ο Διαγώνισμα 08-9 Ύλη: Συναρτήσεις Θέμα Α Α. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν μια συνάρτηση : είναι - τότε είναι και γνησίως μονότονη.» α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α αν είναι αληθής ή το γράμμα Ψ αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες 5) Μονάδες 7 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη. g. α) Δύο συναρτήσεις g είναι ίσες αν υπάρχουν ώστε να ισχύει β) Αν οι συναρτήσεις g είναι ορισμένες σ ένα διάστημα Δ τότε g g. γ) Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο. δ) Αν η συνάρτηση g είναι - στο και ορίζεται στο η συνάρτηση g τότε αυτή είναι - στο. ε) Η συνάρτηση c και c 0 έχει αντίστροφή την g. c A3. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. α) Να εξηγήσετε βάση του σχήματος γιατί η είναι αντιστρέψιμη. β) Να υπολογίσετε τα 0 3 3 γ) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g. Να υπολογίσετε τα g g g g Θέμα B Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης 7 και έστω g. Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της. Β. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σχήμα τη γραφική παράσταση της.
Β3. Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία. Β4. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των g. Β5. Να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει μέγιστο το οποίο και να βρείτε. Β6. Να λύσετε γραφικά την εξίσωση 0. Θέμα Γ όπου η είναι γνησίως αύξουσα στο και g Έστω συναρτήσεις g : κάθε. Γ. Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο. Γ. Να δείξετε ότι οι C Cg τέμνονται στον άξονα y y. Γ3. Έστω ότι g. α) Να δείξετε ότι g β) Έστω 0 για κάθε. Να δείξετε ότι η γ) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των Θέμα Δ Έστω η συνάρτηση ln. Δ. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. Δ. Να ορίσετε τη συνάρτηση h. για Μονάδες 6 αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. Δ3. Να λύσετε την ανίσωση ln ln ln e. Δ4. Έστω ακόμη συνάρτηση g : 0 με g α) η g είναι γνησίως αύξουσα. g 0. β) γ) g δεν έχουν κοινά σημεία. g e Μονάδες 6+5+5 για κάθε.να δείξετε ότι: Μονάδες 7+3+3 Καλή Επιτυχία! Στέλιος Μιχαήλογλου
Λύσεις Θέμα Α Α. α. Ψ 0 β. Η συνάρτηση 0 δεν είναι γνησίως μονότονη. είναι - και Α. α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Λ ε) Λ Α3. α) Επειδή κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει την C σε ένα μόνο σημείο η είναι -. αλλιώς: η είναι γνησίως αύξουσα άρα και - β) 0 0 3 3 0 0 3 3 γ) Θέμα B g g g 0 g g 3 0 g g g g g 0 Β. Στο σχήμα παρατηρούμε ότι οι τετμημένες των σημείων της C καλύπτουν όλο τον άξονα άρα D. Ακόμη παρατηρούμε ότι y οπότε A Β. Γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της είναι συμμετρική της ως προς τον άξονα οπότε είναι αυτή του διπλανού σχήματος. Β3. Αρχικά παρατηρούμε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο 0 γνησίως αύξουσα στο 0 οπότε: Για κάθε 0 είναι 0 7 7 g g g 0 είναι 0 Για κάθε 0 7 7 g g g 0 Β4. 7 3 g 7 3 Στο σχήμα παρατηρούμε ότι y 3 Β5. Είναι και έχουν τα σημεία 3 και 3 άρα 4 4 3 7 7 0 4 g g 0 οπότε η g έχει μέγιστο
Β6. το 7 4 για 0. 0 (). Για να λύσουμε την () αρκεί να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων των 0 Για το λόγο αυτό σχεδιάζουμε στο ίδιο σχήμα τις C y. 0 C y. Παρατηρούμε ότι τα σημεία τομής τους είναι τα 44 και 44 οπότε Θέμα Γ Γ. Έστω με τότε επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο είναι () και Από g g g Γ. Για 0 είναι g0 0 0 0 4 (). οπότε οι C Cg τέμνονται στον άξονα y y. Γ3. α) Όταν g τότε αντικαθιστώντας όπου το 4 (3) και προκύπτει: (4) Από 3 4 3 3 3 άρα g για κάθε. β) Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο 0 είναι - και αντιστρέφεται. y y y. Πρέπει y 0 y τότε επειδή 0 y άρα y y y οπότε. είναι γ) Για να δείξουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των. Είναι: να είναι αδύνατη στο δεν έχουν κοινά σημεία αρκεί η εξίσωση 4 4 4 0 0 (5) 4 Για κάθε είναι 0 και 0 αφού έχει Δ 7 0 οπότε 4 0. και η (5) είναι αδύνατη στο 0 0 ισχύει αλλιώς: αφού Δ=-3<0. < ισχύει.
Θέμα Δ Άρα οπότε οι γραφικές παραστάσεις των δεν έχουν κοινά σημεία. Δ. Είναι A 0. Έστω 0 με τότε: ln ln ln ln Δ. Η h ορίζεται όταν: A 0 0 0 A 0 h ln ln ln ln ln ln Δ3. ln ln ln e ln ln ln e e e e e g e g g g e g g e e ln g e ln e g e g lng lne lng g g () Δ4. α) Έστω ότι υπάρχουν με τέτοια ώστε g g άρα A τότε επειδή η είναι γνησίως αύξουσα είναι g g άτοπο. Άρα β) Για 0 η () γίνεται: g 0 0 g 0 g 0. γ) Επειδή η είναι - αντιστρέφεται και η σχέση () γίνεται: g g g g g g. h.