÖ Ó Weil ω ÙÑ ÓÐÞ Ø Û (ω)º Ñ Ò W D F Ø ØÓ Ó ô Ø W = (ω) ÔÓ Ó ω Ω F \{0} Ø Ø Ó W ÓÒÓÑ Þ Ø ÒÓÒ Ö Ø º Å Õ Ò ÔÖÓ Ò Ø Ø ØÛÒ Ö ØôÒ Weil ØÙÔôÒ Ø ØÓ Ô Ö ¹ ØÛ Ð ÑÑ º Ä ÑÑ ¾º¾º½½º Ò A D F ω Ω F Ø Ø ØÓ ω Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F (A)+ F ÒÒ A (ω)º Ô Ü º ³ Ñ Ó Ô ØÓÙ ÓÖ ÑÓ ¾º¾º ¾º¾º½¼º ³ ÐÐ Ñ Ø Ø ØÛÒ Ö ØôÒ ÓÖ ôò Weil Ò Ø Ø Ò Ô Ö ØÛ ÔÖ Ø º ÈÖ Ø ¾º¾º½¾º Ò x F ω Ω F \ {0} Õ Ø (xω) = (x) + (ω). Ô Ü º Ò ØÓ ω Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F (A)+F ØÓ xω Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F (A+ (x))+f Ö Ñ ÔÓÙ ØÓ ω Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F ((ω))+f ØÓ xω Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F ((x) + (ω)) + F Ö Ô Ø Ñ Ø Ø Ø ØÓÙ (xω) (ω) + (x) (xω). ÇÑÓÛ (xω)+(x 1 ) (x 1 xω) = (ω)º ³ Ø ÙÒ Ù ÞÓÒØ Ø Ó Ô Ö Ô ÒÛ Ô ÖÒÓÙÑ Ø (ω) + (x) (xω) (x 1 ) + (ω) = (ω) + (x).

¼ Ñ Ø ÔÐ ÓÒ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ Ø Ø ØÓÙ Ω F Û ÒÙ Ñ ¹ Ø Ó ÕôÖÓÙ Ô ÒÛ Ô ØÓ F º ÈÖ Ø ¾º¾º½ º Á Õ Ø dim F Ω F = 1º Ô Ü º Ã Ø ÖÕ ÜÓÙÑ Ø Ò ω Ω F \ {0} x L((ω) A) Ñ A D F Ø Ø Õ Ø xω Ω F (A)º ÈÖ Ñ Ø Ó x L((ω) A) ÕÓÙÑ Ø (x) A (ω) Òô Ô Ø Ò ÔÖ Ø ¾º¾º½¾ (xω) = (x)+(ω)º ³ Ø Ô ÖÒÓÙÑ Ø (xω) A Ð xω Ω F (A)º ËØ ÙÒ Õ ÜÓÙÑ Ø Ò ω Ω F \ {0} A D F Ø Ø ØÓ L((ω) A)ω Ò K¹ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ Ω F (A)º ÈÖ Ñ Ø Ô Ø Ò ÔÖ Ø ½º º ³µ ØÓ L((ω) A) Ò K¹ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ö ÓÐ ÑÔÓÖ Ò Ò Ø ØÓ L((ω) A)ω Ò K¹ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Òô Ô Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ Ô Ö Ø Ö Ô Ø Ñ Ø Ò ÙÔÓ ÒÓÐÓ ØÓÙ Ω F (A)º ÌÓ Ô Ñ ÒÓ Ñ Ñ Ò Ò ÜÓÙÑ Ø Ò ω,ω Ω F \ {0} Ø Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó A D F Ø ØÓ Ó ô Ø L((ω) A)ω L((ω ) A)ω {0}. ÈÖ Ñ Ø ÛÖÓ Ñ ÔÓ Ó P P F ØÓÙÑ D n := np n Nµº Ô Ø Õ ¾º½ µ ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ ÕÓÙÑ Ø dim K Ω F (D n ) = l(d n ) deg D n + g 1 = n deg P + g 1. ¾º½ µ Ô Ø Ò Ò Ø Ø Riemann Õ ¾º µúµ ØÓ ÓÒ Ø dim K L((ω) D n )ω = dim K L((ω) D n ), Õ Ø dim K L((ω) D n )ω = l((ω) + np) deg(ω) + n deg P g + 1, Òô ØÓ Ó Õ ØÓ ω º ³ Ø Ô ÖÒÓÙÑ Ø dim K L((ω) D n )ω + dim K L((ω) D n )ω 2n deg P + deg(ω) + deg(ω ) 2g + 2. τόισχ ειδιότιαν ω Ω F \ {0}και x F τότε xω = 0 x = 0 ό ςε δαμε στασχόλιαμετ τολήμμα...

½ ³ Ø n Ö Ø Ñ ÐÓ ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ ÖÓ Ñ Ò Ñ Ð Ø ÖÓ Ô ØÓ n deg P + g 1 ÔÓÙ Ô Ø Ò Õ ¾º½ µ Ó Ø Ñ dim K Ω F (D n )º Ð Ò ÓÙÑ Û n 1 ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ Ô Ö Ö Ñ ÒÓ n A := D n1 Ø Ø dim K L((ω) A)ω + dim K L((ω) A)ω dim K Ω F (A). ³ Ø ØÓ Ø Ð ÙØ Ó Ô ØÓ Õ ô Ö ÑÑ Ð Ö Ñ ÔÓÙ ÔÛ Ñ Ô Ö Ô ÒÛ Ø L((ω) A)ω L((ω ) A)ω Ò K¹ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ Ω F (A) Ñ Ò ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ ÔÓØ Ð Ñ º Ñ Ø ÔÐ ÓÒ Ò ÔÓ ÜÓÙÑ ØÓ ôö Ñ º ÓÑ ÒÓÙ ÐÓ Ô Ò Ø Ω F {0} Ö Ò ÜÓÙÑ Ø ω 1,ω 2 Ω F \ {0} Ø Ø ÙÔ ÖÕ z F Ø ØÓ Ó ô Ø ω 1 = zω 2 º ÈÖ Ñ Ø Ô Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö Ö Ó ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó A D F Ø ØÓ Ó ô Ø M := (L((ω 1 ) A)ω 1 L((ω 2 ) A)ω 2 ) \ {0}. ³ Ø Ò m M ÙÔ ÖÕÓÙÒ x,y F Ø ØÓ ô Ø m = xω 1 = yω 2 Ð z := x 1 y ÕÓÙÑ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº À Ô Ö Ô ÒÛ ÔÖ Ø Ø Ò ÓÙ Ñ Ò ØÓ ôö Ñ Riemann-Roch ÑÛ ÔÖ Ô Ò ÜÓÙÑ ÔÖôØ Ñ Ö ÔÓÖ Ñ Ø Ø º È Ö Ñ ¾º¾º½ º Ò ω Ω F \ {0} A D F Ø Ø L((ω) A) = Ω F (A). Ô Ü º ³ ÕÓÙÑ Ô Ö Ô ÒÛ Ø Ø Ó ÒÓÐ Ò K¹ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ Òô Ø Ò Ô Ü Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò ÔÖ Ø Ü Ñ Ø L((ω) A) Ω F (A)º ³ Ø Ö Ò ÜÓÙÑ Ø L((ω) A) Ω F (A)º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò ω Ω F (A)º Ô Ø Ò ÔÖ Ø ¾º¾º½ ÙÔ ÖÕ x F Ø ØÓ Ó ô Ø ω = xωº ÓÒ ØÓ ω Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F (A)+F ÕÓÙÑ Ð Ñ ÒÓÒØ ÙÔ Ý Ò Ø Ò ÔÖ Ø ¾º¾º½¾µ Ø A (ω ) = (x) + (ω) Ð (x) ((ω) A) Ð x L((ω) A)º È Ö Ñ ¾º¾º½ º Ç ÒÓÒ Ó Ö Ø ÔÓØ ÐÓ Ò Ñ Ð Ö ØôÒ Û ÔÖÓ Ø Ò ÙÔÓÓÑ ØÛÒ Ö ÛÒ Ö ØôÒ P F º

