vektorji ) OSNOVNE DEFINIIJE Krjišči dljie, npr, st enkovredni. Tudi, če i zpisli i vedeli, d govorio o isti dljii. Če p krjišče do rzlični vlogi, eneu reio zčetek, drugeu p kone, doio nov geoetrijski ojekt, vektor. S tei ojekti se oo ukvrjli n nslednjih strneh. Definiij Vektor = je userjen (orientirn) dlji. Točko ienujeo zčetek, točko p kone vektorj. Preio, ki vseuje dljio, ienujeo nosilk vektorj. = nosilk Vektor nič ( 0) Vektor, ki i zčetek in kone v isti točki, je vektor nič. 0 =. Nsprotni vektor ( ) Z dni vektor = ienujeo vektor = nsprotni vektor in to oznčio: Dolžin vektorj ( ) =. Dolžin (= velikost, = solutn vrednost, = nor) vektorj je dolžin dljie, ki predstvlj vektor, t.j.: =. Kolinernost = vzporednost Vektorj in st kolinern li vzporedn, če st njuni nosilki vzporedni preii. Istosiseln vektorj Kolinern vektorj in D it isti sisel ( D)ntnko tedj, ko ostj rvnin Π, d velj: Π je prvokotn n nosilki vektorjev in D, poltrk (;) in (;D) ležit n isti strni rvnine Π. Če tk rvnin Π ne ostj, st kolinern vektorj nsprotno siseln ( D). 1
D E N sliki st in D istosiseln, in EF p nsprotno siseln. Π F Enkost Vektorj in st enk ntnko tedj, ko: 1. =, t.j.: vektorj st enko dolg, 2. it isto ser, t.j. njuni nosilki st vzporedni preii, 3. it isti sisel ( ). Povzeio: Vektor je ntnko določen z: dolžino, serjo, sislo. 1 E D N desni sliki so v prvilne šestkotniku prikzni štirje enki vektorji (, FS, S, ED). F S ) RČUNSKE OPERIJE Oznčio nožio vseh vektorjev z V, nožio relnih števil R p ienujo noži sklrjev. Z eleenti nožie vektorjev in nožie sklrjev definiro nslednje rčunske operije: 1. Seštevnje: + Rezultt seštevnj (vsot) je vektor. Če si vektor predstvljo kot pot, ki jo zčneo v in končo v, kot pot iz v, je seštevek (rezultt) + oeh poti pot iz v, t.j. vektor. Vsoto lhko pridelo n dv nčin: Trikotniško prvilo V kone vektorj postvio zčetek vektorj. Vsot je vektor, ki i zčetek v zčetku vektorj, kone p v konu vektorj. + 1 Tko definirn enkost vse vektorje v prostoru rzdeli n nožio rzredov; učeno ji prvio ekvivlenčni rzredi. V vske rzredu je rez števil enkih vektorjev. Tudi pri ulokih so postopli podono. V nožii vseh urejenih prov elih števil (, ) = Z Z\{0} 1 so enkost definirli: (, ) = (, d) d =. Enke uloke, npr. 2, 2 4, 3,..., združio v rzrede, 6 rzred p ienujeo rionlno število. 2
Prlelogrsko prvilo Zčetk oeh vektorjev in postvio v skupen zčetek. Vsot je digonl prlelogr, ki g tvorit vektorj = in = D. Seštevnje v oeh prierih dá isti rezultt. trikotniško v. D + V prlelogrske prvilu ugledo Tudi kouttivnost vsote + = + preereo iz prlelogrskeg prvil; enkrt seštevo v spodnje trikotniku, drugič p v zgornje D. soitivnost vsote, t.j.: ( + ) + = + ( + ) pokže slik n desni. ++ + + Vektor 0 i vlogo nevtrlneg eleent z seštevnje, sj + 0 = + = =. Vektor i vlogo nsprotneg eleent z seštevnje, sj + ( ) = + = = 0. 