Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Μια εισαγωγή σε γραφοθεωρητικά προβλήματα Άρης Παγουρτζής Ε.Μ.Π. - Μ.Π.Λ.Α. Ευχαριστίες: μέρος των διαφανειών αυτών προέρχεται από τις Σημειώσεις Ε. Ζάχου για το μάθημα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα της Σχολής Ηλεκτολόγων και Μηχανικών Υπολογιστών Ε.Μ.Π.
Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
¹ ÐØÓÒ Ó ÔÒ³µ ÓÑÔØ ÖÓÙع ÖÓ ØÒ ÓÑØÖ ÖÓÙØÒµ ÒØÐÞØÓÒµ Ò ÅØÒ ËÓÖØ Ø ÈØ ÓÚÖ ÌÖÚÐÒ ËÐ ÑÒ ÈÖÓÐÑ ËØÒÖ ØÖ ÎÖØÜ ÐÓÛ ÅÜÑÙÑ ¹ ÓÒØ ÈØ ÅÙÐØÓѹ ÅÜÑÙÑ ÐÓÛ ÐØÝ ÄÓØÓÒ ÅÙÐØÙØ ¹ÒØÖ ËÙй ÑÓØÝ ÐÙ ØÖÒº Ò Ó ÛÖÐ Ò ÓÖ ÒØÛÓÖ µº º ý ººº ß ºººýº ¾
º Æ Ò ØÖÙØÙÐÒ º ÑÒ Ñ ºµ» Ó Ñ ¹ Ô Òµº ËÈ ÄÓÈ ÅÔ¹ÊÙº ÙÐÒµ º º ¹ ý ººº ß ºººýº
Ú Èº ÏÐÐÑ ÓÒ Ú º ËÑÓÝ º Ì Ò Ó ÔÔÖÓܹ ¾º ÐÓÖØÑ º ÑÖ ÍÒÚÖ ØÝ ÈÖ ¾¼½¼º ÚÐÐ ÑØÓÒ ÓÖØ Ëº ÀÓÙѺ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÆȹÀÖ º ÈÏË ÈÙÐ Ò ÓÑÔÒÝ ½º ÈÖÓÐÑ º ÌÓÑ Àº ÓÖÑÒ ÖÐ º Ä Ö ÓÒ ÊÓÒРĺ ÊÚ Ø ÁÒ¹ º ØÓ ÐÓÖØÑ º Ì ÅÁÌ ÈÖ» ÅÖÛ¹ÀÐÐ ÓÓ ØÖÓÙØÓÒ Ëº ÙÔØ º Àº ÈÔÑØÖÓÙ Ò Íº κ ÎÞÖÒ ÐÓÖØÑ º º ¾¼¼º µº ÅÖÛ¹ÀÐÐ þ ½º ÎÝ Îº ÎÞÖÒº ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÐÓÖØÑ º ËÔÖÒÖ ¾¼¼½º ÓÒÐÒµ ÓÑÔÒÝ ½º ÓÖ ¾Ò ØÓÒºµ ý ººº ß ºººýº
ÊÓÖ ÏØØÒÓÖº ÈÖÒÔÐ Ó ØÖÙØ ÓÑÔÙØÒº ÌÀ ½º ÓÙÖ ÒÓØ ¾¼½½º ÙÖ ÆÒÝ º ÄÝÒº ØÖÙØ ÐÓÖØÑ º ÅÓÖÒ ÃÙÑÒÒ ¾º ËÒ ÅØÓ ½º ÈÙÐ Ö ÊÓÖØ º ÌÖÒº Ø ËØÖÙØÙÖ Ò ÆØÛÓÖ ÐÓÖØÑ º º ½ º ËÁÅ ÊÚÒÖ Ãº Ù ÌÓÑ Äº ÅÒÒØ ÂÑ º ÇÖÐÒº Æع º ÓÛ ÌÓÖÝ ÐÓÖØÑ Ò ÔÔÐØÓÒ º ÈÖÒع ÛÓÖ ÆÓÑ Æ Ò ÌÑ ÊÓÙÖÒ Ú ÌÖÓ Ò ÎÝ Îº ÎÞÖÒº º Ñ ÌÓÖݺ ÑÖ ÍÒÚÖ ØÝ ÈÖ ÆÛ ÐÓÖØÑ þ ÀÐÐ ½ º ÓÖ Æ Í˺ ý ººº ß ºººýº