¾ Ô Ü º ÌÓ Ø Ó ÒÓÒ Ó Ö Ø Ò Ó Ò ÑÓ Ô Ø Ñ Ô Ø ÔÖÓØ ¾º¾º½¾ ¾º¾º½ º ³ ØÛ ØôÖ ω Ω F \ {0} A [(ω)]º Ì Ø ÔÓ Ó x F ÕÓÙÑ Ø A = (x) + (ω) = (xω) Ð Ó A Ò ÒÓÒ Ö Ø º ³ Ø Õ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ñ Ø Ò Ð ØÛÒ ÒÓÒ ôò Ö ØôÒ ÓÔÓ ÓÒÓÑ Þ Ø ÒÓÒ Ð canonical classµ ØÓÙ F/K ÙÑ ÓÐÞ Ø Ñ W F º Ñ Ø ÔÐ ÓÒ Ò ÔÓ ÜÓÙÑ ØÓ ôö Ñ Riemann-Rochº  ôö Ñ ¾º¾º½ Riemann-Rochµº Ò W W F Ø Ø A D F Õ Ø l(a) = deg A + 1 g + l(w A). Ô Ü º ³ Ñ Ó Ô Ø ÔÓÖ Ñ Ø ¾º¾º½ ¾º¾º½ Ø Ò Õ ¾º½ µº ¾º ËÙÒ Ô ØÓÙ Riemann-Rochº ÌÓ ôö Ñ Riemann-Roch Ò Ò Ô Ø ÕÙÖ Ø Ö Ö Ð Ø Ò ÛÖ ØÛÒ ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒº ô Ó Ñ ÔÓ Ñ Ô ÐÓÙ ØÓÙ ¹ ÔÓ ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ó ÓÙÒ ØÓ Ó ØÓ ôö Ñ Ò Ò Ô Ó ÕÖ ØÓº Ü Ò ÓÙÑ ÐÓ Ô Ò Õ Ö Ø ÖÞÓÒØ Ø Ò ÒÓÒ Ð W F º ÈÖ Ø ¾º º½º W W F ÕÓÙÑ Ø deg W = 2g 2 l(w) = gº Ô Ü º ³ ØÛ W W F º ÌÓ ôö Ñ Riemann-Roch A = 0 Ò Ø l(0) = deg 0 + 1 g + l(w) Ö l(w) = l(0) 1 + g Ô ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ ÕÓÙÑ Ø l(w) = gº Ñ ØÓ Riemann-Roch A = W Ò l(w) = deg W + 1 g + l(0) Ö deg W = l(w) + g 1 l(0), Ð Ô ØÓ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓ ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ deg W = 2g 2º ÈÖ Ø ¾º º¾º Ò W D F Ñ deg W = 2g 2 l(w) g Ø Ø W W F º

Ô Ü º  ÛÖÓ Ñ ÔÓ Ó A D F Ñ deg A = 2g 2 l(a) g ÔÓ Ó W W F º Ì Ø ÔÓ ØÓ ôö Ñ Riemann-Roch ÕÓÙÑ Ø g l(a) = deg A + 1 g + l(w A) = g 1 + l(w A). ³ Ø l(w A) 1º ³ÇÑÛ deg(w A) = 0 Ø Ô ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ ÕÓÙÑ Ø W A 0 Ð W Aº ÌÓ Ô Ñ ÒÓ ôö Ñ ÔÖÓ ÓÖÞ Ñ Ö Ø Ø Ö c ÔÓÙ Ò Ö ØÓ ôö Ñ Riemann º ¾º½º µº  ôö Ñ ¾º º º À Ø Ö c ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ Riemann Ò 2g 1º Ô Ü º ³ ØÛ A D F Ñ deg A 2g 1 W W F º Ì Ø Ô Ø Ò ÔÖ Ø ¾º º½ ÕÓÙÑ Ø deg W = 2g 2 Ö deg(w A) < 0 ÓÔ Ø Ô ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ ÕÓÙÑ Ø l(w A) = 0º ÌôÖ ØÓ ôö Ñ Riemann-Roch Ñ Ò l(a) = deg A + 1 g. ÌÓ Ø Ø Ö ÙØ Ò Ò Ñ Ö Ø Ö Ô 2g 1 Ô Ø Ñ Ô Ø Ò ÔÖ Ø ¾º º½ Ó deg W = 2g 2 Ò Õ Þ ØÓ Ñ Ò Õ º ËØ ÙÒ Õ ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò Ô ÖÜ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ F ÔÓÙ ÕÓÙÒ Ò ÑÓÒ Ô ÐÓº ÈÖ Ø ¾º º º Ò P P F Ø Ø n 2g ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó x F Ø ØÓ Ó ô Ø (x) = np º Ô Ü º n 2g Ô ØÓ ôö Ñ ¾º º ÕÓÙÑ Ø l((n 1)P) = (n 1) deg P + 1 g l(np) = n deg P + 1 gº ³ Ø l((n 1)P) l(np) Ö L((n 1)P) L(nP)º Ò x L(nP) \ L((n 1)P) Ø Ø (x) = np º ÃÐ ÒÓÒØ ØÓ Ð Ó ÙØ ô ÓÙÑ Ò Ò ÓÑÝ Õ Ö Ø Ö Ñ ØÓÙ Ö ØÓ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ ÈÖ Ø ¾º º º ³ ÕÓÙÑ Ø ØÓ F/K Ò Ö Ø ÒÒ g = 0 ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó A D F Ñ deg A = 1º

