Κανόνες de L Hospital

4.6 Κανόνες de L'Hospital 4.6.Α Κανόνες de L Hospital Για τα όρια πηλίκου που οδηγούν σε απροσδιόριστες μορφές, ± ± ισχύουν τα επόμενα θεωρήματα, που είναι γνωστά ως κανόνες de L Hospital Αυτοί οι κανόνες αποδεικνύονται με τη βοήθεια του θεωρήματος μέσης τιμής. Έστω οι συναρτήσεις f, g ορισμένες και παραγωγίσιμες σε μια περιοχή o Μορφή Αν lim f() ο = lim g() =, ο R {, } ο και υπάρχει το όριο. Εφαρμογή f() lim, τότε g() ο f() f () lim = lim g() g () ο ο e (e ) e lim = lim= lim= () Στο όριο εμφανίστηκε η απροσδιοριστία, αφού lim(e ) =, lim = Μορφή Αν lim f() = lim g() =, ο R {, } ο και υπάρχει το. Εφαρμογή e lim = f() lim, τότε g() ο = = () (e ) e lim lim f() f () lim = lim g() g () ο ο 5

Το θεώρημα ισχύει και για τις μορφές,, 3. Εφαρμογή e e Θα υπολογίσουμε το όριο L= lim Απάντηση ( ) ( ) lim e e = lim e ( ) = και lim ( ) = Άρα, στο όριο L δημιουργείται η απροσδιοριστία ( e e ) e e e Οπότε L = lim lim ( ) = = lim ( e ) = Ας δούμε τώρα τι γίνεται και με τις υπόλοιπες απροσδιόριστες ή μη πράξεις. Με κατάλληλη τεχνική, οι άλλες απροσδιοριστίες ανάγονται στις προηγούμενες. Μορφή ± Να τονίσουμε ότι η μορφή 4. Εφαρμογή e lim ± ( ) δεν είναι απροσδιόριστη, αφού ισούται με = lim e = lim e lim = = Μορφή α Να τονίσουμε ότι η μορφή α δεν άρεται με κανόνες de L Hospital 5. Εφαρμογή e lim lim e lim ( e ) lim = = = 5

Μορφή ( ± ) Μετατρέπουμε το γινόμενο σε μορφή κλάσματος. Φέρνουμε κάποιον από τους παράγοντες στον παρανομαστή, με τον αντίστροφό του. 6. Εφαρμογή ( ( )) ln ( ln) ( ) = lim = lim lim ln = lim lim( ) = = Μορφή Εξάγουμε κοινό παράγοντα. 7. Εφαρμογή lim ( ln ) ( ) ln = lim = ln lim lim = (ln) ( ) lim () ( ) lim = = ( )( ) = 53

Μορφή ( ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα > ln = e, 8. Εφαρμογή Θα υπολογίσουμε το όριο Απάντηση = e ln ln = e lim ln lim = lim ( ln) ) () = lim = Είναι lim ln = lim e y ( ) y = lim e = e = Μορφή ( ) η οποία δεν είναι απροσδιόριστη και ισούται με Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα > ln = e, 9. Εφαρμογή Θα υπολογίσουμε το όριο Απάντηση lim ln ln ln = e = e = e ln lim lim ln lim ( )( ) = = = ( ) Είναι y = = lim ( e ) = y ln lim lim e Θα μπορούσαμε να επιλέξουμε < < και άρα >, οπότε < < Με κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι το πιο πάνω όριο είναι ίσο με 54

Μορφή Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα ln = e, >. Εφαρμογή Θα υπολογίσουμε το όριο lim ( ) Απάντηση ln ( ) ( ) ln ln ln( ( ) ) lnln( ) ln = = e = e = lnln( ) e ln( ) ( ln( ) ) lim ln ln( ) = lim ln lim lim lim = = = () ( ) ( ) ln ( ) Είναι lim ( ) ( ) = = = lnln( ) lim ( e ) y lime y Μορφή Αυτή η πράξη γράφεται και. Εφαρμογή Θα υπολογίσουμε το όριο lim Απάντηση ln ln e ln = e = = e ln ln lim = lim = lim = Είναι y lim lime = = y 55

