http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις 4ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 008-009: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση. i Πρέπει αρχικά να είναι συνεχής στο x : - f( x + f( x > - 3 x + x + x > 3 3 Αληθές Πρέπει επίσης οι πλευρικές παράγωγοι να είναι ίσες στο x : f - ( f + ( > 3 x x + x x > 3 3 Αληθές
Άρα η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο x και η παράγωγός της είναι f ( 3 Άσκηση. ii α f( x x x ( 3 lnx( x > f( x x ( 3/ ( 3 ln( x > f ( x ( x ( / ( 3 ln( x + x ( 3/ ( 3 ln( x 3 3 x ( 3/ { } ( 3 ln( x + x ( 3/ 3 { 0 } x 3 x { } ( 3 ln( x + x ( 3/ 3 { } x > f 3 ( x x ( 3 ln( x + 3 x Άσκηση. ii β f( x sin( x sin( x f ( x ( sin( x sin( x sin( x sin( x sin( x
sin( x sin( x sin( x sin( x cos( x ( sin( x x [ sin( x cos( x ] sin( x sin( x cos( x x sin( x [ sin( x ] sin( x sin( x cos( x x sin( x > f ( x sin( x ( sin x sin( x cos( x x sin( x όπου χρησιµοποιήσαµε την ταυτότητα: sin( a sin( a cos( a Επίσης χρησιµοποιούµε την σύµβαση: sin( a sin ( α Άσκηση. ii γ f( x ln ( x + x + Έστω ότι f( x ln ( u( x, µε u( x x + x + άρα από τον κανόνα σύνθετης παραγώγισης: f ( x u ( x u( x ( 3
u ( x [ x + x + ] x + ( x + άρα από τον κανόνα σύνθετης παραγώγισης: ( g( x g ( x g( x > u ( x + x x + > u ( x x + x + x + ( Από την ( η ( δίνει: f ( x x + Άσκηση. ii δ f( x e sin( x 3 Aπό τον κανόνα σύνθετης παραγώγισης: ( e g( x e g( x g ( x 4
f ( x sin( x 3 e ( sin( x 3 Aπό τον κανόνα σύνθετης παραγώγισης: ( u( x n n u( x ( n u ( x f sin( x 3 ( x e sin( x 3 sin( x 3 sin( x 3 e sin( x 3 cos( x 3 ( x 3 sin( x 3 6 e sin( x 3 cos( x 3 x > f ( x 3 x sin( x 3 e sin( x 3 όπου χρησιµοποιήσαµε την ταυτότητα: sin( a sin( a cos( a Επίσης χρησιµοποιούµε την σύµβαση: sin( x 3 sin ( x 3 Άσκηση. iii Έστω η συνάρτηση f µε f ( x ln( x ορισµένη στο [, e ] Η f είναι συνεχής στο [, e ] 5
Η f είναι παραγωγίσιµη στο (, e µε f ( x x άρα από το θεώρηµα µέσης τιµής τουν διαφορικού λογισµού υπάρχει ξ (,e τέτοιο ώστε: f( e f( e f ( ξ > f( e f( f ( ξ ( e > ln( e ξ Όµως ισχύει: < ξ < e > /e < /ξ < / > (e- / e < (e- / ξ < (e- / > - / e < (e- / ξ < e / - - / e < - ln < e / - > - e / + < - + ln < / e - > - e / + < - + ln < + / e - > - e / < ln < / e http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις 4ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 008-009: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση. i f( x x x 6
> f( x e ( x ln( x Aπό τον κανόνα σύνθετης παραγώγισης: ( e g( x e g( x g ( x f ( x e ( x ln( x ( x ln( x e ( x ln( x ( x ln( x + x ln( x e ( x ln( x ( ln( x + > f ( x x x ( ln( x + Άσκηση. ii α x + x + sin( x e x + x Με εφαρµογή του κανόνα L Hospital έχουµε: x + x + sin( x e x + x ( x + x + sin( x ( + e x x ( x + x + sin( x ( e x + x 7
x+ + cos( x e x + Με εφαρµογή πάλι του κανόνα L Hospital έχουµε: ( x+ + cos( x ( + e x sin( x e x Όµως έχουµε ότι: - < -sinx < > - < -sinx < + > < - sin(x < 3 > > e x sin( x, e x 3 e x κι επειδή: 0 e x συµπεραίνουµε ότι και: sin( x 0 e x > x + x + sin( x e x + x 0 Άσκηση. ii β 8
