5 Magnetické pole v magnetikách 5.1 Úvod Látky inteagujúce s magnetickým poľom (magnetiká) obsahujú pemanentné alebo pítomnosťou magnetického poľa vybudené elementáne magnetické momenty m i, ktoé sú v magnetickom poli mi i čiastočne oientované. Vektoová hustota magnetických momentov v látke M lim, kde mi Δ Δ i je vektoový súčet elementánych magnetických momentov nachádzajúcich sa v objeme Δ, sa volá magnetizácia. Magnetizáciu možno písať v tvae M H, kde H je intenzita magnetického poľa a bezozmený koeficient χ je magnetická susceptibilita postedia. Pe magnetickú indukciu v magnetiku platia vzťahy: B H M 1 H H H, kde μ = 41 7 H m 1 je pemeabilita vákua (magnetická konštanta), bezozmený koeficient 1 je elatívna pemeabilita postedia a je pemeabilita postedia. Podľa magnetických vlastností sa látky delia na: a) diamagnetické látky, pe ktoé 1, b) paamagnetické látky, pe ktoé 1, a c) feomagnetické látky, v ktoých je situácia zložitejšia, lebo v tomto pípade μ závisí od pedchádzajúcich magnetických stavov látky (jav hysteézy). Z hľadiska hysteézy sa feomagnetické látky delia na dve podskupiny, a to na mateiály so slabou hysteézou, tzv. magneticky mäkké mateiály (používané na jadá cievok), pe ktoé pakticky v celom ozsahu magnetizačnej kivky 1, pičom však hodnota μ nie je konštantná, ale závisí od intenzity magnetického poľa, a na mateiály so silnou hysteézou, tzv. magneticky tvdé mateiály (používané na pemanentné magnety), pe ktoé μ nie je vhodnou chaakteistikou, lebo v závislosti od intenzity magnetického poľa a históie magnetizácie mení nielen hodnotu, ale dokonca aj znamienko. V magneticky tvdých mateiáloch sa definuje zvyšková (emanentná) magnetická indukcia ako magnetická indukcia pi nulovej intenzite magnetického poľa a koecitívna intenzita magnetického poľa ako intenzita magnetického poľa potebná na dosiahnutie nulovej magnetickej indukcie (na dosiahnutie úplného demagnetizovania mateiálu). Vo vákuu je 1. Magnetické vlastnosti väčšiny diamagnetických a paamagnetických látok sú veľmi blízke magnetickým vlastnostiam vákua, peto vo väčšine elektotechnických aplikácií možno pi výpočtoch v týchto látkach s dostatočnou pesnosťou pacovať s hodnotou 1. Na ozhaní dvoch postedí s ôznymi pemeabilitami sa nemení s ozhaním ovnobežná zložka vektoa H (ak ozhaním netečie elektický púd) a na ozhanie kolmá zložka vektoa B. 5. Otázky a poblémy 1. Aké typy magnetických mateiálov poznáte? Do ktoého typu patia železo a feity?. Aký zmysel má používanie feomagnetického jada v cievkach? 3. Ako sú pevažne oientované púdy elementánych dipólov v paamagnetickom jade cievky: súhlasne alebo nesúhlasne s púdom v závitoch cievky? Rovnaká otázka pe jado z magneticky mäkkého feomagnetického mateiálu a jado z diamagnetického mateiálu. 4. Ako sú oientované sily, ktoými pôsobí elektomagnet na telesá z feomagnetických látok a na telesá z diamagnetických látok? 5. Z akého typu magnetického mateiálu je teleso, ak sa vznáša nad nehomogénnym magnetickým poľom a nie je to pitom pemanentný magnet? 6. Cievka, ktoou peteká púd, je navinutá na neúplne uzavetom pstencovitom železnom jade s úzkou vzduchovou medzeou. Poovnajte magnetickú indukciu a intenzitu magnetického poľa v železnom jade a vo vzduchovej medzee. 75