Σχόλια Πρωτίστως να παρατηρήσουμε ότι με τον κανόνα αυτόν δεν υπολογίζουμε όλα τα όρια, αφού σε μερικά μπορεί να αποτελεί μία χρονοβόρο διαδικασία. Αν χρειαστεί, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα de L Hospital περισσότερες από μία φορές, αρκεί φυσικά να πληρούνται οι προϋποθέσεις. Δηλαδή, οι συναρτήσεις να είναι παραγωγίσιμες και να υπάρχει το τελικό όριο.. Εφαρμογή lim e (e ) e (e ) e lim lim lim lim = = = = = ( ) () Για να εφαρμόσουμε τον κανόνα de L Hospital σε απροσδιοριστία ή ± ± εκτός της παραγωγισιμότητας, πρέπει να υπάρχει και το τελικό όριο. Για παράδειγμα αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη f() f() (f() f()) f () θα είναι f () = lim = lim lim lim f () = = () μόνο στην περίπτωση κατά την οποία υπάρχει το όριο lim f () Διαπιστώνουμε κάτι πολύ σημαντικό! Αν υπάρχει το lim f (), καταλήγουμε ότι f () = limf () Με πιο απλά λόγια καταλήγουμε ότι η f θα είναι συνεχής στο σημείο 3. Εφαρμογή Θα αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f:r R e αν ώστε να έχει ως πρώτη παράγωγο τη συνάρτηση f() = αν = f() f() (f() f()) =f () = lim = lim lim f ()=lim( e ) () = = Άτοπο 56

( ημ) ημ συν Δεν είναι ορθό να γράφουμε lim lim = = lim= συν= () Να τονίσουμε ότι το όριο αυτό πρέπει να χρησιμοποιείται άμεσα. Να αναφέρουμε μόνο ότι αυτό δεν επιτρέπεται γιατί, όταν αποδεικνύουμε ημ ότι η f() = ημ είναι παραγωγίσιμη, χρησιμοποιούμε το όριο lim = Το ίδιο συμβαίνει και για μερικά άλλα όρια. Επειδή όμως δεν διευκρινίζεται στο σχολικό βιβλίο, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα και σ αυτά τα όρια. Για να εφαρμόσουμε τον κανόνα de L Hospital σε μια απροσδιοριστία αρκεί οι συναρτήσεις να είναι παραγωγίσιμες σε μια περιοχή του σημείου o που δημιουργείται η απροσδιοριστία και όχι κατ ανάγκη στο σημείο o 4. Εφαρμογή e αν * Η συνάρτηση f() = είναι παραγωγίσιμη μόνο στο R αν = f() ( e ) Μπoρούμε όμως να γράψουμε ότι: lim = lim = lim( e ) = ( ) f() Για να υπάρχει το L = lim o g(), πρέπει να υπάρχει και το όριο f() lim o g() Σε άλλη περίπτωση δεν είμαστε βέβαιοι. 5. Εφαρμογή Στα πιο κάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, f Αν ήταν C Cf και C C f επειδή ( ) ( ef() ) ( e ) ef() = lim f() = lim = lim O e O ef() ef() = lim lim ( f() f ()) lim ( f() ) lim ( f ()) e = = = = Άτοπο Άρα, είναι C Cf και C C f C C 57

Παρατήρηση f() Αν υπάρχει το lim g() και είναι της μορφής f() το lim g() ενδέχεται να μην υπάρχει 6. Εφαρμογή Έστω οι συναρτήσεις f() = ημ,, f() = και g() = ημ f() Είναι L = lim lim = = limημ g() Αφού ημ = ημ ημ εφαρμόζοντας το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει L= f() Όμως, το όριο lim δεν υπάρχει g() f() αφού lim = lim ημ συν g() = lim συν y ( ) = lim συνy Παρατήρηση f() Αν το lim g() είναι της μορφής, μας ενδιαφέρει η ύπαρξη του ορίου f() της συνάρτησης y = στο και όχι η ύπαρξη των ορίων limf (), limg () g() 58