ÙÐÖ ÑÒÑÙÑ ÔÒÒÒ ØÖµ ý ÇΩΘ ÑØÒµ º ý ººº ß ºººýº
µ º µ (Î Î ) Î Î 2 Î ÚÖØ µ ÒÓ µº µº ý ººº ß ºººýº
= {{Ú 1 Ú 2 }{Ú 1 Ú 3 }{Ú 4 Ú 5 }{Ú 5 Ú 5 }} Ú 1 Ú 5 Ú 2 Ú 3 Ú 4 Ú 1 Ú 2 Ú 3 Ú 4 Ú 5 ý ººº ß ºººýº
Ú 1 Ú 2 Ú 3 Ú 5 Ú 4 ý ººº ß ºººýº
ý ººº ß ºººýº ½¼
Ûе ¹ º Ôص º ý ÑÔÐ Ôص º Ýе º ý º º ý ººº ß ºººýº ½½
ÙÐÖ ÀÑÐØÓÒ ÙÐÖ ÀÑÐØÓÒ ý ººº ß ºººýº ½¾
ÒÝ Ð Ø µ º ÒÝ ÑØÖܵ ÒÒ ÑØÖܵ ý ººº ß ºººýº ½
2 ½ 1 5 4 ¾ 3 ½ 2 3 4 ¾ 1 4 1 4 1 2 3 5 4 ý ººº ß ºººýº ½
ÔØÖÐ ÖÔ ØÓÖÝ º ÍÒÕÙ Ñ ÓÒØÙÖº ô ÄÔÐÒ ÑØÖÜ É() = () () É() = () µ () Ì ÔÒ¹ ÒÒ ØÖ ÃÖÓ«³ ÑØÖÜ ØÖ ØÓÖѵ Ø() = 1 Ò 1 2 Ò 1 = Ø(É 11 ()) É()º ý ººº ß ºººýº ½
ÍÒÕÙ Ñ ÓÒØÙÖ ÃÓس¼¾ ô ºº º º Ⱥ Í Æ 0 ÍÒÕÙ Ñ 0 ÆÈ¹Ö ÇÈ Ì 1 ÇÈ Ì Æº ý ± ÆÈ¹Ö ½±º ÜÔÒÖ ÖÔ ÔØÖÐ ÖÔ ØÓÖݺ ý ººº ß ºººýº ½
ÖØ ÖÔµ Î Î Ú 1 Ú 5 Ú 2 Ú 4 Ú 3 ý ººº ß ºººýº ½
ÓÒÒØÚØݵ ÓÒÒØ Óѹ ÔÓÒÒØ µº ÒÙµ º ØÖµ º Ã Ò µ à ÒÑ µº à 5 à 33 µ ý ººº ß ºººýº ½
º ÊÓÖØ ÓÒ¹ËÝÑÓÙÖ ÑÒÓÖ º ÑÒÓÖ µ ÑÒÓÖ µ ô ÑÒÓÖµ º {à 5 à 33 } º ý ººº ß ºººýº ½
µ» µº ÖÐØÓÒµ º º ËØ ÐØÝ Ë̵ º ý ººº ß ºººýº ¾¼
«ØÚÒ µº ý º ÒØÒ µº ÒØÒ µº ô ÒÔÙصº ¹ÓÙØÔÙص ³ º ý ººº ß ºººýº ¾½
ý ¹ ý(ò) = max { ý Ü Ü Ò Òµ = min {(Ò)} ý ý ººº ß ºººýº ¾¾
Ç (Ò) (Ò) Ò0 Ò = Ç() ý ººº ß ºººýº ¾