Ô Ü º ËØ Ò Ô Ü ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ ØÓÙ ÙÑ ÓÐ ÑÓ ÔÓÙ ÕÖ ¹ ÑÓÔÓ Ñ ØÓ ôö Ñ ½º¾º½ º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò Ø F = K(x)º À Ô ÖÜ Ö Ø ÑÓ 1 Ò Ø ØÖ ÑÑ Ò ÔºÕº D := P µº Ñ Ô ØÓ ôö Ñ Riemann º ¾º½º µ n > 0 Ñ ÐÓ ÕÓÙÑ Ø l(np ) = n g + 1º Ô ÔÐ ÓÒ Ø K¹ Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø 1,x,...,x n ÔÖÓ Òô Ò ÓÙÒ ØÓ L(nP ) Ð l(np ) n + 1º ³ Ø ÙÒÓÐ g 0º ³ÇÑÛ ÔÛ Ñ Ø Õ Ð Ñ Ø ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ ÒÓÙ Õ Ø g 0º ÔÓÑ ÒÛ ÙÒÓÐ g = 0º ÒØ ØÖÓ ØÛ Ø g = 0 A D F Ñ deg A = 1º Ô deg A > 2g 1 Ô ØÓ ¾º º ÕÓÙÑ Ø l(a) = 2 > 0 Ö Ô Ø Ò Ô Ö Ø Ö ØÓÒ ÓÖ Ñ ½º º ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó Ø A D F Ñ A Aº ÓÒ ØôÖ dim K L(A ) = l(a ) = 2 ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó x L(A ) \ K Ö (x) 0 (x) + A 0º ³ÇÑÛ ÓÒ A 0 deg A = 1 Ø Ø ØÓ Ó Ò Ø Ñ ÒÓ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ A = (x) º ³ Ø Ô ØÓ ôö Ñ ½º º½ ÕÓÙÑ [F : K(x)] = deg(x) = deg A = 1, Ð F = K(x)º

Ã Ð Ó Ô Ø ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ ËØÓ Ð Ó ÙØ ÓÖ ÓÙÑ ÔÓ ÒÒÓ Ô Ö ØÛÒ Ô Ø ÛÒ ØÛÒ ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ó Ñ ÔÓ ÔÐ Ø Ø ØÓÙº ØÛÒ ÒÒÓ ôò ÔÓÙ ÓÖ ÓÙÑ ØÓ Ð Ó ÙØ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÔÓ ÜÓÙ¹ Ñ Õ Ø ÓÐ Ø ÒØ ØÓ Õ Ñ ÐÛÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÛÒ Ø Ð Â ÛÖ Ö ÑôÒ ÔÛ ØÓ ôö Ñ Riemann-Hurwitz Ø Ò ABC ÑÛ ¹ Ø Ø ØÓ Ó Ü Ô ØÓÙ ÓÔÓ Ñ º Ø ÔÓ Ü ØÛÒ Ô Ö Ô ÒÛ Ô Ö Ô ÑÔÓÙÑ ØÓ Ros º º Ñ ØÓ Ð Ó ÙØ Ü ÓÐÓÙ ÓÙÑ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ØÓÙ ÙÑ ÓÐ ÑÓ Ø Ô Ö ÓÕ ØÛÒ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÛÒ Ð ÛÒ Ô Õ Ñ Ø Ø ØÓ K Ò Ø Ð Ó ½ ÔÓÙ ÙØ Ò Ô Ö Ø ØÓº º½ Ò Ø Ø ËØ Ò Ô Ö Ö Ó ÙØ Ó Ñ ÔÓ ÒÒÓ Ø Ø ØÛÒ Ô Ô Ö Ñ ÒÛÒ Ô Ø ÛÒ ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒº Ü Ò ÓÙÑ ÐÓ Ô Ò ÓÖÞÓÒØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ô Ø º ½ Δηλαδήόλεςοιαλγε ικέςε εκτ σειςτο ε ναιδιαχ σιμες.

ÇÖ Ñ º½º½º Ò F/K ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ L Ð Ö Ô Ø ØÓÙ F E := K L Ø Ø ØÓ L/E Ò Ô Ø ØÓÙ F/K ÙÑ º F Lµº Ò [L : F] < Ø Ø F L Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ô Ø Ò L = EF Ø Ø ÕÓÙÑ Ñ Ô Ø Ø ÖÓ ôñ ØÓ Ò E = K Ø Ø ÕÓÙÑ Ñ ÛÑ ØÖ Ô Ø º Ò Ò ÔÖÓ Ò Ø ØÓ L/E ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ ÑÓ Ò ÔÖ Ñ Ø ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒº ÔÓ Ò Ø ÑÛ Ð Ô Mor Ôº ½ º½ µ Ø Ò F 1 /F 2 /F 3 Ò Ò Ô Ö Ó Ô Ø ÛÒ ÛÑ ØÛÒ trdeg(f i /F j ) Ó Ñ ÙÔ Ö Ø ¹ Ø Ø ¾ Ø Ô Ø ÛÑ ØÛÒ F i /F j Ø Ø trdeg(f 1 /F 3 ) = trdeg(f 1 /F 2 ) + trdeg(f 2 /F 3 ), º½µ Ð Ô Mor Ôº ½ º & Óº ½ º½ µ Ø trdeg(f i /F j ) = 0 ÒÒ Ô Ø F i /F j Ò Ð Ö º ³ Ø ÕÓÙÑ Ø Ò F,K,L E ÔÛ ØÓÒ ÓÖ Ñ º½º½ Ø Ø Õ Ø trdeg(f/k) = 1 trdeg(l/f) = 0 trdeg(e/k) = 0º Ì ÐÓ Ô Ø Õ º½µ Ô ÖÒÓÙÑ Ø trdeg(l/e) = 1 Ð ØÓ L/E Ò ÔÖ Ñ Ø ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ó ÓÖ Ñ º½º½ Ò Ð º Ñ Ò Ñ Ó ÙÑÔ Ö Ñ ØÓÙ ÓÖ ÑÓ º½º½ Ò ØÓ Ô Ö ØÛ Ð ÑÑ º Ä ÑÑ º½º¾º Ò ØÓ L/E Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ô Ø ØÓÙ F/K Ø Ø [E : K] <. Ô Ü º  ÛÖÓ Ñ ØÓ ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ L/K ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ Ô Ø ¹ Ñ Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º½º º Ç ÓÖ Ñ º½º½ ÕÒ ÔÓÐ ÔÐÓ Ó ÐÐ ØÓ Õ Ñ º½ ÔÓÙ Ô Ö Ð Ñ Ò ØÓ Ð ÑÑ º½º¾µ ØÓÒ Ò Õ Ñ Ø Ò ÛØ Ø º Å Ñ ÕÖ Ñ Ô Ö Ø Ö Ò Ø F EF L Ñ F EF Ô Ø Ø ÖÓ ¾ ια τον γενικό ο ισμό το α μο ε ατικότητας μιας ε έκτασης λέ ε Mor σελ.. ον ο μεότιστην ε τ ση ο trdeg(f i /F j ) = 1ογενικόςο ισμός καιοο ισμός.. τα τ ονται κατ ο ανήτ ό ο.

