4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 8-9 Θέμα A A Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει: g g παραγωγίσιμη στο μονάδες 7 A Να διατυπώσετε το θεώρημα Frmat (Μονάδες ) και να αναφέρετε τη γεωμετρική ερμηνεία του Α Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: Κάθε συνάρτηση που είναι - στο πεδίο ορισμού της είναι και γνησίως μονότονη α Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής (μονάδα ) β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α (μονάδες ) Α4Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) Αν μια συνάρτηση είναι - στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της με την ίδια τεταγμένη β) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεση τους g είναι συνεχής στο γ) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η είναι πάντοτε συνεχής στο g είναι β, τότε ισχύει: γ β δ) Αν η είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α,β,γ Δ d α d d α γ ε) Για κάθε συνάρτηση : που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει για κάθε Θέμα Β Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο κάθε α) Να δείξετε ότι,, για την οποία ισχύει ότι μονάδες 5 d για μονάδες 7 β) Να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της μονάδες 5 γ) Αφού αποδείξετε οι γραφικές παραστάσεις των, δεν τέμνονται στη συνέχεια να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές τους παραστάσεις μονάδες 6 5 7 5 δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης Πόσες από αυτές είναι ακέραιες ; Θέμα Γ Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη και κυρτή στο για κάθε Γ Να αποδείξετε ότι Γ Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 9, για την οποία ισχύει ότι και μονάδες 7 μονάδες 6 μονάδες 5
Έστω ότι επιπλέον για τη συνάρτηση ισχύει ότι για κάθε και Γ Να αποδείξετε ότι, Γ4 Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, την οριζόντια ασύμπτωτή της και τον άξονα y y μονάδες 8 μονάδες 6 Θέμα Δ Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, και έστω F αρχική της με Αν d d, τότε: Δ Να δείξετε ότι Δ Να δείξετε ότι υπάρχει ρ, τέτοιο ώστε ρ ρ ρ F Δ Αν και, να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε Δ4 Αν ορίζεται στο, F η συνάρτηση F, να δείξετε ότι υπάρχει, Δ5 Έστω ότι η F είναι παραγωγίσιμη στο και Αν : α) Να βρείτε την β) Να δείξετε ότι lim F τέτοιο ώστε F F για κάθε μονάδες 5 Στέλιος Μιχαήλογλου
Λύσεις Θέμα A Α Για, ισχύει: ( g) ( g) g g g g Επειδή οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε: g g g g lim lim lim g, Δηλαδή g g Α Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: y Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι στα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, η γραφική της παράσταση δέχεται οριζόντια εφαπτομένη ( ) Α α Ψ β Μια συνάρτηση μπορεί να είναι - χωρίς να είναι γνησίως μονότονη Για παράδειγμα η όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα είναι -, είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα,,,, όμως συνολικά δεν είναι γνησίως φθίνουσα διαστήματα O δ +δ Α4 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ Θέμα Β Β Έστω ότι, τότε d λ λ, οπότε 8 λ d λ λ λ 4 λ λ λ 8 4 λ 9 λ λ 6 4λ λ 9 και 9 Β Είναι για κάθε και - και αντιστρέφεται, άρα y y y y, άρα y y, y, Β Είναι ισχύει(δ<), οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο,, άρα είναι
Επειδή η C βρίσκεται πάνω από τη y, η C βρίσκεται κάτω από την y, οπότε Άρα οι γραφικές παραστάσεις των, δεν τέμνονται Β4 Επειδή η έχει πεδίο ορισμού το, Είναι η σύνθεση ορίζεται στο γιατί 4 5 7 5 5 7 5 4 7 4 (5) φ 7 4, Έστω 4 για κάθε Οι ακέραιες ρίζες της (5) είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου, οπότε πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι:,, 4 4 4 Είναι 4 4 φ 7 4 6, 4 4 φ4 4 4 4 7 4 4 68, φ 74, φ 7 4, Έστω 4, Η α είναι παραγωγίσιμη στο με Είναι φ 7 4 6, φ 4 4 4 4 7 4 4 4 Η είναι η μοναδική ακέραια ρίζα της (5) Από το σχήμα Hornr προκύπτει ότι: - - 7-4 4-4 ρ= - 4 ή Για κάθε, είναι, Για κάθε, είναι, και για κάθε, είναι, Είναι lim lim, lim lim, 6 και Στο διάστημα, lim,,6 η α είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα άρα Επειδή, η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο Στο διάστημα, η α είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα άρα,,6 Επειδή η εξίσωση Στο διάστημα, η α είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα άρα, lim, είναι αδύνατη στο Επειδή η εξίσωση είναι αδύνατη στο Τελικά η (5) έχει λύσεις
Θέμα Γ Γ Έστω g, Η g είναι παραγωγίσιμη στο, με g Επειδή η είναι κυρτή, η είναι γνησίως αύξουσα, οπότε για κάθε g g, άρα και είναι Για κάθε g g είναι Γ Είναι, και είναι και lim Επειδή lim Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο A, A, lim, 9 Επειδή 9 A, έχει σύνολο τιμών το υπάρχει μοναδικό A τέτοιο ώστε Γ Για κάθε είναι c, c,, c,c c, c,, c c, άρα c, Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο είναι παραγωγίσιμη και στο, άρα c lim lim lim lim c, άρα για κάθε, τελικά είναι για κάθε Γ4 και αφού lim lim lim lim DLH ο άξονας, είναι οριζόντια ασύμπτωτη της lim Επειδή lim, η C στο C δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο Θεωρούμε κατακόρυφη ευθεία λ με λ Επειδή η είναι συνεχής στο,,και για κάθε, το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον, την λ και τη είναι:, άρα η y, δηλαδή λ λ E λ λ λ λ λ d d d λ λ λ λ λ λ λ lim λ lim lim λ λ DLH λ Ε Ω lim E λ Είναι λ λ λ Είναι λ lim E λ, άρα λ
Θέμα Δ Δ Επειδή d d οι αριθμοί Επειδή β για κάθε είναι και d, d είναι ετερόσημοι d με α β, οπότε: α - Αν d και d, τότε και - Αν d και d, τότε και, δηλαδή, δηλαδή που ισχύει Δ ρ άτοπο αφού για κάθε ή ρ Επειδή ή ρ, τέτοιο ώστε ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ αδύνατο ή, λόγω του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών υπάρχει Δ H είναι συνεχής στο, άρα παίρνει μέγιστη τιμή στο διάστημα αυτό Αν και τότε η δεν παρουσιάζει μέγιστο στο και στο -, οπότε θα υπάρχει, στο οποίο η θα παρουσιάζει μέγιστο Τότε σύμφωνα με το θεώρημα Frmat είναι Δ4 Θεωρούμε τη συνάρτηση g F,, Η g είναι συνεχής στο, ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων F συναρτήσεων) και Είναι με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει, τέτοιο ώστε g F (σύνθεση συνεχών d d F F gg, οπότε σύμφωνα Δ5α) c F F F F c F c c, c Είναι c β) Η εφαπτομένη της CF στο Είναι, άρα, έχει εξίσωση y F F y F y F F και F για κάθε και επειδή η F είναι συνεχής, είναι κυρτή στο Επειδή η F είναι κυρτή βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της εκτός του σημείου επαφής τους, άρα F F lim F lim lim F Επειδή είναι και