Κανάρη 6, Δάφνη Τηλ 9794 & 976976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 4 Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α α) Σ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ B Β Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως ρητή, με ( x) = = x ( x + ) ( x + ) Προφανώς ( x) > για κάθε x και () =, επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε είναι - και αντιστρέφεται D = = x x = + = lim, lim (, ) x x + ( x) x ( x) ( x) ( x) x x και () = = () Οπότε η C τέμνει την ευθεία y= x για x = και βρίσκεται πάνω από την y= x για κάθε x > Επομένως κάθε x > έχουμε ( x) > x και x> ( x), άρα ( x) ( x) η C βρίσκεται κάτω από την C για κάθε x > Β Προφανώς () = και () = Οπότε η εφαπτομένη της C στο σημείο (,) έχει εξίσωση y () = ()( x) y=, δηλαδή είναι ο άξονας xx Β4 Απ το Β έχουμε ότι () = και ( x) > x για κάθε x > Επίσης Β ( x) < x ( x) < ( x) ( x) > x x< >, δηλαδή
Συνεπώς η C τέμνει την ευθεία y= xμόνο για x = και βρίσκεται πάνω από την y= x για κάθε x > E = x x dx = x dx xdx = x dx 8 Έστω Θέτουμε ( ) I ( x) dx = ( x) = u x= ( u), οπότε dx = ( u) du Για x = : () = u u = : x = : = u ( u) = u = Επομένως u u + uu I = u ( u) du = [ u ( u) ] u du = du du = = u + u + uu ( + ) u u u = = + = u + u + Άρα du u du n( u ) n E = n 8 τμ ΘΕΜΑ Γ Γ Η είναι κυρτή στο, οπότε η είναι γνησίως αύξουσα και () = x< ( x) < () = και x> ( x) > () = Η είναι κυρτή στο, οπότε είναι συνεχής στο Επομένως η είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Για κάθε x (,] έχουμε x ( x) () και για κάθε x [, ) x ( x) () Άρα η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x = Γ Η είναι κυρτή στο, οπότε η δηλαδή ισχύει ( x) y ( x) (x) για κάθε x Για το δοσμένο εμβαδόν έχουμε: + έχουμε C βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της (ε), E= ( x) (x ) dx= ( x) dx (x ) dx= = ( x) dx Όμως 8 8 4 E= x dx = x dx = Γ i) Η είναι συνεχής στο, οπότε έχει παράγουσα στο Έστω F μια παράγουσα της στο Τότε έχουμε: 4 ( x) d x= F() F() F() F() =
Για την F προφανώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο [,], οπότε υπάρχει ένα F() F() 7 τουλάχιστον x (,) τέτοιο ώστε F ( x) = ( x) = ii) Η ευθεία ( ε ): y= x εφάπτεται στη γραφική παράσταση της στο σημείο, οπότε () = λ = (, ()) ε < < () < () < () () < < () < x < () < ( x) < () () < ( x) < () ( x) () + () : () < ( x) < 4 () < < Γ4 Είναι ( x ) ( t ) dt = ( x ) ( x ) + 4 x ( x ) ( t) dt ( x ) ( x) 4 + x = Θέτουμε g( x) = ( x ) ( t) dt ( x ) ( x) 4 + x, x Η g είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών g() = () = () () <, γιατί: η ευθεία ( ε ): y= x εφάπτεται στη γραφική παράσταση της στο σημείο, οπότε () = y = και (, ()) η είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), οπότε < () < () g() = ( t) dt >, γιατί: C βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της (ε), δηλαδή t για κάθε t και η ισότητα ισχύει μόνο για t =, οπότε η είναι κυρτή στο, οπότε η ισχύει (t) ( t ) dt > ( t ) dt = Από το Θ Bolzano έχουμε ότι η εξίσωση g( x ) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) ΘΕΜΑ Δ Δ Η συνάρτηση ( x ) ( x) + είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως γινόμενο συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων (η είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη) Για κάθε x έχουμε: ( x + ) ( x) = x ( x) ( x + ) ( x) + x ( x) = x + x = x x + x = x+ c () ( ) ( )
H γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων οπότε () = x = η () δίνει: () = c c= Επομένως Για x + = = x + x + ( x ) ( x) x ( x) Δ Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως ρητή, με Εύκολα προσδιορίζουμε τον πίνακα προσήμων της : x - + ( x) + x ( x) = = ( x + ) ( ) Οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και στο [, + ), ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο [,] ((, ] ) = ( ), lim ( x) ) = [,) x [,] = ( ), () = [,] και [ ] ( [, + ) = lim ( x), () = (,] x + = Άρα [,] Παρατηρούμε ότι για κάθε λ (,) έχουμε: λ ((, ] ), οπότε η εξίσωση ( x) = λ δεν έχει ρίζα στο (, ] λ ([,] ) και η είναι γνησίως αύξουσα στο [,] έχει ακριβώς μία ρίζα στο [,] λ ([, + )) και η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) ( x) = λ έχει ακριβώς μία ρίζα στο [, + ) Επίσης () = λ Άρα η εξίσωση ( x) = λ έχει ακριβώς δύο ρίζες στο Δ Για κάθε x ισχύει gx g() εσωτερικό σημείο κ = g () =, οπότε η εξίσωση ( x) + οπότε η εξίσωση, δηλαδή η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο, στο οποίο είναι παραγωγίσιμη Από το Θ Fermat έχουμε Ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ Rolle για την g στο [,], οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x (,) τέτοιο ώστε g ( x) = Ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘMT για την g στο [, ], οπότε υπάρχει ένα g () g () τουλάχιστον x (, ) τέτοιο ώστε g ( x ) = = g () = λ
Έστω ότι η g είναι γνησίως αύξουσα, τότε: g x < x g ( x ) < g ( x ) <g () g () < ΑΤΟΠΟ Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο Η g είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο και η g έχει μοναδική ρίζα το x, αφού g ( x ) = και η g είναι γνησίως μονότονη (φθίνουσα) στο Επίσης g x< x g ( x) > g ( x ) = και g x> x g ( x) < g ( x ) = Επίσης η g είναι συνεχής στο (, x] και στο [, ) Επομένως η g είναι κυρτή στο (, x] και κοίλη στο η C g έχει σημείο καμπής το (, ( ) ) Δ4 Απ το Δ Έχουμε ότι ((,)) (,) x + ως παραγωγίσιμη [ x, + ) Επίσης A x x, το οποίο είναι μοναδικό = και [, + ) = (,] Επίσης x (,) Οπότε η εξίσωση ( x) = x έχει δύο ρίζες, μία στο (,) και μία στο [, + ) Δηλαδή υπάρχει ένα ρ (,) τέτοιο ώστε ( ρ ) = x και ένα ρ [, + ) ( ρ ) = x τέτοιο ώστε Για x = ρ και για x ρ προφανώς αληθεύει β Δ5 [ ] = η εξίσωση g( ( x) ) g( x ) = g ( x )( ( x) x ) β g ( x) dx < g ( x) < g ( β) g ( α) < α α Από τα προηγούμενα ερωτήματα έχουμε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, x] και γνησίως φθίνουσα στο [ x, + ) a (, x ) οπότε a > g ( a) > g () = g () g g β (, ) οπότε β > g ( β) < g () Άρα g ( β) < g () < g ( α) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΒΑΓΕΝΑΣ ΘΟΔΩΡΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΪΣΚΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΚΛΑΥΔΙΑΝΟΣ ΔΙΟΝΥΣΗΣ ΛΑΜΠΡΟΠΟΥΛΟΥ ΓΙΟΥΛΗ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