4.6.Β Θεωρητικά θέματα 7. Εφαρμογή Αν η f είναι πολυωνυμική f( h) f( h) θα αποδείξουμε ότι α. lim = f () h h f( h) 3f() f( h) και β. lim = 3f () h h Απάντηση f( h) f( h) α. Είναι lim h h = lim h ( f( h) f( h) ) (h) f ( h)( h) f ( h)( h) = lim h lim ( f ( h) f ( h) ) h = = f () f( h) 3f() f( h) β. lim h h f ( h) f ( h) = lim h h f( h) f( h) = lim h h h ( ) = lim f ( h) f ( h) = 3f () Να παρατηρήσουμε ότι πιο πάνω τα όρια υπήρχαν αφού η f ως πολυωνυμική, είναι απεριόριστα συνεχής και παραγωγίσιμη. Αν δεν ξέραμε ότι η συνάρτηση είναι πολυωνυμική, ώστε η δεύτερη παράγωγος να είναι συνεχής, τότε δεν θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα και θα κινούμασταν με ορισμό. 59

8. Εφαρμογή Έστω η συνάρτηση f, ώστε f() = f () = ημf() Θα αποδείξουμε ότι L = lim = αν η f είναι συνεχής Απάντηση αν η f δεν είναι συνεχής. Έστω ότι η f είναι συνεχής. ημf() ( ημf() ) συνf() ημf () L = lim = lim = lim ( ) ( συνf()ημf () ) = lim () ημf() συνf () συνf () ημf () = lim f () f () = = Αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής, τα πιο πάνω όρια υπάρχουν. Έστω ότι η f δεν είναι συνεχής. ημf() L = lim ημf() ημ ημ = lim ημ f() ημ = lim lim ημ f() ημ ημ = lim lim lim = f () lim ημ ( ημ ) συν Επειδή lim lim lim = = = ( ) ημf() είναι L = lim = f () = Εδώ, δεν μπορούσαμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα de L Hospital 6

Λ υ µ έ ν α θ έ µ α τ α 3. Να υπολογίσετε το όριο L= lim ( ln ) Λύση 3 ( ) L = lim ln ( ) ( ln 3 ) = lim 3ln ( ln) = lim ( ) 4 3ln lim = 3 3ln 3 ln = lim lim = ln 3 lim 3 ln = = lim 3 3 ( ln lim ) = 3 ( ln) = lim 3 ln ( ln) = lim ( ) 4 3 lim 3 = = lim ( ) = 4 3 Αφού >, μπορούμε το να το αντικαταστίστουμε και με το. Να υπολογίσετε την τιμή του ορίου lim (( ) ln( ln ) ) Λύση (( ) ( )) lim ln ln ln( ln) = lim( ) lim(ln( ln)) = lim Επειδή lim( ln) = και lim(ln( ln) = lim lny = y Οπότε, το όριο ισούται με ln lim lim lim lim = = = = ln ln 6

3. Να υπολογίσετε το όριο lim συν Λύση lim = lim lim = lim συν συν = lim = lim ( ) () 4. Να υπολογίσετε το όριο lim ( ημ ln) Λύση ln = lim = ln ( ln) ημ ημ lim ( ημ ln) = lim = lim = lim lim ( ημ) lim= συν συν ημ ημ ημ lim ημ ln = lim ln = lim lim ( ln) = Μπορούμε και ως : ( ) 5. Να υπολογίσετε το όριο Λύση X = L lim Αν εφαρμόσουμε τον κανόνα L Hospital δεν οδηγούμαστε άμεσα πουθενά. e X X ln e ln ln Έτσι L = lim = lim lim = ( e ) ln ln Επειδή lim ( ln ln) = lim ln ( ln) = ( ) ln lim = ( ) ln lim = () y καταλήγουμε τελικά ότι L lim ( e ) = = y 6

