ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Δ. Βλουγώργης, Ερινό ξάμηνο 08-09 ΕΡΓΑΣΙΑ #: Μτάδοση θρμότητς μ κτινοβολί Ημρομηνί νάρτησης ργσίς στην ιστοσλίδ του μθήμτος: 05-03-06 Ημρομηνί πράδοσης ργσίς: 9-03-09 Προτίνοντι προς πίλυση δέκ σκήσις κ των οποίων πιλύοντι υποχρωτικά έξι (όποις πιθυμίτ κι οι υπόλοιπς τέσσρις προιρτικά.. Cengel and Ghajar, Κφάλιο 3: Πρόβλημ 3-8 (στη η έκδοση 3-50. Μήκος διστυρούμνης χορδής abcde: abc ( ab + bc Μήκος μη διστυρούμνης χορδής ef: s Στο τρίγωνο Οbc φρμόζουμ το πυθγόριο θώρημ (ίνι κάθτο φού bc φπτομένη στον κύκλο. / s R Μήκος bc R Η γωνί θ ίνι θ cos s / R R Μήκος ab πr / Rθ R π / cos Rsin s/ s/ Ως πιφάνι ορίζτι η ημιπριφέρι του κυλίνδρου π R. / s R R + Rsin s (,ab,bc s/ + F πr πr πr Θέτουμ X s/ R 3 κι βρίσκουμ F / + X sin X X π F π + 3 5 sin 3 0. F F 0.78 3 σ F 05. W / m
Γι το ποσό θρμότητς που πάι στο πριβάλλον πρέπι ν λάβουμ υπόψη κι το δύτρο μισό του κυλίνδρου, το οποίο κτινοβολί ξ ολοκλήρου στο πριβάλλον. σ 3 σ 3 F3 + 3 777.6 W / m Σημίωση: Σ πρίπτωση που πιλγί ως πιφάνι ολόκληρη η πριφέρι του κυλίνδρου, τότ π R κι F 0., όμως το γινόμνο F πρμένι το ίδιο, οπότ γι τη σ F. Γι τη μτφορά μτξύ των δύο κυλίνδρων πρμένι μτφορά μ το πριβάλλον όμως έχουμ 3 σ ( 3 F3 κθώς έχι ληφθί υπόψη όλη η πριφέρι του κυλίνδρου στον συντλστή όψως.
. Cengel and Ghajar, Κφάλιο 3: Ν ποδιχθούν οι ξισώσις μτφοράς θρμότητς μ κτινοβολί νάμσ σ ομοξονικούς κυλίνδρους πίρου μήκους κι β ομόκντρς σφίρς. Έστω δυο ομοξονικοί κύλινδροι (σωτρικός κι (ξωτρικός. Γι τους συντλστές όψης ύκολ ποδικνύτι ότι: F 0, F + F F F F F, F + F F Κύλινδρος : ( σ J Κύλινδρος : ( σ J ( J J ( (3 J J ( J J ( Από τις ( κι ( προκύπτι ότι, νώ πό τις ( κι (3 έχουμ: J σ (5 κι J σ σ + (6 Αφιρώντς τις (5 κι (6 προκύπτι: σ ( + σ ( J J + + ( σ r + r (7 Ακολουθώντς την ίδι μθοδολογί γι τις ομόκντρς σφίρς μ μόνη διφορά ότι r r προκύπτι: σ ( + σ ( J J + + ( σ r + r (8