Ô Ô Ö Ñ Ò F L ÙÔ Ö Ø ÑÓ ½ E ÙÔ Ö Ø ÑÓ ½ K Ô Ô Ö Ñ Ò ËÕ Ñ º½ ÌÓ L/E Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ô Ø ØÓÙ F/Kº ôñ ØÓ EF L ÛÑ ØÖ º Ô ô Ô Ö ÛÖÓ Ñ Ø ØÓ L/E Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ô Ø ØÓÙ F/K ÕÛÖ Ò Ò Ø Ò ÓÖ º ËØ ÙÒ Õ Ó Ñ Ôô Õ ØÞÓÒØ Ó ÔÖôØÓ ØÓÙ L/E Ñ ÒÓÙ ØÓÙ F/Kº ÇÖ Ñ º½º º ³ ØÛ P P F P P L º Ä Ñ Ø Ó P Ö Ø Ô ÒÛ lies aboveµ Ô ØÓÒ P ÙÑ º P P µ Ò O P = O P F P = P O P º Ó Ñ ØôÖ ÔÓ Ñ ÔÓÙ Õ Ö Ø ÖÞÓÙÒ Ø Ò Ô Ö Ö Ñ Ò Ô ØÓÒ Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ Ñ Õ º Ò Ñ Ñ Ò Ð ÑÑ ÔÓÙ Ò Ø Ñ Ð ÓÖ Ñ Ò º Ä ÑÑ º½º º Ò P P ÔÛ ÔÖ Ò Ø Ø µ ØÓ O P /P Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô Ô Ö Ñ Ò Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ O P / P µ P O P = P e ÔÓ ÓÒ Ö Ó e 1º Ô Ü º ³µ Ô Ø Õ Ð ÔÖ Ò ØÓÒ ÓÖ Ñ ½º¾º½½ ØÓ ôö Ñ ½º¾º½¾ Ø O P / P O P /P Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ Ô Ô Ö Ñ Ò Ø Ô ÒÛ Ô Ø K E ÒØ ØÓ Õ Òô Ð Ñ ÒÓÒØ ÙÔ Ý Ò ØÓ Ð ÑÑ º½º¾ Ô ÖÓÙÑ Ø ØÓ O P /P Ò ÙØ K¹ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô Ô Ö Ñ Ò Ø º ³ Ø Ñ Ò Ò ÜÓÙÑ Ø ØÓ O P / P Ò ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ O P /P º ÙØ Ò Ñ Ó Ò Ô Ö Ø Ö Ò Ø Ô Ò φ : O P / P O P /P α + P α + P

Ò ÑÓÒÓÑÓÖ Ñ º ³µ ³ ÕÓÙÑ Ø ØÓ P O P Ò Ñ Ñ Ò Ò Ó ô ØÓÙ O P Ö Ö Ò ÜÓÙÑ Ø ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ Õ Ñ Ñ Ò Ò Ó ô ØÓÙ O P º ÈÖ Ñ Ø Ò I Ñ Ñ Ò Ò Ó ô ØÓÙ O P P = to P Ø Ø ØÓ ÒÓÐÓ A := {r N t r I} Ò Ñ Ò Ø ØÓ I Ô Ö Õ ÔÓ Ó Ñ Ñ Ò Ñ ÒØ ØÖ Ý ÑÓ ØÓ Õ Ó Ð ØÓ Õ Ó ØÓÙ to P ØÛ t r u Ñ r 1 u O P µ ÓÔ Ø u 1 t r u = t r Iº  ØÓÙÑ n := min(a) ÕÓÙÑ Ø I t n O P Ø ÔÖÓ Ò ØÖ ÔÓ Ò y I \ {0} Ø Ø y = t m w Ñ m 1 w OP Ö tm I Ö ÔÖ Ô n m Ð Û Ð Õ Ø Ø Ø ØÓÙ n ÔÓÑ ÒÛ y t n O P Ð ÙÒÓÐ I = t n O P = P n º ³ Ø Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ Õ Ò Ñ º ÇÖ Ñ º½º º Ò P P Û Õ Ø Ñ relative degree inertia degreeµ ØÛÒ P P ÓÖÞÓÙÑ ØÓÒ Ö Ñ f(p/p) := [ O P / P : O P / P ] Û Ø Ð Û ramification indexµ ØÛÒ P P ÙÑ º e(p/p)µ ØÓÒ Ö Ó e ÒÓ ÔÓÙ P O P = P e º Ò e(p/p) = 1 Ø Ø Ð Ñ Ø Ó P Ö Ò inertsµ Ô ÒÛ Ô ØÓÒ P ÐÐ ô Ð Ñ Ø Ð ôò Ø ramifiesµ Ô ÒÛ Ô ØÓÒ P º Ò Ò ÙÔ ÖÕ Ò ÙÒÓ ÕÙ Ö ÓÙÑ ÔÐ f e ÒØ ØÓ Õ º Ñ Ò ÔÖÓ Ò Ø Ø Ó Ô Ö Ô ÒÛ Ñ Ò Ô ÒØ 1º Ô Ñ Ñ ÙÒ Ô ØÛÒ ÓÖ ÑôÒ Ò Ø a F ÕÓÙÑ Ø ord P (a) = e ord P (a). º¾µ Ó Ñ ØôÖ Ø Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ø ØÛÒ Ô Ö Ô ÒÛ Ñ ôòº ÈÖ Ø º½º º Ò K L M P P K P P L p P M Ø ØÓ ô Ø p P P Ø Ø e(p/p) = e(p/p) e(p/p) f(p/p) = f(p/p) f(p/p). τόγ νεταια ότο εώ ημα.. α.

