5. Rovnice, nerovnice a ich sústavy

Transcript

1 . Rovnice, nerovnice ich sústvy Rovnic istý druh výrokovej formy rozumieme pod ňou vzťh: f() = g(), riešiť rovnicu znmená určiť pre ktoré s z rovnice stáv prvdivá rovnosť ted prvdivý výrok. Koreň číselná hodnot, ktorú keď dosdíme do rovnice/nerovnice, tk dostneme prvdivý výrok Koreňový činiteľ - Ak α je koreň dnej lgebrickej rovnice, výrz ( - α) je koreňový činiteľ. Delí polynóm n ľvej strne lgebrickej rovnice bez zvyšku. Obory rovnice: obor premennej O číselný obor, v ktorom riešime rovnicu definičný obor D číselná množin, v ktorej mjú všetky výrzy zmysel obor prvdivosti K množin všetkých koreňov rovnice Úprvy rovníc. ekvivlentné úprvy, ktoré nemeni korene rovnice - ni kvlitu, ni kvntitu ) pripočítnie rovnkého čísl k obom strnám rovnice b) vynásobenie obidvoch strán rovnice rovnkým nenulovým číslom c) výmen strán rovnice. neekvivlentné úprvy, ktoré meni korene rovnice kvlitu, lebo kvntitu ) odmocňovnie b) umocňovnie c) vynásobenie oboch strán rovnkým výrzom, ktorý nie je definovný n celej množine reálnych čísel Pri riešení rovníc nerovníc s používjú i nsledujúce úprvy: Doplnenie do štvorc úprv, ktorá znmená, že do výrzu doplníme číslo, ktorým získme kvdrtickú rovnicu z zátvorkou ho odčítme Úprv n súčin pred výrz vyjmeme njvyšší možný deliteľ Kontrol (skúšk) riešeni je povinná, k sme pri riešení používli neekvivlentné úprvy. dosdíme koreň do ľvej strny rovnice. dosdíme koreň do prvej strny rovnice. porovnáme hodnoty, k s rovnjú, tk skúmný koreň je koreňom rovnice Druhy rovníc: Lineárne rovnice Rovnice tvru: b 0,,b R, pričom 0. Riešenie: b Kvdrtické rovnice Rovnice tvru: b c 0,,b,c R, pričom 0. kvdrtický člen, koeficient kvdrtického člen b lineárny člen, b koeficient lineárneho člen c bsolútny člen Koeficient v mnohočlene, udáv početnosť výskytu n-tého člen mnohočlen. Diskriminnt - číslo, ktoré je súčsťou riešeni, respektíve hľdni koreňov polynómu. - výrz rozhodujúci o koreňoch (čsť vzorc n výpočet kvdrtických rovníc) Môžu nstť tri situácie, kde diskriminnt ndobúd kldnú, zápornú lebo nulovú hodnotu.

2 b D D b 4c - diskriminnt Riešenie:, b c Počet nvzájom rôznych koreňov v závislosti od diskriminntu. D > 0 rôzne korene b D b D K ; D = 0 koreň b K D < 0 nemá riešenie v R K Ø (Má riešenie v množine komplených čísel) Druhy kvdrtických rovníc b b 0 bez bsolútneho člen Riešenie: K 0 ; c c 0 bez lineárneho člen (rýdzo kvdrtická) Riešenie: K p q 0 normovný tvr kvdrtickej rovnice, pltí: p ; q Počet reálnych koreňov kvdrtickej rovnice je rovný počtu priesečníkov prboly y b c s osou. Rovnice s prmetrom Rovnic obshuje okrem neznámej j prmeter p (premennú). Koreňom tkejto rovnice nie je číslo, le výrz obshujúci tento prmeter. Pri kvdrtických rovnicich s prmetrom určujeme pre ký prmeter je koľko koreňov (k s djú, tk korene vyjdríme hodnotou). Výsledok zhrnieme do tbuľky. Rovnice s bsolútnymi hodnotmi Rovnice, ktoré obshujú bsolútnu hodnotu výrzu s neznámou. Pri riešení vychádzme z definície bsolútnej hodnoty. Hľdáme nulové body v bsolútnych hodnotách, pomocou nich rozdelíme číselnú os n jednotlivé intervly. Určíme hodnoty výrzov v bsolútnych hodnotách n jednotlivých intervloch, dostneme rovnice, ktoré riešime. Riešenie získme zjednotením riešení n jednotlivých intervloch. Logritmické rovnice Rovnice, v ktorých s vyskytujú logritmy výrzov s neznámou R. Riešením zákldnej logritmickej rovnice log y, kde >0 >0, y R je podľ y definície logritmu (Npr.: log ) Zložitejšie uprvíme n tvr log f log g, kde >0 funkcie f, g ndobúdjú kldné hodnoty (robíme podmienky). Pretože je logritmická funkci prostá n celom log f log g f g svojom definičnom obore, pltí: Eponenciálne rovnice Rovnice, v ktorej s neznám R vyskytuje v eponente nejkej mocniny. f g Zákldnú rovnicu, kde ľvá prvá strn mjú rovnký zákld mocniny >0, riešime porovnním eponentov. f g Rovnice s rôznym zákldom mocniny b, kde,b>0,b b riešime

