ÚPRAVY VÝRAZOV Algebrický výrz, definičný obor výrzu Počítnie s mnohočlenmi, úprv rcionálnch výrzov, prác s odmocninmi Príkld: Určte definičný obor výrzu: ) 5 b) log Určte definičný obor výrzu zjednodušte ho: ) : b) : Rozložte n súčin lineárnch dvojčlenov v R, resp v C: ) - - b) -- c) -7 e) 8 Riešte v C rovnicu: - -=0 Riešte v R nerovnicu: --<0 Uprvte n výrz bez odmocnin v menovteli: ) 7 7 b) c) Udjte podmienk riešiteľnosti zjednodušte: d) ( ) e) ( ) 5 V rozvoji podľ binomickej vet vpočítjte: ) siedm člen výrzu ( ) 0 i ; b) bsolútn člen výrzu Rozložte dný zlomok n súčet zlomkov s dnými menovteľmi: ( )( ) ; A ; B 7 Pre,b R zjednodušte dný výrz udjte podmienk riešiteľnosti: ( ) 5 7 : 8 Pre,b R zjednodušte dný výrz udjte podmienk riešiteľnosti: ( ) ( ) 5 0,,5 0,5 b b b b
RIEŠENIE ROVNÍC Rovnic, ekvivlentné úprv dôsledkové úprv rovníc, skúšk ko súčsť riešeni Riešenie lineárnej kvdrtickej rovnice, rovníc s neznámou v menovteli, pod odmocninou, v bsolútnej hodnote Príkld : Úprvou n súčinový tvr riešte rovnice v R : ) ( ) = 0 b) 7 = 0 Návod : Jedným z činiteľov je ( - ) Riešte rovnice v R : ) = b) = c) 5 = 9 d) = e) = Riešte v R : ) = b) 9 = c) = d) = Jeden robotník zhotoví súčistku o hodin, druhý o 9 hodín neskôr, ko b ju zhotovili spoločne Z ký čs zhotoví súčistku kždý sám? 5 Nech s, t sú ob korene rovnice = 0 Vpočítjte rcionálne číslo t s Riešte v R : 7 Riešte v N : 7 = 7 = 8 Použitím substitúcie riešte v Z rovnicu : ( ) ( ) = 0 9 Riešte v R : 5 = 0
RIEŠENIE NEROVNÍC Nerovnice, úprv nerovníc Riešenie lineárnch kvdrtických nerovníc Nerovnice s neznámou v bsolútnej hodnote Príkld: V R riešte nerovnice: ) < 0, b) > c) 5 d) < Riešte v R: ) 0 b) ( ) > 5 Určte definičné obor funkcií: c) > 0 d) 5 > 0 ) f: = b) g: = log( ) Určte všetk hodnot k R, pre ktoré je riešením sústv k = k = tká usporidná dvojic čísel,, že pltí: > súčsne > 5 Výpočtom i grfick riešte Riešte v R nerovnice: 7 V ) b) 5 8 < 5 c) > 0 Z 0 riešte: ) 8 Riešte v Z: 5 > > d) 0 e) log( ) > 0 f) 0 b) < < 5 0 ) 5 < b) < c) < 0 9 Ktoré hodnot môže ndobúdť číslo m, k mjú korene rovnice m m = 0 hodnot z intervlu < -;5>?
SÚSTAVY ROVNÍC A NEROVNÍC Sústv rovníc, sústv nerovníc Riešenie sústv rovníc, sústv nerovníc sústv rovníc nerovníc výpočtovým postupom grfick Príkld: 8 8 Riešte v Z: ( ) ( 9 < ) Riešte v R: < 5 < Riešte v R výpočtom j grfick: ) = b) = 5 c) = 5 0,5 =,5 - = -8 = Riešte v N : = 0 5 = 0 5 Riešte v R : ) b) z = z = z = = z = z = Aké dlhé sú strn trojuholník, k súčet vžd dvoch susedných strán je 8,, 7 Riešte grfick v R : > 0 8 Vhodnou substitúciou riešte v R : 5 0,5 = 5 5 0,5 = 9 Riešte v R sústv rovníc: ) log log = 5 log log = log log b) - =77 - / =7 c) = ( ) =
5 ÚLOHY S PARAMETROM Prmeter Riešenie lineárnch kvdrtických rovníc ich sústv s prmetrom Skúmnie funkcií určených prmetrick Slovné prmetrické úloh Príkld: Riešte v R rovnice s prmetrom t : ) t = t b) t = ( ) t t p Riešte v R rovnicu: p = ; - neznám, p - prmeter Riešte v R nerovnice s prmetrom b: ) b b b) ( b) < V R riešte lineárnu nerovnicu s bsolútnou hodnotou: < ( - neznám, je reáln prmeter) 5 Určte všetk tie hodnot prmetr R,pre ktoré je číslo =() riešením rovnice = Vpočítjte, pre ktoré hodnot prmetr R má rovnic ( 0) = 0 dv rôzne reálne korene 7 Riešte v R kvdrtickú rovnicu s prmetrom m: m m m = ( ) 0 8 V R riešte nerovnicu s prmetrom R : ( )( ) 0 9 V R riešte sústvu lineárnch rovníc s prmetrom p R : p = p, p = -p 0 Určte hodnotu prmetr R, pre ktorú dná sústv rovníc nemá riešenie: =5, 5= Určte všetk hodnot prmetr R tké, b priesečník primok p: =, q: = bol vnútorným bodom prvého kvdrntu
