Πανελλαδικές εξετάσεις 09 Μαθηµατικά Προσανατολισµού Γ Λυκείου Ενδεικτικές Απαντήσεις ϑεµάτων Θέµα Α Α α) ϑεωρία ϐ) i, ii) ϑεωρία Α ϑεωρία Α3 ϑεωρία Α4 α) Λάθος {, x < 0 διότι για τη συνάρτηση fx) = ισχύει ότι f x) = 0, για κάθε, x > 0 x A =,0) 0,+ ), ενώ δεν είναι σταθερή στο A. ϐ) Λάθος διότι για τη συνάρτηση f : R R µε fx) = limfx) = 0 f0) = 09. x 0 { x, x 0 09, x = 0 ισχύει ότι Α5 γ) 4 Θέµα Β Β Αφού η συνάρτηση f έχει οριζόντια ασύµπτωτη στο + την ευθεία y =, έχουµε ότι lim fx) = lim e x +λ ) = 0+λ = λ = x + x + Β Θεωρούµε τη συνάρτηση gx) = fx) x, x [,3]. Εχουµε ότι η g είναι συνεχής στο [,3] ως άθροισµα συνεχών g) = f) = e > 0 g3) = f3) 3 = e 3 + 3 = e 3 < 0
Από Θεώρηµα Bolzano έχουµε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0,3) µε gx 0 ) = 0 fx 0 ) x 0 = 0. Επιπλέον, έχουµε ότι g x) = f x) = e x < 0, για κάθε x R, οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα και άρα - στο διάστηµα,3) R. Οπότε το x 0 είναι µοναδικό. Β3 Η f είναι παραγωγίσιµη στο R µε f x) = e x < 0, για κάθε x R. Εποµένως, f ր R f f αντιστρέψιµη. Επιπλέον, fx) = y e x + = y e x = y x = lny ), y > x = lny ), y >. Οπότε, f x) = lnx ) µε πεδίο ορισµού A f =,+ ). x =u Β4 Εχουµε ότι lim x) = lim x +f x + lnx )) = lim u 0 + lnu) = +. Οπότε η ευθεία x = είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της C f. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ϕx) = e x, είναι συµµετρική της γραφικής παράστασης της e x ως προς τον άξονα y y. Επιπλέον, η γραφική παράσταση της fx) = e x + προκύπτει από µία κατακόρυφη µετατόπιση κατά µονάδες προς τα πάνω της γραφικής παράστασης της ϕ. Τέλος, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι συµµετρική της γραφικής παράστασης της f ως προς τη διχοτόµο y = x του ου - 3ου τεταρτηµορίου. Ετσι έχουµε το ακόλουθο σχήµα: 5 y = x C f 4 3 3 4 5 6 C f
Θέµα Γ Γ Η f είναι συνεχής στο x 0 = ως παραγωγίσιµη, εποµένως έχουµε ότι lim x +fx) = lim fx) α+ = +β x α = β. Οπότε, έχουµε ότι fx) = { x +α, x e x +αx, x <. Επιπλέον, έχουµε ότι fx) f) x +α α lim = lim = x + x x + x fx) f) e x +αx α lim = lim x x x x αφού lim x e x x 0 0 = dlh lim x ex =. ) e x = lim x x +α = +α και αφού η f είναι παραγωγίσιµη στο x 0 = πρέπει = +α α = β =. { x +, x Γ Απο το προηγούµενο ερώτηµα προκύπτει ότι fx) = e x +x, x <. Ισχύει ότι f x) = x > 0, για κάθε x > f x) = e x + > 0, για κάθε x < f ) = οπότε f x) > 0, για κάθε x R κι έτσι προκύπτει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Επίσης, η f είναι συνεχής στο R οπότε το σύνολο τιµών της ισούται µε ) f R) = lim fx), lim fx) =,+ ) = R x x + Γ3 i) Εχουµε ότι f ր,0) R και η f είναι συνεχής στο,0), οπότε f [,0) ] ) = lim fx), lim x x 0 fx) =, ) e Ισχύει ότι 0 f [,0) ] και f - στο R ως γν. µονότονη), οπότε υπάρχει µοναδικό x 0 < 0 τέτοιο, ώστε fx 0 ) = 0. 3