Ô Ü º ³ Ñ Ó Ô ØÓÙ ÓÖ ÑÓ º Å ÕÖ Ø Ñ ÑÛ Ò Ñ Ó Ø Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ P P ÔÓÙ Ò ÒÓ¹ ÔÓ Ó Ò Ø Õ P P Ó Ø Ô Ò ÙØ Ò Ñ Ø ÖÓÔÓ ÓÙÑ ØÓ Ò Ô Ø Óº À Ô Ñ Ò ÔÖ Ø Ô ÒØ Ò Ñ Ö µ ÙØ ØÓ ÖôØ Ñ º ÈÖ Ø º½º º Ò F L Ø Ø µ P P L ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó ÑÓÒ P P F Ø ØÓ Ó ô Ø P P µ P P F ÙÔ ÖÕ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ò ÐÐ Ô Ô Ö Ñ Ò ØÓ ÔÐ Ó ØÓ Õ ØÓÙ P L ÔÓÙ Ö ÓÒØ Ô ÒÛ Ô ÙØ º Ô Ü º ³µ ³ Ñ Ó Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ º½º º ³µ Ô Ø Ò ÔÖ Ø ¾º º ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó x F \ K Ø ØÓ Ó ô Ø Ó P Ò Ò ÑÓÒ ØÓÙ ÖÞ º  ÜÓÙÑ Ø P P ord P (x) > 0. º µ ÈÖ Ñ Ø Ô Ø Ò º¾µ Ò P P Ø Ø ord P (x) = e ord P (x) > 0º ÒØ ØÖÓ Ò ord P (x) > 0 Q Ó ÑÓÒ ÔÖôØÓ ØÓÙ F/K Ñ P Q Ø Ø Ô Ø Ò º¾µ Õ Ø ord Q (x) > 0º ³ÇÑÛ ØÓ x Õ Û ÑÓÒ ÖÞ ØÓ F/K ØÓÒ P Ö P = Qº ³ Ø º µ Ñ Ð Ø Ó P Ö Ø Ô ÒÛ Ô ØÓÒ P ÒÒ Ò ÖÞ ØÓÙ x ØÓ L/Eº ³ÇÑÛ ØÓ x ØÓ L/E Õ ØÓ ÔÓÐ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ñ ÐÐ Ô Ô Ö Ñ Ò ØÓ ÔÐ Ó ÖÞ ØÓ L/Eº Ë Ñ ÛÒ Ñ Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ ÔÖ Ø Õ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ñ ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÔÖôØÛÒ ØÓÙ L/E ÔÓÙ Ö ÓÒØ Ô ÒÛ Ô Ò Ò ÔÖôØÓ ØÓÙ F/Kº Ô Ñ ÒÓ Ø ÕÓ Ñ Ò Ò ÜÓÙÑ Ø Ò ÔÓÐÐ ÔÐ ÓÙÑ ØÓÒ Ø Ð Û Ñ ØÓÒ Õ Ø Ñ P P L ÔÓÙ Ö Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ P P F ÔÖÓ ÓÙÑ Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ò Ñ Ò ØÓ ÔÓØ Ð Ñ ÔÓÙ Ô ÖÓÙÑ Ò [L : F]º Ò Ñ Ñ Ñ ÔÐ ÔÖ Ø º ÈÖ Ø º½º º Ò P P F P P L P P Ø Ø ef [L : F]º

¼ Ô Ü º ÓÒ f = [ O P/P O : P / P ] ÕÓÙÑ Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÔÓ ω 1,...,ω f O P Ø ØÓ ô Ø Ø ω 1,..., ω f O P /P Ò Ò Ö ÑÑ Ò ¹ Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ O P / P º Ñ Ô ØÓ ôö Ñ ½º¾º ³µ ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó T L Ø ØÓ Ó ô Ø P = T O P º  ÜÓÙÑ Ø Ø ef ØÓ ÔÐ Óµ ω i T j Ñ 1 i f 0 j < e Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ F º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò Ø e 1 j=0 f a ij ω i T j = 0 i=1 Ò Ñ Ø ØÖ ÑÑ ÒÓ Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ Ñ a ij F º Ô ÕÛÖ Ð Ø Ò Ø Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø a ij O P Ø ØÓ ôñ Ð ¹ Ñ ØÛÒ ØÓÙ O P Ò ØÓ F µ Ø ØÓÙÐ Õ ØÓÒ ÔÓ Ó Ô ÙØ Ò Ò ØÓ P ÔÓÐÐ ÔÐ ÞÓÒØ ÓÖ ÕÖ Ø Ø Ò Õ Ñ t 1 ÔÓÙ t F Ø ØÓ Ó ô Ø P = to P µº  ÛÖÓ Ñ ØôÖ Ø ØÓ Õ A j := f a ij ω i i=1 0 j < eº Ò ÐÓ Ô Ò ÔÓ Ó j ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó a ij / P Ø Ø a ij 0 Ö Ô Ø Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÛÒ ω i µ ÕÓÙÑ Ø Ā j 0 Ð A j / P Ð A j OP º ÒØ Ø Ò a ij P i Ø Ø t A j Ö Ñ ÔÓÙ t = T e Ô Ø Ò Ô Ü ØÓÙ Ð ÑÑ ØÓ º½º ³µ ord P (A j ) eº ³ Ø Ô Ø Ò ÕÙÖ ØÖ ÛÒ Ò Ø Ø Ó Ð Ø j ÔÓÙ ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó a ij / P Ø ord P A j T j Ò ÓÖ Ø Ò Ó ÐÐ Ô ÒØ < e Ò ÔÓÙ Ò Õ ÙØ Ø ord P A j t j Ò eµ ÕÓÙÑ Ø ( e 1 ) ord P j=0 A jt j < e 1 eº ³ÇÑÛ j=0 A jt j = 0 ord P (0) = ØÓÔÓº ËØ ÙÒ Õ Ó Ñ ØÓÒ ÕÙÖ Ñ Ñ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ô Ø L/F Ò ÕÛÖ Ñ º ÈÖ Ø º½º º Ò Ô Ø L/F Ò ÕÛÖ Ñ Ø Ø P P F Ò {P 1,...,P k } Ò ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÔÖôØÛÒ ØÓÙ L ÔÓÙ Ö ÓÒØ Ô ÒÛ Ô ØÓ P e i := e(p i /P) f i := f(p i /P) Ø Ø k e i f i = [L : F]. i=1