FUNKCIE Definíci funkcie, obor grf funkcií Zákldné vlstnosti funkcií monotónnosť, párnosť, nepárnosť, periodicit, ohrničenosť Rcionálne funkcie, lineárn kvdrtická funkci, neprim úmernosť, rcionáln lomená funkci definíci,obor, vlstnosti, grf Príkld: Určte definičné obor funkcií: ) = b) d) = e) = c) = sin f) = = log ( ) g) = log ( ) Dná je funkci p: Nčrtnite grf funkcií : = Určte p() zistite, či H(p) ) f: = ; < - ; 0 ), b) g : = - - ; ( -; ), c) h : = - 7 N záklde grfov určte obor hodnôt dných funkcií Určte dokážte párnosť, resp nepárnosť funkcí : ) = b) g : = 5 Zistite či funkci f : = je rstúc, lebo klesjúc Ak eistuje funkci k funkcii f inverzná, určte ju Dokážte monotónnosť funkcie: ) f: =- b) g: = 7 Všetrite ohrničenosť funkcie f: = 8 Rozhodnite, či funkci f: = 5 je ohrničená n množine <-5,5> Zdôvodnite! 9 Kvdrtická funkci je dná tkto: f(0) = -8, f() = -5, f(-) =- Zostrojte grf určte vlstnosti funkcie f 0 Zostrojte grf určte vlstnosti funkcie g: = Riešte v R nerovnicu 0 výsledok ilustrujte n grfe funkcie g Nčtrnite grf funkcie g : =
7 INVERZNÉ FUNKCIE Pojem inverznej funkcie, vzťh nvzájom inverzných funkcií Eponenciáln logritmická funkci ich definíci, vlstnosti grf Riešenie logritmických eponenciálnch rovníc nerovníc Príkld: Určte inverzné funkcie k funkciám : ) =, ; b) =, 0; ) c) d) = log e) = = 5 Nčrtnite grf funkcií f: =, g: = 0,5 Rozhodnite zdôvodnite, ktoré tvrdeni sú prvdivé:,5 0,7 b ) b) Ak 0,5 0,5, potom b Riešte v R rovnice nerovnice: ) = 8 b) ( 9 ) = ( 9 ) 5 c) = d) 5 = 05 d) 8 Vpočítjte súrdnice všetkých priesečníkov grfov funkcií: f () =, g() = 9 5 Nčrtnite grf funkcií f: = log 0, 5, g: = log Rozhodnite zdôvodnite, ktoré tvrdeni sú prvdivé: ) log, > log 0, 7 b) Ak log k > log h, potom k<h Určte defininičný obor funkcie f: 7 Bez klkulčk vpočítjte: log ) b) log8 ( ) 0,5 = 0,5 log c) log 5log log 8 Závislosť číselnej hodnot p tlku nsýtených vodných pár od číselnej hodnot T bsolútnej teplot vjdruje vzťh: T p bc T =, kde, b, c sú kldné konštnt rôzne od Vjdrite, ko závisí T od p 9 Riešte v R rovnice nerovnice: log( 7) ) = b) log log( ) = log 7 ( ) c) log log = 0 ( ) 0 d) log ( 7) = log ( ) log f) ( ) > log ( ) e) log log,5 0, 5 0 Riešte v RR sústv rovníc: ) = 5 b) log log = 0 0 = 5 = 0
8 GONIOMETRICKÉ FUNKCIE Definíci goniometrických funkcií, ich vlstnosti, obor grf Vzťh medzi goniometrickými funkcimi, úprv výrzov s goniometrickými funkcimi Riešenie goniometrických rovníc nerovníc Príkld: ) Ktorý bod jednotkovej kružnice prirďujeme číslu = π? 7 b) Vpočítjte : tg π, cotg(- π ), cos π, sin (- π ) c) Rozhodnite, či pltí: ) sin 0 o < sin 5 o ; b) tg (- o ) = tg 8 o Nčrtnite grf funkcií: ) g : = cos ( π ) b) h: = sin ( -π ) Riešte v R rovnice nerovnice : ) sin( π - ) = b) cos 7cos = 0 c) sin = cos sin d) cos 7sin < 5 e) tg tg tg < 0 Riešte grfick nerovnicu cos n intervle π, π 5sin cos 5 Určte hodnotu funkcie f : = pre tg = 5 cos sin Určte hodnot osttných goniometrických funkcií, k pltí : sin = -0, ; π, π 7 Dokážte identitu : cos cos ( π) cos ( π ) = 0 tg 8 Dokážte rovnosť určte, pre ké R má zmsel : = sin tg 9 Zjednodušte určte definičný obor výrzu: V ( ) sin cos = cos sin 0 Riešte rovnicu v R: sin sin = sin sin Určte definičný obor funkcie: ) f : = log(cos ) b) g: = cos 5