- x x x ln( x x+ x x x ln( x x+ Με εφαρµογή του κανόνα L Hospital έχουµε: x x x ln( x x+ ( x x x ( ln( x x+ ( x x x ( ln( x x + x x ( ln( x + x Με εφαρµογή πάλι του κανόνα L Hospital έχουµε: ( x x ( ln( x + + x x ( ln( x + x x x ( ln( x + x x + x x > x x x ln( x x+ x x ( ln( x + x x + x x 9
> x x x ln( x x+ ( ln ( + + > x x x ln( x x+ - Άσκηση. ii γ f( x sin( x x > ln ( f( x ln ( sin( x x > ln ( f( x x ln ( sin( x Από τον κανόνα σύνθετης παραγώγισης: ln ( g( x g ( x g( x βρίσκουµε ότι: ln ( f( x ( x ln ( sin( x > 0
f ( x f( x ( x ln ( sin( x > f ( x f( x x ln ( sin( x + x ln ( sin( x > f ( x f( x ln ( sin( x + x cos( x sin( x > f ( x f( x ln ( sin( x + x cos( x sin( x > f ( x sin( x x ln ( sin( x + x cos( x sin( x > f ( x sin( x x ln ( sin( x + sin( x x x cos( x sin( x > f ( x sin( x x ln ( sin( x + sin( x ( x x cos( x Επίσης χρησιµοποιούµε την σύµβαση: sin( x x (sin(x x sin( x ( x (sin(x ( x
Άσκηση. iii A A c b B 60 o a C C Έστω ότι µετά από χρόνο t το αυτοκίνητο είναι στην θέση A ενώ το τρένο είναι στη θέση C. Επειδή έχουν διανύσει αντίστοιχα: AA 80 t CC 50 t αν ονοµάσουµε: a BC > a 00 80 t b A C c BΑ > c 5 50 t τότε ο νόµος συνηµιτόνων µε κορυφή το Β στο τρίγωνο A BC γράφεται:
b c + a c a cos( B > b ( 5 50 t + ( 00 80 t ( 5 50 t ( 00 80 t cos π 3 > b ( 5 50 t + ( 00 80 t ( 5 50 t ( 00 80 t > b 4900 t 4500 t+ 3065 a 4900 β -4500 γ 3065 β 4 aγ > 0 άρα οι ρίζες είναι: β + - t, a 5 t 5 t Συνεπώς το τριώνυµο γράφεται: 3
b 4900 5 t Το οποίο προφανώς έχει ελάχιστο όταν: 5 t t.5 h 5 ηλαδή έχουµε ελάχιστο b 0 για t t.5 h Που σηµαίνει ότι δεν υπάρχει πλέον τρίγωνο δηλ. το Α ταυτίζεται µε το Α και το C ταυτίζεται µε το C Πράγµατι αντικαθιστώντας τον χρόνο στις πλευρές c και α βρίσκουµε : a 00 80 t c 5 50 t 5 t > a 0 c 0 Oι πλευρές ΒC και BC ταυτίζονται. Το ίδιο και οι πλευρές AA και AB Συνεπώς η ελάχιστη απόσταση τότε είναι η πλευρά BC 5 Km http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις 4ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 008-009: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. 4
Άσκηση 3. i f( x x ( x 3 Υπολογίζουµε την πρώτη παράγωγο: f ( x x ( x 3 + x {( x 3 } ( x 3 + x ( x 3 ( x 3 ( x 3 ( x + (x - 3 ( x 3 ( 3 x 3 > f ( x 3 ( x ( x 3 Άρα η πρώτη παράγωγος θα είναι θετική κι εποµένως η συνάρτηση θα είναι αύξουσα, όταν: x < ή x > 3 Επίσης η πρώτη παράγωγος θα είναι αρνητική κι εποµένως η συνάρτηση θα είναι φθίνουσα, όταν: < x < 3 Άσκηση 3. ii Βρίσκουµε τα τοπικά ακρότατα: 5
f ( x 0 <> 3 ( x ( x 3 0 <> x x 3 Υπολογίζουµε την δεύτερη παράγωγο: f ( x 6 x f ( -6 < 0 άρα έχουµε τοπικό µέγιστο όταν x το οποίο είναι ίσο µε f ( 4 f ( 3 6 > 0 άρα έχουµε τοπικό ελάχιστο όταν x 3 το οποίο είναι ίσο µε f (3 0 Άσκηση 3. iii Βρίσκουµε τα διαστήµατα που στρέφει τα κοίλα άνω ή κάτω: Στρέφει τα κοίλα άνω όταν f ( x > 0 <> 0 < 6 x <> 6
< 6 x <> < x Στρέφει τα κοίλα κάτω όταν f ( x < 0 <> 6 x< <> 6 x< <> x< Άσκηση 3. iv Βρίσκουµε τα σηµεία καµπής: f ( x 0 <> 6 x 0 <> 6 x <> 7
x Άσκηση 3. v Βρίσκουµε τις ρίζες της συνάρτησης: f( x 0 <> x ( x 3 0 <> x 0 x 3 Επίσης για x 0 έχουµε: f( 0 0 άρα τέµνει τον άξονα x στα σηµεία (0,0, (3,0 και τον άξονα y στο σηµείο (0,0 Άσκηση 3. vi Υπολογίζουµε αρχικά το όριο: f( x x ( x 3 > 8