3. Μί κυλινδρική κοιλότητ έχι μέλνς πιφάνις,, 3 σ στθρές θρμοκρσίς,, 3. Η ξωτρική πιφάνι δν κτινοβολί προς το πριβάλλον. Ν υπολογισθί η θρμότητ που προσδίδτι σ κάθ πιφάνι λόγω ντλλγής κτινοβολίς. Στη συνέχι η κυλινδρική πιφάνι 3 διιρίτι σ δύο πιφάνις, 5 μ ίδιο μβδόν. Ν υπολογισθούν οι ιδικές θρμοροές / κι 5 / 5 κι ν διτυπωθί η σχέση που τις συνδέι μ την 3 / 3. Συντλστές όψως: R + F 0, F, F F R F 0, F F, F F 3 3 F F, F F, F F F 3 3 33 33 3 3 3 3 Μτά την τομή της πιφάνις R R + + 3: F, F F, F, F F R R F F F, F F F 6 6 6 5 6 5 5 Η θρμορροή σ κάθ πιφάνι ίνι: F σ( + F σ( 3 3 3 F σ( + F σ( 3 3 3 F σ( + F σ( 3 3 3 3 Μτά την τομή ίνι: F σ( + F σ( F σ( + F σ( 5 5 5 5 5 Λμβάνοντς υπόψη ότι 3 5, 3 5 κι F 3 F + F 5, F3 F+ F5ύκολ ποδικνύτι ότι 3 + 5
. Σφίρ διμέτρου D μ μλνή πιφάνι σ θρμοκρσί βρίσκτι ντός σφιρικής κοιλότητς διμέτρου D μ μλνή σωτρική πιφάνι, νώ ξωτρικά έχι ημισφιρική ολική ικνότητ κπομπής. Όπως φίντι στο σχήμ η ξωτρική σφιρική κοιλότητ έχι κυκλικό άνοιγμ διμέτρου D 3. Η θρμοκρσί του πριβάλλοντος ίνι. Ν υπολογισθούν η θρμοκρσί της ξωτρικής σφίρς κι η θρμορροή που προσδίδτι στην σωτρική σφίρ. Είνι: l + (3 cm ( cm l 7cm 3cm Από τη βιβλιογρφί βρίσκουμ πως: F 3 / + 0.69 l F F 0.83, F 0, sinθ 3 / θ 0,88rad 3 Το μβδόν του τμήμτος του σφιρικού φλοιού που λίπι ίνι: π π/ ( sinθ θ ϕ 0.8π cm, 6 0.8 53.6 0 0.73 cm d d π π π cm, 6π cm, 3 9π cm F F F 0.3, F F 0.7 3 3 3 3 3 3 F F F 0.9, F F F 0.5 3 3 3 3 Ισοζύγιο θρμότητς στη πιφάνι : Α Α +Α Α +Α Α Fσ Fσ 3F3σ F3σ σ σ 0 6 0.83 900 53.6 0.5 + 9 0.7 500 53.6 0.9 + 53.6 0. 500 53.6 0. 0 53.6 0.5 + 0.9 + 0. 6 0.83 900 + 9 0.7 500 + 53.6 0. 500 + + 7K 8 53.6 0.769 0 8735.06 3937.5 390 Η θρμορροή που προσδίδτι στην σωτρική σφίρ ίνι: σ F σ + F 3.6W 3
5. Ν προσδιοριστί η πίδρση λπτής σφιρικής σπίδς κτινοβολίς κτίνς R μ ικνότητ κπομπής, που τοποθτίτι νάμσ σ δύο ομόκντρς σφίρς κτίνς R, R που βρίσκοντι σ θρμοκρσίς, κι ικνότητ κπομπής,. Θωρούμ ότι οι πιφάνις των σφιρών κι της σπίδς προστσίς ίνι διχυτικές κι γκρίζς μ ικνότητς κπομπής νξάρτητς πό την θρμοκρσί. Έστω D + + D + + D π R π R π R + + π R π R π R π R π R π R Αν δν υπάρχι σπίδ τότ: Μ σπίδ: σ ( D ( σ ( σ D D D + D a D+ D D + D σ ( σ ( a D+ D σ ( D D D + D a Επομένως ο λόγος της θρμότητς που μτφέρτι μ την σπίδ ως προς τη θρμότητ που μτφέρτι χωρίς σπίδ ίνι: σ( Τ Τ D D R R R D D + + + D ( σ Τ Τ + + + + + + D R R R R R R R + + R R R + + R R + + R R R R R C Γι δδομέν R, R,, ο λόγος μιώντι κθώς η R C + R ικνότητ κπομπής μιώντι κι ο λόγος κτινών R / R υξάνι.
