ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης.
ΔΕΚΑΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση. Έστω f συνεχής στο διάστημα I και έστω ότι ισχύει f() για κάθε I. Αν η f 2 είναι παραγωγίσιμη στο I, αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο I. Λύση: Επειδή η f είναι συνεχής στο διάστημα I και ισχύει f() για κάθε I, συνεπάγεται ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο I. Άρα για κάθε, I με μπορούμε να γράψουμε και άρα f() f( ) lim f() f( ) = f()2 f( ) 2 f() + f( ) = lim f() 2 f( ) 2 Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο και f ( ) = (f 2 ) ( ) 2f( ). lim f() + f( ) = (f 2 ) ( ) 2f( ). Άσκηση 7.2.9. Έστω f ολοκληρώσιμη στο [, b] και έστω ότι ισχύει f() για κάθε [, b]. Αν b f =, αποδείξτε, χρησιμοποιώντας το Θεμελιώδες Θεώρημα, ότι ισχύει f() = για κάθε σημείο συνέχειας της f. Λύση: Θεωρούμε το αόριστο ολοκλήρωμα με τύπο F () = f για κάθε [, b]. Έστω < 2 b. Τότε, επειδή ισχύει f() για κάθε [, 2 ], συνεπάγεται 2 f, οπότε F ( 2 ) = 2 f = Άρα η F είναι αύξουσα στο [, b]. Τώρα, επειδή f + 2 F () =, F (b) = f b συνεπάγεται ότι η F είναι σταθερή στο [, b]. Άρα ισχύει f() = F () = για κάθε [, b] στο οποίο η f είναι συνεχής. f =, f = F ( ). Άσκηση 7.2.. Έστω f παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ] έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο [, ] και έστω f() =. Θεωρήστε την συνάρτηση με τύπο g() = f() 2, αν <, αν = (i) Αποδείξτε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο [, ]. 2
(ii) Να συγκρίνετε τις παραγώγους των g() και (f ) 2. (iii) Αποδείξτε ότι ισχύει f() 2 (f ) 2 για κάθε [, ]. () (iv) Αν f() 2 = (f ) 2, αποδείξτε ότι υπάρχει σταθερά c ώστε να ισχύει f() = c για κάθε [, ]. (v) Αν f() 2 [, ]. = (f ) 2 και f () = 2, αποδείξτε ότι ισχύει f() = 2 για κάθε Λύση: (i) Για (, ] έχουμε Για =, έχουμε g g() g() () = lim + g () = 2f()f () f() 2 2. f() 2 ( = lim = + 2 lim + Άρα η g είναι παραγωγίσιμη στο [, ] και 2f()f () f() 2 g, αν < () = 2 f () 2, αν = (ii) Γράφουμε τις διαδοχικές ισοδύναμες σχέσεις: ( ) g () (f ) 2 g () f () 2. f() f() ) 2 = f () 2. Η τελευταία σχέση ισχύει, προφανώς, ως ισότητα για =, ενώ για (, ] είναι ισοδύναμη με τις διαδοχικές ισοδύναμες σχέσεις 2f()f () f() 2 2 f () 2 2f()f () f() 2 2 f () 2 (f () f()) 2. Η τελευταία ανισότητα είναι σωστή, οπότε ισχύει ( ) g () (f ) 2 για κάθε [, ]. (iii) Η () είναι σωστή ως ισότητα για = και για (, ] γράφεται ισοδύναμα g() 3 (f ) 2.
Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο h() = Τότε, βάσει του (ii), ισχύει (f ) 2 g() για κάθε [, ]. h () για κάθε [, ]. Άρα η h είναι αύξουσα στο [, ], οπότε ισχύει h() h() = για κάθε (, ]. Άρα η () είναι σωστή και για (, ]. (iv) Αν f() 2 = (f ) 2, τότε είναι h() =. Τώρα, επειδή η h είναι αύξουσα στο [, ] και h() = h() =, συνεπάγεται ότι η h είναι σταθερή στο [, ]. Άρα ισχύει Παραγωγίζοντας, βρίσκουμε ότι ισχύει (f ) 2 g() = h() = για κάθε [, ]. f () 2 = g () για κάθε [, ]. Για (, ] έχουμε τις διαδοχικές ισοδύναμες σχέσεις f () 2 = 2f()f () f() 2 2 (f () f()) 2 = f () f() = ( f() ) =. Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε να ισχύει και, επομένως, f() f() = c = c για κάθε (, ] για κάθε (, ]. Το τελευταίο ισχύει ούτως ή άλλως και για =, όποια κι αν είναι η σταθερά c. (v) Συγκρίνοντας τις παραγώγους των δυο πλευρών της τελευταίας σχέσης για =, βρίσκουμε ότι c = f () = 2. 4
Για κάθε φυσικό n θεωρούμε μια αντίστοιχη συνάρτηση. Θεωρούμε, επίσης, ότι όλες αυτές οι συναρτήσεις f, f 2, f 3,...,,... είναι ορισμένες στο ίδιο πεδίο ορισμού A. Οι συναρτήσεις αυτές σχηματίζουν μια ακολουθία συναρτήσεων ( ). Θεωρούμε και μια συνάρτηση f ορισμένη, επίσης, στο κοινό πεδίο ορισμού A. Τώρα, λέμε ότι η ( ) συγκλίνει στην f κατά σημείο στο A και συμβολίζουμε f στο A αν για κάθε A η ακολουθία αριθμών ( ()) συγκλίνει στον αριθμό f(), δηλαδή αν () f() (όταν n + ) για κάθε A. Όταν, λοιπόν, έχουμε μια ακολουθία συναρτήσεων ( ) και μια συνάρτηση f, όπου όλες οι συναρτήσεις είναι ορισμένες στο ίδιο σύνολο A, και θέλουμε να δούμε αν η ( ) συγκλίνει στην f κατά σημείο στο A, τότε παίρνουμε το τυχόν A και βλέπουμε αν, με σταθερό, ισχύει () f() (καθώς n + ). Μερικές φορές δίνεται η ακολουθία ( ) αλλά όχι η οριακή συνάρτηση f. Τότε αναζητούμε την f για την οποία θέλουμε να ισχύει ότι η ( ) συγκλίνει στην f κατά σημείο στο A. Αυτό γίνεται ως εξής. Πάλι παίρνουμε το τυχόν A και βλέπουμε αν, με σταθερό, η ακολουθία αριθμών ( ()) συγκλίνει σε κάποιον αριθμό. Αν αυτό ισχύει, τότε θέτουμε f() = lim (). n + Αυτό το κάνουμε για κάθε A και έτσι σε κάθε A αντιστοιχεί ένας αριθμός f(), οπότε ορίζεται μια συνάρτηση f : A R. Τώρα, από τον τρόπο που έχει οριστεί αυτή η f είναι προφανές ότι ισχύει () f() για κάθε A και, επομένως, ότι η ( ) συγκλίνει στην f κατά σημείο στο A. Παράδειγμα. Θεωρούμε για κάθε n την συνάρτηση με πεδίο ορισμού R και με τύπο () = για κάθε. n Δηλαδή, f () =, f 2 () = 2, f 3() = 3,..., () = n,.... Τότε, με τυχόν αλλά σταθερό, έχουμε το όριο () = n (όταν n + ). Αν, λοιπόν, θεωρήσουμε την σταθερή συνάρτηση, τότε στο R. Παράδειγμα. Θεωρούμε για κάθε n την συνάρτηση με πεδίο ορισμού (, + ) και με τύπο () = για κάθε >. + n Δηλαδή, f () = +, f 2() = + 2, f 3() = + 3,..., () = + n,.... 5
Με τυχόν αλλά σταθερό, έχουμε το όριο Άρα () = + n (όταν n + ). στο (, + ). Παράδειγμα. Θεωρούμε για κάθε n την συνάρτηση με πεδίο ορισμού [, ] και με τύπο () = n για κάθε [, ]. Δηλαδή, f () =, f 2 () = 2, f 3 () = 3,..., () = n,.... Με τυχόν αλλά σταθερό, έχουμε το όριο () = n, αν <, αν = (όταν n + ). Άρα f στο [, ], όπου f είναι η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [, ] και με τύπο, αν < f() =, αν = 6