Ç Ó Ç() = { 0 Ò 0 : Ò Ò 0 (Ò) (Ò)} Ó() = { 0 Ò 0 : Ò Ò 0 (Ò) (Ò)} Ó() = { lim Ò (Ò) (Ò) = 0} ý ººº ß ºººýº ¾
Ω (Ò) (Ò) Ò0 Ò Ω() = { () = { 0 Ò 0 : Ò Ò 0 (Ò) (Ò)} 0 Ò 0 : Ò Ò 0 (Ò) (Ò)} ý ººº ß ºººýº ¾
2 (Ò) Θ (Ò) 1 (Ò) Ò0 Ò Θ() = { 1 0 2 0 Ò 0 : Ò Ò 0 1 (Ò) (Ò) 2} ý ººº ß ºººýº ¾
Ç(1) Ç(«(Ò)) Ç(log Ò) Ç(log(Ò)) Ç( Ò) Ç(Ò) Ç(Òlog(Ò)) 2 Ç(Ò ) Ç(ÔÓÐÝ) Ç(2 ) Ç(Ò!) Ç(Ò ) Ò Ç((Ò)) Ò ý ººº ß ºººýº ¾
ý Ì(Ò) = Ò = 1 Ò 1 Ì(Ò) = Ò + (Ò 1) = Ç(Ò) 2Ì(Ò2)+ Ì(Ò) = Ò = 1 2Ì(Ò2)+Ò Ò 1 Ì(Ò) = Ò + ( Ò 2 ) 2 = Ò +Òlog 2 Ò = Ç(Òlog Ò) ý ººº ß ºººýº ¾
1 1 (Ò) Ì(Ò) ô Ò Ò Ò µº Ì(Ò) Ì(Ò) Θ((Ò)) = (Ò) = log ) + 0 ½º Ω(Ò (Ò) (Ò) 1 Å ØÖ ÌÓÖÑ Ì(Ò) = Ì(Ò)+(Ò) Òº ¾º Ì(Ò) = Θ((Ò)log 2 Ò) (Ò) = Θ(Ò log )º º Ì(Ò) = Θ(Ò log ) (Ò) = Ç(Ò log ) 0º ý ººº ß ºººýº ¾
È º ÆÈ º µ º È? = ÆÈ ÆȹÓÑÔÐØÒ º ý ººº ß ºººýº ¼
Æȹ ÎÖØÜ ÓÚÖ ÐÕÙ ÀÑÐØÓÒ ÖÙØ»ÝÐ Àµ ÌÖÚÐÒ ËÐ ÑÒ ÈÖÓÐÑ ÌËȵ ¹ÓÐÓÖÐØÝ ËÙÖÔ Á ÓÑÓÖÔ Ñ ¹ÑÒ ÓÒÐ ÅØÒ Åµ ý ººº ß ºººýº ½
ý ËÌ ÎÊÌ ÇÎÊ : (Ù 1 Ù 3 Ù 4 ) ( Ù 1 Ù 2 Ù 4 ) Ù1 Ù1 Ù2 Ù2 Ù3 Ù3 Ù4 Ù4 1[1] 1[2] 2[1] 3[1] 2[2] 3[2] ÚÖØÜ ÓÚÖ = Ò + = 8 º 2Ñ ý ººº ß ºººýº ¾
ý ý À ÌËÈ Î ËÙÖÔ Á ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÓ ÆÈ ÒÝ ÔÖÓÐÑ ÐÕÙ ËØ ËØ Å ÈÖØØÓÒ ÃÒÔ ¹ÖÔ ÓÐÓÖÐØÝ ý ººº ß ºººýº
È ÙÐÖº ÊÐØÝ ¹ Ë Ë ¹ËÖº º º ÑÒÑÙÑ ÔÒÒÒ ØÖµº º ÈÖØ ÑØÒº ÔÖØØ ÓÐÓÖÒµº ý ººº ß ºººýº
ÙÐÖ ¹ ÙÐÖ ý ººº ß ºººýº
½ ¾ 1 2 4 5 3 6 4 5 2 6 3 1 4 2 5 1 6 3 ý ººº ß ºººýº