6. Δύο πράλληλς πλάκς πίρου μήκους κι πλάτους w βρίσκοντι σ πόστση d. Οι πλάκς ίνι τέλι μονωμένς ξωτρικά. Η πλάκ θρμίντι ομοιόμορφ μ ηλκτρική ντίστση μ ιδική θρμορροή q, νώ η πλάκ δν θρμίντι ( q 0. Ο πριβάλλων χώρος ίνι σ θρμοκρσί πόλυτου μηδέν. Ν βρθούν οι ολοκληρωτικές ξισώσις γι τον υπολογισμό των θρμοκρσιών κι που μτβάλλοντι κτά μήκος των πλκών γι ότν οι πλάκς ίνι μέλνς πιφάνις κι β διχυτικές κι γκρίζς. Οι συντλστές όψως νάμσ σ δύο πίρου μήκους λωρίδς d κι d ίνι: d dfd d d ( sinθ dy 3/ df d d 3/ ( y x d y x + d dx μέλνς πιφάνις, ισοζύγιο θρμότητς στη πλάκ : w/ w/ d q J( x G( x σ( x σ( y dfd d σ( x σ( y dy 3/ w/ w/ ( y x Εισάγουμ τις διάσττς ποσότητς: X x/ d, Y w/ d, w/ d, Θ σ / q, i, i i / ( X ( X Θ ( X + Θ ( X / ( Y X + / Θ Θ 3/ Αντίστοιχ στη πλάκ : dy / dy 3/ ( Y X + w/ w/ d q J( y G( y σ( y σ( x dfd d σ( y σ( x dx 0 3/ w/ w/ ( y x / Θ ( Y Θ ( Y / ( Y X + / q 0 Θ Y Θ Y 3/ dx / dx 3/ ( Y X +
β διχυτικές κι γκρίζς: ισοζύγι θρμότητς q J ( σ J σ q q 0 J ( σ J ( y σ ( y w/ w/ d q J J( y dfd d σ q σ( y dy 3/ / w w/ ( y x w/ q d σ σ( y dy 3/ w/ ( y x q w/ d 0 σ σ 3/ w/ x dx ( y x Εισάγουμ τις διάσττς ποσότητς: / Θ Θ dy ( X ( Y Θ ( X + ( Y ( Y X + Θ / 3/ / / ( Y ( X Θ ( Y Θ ( X / ( Y X + / 0 Θ Θ dx 3/ / dy + 3/ / ( Y X ( Y X dx + 3/ Το πρπάνω ποτέλσμ ίνι κριβώς ίδιο όπως κι στη πρίπτωση της μλνής Θ Y Θ Y. πιφάνις κι πομένως το, gray, black Αντικθιστώντς το ποτέλσμ υτό στη ξίσωση γι το Θ ( X κι χρησιμοποιώντς το ποτέλσμ γι Θ ( X έχουμ: /,black dy Θ ( X +, black ( Y 3/, black ( X Θ + / ( Y X Θ + Θ, gray Θ, black +
7. Γράψτ έν πρόγρμμ γι την πίλυση των δύο ολοκληρωτικών ξισώσων της Άσκησης 6. 8. Θρμική προστσί κρυογνικών συστημάτων: γράψτ έν σύντομο κίμνο που ν μην ξπρνά τις 0 γρμμές κι ν κλύπτι μ το κλύτρο δυντό τρόπο το σχτικό ντικίμνο. Τ κρυογνικά συστήμτ συνντώντι σ πολλές φρμογές όπως στη διάσπση του έρ στ συσττικά του, στην υγροποίηση ρίων γι μτφορά, στους μγνητικούς τομογράφους κθώς κι σ πιτχυντές σωμτιδίων κι σ ργοστάσι πυρηνικής σύντηξης. Σ όλ τ κρυογνικά συστήμτ πιτίτι η συντήρηση πολύ χμηλών θρμοκρσιών κι άρ η μίωση των θρμικών πωλιών ίνι πρίτητη. Στ ν λόγω συστήμτ οι πώλις λόγω συνγωγής συνήθως μιώνοντι μ την δημιουργί κνού. Κάποις φορές βέβι λόγω του κόστους, του βάρους λλά κι της πολυπλοκότητς της μόνωσης κνού προτιμάτι η πλή χρήση μονωτικών υλικών όπως φλιζόλ, φίμπργκλς λλά κι διάφορ ινώδη κι πορώδη υλικά. Από την άλλη μριά οι πώλις λόγω κτινοβολίς μιώνοντι μ ρκτές μθόδους. Μί μέθοδος ίνι η γκτάστση στον σπίδων κτινοβολίς κνό χώρο οι οποίς συνήθως ψύχοντι μτξύ της θρμοκρσίς δωμτίου κι της χμηλότρης κρυογνικής θρμοκρσίς του συστήμτος νώ κόμ κι μη-ψυχόμνς σπίδς βοηθάν στην μίωση των πωλιών λόγω κτινοβολίς. Μι δύτρη μέθοδος ίνι η λγόμνη πολυστρωμτική μόνωση ή υπρμόνωση στην οποί η πώλις λόγω κτινοβολίς μιώνοντι μ την γκτάστση πολλπλών στρωμάτων πό λπτά φύλλ υψηλής νκλστικότητς. Τέλος μι τρίτη πιλογή η πορώδης μόνωση στην οποί γίντι πλήρωση του κνού χώρου μ πορώδη υλικά χμηλής γωγιμότητς. 