ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 IOYNIOY 019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΟΜΑ Α ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ «ΕΞΕΛΙΞΗ» ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 8 Α. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 9 Α3. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. S 11, 7, κ, 13, 11, 10 7, 10, 11, 11, 13, κ κ > 0 S + S S CV CV 10 10 10 κι αφού όλες οι τιμές είναι θετικές, > 0 οπότε έχουμε 10 7 10 11 11 13 κ κ Β. 6 10 κ 60 κ 8 6 10 Β3. Αφού κ 8, οι παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά είναι: 7, 8, 10, 11, 11, 13 v t Επομένως αφού ν 6, 3 και δ 3 t 10 11 1 10, R ma min 13 7 6 και B. Έστω y i i, i 1,,, 6 1 Κεντρικό ιδακτήριο: Βασ. Αμαλίας 1 & Μιλτιάδου, Πλατεία ΗΣΑΠ Αμαρουσίου, 11 Μαρούσι τηλ.-fa: 10 80860, 10 6191 www.eelii.edu.gr info@ekpedefsi.gr
Τότε από βασική εφαρμογή σχολικού βιβλίου σελ. 99 έχουμε y 10 8 S y S S y 1 Επομένως CV y 0, 0, 1 ανομοιογενές δείγμα. y 8 ΘΕΜΑ Γ f() 10, 1 Γ1. Η f είναι παραγωγίσιμη με f () ( 10) 10 f () 10 ( 1) 10 1 10 1 Γ. Λύνουμε την εξίσωση f () 0 0 10 1 f () > 0 0 10 10 0 > 1 10 0 1 0 1 Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f, φαίνονται στον παρακάτω μεταβολών - 1 + f + f f γνησίως φθίνουσα στο (-, 1] f γνησίως αύξουσα στο [1, + ) Άρα η f εμφανίζει ολικό ελάχιστο στο 0 1, το f(1) 1 10 9 3, επομένως f() f(1) 3. Γ3. Η εξίσωση εφαπτομένης ευθείας της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(, f()) είναι της μορφής (ε): y λ + β, όπου λ f () f() 10 Συνεπώς y + β 1 10 και Κεντρικό ιδακτήριο: Βασ. Αμαλίας 1 & Μιλτιάδου, Πλατεία ΗΣΑΠ Αμαρουσίου, 11 Μαρούσι τηλ.-fa: 10 80860, 10 6191 www.eelii.edu.gr info@ekpedefsi.gr
Το σημείο Μ(, ) ανήκει στην επαληθεύουν: εφαπτομένη ευθεία, άρα οι συντεταγμένες του την + β + β β 1 Τελικά η εξίσωση εφαπτόμενης ευθείας είναι (ε): y + 1. Γ. Για να βρούμε τα σημεία τομής της εφαπτομένης (ε) με τους άξονες: για τον ' θέτουμε y 0 + 1 0 + 0 Α(, 0) για τον y'y θέτουμε 0, επομένως y 0 + 1 y 1, οπότε Β(0, 1)., επομένως ΘΕΜΑ f: f() 3 3 + λ, λ 1. Για λ 3, f() 3 3 + 3, H f είναι παραγωγίσιμη στο με: f () 3 6 + 3 f () 0 3 6 + 3 0 f () > 0 1 30 + 1 0 ( 1) 0 1 (διπλή ρίζα) Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα μεταβολών: f γνησίως αύξουσα στο (-, 1] f γνησίως αύξουσα στο [1, + ) f συνεχής στο 0 1-1 + f f + + Άρα η f είναι στο κι επομένως η f δεν παρουσιάζει ακρότατα Αφού 8 3 < 6 και f τότε f( 8 3 ) < f( 6 ) 3 Κεντρικό ιδακτήριο: Βασ. Αμαλίας 1 & Μιλτιάδου, Πλατεία ΗΣΑΠ Αμαρουσίου, 11 Μαρούσι τηλ.-fa: 10 80860, 10 6191 www.eelii.edu.gr info@ekpedefsi.gr
. Για λ 3, f () 3 6 + 3, οπότε f() 1 ( 1)( ) 1 3 ( 1)( ) [ ( 1)( ) 1 ] 0 1 (3 6 + 3) 0 Με «κοντά» στο 0 1, έχουμε: ( 3 6 3 3( 1)( 1)( 1) 3( 1)( 1)( 1) 3( 1) 1)( 1) ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1) Επομένως f() 1 ( 1)( ) 1 3( 1) 3(1 1) 6 1 3. Έστω Μ(, f()) το σημείο στο οποίο η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης. Τότε λ f () 3 6 + 3. Ζητώ το σημείο στο οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο. Είναι f () 6 6 f () 0 6 6 0 6 6 1 Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα μεταβολών. f γνησίως φθίνουσα στο (-, 1] f γνησίως αύξουσα στο [1, + ) - 1 + f + f Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0 1, επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το Μ(1, f(1)) ή M(1, 1). f() 3 3 + λ, λ f () 3 6 + λ Για να μην παρουσιάζει ακρότατο η f, θα πρέπει η f να μην έχει δύο άνισες ρίζες κι επομένως θα πρέπει 0. Είναι β αγ (6) 3λ 36 1λ. Κεντρικό ιδακτήριο: Βασ. Αμαλίας 1 & Μιλτιάδου, Πλατεία ΗΣΑΠ Αμαρουσίου, 11 Μαρούσι τηλ.-fa: 10 80860, 10 6191 www.eelii.edu.gr info@ekpedefsi.gr
Θα πρέπει 0 36 1λ 0 1λ 36 λ τιμή είναι λ 3. 36 1 λ 3, άρα η ελάχιστη Κεντρικό ιδακτήριο: Βασ. Αμαλίας 1 & Μιλτιάδου, Πλατεία ΗΣΑΠ Αμαρουσίου, 11 Μαρούσι τηλ.-fa: 10 80860, 10 6191 www.eelii.edu.gr info@ekpedefsi.gr