½ Ô Ü º À ÔÖ Ø Õ Ò ØÙÐÓÙ Dedekind Ø Ò Ô Ü Neu º I Ôº º¾µ º Ó Ñ ØôÖ Ø ÙÑ Ò Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ô Ø L/F Ò ÔÐ ÖÛ Ñ ÕÛÖ Ñ º ÈÖ Ø º½º½¼º ³ ØÛ Ø L/F ÔÐ ÖÛ Ñ ÕÛÖ Ñ Ô Ø ÑÓ p p = charf º Ò F = L p P P F Ø Ø ÙÔ ÖÕ ÑÓÒ P P L Ø ØÓ Ó ô Ø P P º Ñ e = p f = 1 ÓÔ Ø ef = [L : F]º Ô Ü º  ØÓÙÑ R := {r L r p O P } P := {r L r p P }º ÓÑ Ò Ø Ø ÙØ Ø Ø (a ± b) p = a p ± b p ôñ Ø Õ Ö Ø Ö Ø p ÓÐ Ð ÔÓÙÑ Ø ØÓ R Ò Ø Ð Ó ØÓ P ÔÖôØÓ ô ØÓÙ Ø P O P = P º  ÜÓÙÑ Ø Ó R Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ L/Eº ³ ØÛ t ÒÒ ØÓÖ ØÓÙ P º ÓÒ L p = F ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó T L Ø ØÓ Ó ô Ø T p = tº ÈÖÓ Òô T Pº ³ ØÛ x L ÓÔ Ø x p F Ö x p = ut s ÔÓÙ u OP s Zº Â Õ Ø (x/t s ) p = u Ð x/t s R Ñ ÔÓÙ u 1 O P u 1 = (T s /x) p ÕÓÙÑ Ø T s /x Rº ³ Ø Ø Ð ÓÙÑ Ø ØÓ Õ Ó ØÓÙ L Ò Ò Ñ ÒÓ ÔÓ Ò Ñ ØÓÙ T Ñ ÔÓ Ó ØÓ Õ Ó ØÓÙ R º ÓÐ ÐÓ Ô Ò Ø Ð ÓÙÑ Ø P = TR Ø ÔÖ Ñ Ø ØÓ R Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ º Ü Ñ ÐÓ Ô Ò Ø P P L P P º ³ ØÛ P Ò ÐÐÓ ÔÖôØÓ ØÓÙ L ÔÓÙ Ö Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ P º Ò x O P Ø Ø x p F O P Ö x R Ð O P Rº ³ Ø Ô ØÓ ½º¾º½¼ ³µ Õ Ø O P = R Ö P = P º Å Ñ Ò ÐÓ Ô Ò Ò ÜÓÙÑ ØÓÙ ÕÙÖ ÑÓ Ø e fº ÈÖ Ñ Ø Ô Ø Ò º¾µ Ñ ÔÓÙ ord P (t) = p ÕÓÙÑ Ø e = p Ô Ø Ò º½º ÕÓÙÑ Ø ef p Ö f = 1º Ó Ñ ØôÖ ÔÓ Ò Ð Ö ÔÖÓØ ÔÓÙ Ñ Ó ¹ ÓÙÒ Ö Ø Ö º ÍÔ Ò ÙÑÞÓÙÑ Ø Ò ôñ Ð Ø Ø Ð Ó Ò Ð Ö ØÓÙ Ô Ø Ò ÕÛÖ Ñ Ó Ò Ñ Ò Ò Û Ó ÔÓÐÙôÒÙÑ ØÓÙ Ò ÕÛÖ ÑÓº Ä ÑÑ º½º½½º Ò ØÓ F Ò ôñ Ñ charf = p > 0 Ø Ø ØÓ F Ò Ø Ð Ó ÒÒ F = F p º

¾ Ô Ü º  ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ ØÓ ÓÒ Ø Ò charf = p > 0 f F[X] Ò Û Ó Ø Ø f Ñ ÕÛÖ ÑÓ ÒÒ f F[X p ] Ash Ôº º º ¾µ µº ( ) Ó F Ø Ð Ó ÕÓÙÑ Ø α F ØÓ X p α Ò Ò Ò Û Óº ³ÇÑÛ X p α = (X p α) p Ö ÔÖ Ô X p α F[X] Ð p α F º ³ Ø F F p Ö F = F p º ( ) Ò f F[X p ] Ø Ø f F p [X p ] Ö ØÓ f Ò Ø ÑÓÖ f(x) = α p 0 + α p 1X p + + α p nx p n = (α 0 + α 1 X + + α n X n ) p, Ö f Õ Ò Û Óº ÈÖ Ø º½º½¾º Ò ØÓ K Ò Ø Ð Ó ôñ Õ Ö Ø Ö Ø p > 0 Ø Ø [F : F p ] = pº Ô Ü º ³ ØÛ x F \ K Ø Ø [F : K(x)], [F : K(x p )] < º Ã Ø ÖÕ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø K(x) p = K p (x p ) = K(x p )º Ñ Ò Ñ Ò Ø ØÓ ÒÓÐÓ {1,x,x 2,...,x p 1 } Ò Ñ K(x p )¹ ØÓÙ K(x) Ø ÕÓÙÑ Ø [K(x) : K(x p )] = p. º µ ËØ ÙÒ Õ Ò Ô ÖÓÙÑ {ω 1,...,ω m } Ñ K(x)¹ ØÓÙ F Ð ÔÓÙÑ ÓÐ Ø ØÓ ÒÓÐÓ {ω1,...,ω p m} p Ò Ñ K(x) p ¹ ØÓÙ F p Ø ÙÒÓÐ ÕÓÙÑ Ø Ñ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø [F : K(x)] = [F p : K(x p )]. º µ [F : K(x p )] = [F : K(x)] [K(x) : K(x p )] º µ [F : K(x p )] = [F : F p ] [F p : K(x p )], º µ Ø Ô Ø º µ º µ º µ º µ Ø Ð ÓÙÑ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº È Ö Ñ º½º½ º Ò ØÓ K Ò Ø Ð Ó ôñ Õ Ö Ø Ö Ø p > 0 Ô Ø L/F Ò ÔÐ ÖÛ Ñ ÕÛÖ Ñ ÑÓ p Ø Ø E = K L p = F º