ii) Για κάθε x x 0,+ ) έχουµε ότι x > x 0 fր = fx) > fx0 ) = fx) > 0 = f x) > 0 ) x 0 < 0 = x 0 > 0 fx)>0 = x 0 fx) > 0 ) Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις ), ) προκύπτει ότι f x) x 0 fx) > 0, για κάθε x x 0,+ ). Οπότε, η εξίσωση f x) x 0 fx) = 0 είναι αδύνατη στο x 0,+ ). Γ4 Εστω t 0 η χρονική στιγµή για την οποία ισχύει ότι xt 0 ) = 3 και x t 0 ) = µον/sec C f M xt),x t)+) O Kxt),0) Το εµβαδόν του τριγώνου δίνεται από τη σχέση Et) = xt) x t)+). Παραγωγίζοντας έχουµε ότι E t) = 3x t)x t)+x t) Για t = t 0 προκύπτει τελικά ότι E t 0 ) = 3x t 0 )x t 0 )+x t 0 ) Θέµα Η f είναι παραγωγίσιµη στο R µε = 7 + f x) = ln x x+ ) + x ) +α, x R. x x+ = 8 τ.µ/sec Αφού η ευθεία y = x + εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σηµείο A, ), έχουµε ότι { f) = + f ) = { f) = f ) = { α+β = α = { α = β = 4
Το Ϲητούµενο εµβαδόν ισούται µε E = fx) x+) dx = x )lnx x+) dx και αφού x )lnx x + ) = x )ln [ [x ) + ] 0, για κάθε x [,], έχουµε ότι E = x )ln [ [x ) + ] dx. Θέτοντας x ) + = u, x )dx = du, το ολοκλήρωµα γίνεται E = = lnu du [ulnu] = ln ) ) du = ln τ.µ 3 i) Για κάθε x R έχουµε ότι f x) = ln [ x ) + ] + x ) x x+. Οπότε f x) ln [ x ) + ] + x ) x x+ που ισχύει για κάθε x R διότι x ) + ln [ x ) + ] 0 ln [ x ) + ] + x ) x x+ 0 x ) x 0, για κάθε x R. x+ ii) Εχουµε ότι f λ+ ) +λ λ )lnλ λ+)+ 3 f λ+ ) λ )lnλ λ+) λ+ + 3 f λ+ ) fλ) f λ+ ) fλ) λ+ λ ) 5
Η f πληροί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ στο διάστηµα [λ,λ + ] και εποµένως υπάρχει ξ f λ+ ) fλ) λ,λ+ ) R µε f ξ) = λ+ λ. Οπότε, ) f ξ) που ισχύει λόγω του προηγούµενου ερωτήµατος. 4 Εστω τα σηµεία επαφής Ax,fx )), Bx,gx )). Η εξίσωση της εφαπτοµένης ε της C f στο Α έχει εξίσωση ε ) : y = f x ) x x f x )+fx ) η εξίσωση της εφαπτοµένης ε της C g στο Β έχει εξίσωση ε ) : y = g x ) x x g x )+gx ) Για να ταυτίζονται οι ευθείες ε και ε πρέπει { f x ) = g x ) x f x )+fx ) = x g x )+gx ) ) Οµως, από προηγούµενο ερώτηµα έχουµε ότι f x ) και g x ) = 3x. Οπότε αναγκαστικά πρέπει f x ) = g x ) =. Επίσης, Άρα, η σχέση ) γίνεται g x ) = 3x = x = 0. ) x +fx ) = x )lnx x +) x ++x = x )lnx x +) = 0 x =. Οπότε, οι γραφικές παραστάσεις των f, g έχουν µοναδική κοινή εφαπτοµένη µε σηµεία επαφής A,), B0,) αντίστοιχα, η οποία έχει εξίσωση y = x+. 6