2-2. Odštevnje: Odštevnje, tko kot pri številih, definiro kot prištevnje nsprotneg eleent: = + ( ). Krjevni in prosti vektorji - (-)+=- Izerio v prostoru točko O. Glede n O rzdelio vse vektorje v prostoru n: 2 V strktnih vektorskih prostorih se kouttivnost in soitivnost seštevnj, ostoj nevtrlneg eleent in nsprotneg eleent privzejo kot ksioi. 3
krjevne; to so tisti, kterih zčetek je v O, kone p v točki, ki jo pokžejo (zto krjevni), proste; to je tiste, kterih zčetek ni v O. N sliki st in krjevn, in d p prost vektorj. d Vsk prosti vektor, npr., lhko zpišeo s krjevni vektorje kon in zčetk: O = O O. O 3. Množenje vektorj s število (sklrje): Nj V in R. Rezultt noženj vektorj s število je vektor, z ktereg velj: () = (dolžin se poveč li znjš z fktor ), () (vektor i isto ser (je vzporeden) vektorju ), (), če je > 0 in, če je < 0. N spodnji sliki st z dni vektor prikzn vektorj 2 in 5 3. -(5/3) 2 Lstnosti noženj vektorj s število 1. distriutivnost v seštevnju vektorjev: ( + ) = +, 2. distriutivnost v seštevnju sklrjev: ( + n) = + n, 3. hoogenost: (n ) = (n), 4. 1 =. Lstnost 1 privzeo kot ksio, ostle p dokžeo. Npr. lstnost 2: Oznčio levo strn L, desno p D. Dokzujeo L = D. Preverjo: ser. L in D it o ser vektorj, zto it isto ser; sisel. Če je > 0 in n > 0, je L D (podono pokžeo ostle ožnosti: < 0, n < 0; > 0, n < 0 in + n > 0; > 0, n < 0 in + n < 0, 4
dolžin. Vzeio spet > 0 in n > 0. Tedj: L = ( + n) = + n = ( + n ) = + n = D. Ostle ožnosti pri lstnosti 2 pokžeo podono, prv tko tudi ostli lstnosti 3 in 4. ) PREPROSTE POSLEDIE Enotski vektor Nj o poljuen neničelen vektor in njegov dolžin. Vektor 0 = 1 ienujeo enotski vektor vektorj. Vektor 0 i isto ser in sisel kot, njegov dolžin p je 1. Zto je : = 0. Kolinerni (vzporedni) vektorji Vzeio snop vzporednih prei. Nj v snopu ležit neničeln vektorj in. o Njun enotsk vektorj 0 in 0 se rzlikujet kvečjeu v sislu. Zto je odisi 0 = 0, odisi 0 = 0. Vzeio prvo ožnost. Tedj 0 = 0 1 = 1 =. Povzeio: Če st neničeln vektorj vzporedn, lhko eneg izrzio z drugi, t.j.: ostj R, d velj : =. 3 o Koplnrni (li koplnrni) vektorji Nj o Π rvnin. V njej izerio nekolinern vektorj in. O Π 3 Število je ntnko določeno, sj, če i ostjlo še eno število, npr tko, d je =, i odkrili:( ) = 0, kr p pri neničelne vektorju gre le, če je =. 5
