. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών c = + 3 + 4i.. Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει: Re + = Re ( ), ( ) γ. Για το προηγούμενο ερώτημα, να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο του c. δ. Αν οι μιγαδικοί, και 3 ικανοποιούν την σχέση () και δεν είναι φανταστικοί, να αποδείξετε ότι + 3 + 3 = + + 3. Έστω η εξίσωση αx + βx + α =0, με α>β>0, που έχει ρίζες τις x, x. α) Να σημειώσετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Α)x, x R Β)x + x = -4 x. x Γ) x x Δ) x = x = β) Αν x x + x + x =, να βρεθούν i) Οι ρίζες x και x, ii)οι θετικοί ακέραιοι ν για τους οποίους ισχύει (x - x ) ν > 0. 3. Aν η εξίσωση +α +β = 0, όπου α,β R, έχει ρίζες του μιγαδικούς = 3+i και, τότε: α) Να βρείτε τους α, β και. β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ο μιγαδικός w = ν + ν είναι πραγματικός. γ) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή της παράστασης f() = +, C. + 4. A. Έστω οι διαφορετικοί μιγαδικοί και και ο φανταστικός αριθμός w =, να αποδείξετε ότι: α) Ο μιγαδικός w 004 είναι θετικός αριθμός. β) Οι μιγαδικοί και έχουν ίσα μέτρα. B. Έστω οι μιγαδικοί,, με = = και R. Να βρεθεί ο λ R, ώστε ο μιγαδικός w = + λ+ να είναι πραγματικός. 5. Έστω f() = 3Re() + 4Im(), C-{0}. α) Να βρείτε τον γ.τ. των εικόνων των μιγαδικών 0 για τους οποίους ισχύει f() = 3
β) Αν Re() =λ Im(), τότε: i) Να εκφράσετε το f () ως συνάρτηση του λ. ii)να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του f (). 6. Δύο κινητά Α και Β κινούνται πάνω στο μιγαδικό επίπεδο και είναι εικόνες των μιγαδικών και αντίστοιχα, ώστε να ισχύει συνεχώς = 4 + 3i 5. Να αποδειχθεί ότι: α) Τα κινητά Α και Β ισαπέχουν συνεχώς από την αρχή των αξόνων. β) Αν το κινητό Α κινείται πάνω στον ορισμένο κύκλο (Κ,ρ), τότε και το κινητό Β κινείται πάνω σε έναν ορισμένο κύκλο, του οποίου να βρεθούν κέντρο και ακτίνα. 7. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός =(ημα-)+(-συνα)i, α α) Δείξτε ότι οι εικόνες των σημείων Μ() είναι σημεία κύκλου. β) Να βρείτε τους μιγαδικούς που έχουν το μέγιστο και το ελάχιστο μέτρο γ) Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών αριθμών του προηγούμενου ερωτήματος 8. Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει: C: 5 + 3i = i, α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(). β) Να βρείτε το ελάχιστο. γ) Ποιος είναι ο μιγαδικός αριθμός με το ελάχιστο μέτρο; 9. α) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κωνικών, στις οποίες κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών, για τους οποίους ισχύουν: i) + + = 4 ii) + i i =. β) Να βρείτε τον γεωμ.τόπο C των εικόνων του για τον οποίο ισχύει 0 + = 3i + 3i + 9 γ) Να βρείτε το ελάχιστο και μέγιστο των εικόνων των, που ανήκουν στο C όταν αυτές είναι συμμετρικές ως προς την αρχή Ο. 0.Θεωρούμε. τους μιγαδικούς,, 3 C *, ώστε να ισχύουν: = = ρ3 = και 3 + + R. Ν.δ.ο: τουλάχιστον δυο από τους,, 3 είναι ίσοι. 3
.Θεωρούμε. τους μιγαδικούς και οι οποίοι είναι τέτοιοι ώστε: ο αριθμός + i + i να είναι πραγματικός και + i = + i α) Να βρείτε τον γ.τ. (c ) της εικόνας του β)να βρείτε τον γ.τ. (c ) της εικόνας του γ)να προσδιορίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των εικόνων και..έστω. οι μιγαδικοί, για τους οποίους ισχύει =+i. Υποθέτουμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού κινείται πάνω στον κύκλο κέντρου Κ(0,) και ακτίνας ρ =. α) Ν.δ.ο: η εικόνα του κινείται πάνω σε μια ορισμένη γραμμή, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. β) Να βρείτε τον μιγαδικό με το μικρότερο μέτρο. 3.Α).Να. βρείτε τον γεωμ. τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους - ισχύει =. Β) i) Αν w =(x+yi) v +(xi-y) v και w =(x+yi) v (+i v ) x,y v να δειχθεί ότι w = w ii)nα υπολογίσετε το v ώστε (x+yi) v +(xi-y) v - (x+yi) v (+i v ) =8 αν οι εικόνες Μ() των μιγαδικών =x+yi βρίσκονται στον κύκλο (Ο, 9 ). 4.ΘΕΜΑ. ο (000ε) α. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης + + = 0, να αποδείξετε ότι 0-0 =0. β. Αν είναι ρίζα της εξίσωσης του α. ερωτήματος, με φανταστικό μέρος θετικό αριθμό, να βρείτε τις τιμές του θετικού ακεραίου ν για τις οποίες ν είναι πραγματικός αριθμός. 5.ΘΕΜΑ. ο (00ε) α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: +6 =4 +. β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: - = -i. 6.ΘΕΜΑ. ο (003) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί =α+βi, όπου α,β καιw=3 _ i +4, όπου _ είναι ο συζυγής του. α. Να αποδείξετε ότι Re(w)=3α β+4 και Ιm(w)=3β α.