9. Υπολογίστ τη θρμοκρσί μίς πίπδης πλάκς που ίνι κτθιμένη σ ηλική κτινοβολί ισχύος 700 W/m νώ η θρμοκρσί πριβάλλοντος ίνι 5 o C άν η πιφάνι της πλάκς ίνι βμμένη μ μύρη μπογιά κι β μ λυκή μπογιά. Αγνοίστ τη μτφορά θρμότητς μ συνγωγή. Μύρη μπογιά: 0.97, Λυκή μπογιά: 0.93 0., sky 98Κ, surface? Ισοζύγιο θρμότητς πλάκς: ag S sun + askyssky esurfacessurface asky esurface a S : ικνότητ πορρόφησης πλάκς στη θρμοκρσί του ήλιου (5800Κ sky : ικνότητ πορρόφησης πλάκς στη θρμοκρσί του πριβάλλοντος (98Κ e surface : ικνότητ κπομπής πλάκς στη θρμοκρσί της πιφάνις surface μ μύρη μπογιά: a a e 0.97 S sky surface surface / Gsun + sky s 377Κ β μ λυκή μπογιά: a S 0., esurface asky 0.97 surface ag / S sun + sky esurfaces 3Κ
0. Ν υπολογιστί η μτφορά θρμότητς μ κτινοβολί νάμσ σ δύο πράλληλς πλάκς πολύ μγάλης πιφάνις που βρίσκοντι σ θρμοκρσίς 680 κι 0Κ κι έχουν τις ξής ημισφιρικές φσμτικές ικνότητς κπομπής: λ, 0. 3 λ, 0.8 λ 3 ( λ, λ, ( λ, 0.7 5 λ, 0.3 λ 5 (Οι πιφάνις ίνι διχυτικές λλά δν ίνι γκρίζς Αφού οι πιφάνις δν ίνι γκρίζς, δηλδή κπέμπουν πιλκτικά σ σχέση μ το μήκος κύμτος, η θωρί κοιλοτήτων φρμόζτι ντός των φσμτικών ζωνών κι πλέον η μτφορά θρμότητς ξρτάτι πό το λ στη μορφή: ( λ, ( λ, E E + λ λ λb, λb, dqλ, dqλ, d (, (, λ, λ, λ ( E ( λ, E ( λ, λ + λ, ( λ, λ, ( λ, 3 5 Eλb, Eλb, Eλb, Eλb, Eλb, Eλb, dλ+ dλ+ dλ 0 + 3 + 5 + 0. 0.7 0.8 0.7 0. 0.3 3 5 0.3 0.596 0.79 σ E λb, dλ E λb, dλ E λb,dλ σ + σ + 0 σ 3 5 3 5 0.3 0.596 0.79 σ E σ λb, dλ+ E λb, dλ E λb,dλ σ + 0 σ 3 5 σ 0.3f03 + 0.596 f 3 5 + 0.79 f 5 + σ 0.3 f03 + 0.596 f 3 5 + 0.79 f 5 0500 W / m + λb, λb, q q dqλ, d 0 0 Απόδιξη της (: κολουθούμ την ίδι διδικσί μ υτή της πργράφου.3 λλά τώρ πιδή η πιφάνι δν ίνι γκρίζ φρμόζουμ τ ισοζύγι ξρτώμν πό το μήκος κύμτος (φσμτικά. Το ισοζύγιο θρμότητς στην πλάκ νά μονάδ πιφάνις κι μονάδ χρόνου ντός του φσμτικού διστήμτος dλ ίνι dq dj dg (* (, ( (, (, λb (, ( (, dj de + ρ λ dg de + a λ dg λ E λ dλ+ λ dg, Επιλύοντς γι την κτινοβόληση βρίσκουμ: (, λb (, ( λ, dj λ E, λ dλ dg Αντικθιστώντς το πρπάνω ποτέλσμ στο ισοζύγιο νέργις (* προκύπτι
λb ( ( dj λ, E λ, dλ λ, dq dj E d dj ( λb ( λ, λ,, λ, λ, Γι ν χρησιμοποιήσουμ την πρπάνω ξίσωση θ ν γνωρίζουμ την κτινοβόλο ισχύ dj. Μι δύτρη έκφρση γι την κτινοβόλο ισχύ dj προκύπτι υπολογίζοντς την κτινοβόληση dg της πιφάνις πό την πιφάνι : dg dj Αντικθιστώντς το πρπάνω ποτέλσμ στην (* προκύπτι dq dj dj (*** Αντίστοιχ προκύπτι ( λ, ( λ dq E d dj ( λb ( λ, λ,, κι dq dj dj Συνδυάζοντς τις ξισώσις προκύπτι: ( λ, ( λ, E E + λ λ λb, λb, dq dq dj dj d (, (, λ, λ, λ