6. Αν για τις πολυωνυμικές συναρτήσεις f, g f() είναι g() =, lim = g() τότε οι f,g έχουν κοινό σημείο το O στο οποίο η ευθεία Λύση f() Από l = lim g() f() και g () = και η f είναι πρώτου βαθμού = κατά τα γνωστά πρέπει f() = f() Από L Hospital είναι: l = lim = f() = g() g() Το όριο προφανώς υπάρχει. Διαπιστώσαμε τελικά ότι f() = g() = και f () = g () = Οπότε, η ευθεία C f εφάπτεται της Επίσης, είναι προφανές ότι f() = C g στο σημείο της O(, ) C f εφάπτεται της C g f() = f () = 7. Έστω η ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f 9 3 f () f () f() 4 Γνωρίζουμε ότι lim = 6 ημ Να αποδείξετε ότι f() = και f() = Λύση Πρέπει 9 3 f () f () f() 4 = και ισοδύναμα προκύπτει ότι f() = αφού η συνάρτηση 9 3 g() = 4 είναι γνησίως αύξουσα με ρίζα το 9 3 f () f () f() 4 6 = lim ημ Άρα f() = 8 9f ()f() 6f ()f() f () = lim συν = 9f () 6f () f () = 6f () 63

y 8. Θεωρούμε την f, ώστε f( y) = 4 f() f(y) και f(), για κάθε,y R α. Να αποδείξετε ότι f() = β. Έστω τώρα ότι και f() = β. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R, με f() = f()ln4 β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f() είναι σταθερή στο R β 3. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f Λύση α. Η f( y y) = 4 f()f(y), για y = =, δίνει: f() = 4 f()f() f() = β. Η σχέση f( = y y) 4 f()f(y) για y= h δίνει h f( h) = 4 f()f(h) h f( h) f() = 4 f()f(h) f() Για h είναι h f( h) f() 4 f(h) h = f() h = f() h h h 4 f(h) 4 4 h h h f(h) 4 = f()4 f() h h h h h f(h) 4 4 Επειδή limf() 4 f() = f() f () f()lim h h h h h h 4 Εφαρμόζοντας τον κανόνα de L Hospital είναι lim h h h (4 ) = lim h (h) h 4 ln4 = lim = ln4 h h 4 Οπότε f() f () f()lim = f() f () f()ln4 = f()ln4 h h f( h) f() Έτσι από lim f()ln4 h =, διαπιστώνουμε ότι και f () = f()ln4 h β. g() = ln( ) f() f () = ( f () lnf() ) = ( f() f()ln4) = = Άρα, η συνάρτηση g είναι σταθερή. β 3. Από g() g() f() =, είναι f() = f() = f() = 64

9. Έστω η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f Από τις πιο κάτω ορισμένες στο R παραγώγους συναρτήσεις να αποδείξετε ότι μπορεί να αντιπροσωπεύσει την f, μόνο η συνάρτηση Β f () = f ( ) = f () = f () = - Α Β Γ Δ Λύση Η περίπτωση Α αποκλείεται γιατί f() f () = f() f() = lim = lim = limf () = Άτοπο ( f() f() ) ( ) Η περίπτωση Γ αποκλείεται c αν γιατί, αν υπήρχε f, θα ήταν f() = c αν < Επειδή f() =, η f θα είναι συνεχής στο f() = και θα είναι f() = lim f() = lim f() c αν Έτσι θα ήταν f() = c αν < f() f() c c Όμως lim = lim = και c = c c f() f() c c lim = lim = Επειδή τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά, δεν υπάρχει η παράγωγος στο Η περίπτωση Δ αποκλείεται γιατί, αν υπήρχε f, παρατηρούμε ότι lim f () = και f() = f() f() ( f() f() ) Από = f () = lim = lim = lim f () = Άτοπο ( ) - f ( ) = 65