Vzeio še tretji vektor, ki leži v rvnini Π. Vektorje, in postvio v skupno zčetno točko O. V konu vektorj postvio dve vzporednii, eno vzporedno vektorju in drugo vzporedno vektorju. Vzporednii sekt nosilki vektorjev in v točkh in (gornj slik). Vektor je pote enk vsoti vektorjev O in O. Tod vektorj O in O st kolinern z vektorje in, zto ostjt števili in n, d je O = in O = n. Števili in n st ntnko določeni. To pokžeo tkole: Nj o = + n in = + n. Pote je + n = + n ( ) = (n n). Ker st in nekolinern, zdnj enč velj le, če je = in n = n. Pokzli so: Če so vektorji, in koplnrni in, nekolinern, ostjt ntnko določeni relni števili in n, d je: Vektorji v prostoru V prostoru iejo tri nekoplnrne vektorje, reio, in. Nj o d vektor teg prostor. Vektorje postvio v skupen zčetek O. = + n. V konu T vektorj d postvio vzporednio k nosilki vektorj. T nj preode rvnino Π vektorjev in v točki P. Postvio v konu d še eno vzporednio; tokrt nj o vzporedn vektorju OP. T sek nosilko vektorj v točki R. Pote je: d = OP + PT. Vektor OP leži v rvnini vektorjev in, vektor PT p je vzporeden vektorju. Zto ostjjo ntnko določen števil, n in p, d je: d = + n + p. Povzeio: Če so, in trije nekoplnrni vektorji in d poljuen vektor v prostoru, ostjjo ntnko določen reln števil, n in p, d velj: O d = + n + p. R d P T Π D) LINERN KOMINIJ IN LINERN ODVISNOST VEKTORJEV Poglejo ugotovitve o kolinernih, koplnrnih in nekoplnrnih vektorjih še lgerjsko. Zčnio z definiji: Definiij 1 : Nj odo x 1, x 2,..., x n vektorji prostor V, 1, 2,..., n p reln števil iz prostor sklrjev. Vektor: 1 x 1 + 2 x 2 + + n x n ienujeo linern koinij vektorjev x 1, x 2,..., x n s koefiienti 1, 2,..., n. Vektor 1 3 + 3 je linern koinij vektorjev,, s koefiienti 1 3, 1, 3, vektor 2 p je linern koinij vektorjev,, s koefiienti 2, 0, 1. 6
Definiij 2 : Če je 1 x 1 + 2 x 2 + + n x n = 0, ienujeo linerno koinijo 1 x 1 + 2 x 2 + + n x n ničeln linern koinij. Če izereo v linerni koiniji vse koefiiente enke 0, postne koinij ničeln. Ostjjo p ničelne linerne koinije, ki nijo vseh koefiientov enkih 0. N desni sliki je = +, zto je + = 0 ničeln koinij, ki ni vseh koefiientov enkih 0. Definiij 3 : Ničelno linerno koinijo, ktere vsi koefiienti so enki 0, ienujeo triviln ničeln koinij. Definiij 4 : Vektorji x 1, x 2,..., x n so linerno neodvisni ntnko tkrt, ko je le njihov triviln koinij ničeln, t.j.: 1 x 1 + 2 x 2 + + n x n = 0 1 = 2 = n = 0. Če vektorji x 1, x 2,..., x n niso linerno neodvisni, so linerno odvisni. Ndljujo z nekj trditvi. Trditev 1 : Neničeln vektorj st kolinern ntnko tedj, ko st linerno odvisn. Dokz: ( ) Nj ost in kolinern. Pote ostj število λ, d je = λ. Tedj: = λ λ = 0. Zdnj koinij je ničeln, njen koefiient p ne o enk 0. Zto st in odvisn. ( ) Nj ost in linerno odvisn. Pote ostj njun netriviln ničeln koinij, npr. λ + µ = 0. Vzeio λ 0. Tedj: = µ λ, zto je vzporeden (kolineren) vektorju. Podono pokžeo: Trditev 2 : Trije neničelni vektorji so koplnrni ntnko tedj, ko so linerno odvisni. Nslednj trditev je znčiln z prostor nših vektorjev. 4 Trditev 3 : Štirje neničelni vektorji so linerno odvisni. Res, z štiri vektorje,, in d v prostoru so pokzli, d eneg lhko izrzio z ostlii trei, npr. d = + n + p, zto je d n p = 0 netriviln ničeln koinij, torej so,, in d linerno odvisni. S trditvijo 3 so v resnii pokzli še več: Trditev 4 : Če je n > 4, so neničelni vektorji x 1, x 2,..., x n linerno odvisni. 4 nš vektor je userjen dlji 7