ÐØÝ ÔÖÓÐÑ ¹ ý ÔØ Ö Ø ËÖ ¹ ˵º ý ÖØ Ö Ø ËÖ ¹ ˵º ¹ Ö Ë º ý ººº ß ºººýº
Ë ÔÖÓÙÖ ÚÚÖØܵ Ò Ú ØÚ ØÖÙ ÓÖ ÐÐ ÚÖØ Ù ÒØ ØÓ Ú Ó ÒÓØ Ú ØÙ ØÒ Ùµ Ò Ç( Î + )º ý ººº ß ºººýº
Ë ÔÖÓÙÖ ÚÚÖØܵ Ò ÒØÐÞ ÕÙÙ ÛØ Ú Ú ØÚ ØÖÙ ÖÔØ ÕÙÙ Ùµ ÓÖ ÐÐ ÚÖØ Û ÒØ ØÓ Ù Ó ÒÓØ Ú ØÛ ØÒ Ò Ú ØÛ ØÖÙ ÒÕÙÙ Ûµ Ò ÙÒØÐ ÕÙÙ ÑÔØÝ Ò Ç( Î + )º ý ººº ß ºººýº
ØÖ ÔÖÓÙÖ ØÖ Ò ý µ Ë := {1} ÓÖ ¾ ØÓ Ò Ó Ò Ó Ø½ È ½ Ò ÓÖ ¾ ØÓ Ò¹½ Ó Ò ÐØ Û ÖÓÑ Î Ë Ù ØØ Û ÑÒÑÙÑ Ë := Ë +{Û} ÓÖ ÐÐ Ú Ò Î Ë Ó Ú Û Û Ú ØÒ ÈÚ Û Ú Û Û Ú Ò Ò Ç( Î 2 ) ÓÖØ Ø ÔØ Ç( Î 3 ) ÐйÔÖ ý ººº ß ºººýº ¼
ý ØÖ ½¼ 1 6 ½¼ ¼ ¼ 2 5 ½¼ 3 4 ¼ ¼ ¾¼ ý ººº ß ºººýº ½
ØÖ µ È þ Ë Û ¾ ¾ ¹ {½} ¹ ½¼ ¼ ½¼ ½ ½ ½ ½ ½ ¾ {½ ¾} ¾ ¼ ¼ ½¼ ¾ {½ ¾ } ¼ ¼ ¼ {½ ¾ } ¼ ¼ {½ ¾ } ¼ {½ ¾ } ý ººº ß ºººýº ¾
Ú µ [Ú] [Û]+[Û Ú] ØÒ Ò º ý µº ý ÐÐÑÒ¹ÓÖ Î 1 º Ú º ý (Û Ú) È[Ú] Û [Ú] [Û]+[Û Ú] Ò ( Î ) ý ººº ß ºººýº
Ø µº ºº Ã Ê ØÖØ ÓÒ ØÖÒµ ËÓÖØ Ø ÈØ ÆÈ¹Ö µº ý ¹ÃÒÔ ( Ô 1 Û 1 ) ( Ô 2 Û 2 ) ( ÔÒ ÛÒ) Ú 1 Ù 1 Ü 1 Ú 2 Ù 2 Ü 2 ÚÒ ÙÒ ÚÒ+1 ÜÒ ÓÓ ÒÛ ÑØ Ò ÈÌË ÏÖÙÖØÓÒ ½ º ý ººº ß ºººýº
ÈÖÑ ý º ÃÖÙ Ð ý º Ë Î \ Ë º ÅÒÑÙÑ ËÔÒÒÒ ÌÖ ¹ ÅË̵ ý ººº ß ºººýº
Î \ Ë µ Ë ÅË̵ ºµ º ô µ º ýº º ý ÓÖÙÚ ÓÒÒØ ÓÑÔÓÒÒص º ý º ³ º ³º ( log Î )º ý ººº ß ºººýº
ý ÈÖÑ ½ 1 2 ¾ ½ 3 4 5 6 7 ¾ ý ººº ß ºººýº
½ 1 2 ¾ ½ 3 4 5 6 7 ¾ ý ººº ß ºººýº
½ 1 2 ¾ ½ 3 4 5 6 7 ¾ ý ººº ß ºººýº
½ 1 2 ¾ ½ 3 4 5 6 7 ¾ ý ººº ß ºººýº ¼
½ 1 2 ¾ ½ 3 4 5 6 7 ¾ ý ººº ß ºººýº ½
½ 1 2 ¾ ½ 3 4 5 6 7 ¾ ý ººº ß ºººýº ¾