Ô Ü º ³ ØÛ a Eº Ü ÓÖ ÑÓ ØÓ a Ò Ð Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ K ÓÒ Ô Ø L/F Ò ÔÐ ÖÛ Ñ ÕÛÖ Ñ ÑÓ p ÕÓÙÑ Ø a p F Ò Ð Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ K ÓÔ Ø a p Kº ³ Ø Ô ØÓ Ð ÑÑ º½º½½ ÕÓÙÑ a K Ð E K ÓÔ Ø Ø Ð E = Kº ÓÒ Ô Ø E/K Ò Ð Ö ØÓ E Ò ÙØ Ø Ð Óº ³ Ø Ô Ø Ò ÔÖ Ø º½º½¾ ÕÓÙÑ Ø [L : L p ] = pº ³ÇÑÛ Ó Ô Ø L/F Ò ÔÐ ÖÛ Ñ ÕÛÖ Ñ Õ Ø L p F Ø ÙÒÓÐ [F : L p ] = 1 ÓÔ Ø L p = F º ÈÖ Ø º½º½ º ³ ØÛ K Ø Ð Ó ôñ F M L Ñ M Ø Ñ Ø ÕÛÖ Ñ Ô Ø ØÓÙ F º Ì Ø ØÓ ÒÓ ØÓÙ M Ò Ó Ñ ØÓ ÒÓ ØÓÙ Lº Ñ p P M ÙÔ ÖÕ ÑÓÒ P P L Ø ØÓ Ó ô Ø P p Ñ e(p/p) = [L : M] f(p/p) = 1º Ô Ü º Ò N ØÓ ôñ Ø ÖôÒ ØÓÙ M Ø Ø ØÓ N Ò Ø Ð Ó Û Ð ¹ Ö Ô Ø ØÓÙ Kº ÓÒ ØôÖ Ô Ø Ò ÔÐ ÖÛ Ñ ÕÛÖ Ñ Ô ØÓ Õ ô Ð Ö ÙÔ ÖÕÓÙÒ ôñ Ø K 0,K 1,...,K n Ø ØÓ ô Ø F M = K 0 K 1 K n 1 K n = L i 1 Ò Õ Ø Ô Ø K i /K i 1 Ò ÔÐ ÖÛ Ñ ÕÛÖ ¹ Ñ ÑÓ pº Å Ô Û ØÓ Ô Ö Ñ º½º½ Ø Ð ÓÙÑ Ø K i 1 = K p i º ³ Ø Ó Ô ÓÒ φ i : K i K i 1 α α p Ò ÓÑÓÖ ÑÓ Ð Ð Ø K i ÕÓÙÒ ØÓ Ó ÒÓº ³ÇÐÓ Ó ÙÔ ÐÓ ÔÓ ÕÙÖ ÑÓ ÔÓÒØ Ñ Ñ Ô Û ÒÓÒØ ÕÖ ØÓÙ ÔÓÖ Ñ ØÓ º½º½ Ø ÔÖ Ø º½º½¼ Ø ÔÖ Ø º½º º ÈÐ ÓÒ Ñ Ø Ò ÜÓÙÑ ØÓÒ ÕÙÖ Ñ ÔÓÙ Ò Ñ Ø Ð º  ôö Ñ º½º½ Â Ñ Ð ô Ì ÙØ Ø Ø µº ³ ØÛ F/K ôñ ÙÒ ÖØ ¹ ÛÒ K Ø Ð Ó L ôñ Ø ØÓ Ó ô Ø [L : F] = n º Ò P P F

{P 1,...,P m } P L Ó ÔÖôØÓ ØÓÙ L ÔÓÙ Ö ÓÒØ Ô ÒÛ Ô ØÓÒ P e i := e(p i /P) f i := f(p i /P) Ø Ø m e i f i = n. i=1 Ô Ü º ³ ØÛ M Ñ Ø Ñ ØÓ Lµ ÕÛÖ Ñ Ô Ø ØÓÙ F º i ØÓÙÑ p i ØÓÒ ÔÖôØÓ ØÓÙ M ÔÓÙ Ö Ø ØÛ Ô ØÓÒ P i Ñ ØÓÙÑ e i := e(p i /P) f i := f(p i /P)º Ô Ø Ò ÔÖ Ø º½º Õ Ø m e if i = [M : F]. i=1 Ñ Ô Ø ÔÖÓØ º½º º½º½ Õ Ø e i = e i[l : M] f i = f i º ³ Ø ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ ÖÓ Ñ Ò m e i f i = [L : M] [M : F] = n. i=1 À Ñ Ð ô Ø ÙØ Ø Ø ÔÓ Ò Ø ÕÛÖ Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø ØÓ K Ò Ø Ð Ó Ñ ÕÖ ÓØ ØÛÒ ØÛÒ ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒº È Ö Ð ÙØ Ñ ô ØÓ Ü Ñ Ñ Ò Ñ ÓÙ ÔÓÙ ÑÔÓÖÓ Ò Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ¹ Ó Ò ÓÔÓ Ó ÔÓØ Ø Ð Ó Dedekindº ÙØ Ó Ô Ö Ò Ø Ò Ø Ø Ø Ñ ÓÙ Ñ Û Ñ Ö Ò ÖÓÒØ Ò Ñ ÔÓØ Ð Ñ Ø ÔÛ Ø Ò ÔÖ Ø º½º½ º Ø Ò Ô Ü Ô Ö Ô ÑÔÓÙÑ ØÓ Sti IIIº½ º ËØ ÙÒ Õ Ó Ñ ÔÓ Ñ ÒØ Ô ÓÒ Ñ Ö ÔÐ Ø Ø ØÓÙº ÌÓÒÞÓÙÑ Ø Ó Ô Ö ØÛ ÒÒÓ Ò Ð ÓÖ Ñ Ò Õ Ö Ø Ò ÔÖ Ø º½º º ÇÖ Ñ º½º½ º Ò F L Ø Ø Ô Ò N L/F : D L D F Ñ N L/F (P) = f(p/p)p, ÔÓÙ P P L P Ó ÑÓÒ µ ÔÖôØÓ ØÓÙ F ÔÓÙ Ö Ø ØÛ Ô ØÓÒ P Ô Ø Ò Ñ Ò Ö ÑÑ ÐÓ ØÓ D L ÓÒÓÑ Þ Ø Ò ÖÑ Ø Ñ normµº Ô Ô Ò i L/F : D F D L Ñ i L/F (P) = e(p/p)p, P P