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Υπολογισμός ορίων Να υπολογίσετε το όριο Να υπολογίσετε το όριο 5 lim 9 lim. ln( ) 3 Να υπολογίσετε τα όρια α. lim ημ β. lim ln( ) 4 Να υπολογίσετε τα όρια α. β. lim 3 lim 5 Να υπολογίσετε το όριο lim e συν ημ 6 Να υπολογίσετε το όριο lim 3 7 Να υπολογίσετε τα όρια α. β. γ. lim lim e lim e e e 4 συν 5 8 Να υπολογίσετε τα όρια α. lim (( e )ln) 66 β. lim (( συν)ln)

9 Να υπολογίσετε τα όρια α. lim ( e ) β. e lim ln e lim e = lim e = Να αποδείξετε ότι α. ( ) ( ) β. lim e = e Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει το όριο L= lim 3 Έστω η συνάρτηση f:[, ) R, ώστε α. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής. β. Να βρείτε την παράγωγο συνάρτηση f της f 3 α. Να αποδείξετε ότι ( lim ) = lim (( ) ) β. Να βρείτε τα όρια β. lim ln ln αν < f() = αν = β. lim (( )ln ln( ) ) β 3. lim ( ) 4 Να βρείτε τα όρια α. lim ( ln ln ) 5 6 7 Να βρείτε το όριο Να βρείτε το όριο Να υπολογίσετε το όριο β. lim X lim ln lim lim 67

Θεωρητικά θέματα. αν = 8 Έστω η συνάρτηση f() = ( e )ln αν (,] e Αφού βρείτε τις τιμές των ορίων lim και lim(ln) μετά να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 9 Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων α,β R ημ α, ώστε η f() = να είναι παραγωγίσιμη στο σημείο β ο = e, > f() Αν η f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο R και lim f () = lim = να αποδείξετε ότι f() =, f() = και f () = f() Αν για τη συνάρτηση f:r R είναι lim = e να αποδείξετε ότι f() = και f() = α. αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη ή β. αν η f είναι απλά παραγωγίσιμη. Έστω η συνάρτηση f:r R, ώστε f()= και f() = f() ημ Να βρείτε την τιμή του ορίου L = lim α. Αν η f είναι πολυωνυμική. β. Αν η f δεν είναι πολυωνυμική, αλλά είναι μόνο δύο φορές παραγωγίσιμη. γ. Αν η συνάρτηση f είναι μόνο μία φορά παραγωγίσιμη. 3 Αν η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο R f( h) f() hf () να αποδείξετε ότι lim = f () h h f() 4 Αν για τις πολυωνυμικές f,g είναι g() =, g() = και lim = g() να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τους θα έχουν κοινό σημείο το O στο οποίο δέχονται κάθετες μεταξύ τους εφαπτόμενες ευθείες. 68

5 Έστω οι ορισμένες στο R συναρτήσεις f,g, ώστε f() = f () =, g() = και =, για κάθε R e f () g () g () e f () α. Να αποδείξετε ότι ef() = g(), R f() β. Να αποδείξετε ότι lim = g() e f() f () = g() g (), R και f() = f() Να αποδείξετε ότι lim = g() 6 Για τη συνάρτηση f είναι ( ) 7 Έστω ότι f() f () =, για κάθε R α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c, ώστε β. Να αποδείξετε ότι lim ( f() ) = ef() ( )e c =, R h 8 Θεωρούμε την f, ώστε f( h) = e f() f(h), για κάθε,h R και f() α. Να διαπιστώσετε ότι f() = Έστω ότι f() = β. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R, με f () = f() γ. Μετά να αποδείξετε ότι f() = e 9 Έστω η ορισμένη και παραγωγίσιμη στο Δ = (,) συνάρτηση f ώστε να είναι f() ( ln) = lnf () και f(), για κάθε (,) f() f () Να αποδείξετε ότι: α. lim = f() και β. lim = f() f () f () 3 Έστω ότι lim = f(), lim L = f(), όπου η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι: α. f() = β. L= γ. f() = 3 Αν Έστω η ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f f() f() lim f() = lim f () =, lim = f (), να αποδείξετε ότι lim = f () 69