3 logritmovním: f log glog b. Zložitejšie uprvíme n jeden z predchádzjúcich tvrov. Pri riešení môžeme tiež využiť substitúciu prejsť ňou n kvdrtickú rovnicu. Ircionálne rovnice Obshujú odmocniny z výrzov s neznámou. Odmocniny odstrňujeme neekvivlentnou úprvou (umocnením), preto je skúšk nutnou súčsťou riešeni týchto rovníc. Pri riešení týchto rovníc nesmieme zbudnúť urobiť podmienky kedy ndobúdjú výrzy pod odmocninou nezáporné hodnoty. Goniometrické rovnice Rovnice, ktoré okrem konštánt obshujú neznámu lebo výrzy s neznámou, ko rgumenty jednej lebo vicerých goniometrických funkcií, ted rovnice tvru: f sin,cos, tg,cot g, 0 Zákldnou goniometrickou rovnicou s neznámou je rovnic tvru f c, kde f je goniometrická funkci c je reálne číslo. Riešime ich numericky lebo grficky. Nájdeme pomocné riešenie pre, ktoré s nchádz v prvom kvdrnte potom určíme všetky riešeni n celom definičnom obore prípdne pre zo zdného intervlu. Sústv rovníc súbor niekoľkých rovníc s niekoľkými neznámymi, kde pltí (okrem špec. prípdov), že počet neznámych s rovná počtu rovníc. Riešiť tkéto rovnice môžme spôsobmi: Metódy riešeni sústvy lineárnych rovníc:.grafická znázorníme krteziánske grfy oboch rovníc, dostneme primky: - k sú primky rovnobežné sústv nemá riešenie - k sú primky rôznobežné sústv má jedno riešenie - k primky splývjú sústv má nekonečne veľ riešení.sčítacia rovnice sústvy násobíme voľnými číslmi tk, by s po sčítní rovníc jedn neznám vylúčil.dosadzovacia (substitučná) jednu neznámu vyjdríme z prvej rovnice dosdíme do druhej, čím s táto neznám v rovnici vylúči. 4.POMOCOU MATÍC Nerovnic rozumieme pod ňou vzťh: f() N g(), pričom N môže byť {>,, <,, }; riešiť nerovnicu znmená určiť pre ktoré s z nerovnice stáv prvdivá nerovnosť Sústv nerovníc súbor niekoľkých nerovníc - riešime buď určením K n nerovníc K = K K... K n - v prípde neznámych v sústve lineárnych nerovníc môžeme riešiť j grficky Príkldy:. Riešte v R rovnice: ) sin cos b) sin c) cos cos sin d) sin sin 0 log 7 log. Riešte v R rovnice: ) b) log 000 ; >0

4 log log c) d) log log log. Riešte v R rovnice: ) 7 b) 4 7 c) d) Riešte v R rovnice: ) 4 c) e) ) 4 0, ) log log 4 7 log 0. log 4log log log 44 b) 4 d) 8 b) 4 6 b) log 7 0. ) sin cos 0 b) sin tg 4cos. cot 0 sin g 4. tg tg ) sin cos b) sin cos 8 cos sin cot g sin 8. sin cos cos 0 9. Koľko koreňov má rovnic cos sin n intervle 0 ;? 0. Riešte v R rovnice s neznámou prmetrom R: ) 4 0 b) 0 c) 0 d) e). Zostvte kvdrtickú rovnicu, ktorá má korene ;. Vykonjte skúšku.. V množine R riešte rovnicu:

5 . V množine R riešte rovnicu: 4. V množine R riešte rovnicu:. V množine R riešte: 6. Riešte: 7. V množine R riešte: 8. V množine R riešte: 9. V množine R riešte: 0. V množine R riešte:. V množine R riešte:. Ktoré prirodzené číslo vyhovuje nerovnici:. V množine R riešte: 4. Určite všetky reálne čísl m, pre ktoré má dná rovnic koreň väčší lebo rovný 4:. Dné sústvy rovníc riešte v množine M = (-,-> (-7, ). ) ( - y) - = -[-( + y) - ] ( - y) + y = ( - y) + 0 b) ( - y) - ( - y)( + y) = y 6. V množine R riešte sústvy: - y = -( + y)

6 V čkárni u lekár bolo 90 osôb. Mužov bolo 4 krát vic ko žien. Detí bolo o 0 vic ko dospelých. Koľko bolo v čkárni mužov, žien detí? 8. Pytgors odpovedl n otázku o počte žikov v jeho škole tkto : polovic žikov študuje mtemtiku, štvrtin hudbu, sedmin mlčí okrem toho sú tm ešte ženy. Koľko žikov ml Pytgors v triede? 9. Sponzor venovl škole penize. Škol z nich použil polovicu n nákup pomôcok / zvyšku n úprvu ihrísk. Zostlo jej 000 Sk. Koľko Sk venovl sponzor škole?