f( x x άρα δεν υπάρχουν ασύµπτωτες Άσκηση 3. vii Έχουµε τον ακόλουθο πίνακα: 0 3 f + + + + 0 - - - 0 + + + f - - - - - - 0 + + + + + f 0 4 0 Και την γραφική παράσταση: 9
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις 4ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 008-009: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση 4. i Υπολογίζουµε τις παραγώγους της συνάρτησης: f (x [ x e ( x ] 0
x e ( x + x ( e ( x e ( x x e ( x e ( x ( x > f ( (- e ( x ( x f (x (- ( e ( x ( x + (- e ( x ( x e ( x ( x e ( x e ( x ( x > f ( (- e ( x ( x ηλαδή βλέπουµε ότι ισχύει: f (n ( x (- n e ( x ( x n το οποίο µπορούµε να αποδείξουµε και επαγωγικά: Ισχύει για n, έστω ότι ισχύει για n, τότε παραγωγίζοντας βρίσκουµε: f (n+ ( x (- n ( e ( x ( x n + (- n e ( x ( x n ( - ( n+ e ( x ( x n + (- n e ( x ( - ( n+ e ( x ( x n + (- ( n+ { e ( x }
- ( n+ e ( ( x ( x n > f (n+ ( x ( - ( n + e ( x ( x (n+ δηλ. ισχύει για n +, άρα ισχύει για κάθε n µεγαλύτερο ή ίσο του : Άρα οι παράγωγοι της συνάρτησης υπολογισµένες στο x 0 είναι: f (n (0 ( - n e 0 n > f (n (0 ( - n n µε n,,3... Εποµένως το ανάπτυγµα Taylor στο σηµείο x 0 είναι: f( x f( 0 + f (n (0 x n n! n > x e ( x n ( - n n x n n! > x e ( x x x + x3 6 x4 +...
( > f( 0. x x + x3 6 x4 x 0. > f( 0. 0.637333333 Η πραγµατική τιµή: f( 0. 0.63746506 Άσκηση 4. ii Από την σχέση ( ολοκληρώνοντας βρίσκουµε: x e ( x x x + x3 6 x4 +... > x e ( x dx d x + x x3 6 x4 x > x e ( x dx x dx+ x x 3 dx+ d + x x 4 6 dx Με τον κανόνα ολοκλήρωσης: 3
x ν dx x ( ν+ ν+ x e ( x dx + x 3 x3 8 x4 30 x5 > x e ( x dx + x 3 x3 8 x4 + x 3 x3 8 x4 0 30 x5 x 30 x5 x 0 > x e ( x 3 dx 0 0 > x e ( x dx 0.583333333 0 (3 Άσκηση 4. iii x e ( x d x x ( ex d x x e x e x x dx x e ( x + e ( x dx 4
x e ( x e ( x d(-x x e ( x e ( x > x e ( x dx ( + x e ( x > x e ( x d x ( ( + x e ( x ( ( + x e ( x 0 x x 0 > x e ( x dx e ( + 0 - e 0 > x e ( x dx e ( + 0 - > x e ( x dx 0.64476 0 (4 Από τις (3 και (4 το σφάλµα µας είναι: I Ι προσεγγ. πραγµατ. -0.0059077843 5
δηλ. αρκετά µικρό http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις 4ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 008-009: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση 5. i I ( a x + b x+ c e ( x dx ( a x+ b x + c ( e ( x dx ( a x + b x+ c e ( x x d e( ( a x + b x+ c x ( a x + b x+ c e ( x e ( x ( a x+ b dx ( a x + b x+ c e ( x + e ( x ( a x+ b dx ( a x + b x+ c e ( x + e ( x d + a x x e ( x b d x ( a x + b x+ c e ( x + a e ( x d + x x b e ( x d x ( a x + b x+ c e ( x e ( x b + a e ( x x d x > ( a x + b x+ c e ( x d x ( a x + b x+ c e ( x e ( x b a ( + x e ( x 6
> ( a x + b x+ c e ( x d x ( a x b x c b a ( + x e ( x + c Όπου χρησιµοποιήσαµε το αποτέλεσµα της άσκησης 4 ii Άσκηση 5. ii I dx ( 3 x ( / 3 > I ( 3 x - 3 dx 3 ( 3 x - 3 d( - 3 x 3 ( 3 x 3 - + 3 - + > dx ( 3 x ( / 3 3 { 3 ( 3 x ( / 3 } > 7
( 3 x ( / 3 dx + c ( 3 x ( / 3 Άσκηση 5. iii I 3 x + e ( e x + dx Κάνουµε την αντικατάσταση: e x u > e x dx du > dx du e x > dx du u και έχουµε: 3 x + e ( e x + u 3 + dx d ( u+ u u µε βάση την υπόδειξη: 8
u u+ u du d u + u u d + + u u - d u d u u u u + ln( u > 3 x + e ( e x + dx + ( ex e x ln( e x > 3 x + e ( e x + x dx e x + ln( e x e( 9