Res, izereo poljune štiri, ki so po trditvi odvisni, npr. x 1, x 2, x 3, x 4. Zto 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0 in vsj eno od števil 1, 2, 3, 4 ni enko 0. Pote p je 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 0 x 5 +... 0 x n = 0 netriviln ničeln koinij vektorjev x 1, x 2,..., x n, zto so odvisni. Povzeio: V prostoru nših vektorjev V velj z podnožio { x 1, x 2,..., x n } neničelnih vektorjev x i : Če je n = 2, st vektorj x 1, x 2 linerno neodvisn ntnko tedj, ko nist kolinern, če je n = 3, so vektorji x 1, x 2, x 3 linerno neodvisni ntnko tedj, ko niso koplnrni, če je n 4, so vektorji x 1, x 2,..., x n linerno odvisni. Končjo poglvje z opiso ze: Množi vektorjev { e 1, e 2,..., e n } je z, če: so vektorji e 1, e 2,..., e n linerno neodvisni in poljuen vektor x lhko zpišeo z linerno koinijo vektorjev e 1, e 2,..., e n. Prieri z: Nj o P noži vseh vektorjev, ki so vzporedni dni preii p. nožie P neničelen vektor iz te nožie. Pote je z Če je R noži vseh vektorjev v dni rvnini Π, zo te nožie sestvljt dv nekolinern vektorj rvnine Π. Oičjno z zn vektorj izereo ortonorirn vektorj, t.j. edseoj prvokotn enotsk vektorj, ki ju oznčio z i in j. Še prostor si oglejo. Nučili so se, d v prostoru vsk vektor lhko izrzio s trei izrnii nekoplnrnii vektorji. Trije nekoplnrni vektorji so linerno neodvisni, zto z njii lhko sestvio zo prostor. Oičjno izereo tri, edseoj prvokotne, enotske vektorje i, j in k. E) PRIMERI UPORE Uporo si oglejo n nekj prierih. 1. N nosilki vektorj = leži tk točk T, d je: T : T = : n. Izrzi vektor T z vektorje. T n Ker je T kolineren z, ostj relno število λ, d je T = λ. dolžin vektorjev T in, kr ugledo v: Število λ je rzerje T = λ = λ λ = T. Dolžin eri + n (li: ( + n) x) enot, dolžin T eri (li x) enot, zto je λ = +n in: T = +n. 8
2. V trikotniku leži n strnii točk D, ki deli strnio v rzerju: D : D = : n. Izrzi vektor D z vektorje = in =. n D V rezulttu prejšne nloge ugledo: D = D = + D = + = + + n +n. Tedj: + n ( + ) = n + n + + n. Pokzli so: D = n +n + +n. Če je D težiščni, je = n = 1 in D = 1 2 + 1 2. 3. Pokži, d se težiščnie trikotnik: () sekjo v skupni točki (težišču), npr. T, in d () točk T rzdeli poljuno težiščnio v rzerju 2 : 1 z del od oglišč do težišč. Pokžio njprej drugi del. Uporili oo dejstvo, d lhko vsk vektor rvnine n en s nčin zpišeo z dve nekolinerni vektorje te rvnine. To poeni, če je = + n in = + n, je = in n = n, če st le in nekolinern. Z nekolinern vektorj oo izrli vektorj = in =. Uporili oo tudi rezultt prejšne nloge z težiščnie, t.j.: D = 1 2 +1 2 in E = 1 2 ( )+1 2 ( ) = 1 2. E T D - Vektor T oo n dv nčin izrzili z in : 1. nčin: T = D = ( 1 2 + 1 2 ) = 2 + 2, 2. nčin: T = + T = + n E = + n( 1 2 ) = (1 n) + n 2. Ustrezni števili pri in ort iti enki, zto: 2 = 1 n in 2 = n 2 in = n = 2 3. Odtod: 9