(Návod: Pi iešení úlohy aplikujte na ozhanie jado-štbina vlastnosť nomálovej zložky vektoa B na ozhaní dvoch postedí s ôznou pemeabilitou a vzťahy medzi B a H v železe a vo vákuu.) 7. Kde je väčšia hustota enegie magnetického poľa: v železnom jade elektomagnetu alebo v jeho úzkej vzduchovej medzee? Využite výsledok pedchádzajúcej úlohy! 8. Schematicky nakeslite sústavu indukčných čia magnetického poľa pemanentného magnetu, ktoý má tva a) tyče, b) podkovy (písmena U), c) pstenca s úzkou piečnou medzeou. 9. Pedstavte si, že máte dve ovnaké oceľové tyče, z ktoých jedna je zmagnetizovaná, takže sa spáva ako pemanentný magnet. Ako by ste zistili, ktoá z tyčí je zmagnetizovaná, ak okem tyčí nesmiete k pokusom použiť žiadne iné pomôcky? 5.3 Riešené píklady 5.1 *V Bohovom modeli vodíkového atómu vyjadite pe elektón obiehajúci po kuhovej dáhe okolo jada magnetomechanický (gyomagnetický) pome, čo je pome magnetického dipólového momentu a mechanického momentu hybnosti elektónu. Elektón obiehajúci po kuhovej dáhe pedstavuje púdovú slučku so stednou hodnotou púdu e I, kde e je náboj elektónu a T je peióda obehu elektónu. Peióda súvisí s obvodovou T ýchlosťou v a polomeom dáhy podľa vzťahu v π T, odkiaľ π T v, takže púd je ev I. Magnetický moment púdovej slučky je podľa definície m I S, v absolútnych hodnotách π m I S, kde S je vekto plochy slučky. Keďže plocha slučky je S π, veľkosť magnetického e e momentu je m v π v. π Moment hybnosti elektónu vzhľadom na sted jeho kuhovej dáhy je podľa definície L p m e v, kde je polohový vekto elektónu vzhľadom na sted dáhy, t.j. je polome dáhy, p je hybnosť elektónu a m e je jeho hmotnosť. Vektoy a v sú vzájomne kolmé, peto absolútna hodnota momentu hybnosti je L m v. e m ev 1 e Magnetomechanický pome je podľa definície, po dosadení, čo je L me v me hľadaný výsledok. Vektoovo možno písať m L, kde znamienko mínus pochádza z toho, že v dôsledku záponého náboja elektónu je púd v slučke oientovaný opačne než vekto ýchlosti elektónu. 5. Je daný tooid so železným jadom s malým pieezom, so stedným polomeom pstenca R 5 cm. Na jade je navinutých N závitov, ktoými tečie púd I 1 A. Učte magnetickú indukciu v jade tooidu, ak pi daných podmienkach je elatívna pemeabilita železa μ = 1. Tooid, v ktoého dutine sa nachádza železné jado, má ovnakú symetiu ako tooid bez jada. Postup vyjadenia intenzity magnetického poľa v jeho dutine sa ničím nelíši od postupu jej vyjadenia v tooide bez jada (pozi píklad 4.7), kde výsledná intenzita magnetického poľa je H. Medzi πr 76
