Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει για, Επιπλέον η συνάρτηση h είναι γνησίως μονότονη άρα και -. Έτσι έχουμε: "" h ln h f ln f και ln f f Θα βρούμε τη μονοτονία της f Έστω, D, f Επιπλέον με ln () 0 για κάθε άρα f ln με, ln. και ln ln,,ln,ln είναι θετικά για κάθε, μέλη των σχέσεων () και () έχουμε :. άρα με πολλαπλασιασμό κατά ln ln ln ln ln f f Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα άρα και -.
Γ. Έχουμε την ανίσωση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ln 3 4 3 ln 5 με 5 0 3 4 0 αν, οπότε η ανίσωση γίνεται: 3 ln 3 4 ln 3 4 ln 5 ln 5 3 3 54 5 ln 3 4 ln 3 4 5 3 4 3 4 ln 5 ln 5 και Άρα 5 3 4 ln 5 5 ln 5 0 και 3 3 3 4 0 για κάθε ln 3 4 ln 5, 3. 5 3 4 l n 5 ln 3 4 5 3 4 ln 5 ln 3 4 f 5 f 3 4 f 5 3 4 3 0 3 Τελικά η ανίσωση έχει λύση τις κοινές λύσεις των 3 3, 3 Γ3. i. Η f είναι. Άρα αντιστρέφεται με D f,, θα λυθεί στο f Έχουμε :,. f. Επομένως η εξίσωση f f f f ln ln 0 F 0 Από παρατήρηση ισχύει F ln 0 άρα το ρίζα της εξίσωσης και επειδή η συνάρτηση F είναι γνησίως μονότονη θα είναι -. Επομένως το είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης F 0 f.
ii. α. H F είναι γνησίως μονότονη από υπόθεση. Έστω ότι είναι γνησίως φθίνουσα οπότε για F F 0 Άτοπο. Άρα η συνάρτηση F είναι γνησίως αύξουσα. β. Ισχύει F F F ( ) F f F f **f f f f f F F για κάθε,. ** Θα αποδείξετε ότι αν f είναι γνησίως αύξουσα τότε και η f είναι επίσης γνησίως αύξουσα. Απόδειξη Έστω f : A γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Έστω y,y f A με y y τότε υπάρχουν,a τέτοια ώστε και f y f y f y f y. () f.. () Έχουμε : y y f f f y f y άρα η () () f είναι γνησίως αύξουσα.
Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Δ. Αφού το 0, έχουμε 0 w i 0 w i 8 8 f 0 0 4 4 και, τότε f f 0 3 f 3 z 5 3 4 z 5 4 z 5 Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z είναι κύκλος με κέντρο Κ(5,0) και ακτίνα ρ=.έχει εξίσωση C : 5 y Δ. Με δεδομένο ότι υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε η περιοχή,, να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f που είναι το για να υπάρχει το limf lim f lim f. w i w i 8 θα πρέπει να ισχύει Έχουμε : lim f lim f lim lim z 5 4 w i w i 8 ( ) w i w i 8 ( z 5 ) 0 4 3 w i w i 8 0 w i w i 8 Έστω τα σημεία Ε(0,) και Ε (0,-). Γνωρίζουμε ότι τα w i, w i εκφράζουν τις αποστάσεις της εικόνας Μ του w από τα σημεία Ε και Ε. Αλλά ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και ίσο με α, με ΕΕ <α δηλαδή ME ME 8είναι έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε και μεγάλο άξονα το α. Αφού 0 0 4 8 από τη σχέση w i w i 8 προκύπτει ότι ο γεωμετρικός τόπος του w είναι έλλειψη με εστίες Ε και Ε. Άρα γ= και μεγάλο άξονα 8 4 Επομένως 6 4 3 Άρα η εξίσωση της έλλειψης y C : γίνεται y C :. 6
Δ3. ος Τρόπος Ισχύει πως limf 3 lim f 0 επομένως και Άρα είναι καλώς ορισμένο το Έχουμε : f f f f lim lim f f f 39 3 0 και lim f 3 0 έχουμε απροσδιόριστη μορφή 0 0. f 0 κοντά στο. Επομένως για να άρουμε την απροσδιοριστία θα πρέπει να βγάλουμε την απόλυτη τιμή και να πολλαπλασιάσουμε με τη συζυγή παράσταση του παρονομαστή. Ισχύει lim f f 39 6 0 οπότε και Άρα f f f f ος Τρόπος Αν επομένως το όριο γίνεται : f f 0 κοντά στο. f f f f f f f 3f lim lim lim f f f f f 3 f 3f f f f 3 f lim lim f f f lim f 3 f 3 3 3. τότε η συνάρτηση f έχει τύπο lim f f f. Έτσι σε μια περιοχή του το ζητούμενο όριο γίνεται: lim 4 lim lim 4 3
Είναι : 4 και lim 3 0 lim 0 έχουμε απροσδιόριστη μορφή 0 0 Επομένως για να άρουμε την απροσδιοριστία θα πρέπει να βγάλουμε τις απόλυτες τιμές και να παραγοντοποιήσουμε αριθμητή και παρονομαστή. Έχουμε : lim 3 6 0 άρα και 4 3 0 κοντά στο. 4 Επομένως 4 4 3 3 και lim 0 άρα και >0 κοντά στο. Επομένως Έτσι το όριο γίνεται: lim lim 4 4 3 3 lim Για τον αριθμητή : 4 4 3 5 4 lim Σχήμα Hornr με το 0 5 0 4 4 4 0 4 3 Έτσι έχουμε 5 4 lim 4 5 4 lim και το όριο γίνεται: 3 3 lim 3 Δ4. Για να βρούμε το πεδίο ορισμού της g θα πρέπει να βρούμε τα z και z w. min ma
y Α(0,4) Ε(0,) Ο Γ Κ(5,0) Δ Ε (0,-) Α (0,-4) Έχουμε ma z d, 5 4 και min z w 5 3 6 3 Έτσι D / 8 z z w 4 3 / 8 4 (6 3) 4 3 g min ma / 4 3 4 3 /, Δ5. Αφού η συνάρτηση f είναι - επομένως αντιστρέφεται με D gdg g. Η συνάρτηση k g είναι καλώς ορισμένο. έχει πεδίο ορισμού το D έτσι το όριο lim g k 0 Επιπλέον g D, άρα πεδίο ορισμού της. g g g για κάθε στο
ος Τρόπος g g Είναι: g για κάθε. Επιπλέον έχουμε ότι: 0 0 lim 0 0 0 0 0 lim 0 0 0 επομένως σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής ισχύει ος Τρόπος Ισχύει πίνακα : lim g 0 0 g και επιπλέον το πρόσημο της παράστασης φαίνεται στον - 0 + + + () + + + + + + + πηλίκο + + Αν >0 κοντά στη περιοχή του 0 δηλαδή 0,, όπου 0 αρκούντως μικρό Τότε 0 έτσι g
Επιπλέον έχουμε ότι: 0 0 lim 0 0 0 0 lim 0 0 0 0 Επομένως σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής και lim g 0 0 Αν <0 κοντά στη περιοχή του 0 δηλαδή,0, όπου 0 αρκούντως μικρό Τότε 0 έτσι g. 0 0 lim 0 0 0 0 lim 0 0 0 0 Επομένως σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής και lim g 0 0 lim g lim g 0 Τελικά αφού 0 0, τότε και lim g 0 0