T = 2 D T = 2 3 3 D T : TD = 2 : 1 in T = 2 E T = 2 3 3 E T : TE = 2 : 1. Pokžio še prvi del. Nj prei (,T) sek strnio v točki F. Pokzti oro, d je F težiščni, t.j., d točk F rzpolvlj dljio. Izrzio F n dv nčin z in. E T D - 1. nčin: F = x = x + 0, F 2. nčin: F = T+ TF = 2 3 ( 1 2 + 1 2)+y F = 1 3 + 1 3+y(x ) = ( 1 3 + xy) + ( 1 3 y). Zpišeo ustrezni siste enč: x = 1 3 + xy, 0 = 1 3 y, ki i rešitev x = 1 2 in y = 1 3. Zto je: F = 1 in TF = 1 F, 2 3 kr je ilo tre dokzti. D 4. Pokži, d se digonli prlelogr rzpolvljt. T Z osnovn (zn) vektorj postvio = in = D. N dv nčin izrzio vektor T, kjer je T presečišče digonl. 1. nčin: T = x = x + x, 2. nčin: T = + y D = + y( ) = (1 y) + y. Ustrezni siste enč (x = 1 y, x = y) i rešitev x = y = 1 2, kr je ilo tre pokzti. 10
NDLOGE 1. Vektorj in st linerno neodvisn. Izrčunj število tko, d ost vektorj 2 + in ( ) 1 2 vzporedn. [R: = 3 ] 2. Izrzi vektor = 8 + z vektorje e = 2 3 in f = 3 + 2. [R: = e + 2 f ] 3. V nslednjih nlogh je D prlelogr in = in =. V nlogh izrzi vektor UV z vektorje in. () U : = 1 : 2, V : V D = 2 : 1, UV =? () U : U = 3 : 2, V : V D = 1 : 4, UV =? () U : U = 2 : 1, V : V D = 1 : 4, UV =? 4. V nslednjih nlogh je DEF prvilni šestkotnik in = in = F. V nlogh izrzi vektor UV z vektorje in. () EU : UF = 2 : 1, EV : V D = 2 : 1, UV =? () U : U = 3 : 2, V : V D = 1 : 4, UV =? 5. V nslednjih nlogh je trikotnik in = in =. V nlogh izrzi vektor UV z vektorje in. () U : U = 2 : 3, V : = 4 : 5, UV =? () D je težiščni, U : UD = 1 : 3, V : V = 1 : 4, UV =? 6. V nslednjih nlogh je DEF GH kok(e je nd ) in =, = D in = E. V nlogh izrzi vektor UV z vektorji, in. () U je sredin ploskve EF GH, V je sredin ro G, UV =? () GU : UE = 2 : 1, V : V G = 1 : 2, UV =? 7. Izrčunj rzerji T : T E in T : T D n sliki. T E D D : D = 2 : 3 E : = 1 : 4 11
8. V prlelogru D leži n n digonlid točk U, d velj U : UD = 1 : 3, točk V p je presečišče preie (, U) in preie (, ). V kolike rzerju deli točk V strnio? [Nig: Iskno rzerje je V : V = 2 : 1. Če je =, D =, je npr.: V = in V = nu + 1 D = ( n + 1) + ( 3n 1).] 4 4 4 4 4 9. V tristrni piridi D z osnovno ploskvijo je E težišče ploskve D, točk F p rzpolovišče strnie. Točk X leži n dljii F D tko, d se dljii X in E sekt. V kkšne rzerju deli točk X dljio F D? [R: DX : XF = 2 : 1 ] 10. Kok DEF GH (E je nd ) i središče ploskve GF v točki T. V kkšne rzerju odreže prlelogr F HD dljio T? [R: 2 : 1 ] 12