magnetickou indukciou a intenzitou magnetického poľa v železe je vzťah B H, peto výsledná magnetická indukcia v jade je B H 8 mt. π R 5.3 *Dokážte tvdenie z úvodu tejto kapitoly, že na ozhaní dvoch postedí s ôznou pemeabilitou sa nemení zložka vektoa intenzity magnetického poľa H ovnobežná s ozhaním a zložka vektoa magnetickej indukcie B kolmá na ozhanie. Na základe tohto výsledku učte, ako sa na ozhaní mení zložka H kolmá na ozhanie a zložka B ovnobežná s ozhaním. Rozložme vektoy H a B na vektoy ovnobežné (tangenciálne) s ozhaním H t, B t, a vektoy kolmé (nomálové) na ozhanie H n, B n. Index 1 nech označuje veličiny v pvom postedí, index v duhom postedí. H Dokážme najpv, že na ozhaní sa nemení vekto H t. Zvoľme si úzku obdĺžnikovú slučku, ktoá zasahuje do H n obidvoch postedí a ktoej katšie stany sú kolmé na H 1 H ozhanie (ob. 5.1). Označme dĺžku dlhšej stany 1n ( 1 > ) obdĺžnika a, katšej stany b. Podľa Ampéovho zákona H 1t 1 pe slučku platí H d (ak ozhaním netečie b H a t púd). Ak je obdĺžnik dostatočne úzky, t.j. ak b a, Ob. 5.1 píspevok k integálu pozdĺž kátkych stán b možno zanedbať, takže v limitnom pípade v absolútnych hodnotách H1t a H t a, odkiaľ H1t H t, vektoovo H 1t = H t, čo bolo teba dokázať. Teaz dokážme, že na ozhaní sa nemení vekto B n. Zvoľme si nízky otačný valec, ktoý zasahuje do obidvoch postedí a ktoého os je kolmá na ozhanie (ob. 5.). Označme výšku valca h, plochu podstáv S a polome podstáv R. Celkový magnetický tok cez každú uzavetú plochu, teda aj cez celkovú plochu povchu valca S, je nulový, t.j. platí B ds. Ak je valec dostatočne nízky, t.j. ak B 1 S B B h R, píspevok k integálu od magnetického toku 1n B n ( 1 > ) cez plášť valca možno zanedbať, takže v limitnom B1t 1 pípade v absolútnych hodnotách B1n S Bn S, h odkiaľ B1n Bn, vektoovo B 1n = B n, čo bolo teba R B t dokázať. Ob. 5. Učime teaz, ako sa na ozhaní menia zvyšné dva vektoy H n a B t. V jednotlivých postediach platí B1 1 H 1, B H, v zložkách B1t 1 H1t, B1n 1 H1n, Bt H t, Bn H n. Ak z pvej z posledných štyoch ovníc vyjadíme H 1t, z tetej H t a využijeme ich vyššie dokázanú ovnosť, dostávame hľadaný vzťah medzi B1t Bt B1t 1 B 1t a B t,, ktoý môžeme zapísať v tvae. Vzťah medzi H 1n a H n dostaneme, ak 1 Bt využijeme vyjadenie B 1n (duhú zo štyoch ovníc) a B n (štvtú zo štyoch ovníc). Z ich vyššie H1n dokázanej ovnosti vyplýva, že hľadaný vzťah je. Podľa tohto zaujímavého výsledku je H n 1 nomálová zložka intenzity magnetického poľa väčšia na stane postedia s menšou pemeabilitou. Poznámka: Tieto vzťahy sú analogické so vzťahmi, ktoé platia v elektostatike pe vektoy intenzity elektického poľa a elektickej indukcie na ozhaní dvoch postedí s ôznou pemitivitou. 5.4 V železnom jade tooidu so stedným polomeom R = 1 cm je piečna vzduchová medzea so šíkou d = 5 mm. Na jade je navinutých N = 8 závitov, ktoými tečie púd I = 5 ma. Relatívna pemeabilita železa pi daných podmienkach je μ = 1, ozptyl magnetického toku 77
