Ιουνίου 08 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων Εσπερινών Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α. α) Ψευδής β), 0 f, 0 Βλέπε σχήμα στο σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Στο,0 f είναι γνησίως αύξουσα, άρα - Στο 0, f είναι γνησίως φθίνουσα, άρα - Αν,0, 0, τότε 0, 0, άρα f 0, f 0, οπότε f f Άρα η f είναι - στο,0 0, Όμως η f δεν είναι γνησίως μονότονη στο αφου είναι γνησίως αύξουσα στο,0 και γνησίως φθίνουσα στο 0,. Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. α) Λάθος β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Σωστό
ΘΕΜΑ Β Β. f α 6, α α, Αφού η f είναι συνεχής, είναι συνεχής και στο οπότε lim f lim f f () lim f lim α α 9 α α 9 9 α α 0 () f 6α 6 6 α () (),(),() 0 6 α α 0 α Β. Για α 6, f, Στο, η f παραγωγίζεται ως πράξη βασικών παραγωγίσιμων με f Στο, η f παραγωγίζεται ως πράξη βασικών παραγωγίσιμων με f Ελέγχω αν παραγωγίζεται στο :, f f 6 () f () f lim lim (), f f () f () f lim lim () (),() f Τελικά η f είναι παραγωγίσιμη στο.
Β. Για f f, και Οπότε f 0, στο,, άρα και στο,επιπλέον f συνεχής στο άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,. ΘΕΜΑ Γ f, 0 Γ. f παραγωγίσιμη στο - 0 ως ρητή, με: 8 8 f f 0 8 0 8 8 f 0 0 8 0 - - + 8 - + + f + - + f f συνεχής στο, f στο, f 0 στο, f συνεχής στο,0 f στο, 0 f 0 στο,0-0 f συνεχής στο 0, f στο0, f 0 στο 0, f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο o, f
Γ. Για κατακόρυφη ασύμπτωτη στο o = 0 lim 0 0 lim f lim 0 0 lim 0 ί και lim f 0 Άρα η C f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία = 0, δηλαδή τον άξονα yy. Για πλάγια/οριζόντια στο και στο lim lim lim lim f lim 0 lim f lim lim 0 β f ί : lim και lim f 0 Άρα η C έχει πλάγια ασύμπτωτη και στο και στο + την ευθεία: y f f Γ. άρα 8 f () 6 f άρα f () 8 Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο () y f f y y Γ. () lim 0 Αφού η f είναι συνεχής στο επομένως lim f f,f είναι: * lim f f 0, είναι συνεχής επομένως και στο οπότε * Η f είναι παραγωγίσιμη στο άρα παραγωγίσιμη και στο οπότε f f f lim lim f lim lim f f f f lim ()
ΘΕΜΑ Δ Δ. φού με το σχήμα μήκους m φτιάχνω τετράγωνο, η πλευρά του είναι m και το εμβαδόν του είναι Ε m 6 To σύρμα έχει μήκος 8 m άρα με σύρμα μήκους 8 m φτιάχνω τον κύκλο, άρα 8 μήκος κύκλου πr 8 r m π 8 8 8 Ο κύκλος έχει εμβαδόν Ε π r π π m π π π 0 0 Πρέπει: 0 8 8 0 8 To άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων είναι: 8 π 8 π 6 6 Ε Ε Ε 6 π 6π 6π π 6 6 π 6 56, 0,8 6π 6π 5
Δ. π 6 56 Ε, 0,8 6π Ε π 6 56 π 6 π 6π 6π 8π Ε 0 π 0 π 8π π Δηλαδή Ε 0,8 και Ε 0 0, π π Άρα η Ε() παρουσιάζει ελάχιστο όταν π 8 8 8 π 8π 8 Επειδή r r διάμετρος π π π π π π 8 πλευρά του τετραγώνου είναι: π π, r Άρα το Ε ελαχιστοποιείται όταν η διάμετρος r ισούται με την πλευρά του τετραγώνου Δ. Αρκεί να αποδείξω ότι υπάρχει μοναδικό 0,8 με 0 E - + E o o 5 Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα μεταβολών για την Ε έχουμε: Ε γνησίως φθίνουσα στο Δ 0, π Ε m ελάχιστο π m 8 6
π 6 56 6 lim Ε lim 5 0 0 6π π 6 άρα το σύνολο τιμών Ε m, π () γνησίως αύξουσα στο Δ,8 π π 6 56 π 6 68 56 lim Ε lim 8 8 6π 6π 6π 6 86 56 6π άρα το σύνολο τιμών Ε m, Επειδή 5 m,,δεν υπάρχει τέτοιο ώστε 5 o o 6 6 πειδή 5, το 5 m,, η Ε γνησίως φθίνουσα στο Δ 0, π π π άρα, οπότε υπάρχει μοναδικός αριθμός ο 0, 0,8 π τέτοιο ώστε Ε 5 ο 7