β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x. γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x, έχει το ελάχιστο μέτρο. 7.ΘΕΜΑ. ο (003ε) α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις: = και Ιm () 0. β. Να αποδείξετε ότι, αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού κινείται στο σύνολο (Σ), τότε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w 4 = + κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα το οποίο βρίσκεται στον άξονα x x. 8.ΘΕΜΑ. ο (005) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, 3 με = = 3 = 3. 9 α. Δείξτε ότι: = β. Δείξτε ότι ο αριθμός + είναι πραγματικός. γ. Δείξτε ότι: + + 3= + + 3 3. 3 9.ΘΕΜΑ. ο (005ε) α. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει + =4+4i και - = 5+5i, να βρείτε τους,. β. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς, w ισχύουν 3i και w 3 i : i. να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί, w έτσι, ώστε = w ii. να βρείτε τη μέγιστη τιμή του w. 0.ΘΕΜΑ. 3 ο (006) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, 3 με = = 3 = και + + 3 = 0 α. Να αποδείξετε ότι:
i. = 3 = 3. ii. 4 και Re( ) β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των,, 3 στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν..θεμα. ο (007) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = +αi α+i με α. α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ =. β. Έστω, οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο = +αi α+i για α = 0 και α = αντίστοιχα. i. Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και. ii. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: ( ) ν = (- ) ν για κάθε φυσικό αριθμό ν..θεμα. 4 ο (007ε) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = α+βi και = +, όπου α, β με β 0. Δίνεται επίσης ότι α. Να αποδειχθεί ότι =. β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο. γ. Αν ο αριθμός ( +-i) 0 =0 3.ΘΕΜΑ. ο (008) είναι φανταστικός και αβ>0, να υπολογισθεί ο να δειχθεί ότι ( ++i) 0 Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς και w ισχύουν (i + )= 6 και w ( i) = w ( 3 3i ) τότε να βρείτε: α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w. γ. την ελάχιστη τιμή του w δ. την ελάχιστη τιμή του w
4.ΘΕΜΑ. ο (008ε) + i 3 ίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός = είναι ρίζα της εξίσωσης + β + γ = 0, όπου β, γ α. Να αποδείξετε ότι β= - και γ=. β. Να αποδείξετε ότι 3 = -. γ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού w, για τον οποίο ισχύει: w = - 5.ΘΕΜΑ. ο (009) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς =(λ+)+(λ )i, λ Α.α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, για τις διάφορες τιμές του λ β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός 0 =-i έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο. Β. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση + w 0 όπου 0 w = ερώτημα. 6.ΘΕΜΑ. ο (009 ε) ο μιγαδικός που αναφέρεται στο προηγούμενο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: ( - i ) + ( +i ) - 8 = 0 α. Nα βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών = x + yi οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. β. Nα βρείτε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό και τον μοναδικό φανταστικό αριθμό οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. γ. Για τους αριθμούς που βρέθηκαν στο προηγούμενο ερώτημα να αποδείξετε ότι + + 4 = 0 7.ΘΕΜΑ. Β (00) Δίνεται η εξίσωση + = όπου με 0 Β. Να βρείτε τις ρίζες και της εξίσωσης.
Β. Να αποδείξετε ότι 0 0 0 0 + = 0. B3. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει w - 4 + 3 i = - τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο. B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β3, να αποδείξετε ότι 3 w 7. 8.ΘΕΜΑ. Β (00 ε) Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί, είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές για τις οποίες ισχύουν + = και = 5 B. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς, B. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση w + w = να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με εξίσωση (x+) + y = 4 B 3. Από τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β να βρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει Re(w) + Im(w) = 0 B 4. Αν w, w είναι δύο από τους μιγαδικούς w του ερωτήματος Β με την ιδιότητα w w = 4, να αποδείξετε ότι w + w = 9.ΘΕΜΑ. Β (0) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί και w με 3i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: 3i + + 3i = και w = 3i + 3i B. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών B. Να αποδείξετε ότι + 3i = 3i B 3. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι w B 4. Να αποδείξετε ότι: w = 3 0.ΘΕΜΑ. Β (0ε) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, w, οι οποίοι ικανοποιούν αντίστοιχα τις σχέσεις: i = +Im() () w( w +3i) = i(3 w +i) () B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η παραβολή με εξίσωση y = 4 x
B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(0,3) και ακτίνα ρ=. B3. Να βρείτε τα σημεία Α και Β του μιγαδικού επιπέδου, τα οποία είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, w με =w. B4. Nα αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και, στη συνέχεια, να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό u με εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο το σημείο Λ, έτσι ώστε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Κ,Α,Λ,Β να είναι τετράγωνο. 3.ΘΕΜΑ. Β (0) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: + + = 4 () και w 5w = () B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = B. Αν, είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς με = τότε, να βρείτε το + B3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη με εξίσωση x y + = και στη συνέχεια να βρείτε τη μέγιστη και την 9 4 ελάχιστη τιμή του w B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς,w που επαληθεύουν τις σχέσεις () και () να αποδείξετε ότι: w 4 3.ΘΕΜΑ. Β (0ε) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, με για τους οποίους ο αριθμός φανταστικός. Να αποδείξετε ότι:. = w = είναι +. O αριθμός είναι πραγματικός. 4 + + 4 3. ( ) όπου, δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς
i 4. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών u, για τους οποίους ισχύει u ui = w w, w 0 ανήκουν στην υπερβολή x y =