na okajoch medzey možno zanedbať. Učte veľkosť magnetickej indukcie v medzee. Ako sa zmení magnetická indukcia v medzee pi malom zväčšení šíky medzey: klesne alebo vzastie? H I R O Pe kuhovú integačnú dáhu l pechádzajúcu stedom dutiny cievky a medzeou (ob. 5.3) platí Ampéov zákon H d. Na ozdiel od tooidu 78 bez jada (píklad 4.7) alebo tooidu so súvislým jadom (píklad 5.) však kvôli medzee v jade nemá teaz tooid otačnú symetiu vzhľadom na os pstenca, pechádzajúcu bodom O a kolmú na ovinu pstenca, takže nemožno automaticky pedpokladať, že intenzita magnetického poľa bude pozdĺž integačnej dáhy konštantná. Intenzita magnetického poľa sa pozdĺž integačnej dáhy skutočne mení, v medzee má inú veľkosť než v jade. Označme jej veľkosť v jade H, v medzee H. Indukčné čiay, ktoé sledujú sme pozdĺžnej kuhovej osi jada, sú na ozhaní jado - medzea kolmé na toto ozhanie. Vekto magnetickej indukcie, ktoý je dotyčnicou k indukčným čiaam, je v mieste ozhania kolmý na ozhanie, v dôsledku čoho sa na ozhaní nemení (pozi úvod kapitoly). To znamená, že veľkosť magnetickej indukcie B v jade sa ovná veľkosti magnetickej indukcie v medzee B. Keďže v jade platí B H a v medzee B H, z ovnosti B B vyplýva vzťah medzi intenzitami magnetického poľa H H (t.j. H > H ). Integál v Ampéovom zákone sa teaz ozkladá na súčet dvoch integálov s ôznymi konštantnými hodnotami H a H po integačných dáhach, ktoých dĺžka je v jade (π R d), v medzee d, takže možno písať π H R d H d. Posledné dve ovnice tvoia sústavu ovníc s neznámymi H a H. Ak z pvej ovnice vyjadíme H a dosadíme do duhej ovnice, dostávame H ovnicu π R d H d, ktoej iešením je H. Hľadaná veľkosť π R 1 d Ob. 5.3 magnetickej indukcie v medzee je B H π R 1 d 89,4 mt. Z výsledného vzťahu vyplýva, že pi zväčšovaní šíky medzey magnetická indukcia v medzee klesá. V dôsledku vyššie spomínanej ovnosti medzi B a B to platí aj pe magnetickú indukciu v jade B. Poznámka: Ľahko možno oveiť, že z výsledného vzťahu v limitnom pípade d, dostávame známy vzťah pe magnetickú indukciu v tooide so spojitým jadom (pozi píklad 5.) B a v pípade 1 π R vzťah pe magnetickú indukciu v tooide bez jada (pozi píklad 4.7) H B π R. 5.5 Na tooidnom jade z mäkkého železa s pieezom S = 1 cm je navinutých N = 6 závitov dôtu, ktoým tečie púd I = 4 ma. Stedný polome pstenca je R = 1 cm. Pi danom púde je elatívna pemeabilita železa µ = 8. Vinutie náhle skatujeme a odpojíme od zdoja. Učte množstvo Joulovho tepla, ktoé sa uvoľní vo vinutí. Po odpojení od zdoja zanikajúce magnetické pole indukuje v skatovanom vinutí elektický púd, ktoého pechodom sa na odpoe vinutia uvoľní teplo, ekvivalentné enegii magnetického poľa tooidu ped odpojením od zdoja. (Pozi píklad 4.19, ktoý ieši podobnú úlohu pe solenoid bez jada). Hustota enegie magnetického poľa je d 1 w H B. V tooide je celé magnetické pole sústedené v