3 Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f και ο αριθμός L f() f() Αν είναι lim L = 5 και lim = L L, να αποδείξετε ότι L= 33 Έστω η ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f f() Αν f() = και limf () =, να αποδείξετε ότι lim 3 = f() f() 4f () f () 34 Έστω η πολυωνυμική f, ώστε lim = e α. Να αποδείξετε ότι f() = f() β. Να αποδείξετε ότι lim 3 = 6e 3 6 6 γ. Να αποδείξετε ότι γ. f() = και γ.f() = και ότι f() = f() f () 35 Έστω ότι lim = ημ α. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο β. Να αποδείξετε ότι β. f() = και β. f() = f()ημ γ. Να αποδείξετε ότι lim = e 7 και έστω ότι υπάρχει το όριο L= lim( f ()) 36 Έστω η ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f Αν lim f() = και υπάρχει το lim f () = L, να αποδείξετε ότι L= 37 Έστω οι συναρτήσεις f και g, με πεδίο ορισμού το R που έχουν τρίτη παράγωγο και g(), για κάθε R f() f() Αg () Έστω και οι αριθμοί Α = και Β = g() g() * Αν η φ είναι συνάρτηση ορισμένη στο R, ώστε f() A B φ() g() = g() * για κάθε R, να αποδείξετε ότι υπάρχει το όριο lim φ()

Συνδυαστικά θέµατα του µαθήµατος Θέµα Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση όπου η g είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση. g() g( ) αν > f() = eg() αν Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R Β. Να αποδείξετε ότι g () = g () f() g () Γ. Να αποδείξετε ότι η h() = αν είναι συνεχής στο R. Θέµα g() αν = Έστω η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f Γνωρίζουμε ότι f() = f () = f() = f () = f () = f() ημ Α. Να βρείτε τα όρια Α. lim = Α. f () f() lim =. f( h) f( h) f( h)f( h) Β. Να βρείτε τα όρια Β. lim = h Β. lim = h h h Θέµα 3. Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g, ώστε f () f() = ln για κάθε > και g() = (g () ), για κάθε > και g() = Α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c, ώστε f() = c e ln f() Β. Να βρείτε τα Β. L = lim f() Β. L = lim Β f() 3. L3 = lim ln για c R Γ. Να αποδείξετε ότι g() =, > g() Γ. Να βρείτε την τιμή του ορίου lim 4 g() Δ. Αν lim f() e =, m>, να βρείτε τη συνάρτηση f e m 7

Θέµα 4 αν = Έστω η συνεχής συνάρτηση f() = ln n αν (, ) Α. Να βρείτε τον n και n=,,3,.... αν = Β. Να αποδείξετε ότι Β. f() = ln αν > Β. f () = ln 3, > Γ. Να βρείτε την τιμή του ορίου f () 3 lim Θέµα 5. Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f() = α α... α α f() με ν και αν >, ώστε lim = f() Α. Να υπολογίσετε τα όρια L = lim και L Β. Να αποδείξετε ότι ν = ν ν ν ν = lim f () f() Γ. Αν είναι και lim =, να προσδιορίσετε τελικά τη συνάρτηση f Θέµα 6 f() f () Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f, ώστε lim 3 = Α. Να βρείτε το f() = f() Α. Να βρείτε την τιμή του ορίου lim 3 3 3 f () f () Α 3. Να βρείτε την τιμή του ορίου lim Α 4. Να βρείτε ότι τις τιμές των f () και f () και f() =. Β. Αν τώρα είναι 3 f() = a b c, να βρείτε τη συνάρτηση την f 7