ÔÓÙ P P F Ô Ø Ò Ñ Ò Ö ÑÑ ÐÓ ØÓ D F ÓÒÓÑ Þ Ø ÙÒ ÖÑ conormµº Ò Ñ Ó Ô ØÓÙ ÓÖ ÑÓ Ø Ò ÖÑ Ò Ô ÑÓÖ Ñ ÙÒ ÖÑ ÑÓÒÓÑÓÖ Ñ º Ñ Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ Ø Ò ÖÑ Ø ÙÒ ÖÑ Ø Ò Ñ Ð ô Ø ÙØ Ø Ø ÓÐ Ð ÔÓÙÑ Ø (N L/F i L/F )(D) = [L : F] D. º µ Ñ Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ Ø Ò ÖÑ Ø ÙÒ ÖÑ Ø Ò ÔÖ Ø º½º ÕÓÙÑ Ø Ò F M L A D F A D L Ø Ø i L/F (A) = i L/M (i M/F (A)) N L/F (A) = N L/M (N M/F (A)). º µ º½¼µ À Ô Ñ Ò ÔÖ Ø Ñ ÕÒ Ôô Õ ØÞÓÒØ Ó ÑÓ ØÛÒ ÔÖÓ ÒÛÒ Ñ ÒÓÙ ØÛÒ ÒÛÒ ØÛÒ Ò Ð Û Ô ÓÒ ÛÒº ÈÖ Ø º½º½ º Ò A D L A D F Ø Ø deg F (N L/F (A)) = [E : K] deg L A deg L (i L/F (A)) = [L : F] [E : K] deg F A. Ô Ü º Ö Ò ÜÓÙÑ ØÓÙ ÕÙÖ ÑÓ Ñ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ó Ö Ø A A Ò ÔÓ Ó ÔÖôØÓ P P ÒØ ØÓ Õ º ³ Ø Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø ÖÕ Ø [ OP / P : K ] = [ O P / P : E ] [E : K] = [ O P / P : O P / P ] [ OP / P : K ], Ð [E : K] deg L P = f(p/p) deg F P, º½½µ Ô ÔÓÙ Ô Ø Ñ ÔÖôØ ÔÖÓ Ô Ü Ü Û º

ËØ ÙÒ Õ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø deg L (i L/F (P)) = e(p/p) deg L P P P 1 = e(p/p)f(p/p) deg [E : K] F P = P P [L : F] [E : K] deg F P, ÔÓÙ ÔÖôØ Ü Û Ô Ø Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ º½º½ Ø Ö Ô Ø Ò º½½µ ØÖØ Ô ØÓ ôö Ñ º½º½ º ÃÐ ÒÓÒØ Ø Ò Ô Ö Ö Ó ÙØ Ó Ñ Ñ ÔÖ Ø Õ Ø Ñ Ø Ùѹ Ô Ö ÓÖ Ø ÙÒ ÖÑ Ø P F P L Ø ÓÑ ØÛÒ Ö ÛÒ Ö ØôÒº ÈÖ Ø º½º½ º Ò a F Ø Ø i L/F ((a) F ) = (a) L º Ô Ü º ³ ÕÓÙÑ Ø i L/F ((a) F ) = i L/F ( ) ord P (a)p P P F = ord P (a) e(p/p)p p P F P P = P P L e(p/p) ord P (a)p = P P L ord P (a)p =: (a) L. Ô Ø Ò Ø Ð ÙØ ÔÖ Ø Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø ÙÒ ÖÑ Ô Ù ÓÐÓ Ò Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñ C F C L ØÓÒ ÓÔÓÓ Ô ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ i L/F º º¾ Ô Ø Ø ÖÓ ôñ ØÓ ËØ Ò Ô Ö Ö Ó ÙØ ÕÓÐ Ó Ñ Ñ Ô Ø Ø ÖÓ ôñ ØÓ ¹ ÔÛ ÙØ ÓÖ Ø Ò ØÓÒ ÓÖ Ñ º½º½º Ç Ô Ø ÙØ Ò Ø Ö δώεννοο με (a) F := P P F ord P (a)pκαι (a) L := P P L ord P (a)p.

Ñ ÒØ Ø ÛÖ ÙØ Ø Ô Ö Ö ÓÙ ÔÓ ÜÓÙÑ ØÓ ôö Ñ ØÛÒ ÔÖôØÛÒ Ö ÑôÒ Ø ôñ Ø ÙÒ ÖØ ÛÒ Ø Ò Ò ØÓÙ ÑÓÖ¹ º Ì ÐÓ Ø Ò Ô Ö Ö Ó ÙØ ÒÓÙÑ Ô Ö ÓÕ Ò Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö Ö Ó Ô ÛÖÓ Ñ Ø ØÓ ôñ K Ò Ø Ð Ó ÕÛÖ Ò Ò Ø Ø Ö Ò ÓÖ º Ü Ò ÓÙÑ Ñ ÔÓ Ø Ø ØÛÒ Ô Ø ÛÒ Ø ÖÓ ôñ ØÓº ÈÖ Ø º¾º½º Á Õ Ø [FE : F] = [E : K] Ø K¹ ØÓÙ E Ò F ¹ ØÓÙ FEº Ô Ü º Ò Ô Ø E/K Ò Galois Ø Ø Ñ ÔÓÙ E/K Ô Ô Ö Ñ Ò E F = K Ó ØÓ K Ò ØÓ ôñ Ø ÖôÒ ØÓÙ F µ ÕÓÙÑ Ø Ô Ø FE/F Ò Galois Gal(FE/F) = Gal(E/K) Ô ØÓ Ash º º¾º¾ º ³ Ø Gal(FE/F) = Gal(E/K) Ð [FE : F] = [E : K]º ³ ØÛ Ø Ô Ø E/K Ò ÕÛÖ Ñ º  ØÓÙÑ Û E 1 Ø Ò Ð Õ Ø Ô Ø ØÓÙ K ØÓ Ē ÔÓÙ Ò Galois Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº Ì Ø ÓÑ ÒÓÙ ØÓÙ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓÙ ÕÓÙÑ Ø [E 1 : K] = [FE 1 : F] = [FE 1 : FE][FE : F] [E 1 : K] = [E 1 : E][E : K], Ð ÙÒÓÐ [FE 1 : FE][FE : F] = [E 1 : E][E : K]. º½¾µ ³ÇÑÛ ÔÖÓ Òô [FE 1 : FE] [E 1 : E] [FE : F] [E : K] Ø Ô Ø Ò º½¾µ Ô ÖÒÓÙÑ Ø [FE 1 : FE] = [E 1 : E] [FE : F] = [E : K]º ³ ØÛ ØôÖ Ø {α 1,...,α n } Ñ K¹ ØÓÙ Eº Ì Ø ØÓ Õ Ó e ØÓÙ E Ö Ø Û e = n i=1 k iα i Ñ k i K Ö ØÓ Õ Ó r ØÓÙ FE Ö Ø Û r = m j=1 f je j Ñ f j F e j E ÓÔ Ø ( m m n n m n r = f j e j = k ij α i = f j k ij )α i = f iα i. j=1 j=1 f j i=1 α ητέτοιο E 1 ε ναι ο ανής. i=1 j=1 i=1