½ 1 2 ¾ ½ 3 4 5 6 7 ¾ ý ººº ß ºººýº
º ý ÈÖÑ Ç( Î 2 ) µ Ç( log Î ) ÒÖÝ Ô ÓÒ Ô Ç( Î log Î + ) ý ººº ß ºººýº
ý ÃÖÙ Ð ½ 1 2 ¾ ½ 3 4 5 6 7 ¾ ý ººº ß ºººýº
½ 1 2 ¾ ½ 3 4 5 6 7 ¾ ý ººº ß ºººýº
½ 1 2 ¾ ½ 3 4 5 6 7 ¾ ý ººº ß ºººýº
½ 1 2 ¾ ½ 3 4 5 6 7 ¾ ý ººº ß ºººýº
½ 1 2 ¾ ½ 3 4 5 6 7 ¾ ý ººº ß ºººýº
½ 1 2 ¾ ½ 3 4 5 6 7 ¾ ý ººº ß ºººýº ¼
½ 1 2 ¾ ½ 3 4 5 6 7 ¾ ý ººº ß ºººýº ½
º ý ÃÖÙ Ð Ç( log Î ) ÍÒÓÒ¹Ò ÍÒÓÒ Ý ÊÒµ ý ººº ß ºººýº ¾
ÒØÛÓÖµ Ø ÅÜ ÐÓÛµ غ º ÅÜ ÐÓÛ ß ÅÒ Ùص µ µ غ ý ººº ß ºººýº
غ º Ö ÙÐ ÒØÛÓÖµ غ ÙÑÒØÒ ÔØ µº ý ÓÖ¹ÙÐÖ ÓÒ Ç( ) º þ ý ÑÓÒ ¹ÃÖÔ Ç( Î 2 ) ÓÖØ Ø ÔØ µ ÓÐÖ Ç( Î 2 ) Ç( Î 3 ) ÔÖ ÓÛ¹ÔÙ µº ý ººº ß ºººýº
ÑØÒ ÑØÒ ÐØÖÒØÒ ÔØ µ ÑØÒº Ç( Î ) Î 2µº þ ÀÓÔÖÓع Ç( Î 52 )º ÃÖÔ ÈÖØ ØÒµ ý º ËØÐ ÅÖÖº ý ººº ß ºººýº
» ÑØÒ Å ³ йËÔÐÝ ½¾µ ý µº º µ ÔÖÓÐѵ ËØÐ ÊÓÓѹ Ó ÔØÐ»Ö ÒØ ËØÐ ÅÖÖ»ÅØÒ µº ź Ç(Ò 2 )º ÑØ º ÆȹÓÑÔÐغ ý ººº ß ºººýº
+1 µ + µ ÎÞÒ ½ º µ ½½ ( Î )µº ÃĐÓÒ ( log ) ÓÐ Ç Ø Ò ËÖÖ ¾¼¼½ º ÆÈ ¹ÓÑÔÐغ (1+ 3 2ÇÈ Ì )¹Ôܺ ÈÌ˵ ËÒÖ Ò ËØÙÖÖ ¾¼¼ ý ººº ß ºººýº
º ÃĐÓÒ ½½ µ º µ ÔÖØ ÑØÒ ¹ 5 2)º Ç( Ò µ µ ÑÜÑÐ ÑØÒ ý ÙÑÒØÒ ÔØ º ý ¾ Ç( Î ) = µ 2 )º Ç( Ò ý ººº ß ºººýº
Ü ÔÖÑØÖ ÈÌ ËØ ÛÖØ Ò ÛÖØ ØÖÛØ ¹ÓÐÓÖÒ ò ÁÒÔÒÒØ ËØ ÀÑÐØÓÒ ÝÐ ºººµ ÏØ Ü ÈÖÑØÖ ÌÖØÐØÝ ØÖØÐ Ç(() ÔÓÐÝ(Ò)) Ò º ÎÖØÜ ÓÚÖ ÓÒµ ÈÌ ÓÚÖµ Ç(2 ÔÓÐÝ(Ò)) µº ø ÈÌ ÎÖØÜ ÓÐÓÖÒ ÛÖØ # ÓÐÓÖ µ ý ººº ß ºººýº
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.