dutine (pozi kapitolu č. 4, Otázky a úlohy, úlohu č. 7). Dutinu vypĺňa železné jado, v ktoom je magnetická indukcia B H, peto hustotu enegie v dutine možno vyjadiť vzťahom w 1 H 1 H H. Keďže intenzita magnetického poľa v dutine tooidu je (pozi píklad 1 4.7) H, možno písať w. Objem dutiny je π R S (pibližne objem πr πr valca s podstavou S a výškou π R ), peto celková počiatočná enegia magnetického poľa tooidu, a teda aj hľadané celkové množstvo uvoľneného Joulovho tepla je: 1 S Q Ep w π R S 4,61 mj. πr 4πR 5.4 Neiešené píklady 5.6 Magnetická susceptibilita gemánia je χ = 8.1 6. Podľa tohto údaja učte, aký typ magnetika je gemánium. Vypočítajte a) veľkosť vektoa magnetizácie v gemániu v magnetickom poli s intenzitou magnetického poľa H = 1 4 A m 1, b) celkový magnetický moment gemánia s objemom = 1 cm 3 pi tej istej intenzite magnetického poľa c) elatívnu pemeabilitu gemánia, d) magnetickú indukciu v gemániu pi tej istej intenzite magnetického poľa. 5.7 Učte, pi akej hodnote intenzity magnetického poľa má elatívna pemeabilita mateiálu, ktoého magnetizačná kivka je zobazená na ob. 5.4, maximálnu hodnotu. Učte túto maximálnu hodnotu pemeability! 1,5 B [T] 5.8 Na tooidnom železnom jade so stedným piemeom d 1 cm je navinutých N 3 závitov, ktoými tečie púd I 5 ma.,5 Učte magnetickú indukciu v stede pieezu železného jada. Pi iešení využite magnetizačnú kivku na ob. 5.4. Učte tiež elatívnu pemeabilitu železa v jade pi daných podmienkach! 1 3 4 5 6 H [Am -1 ] 5.9 Na železnom pstenci s vnútoným polomeom R1 9 cm a vonkajším polomeom R1 11cm Ob. 5.4 je navinutých N 6 závitov dôtu. S využitím magnetizačnej kivky na ob. 5.4 učte veľkosť púdu vo vinutí, ktoý je potebný na vytvoenie magnetickej indukcie B = 1, T v stede pieezu pstenca. 5.1 Na tooidnom železnom jade so stedným polomeom R = 1 cm je navinutá cievka s N = 5 závitmi. Učte púd, ktoý musí tiecť vinutím cievky, aby sa v železnom jade dosiahla magnetická indukcia B = mt. Relatívna pemeabilita železa pi tejto hodnote indukcie je 1. 5.11 Dlhý piamy vodič, ktoým tečie púd I = 1 A, je obopnutý kuhovým železným pstencom s malým pieezom. Stedný polome pstenca je R = 5 cm. Vypočítajte magnetickú indukciu v pstenci! Relatívna pemeabilita železa pi daných podmienkach je µ = 8. 1, 79
5.1 Tooidný železný pstenec so stedným polomeom R 1 cm má piečnu medzeu šiokú d mm. Na pstenci je navinutých N 1 závitov. Učte púd, ktoý musí tiecť závitmi, aby sa v medzee dosiahla magnetická indukcia B 1 mt. Relatívna pemeabilita železa pi týchto podmienkach je 8, ozptyl magnetického toku na okajoch medzey možno zanedbať. 5.13 Na tooidnom železnom pstenci so stedným polomeom R = 5 cm je navinutých N = 1 závitov. Pstenec má piečnu štbinu šiokú d = 1 mm. Keď vinutím tečie púd I =,85 A, indukcia magnetického poľa v medzee je B =,75 T. Rozptyl magnetického toku na okajoch medzey možno zanedbať. Učte elatívnu pemeabilitu železa v týchto podmienkach! 5.14 Na tooidnom pstenci z mäkkého železa s pieezom S = 1 cm je navinutých N = závitov dôtu, ktoým tečie púd I = 1 A. Pstenec má piečnu medzeu šiokú d = mm a stedný polome pstenca je R = 4 cm. Pi danom púde je elatívna pemeabilita mateiálu pstenca 1. Rozptyl magnetického toku na okajoch medzey je zanedbateľný. a) Poovnajte hustotu enegie magnetického poľa v medzee a v pstenci! b) Učte enegiu magnetického poľa v medzee! 5.15 *Pemanentný magnet má tva pstenca s úzkou medzeou medzi pólami. Stedný polome pstenca je R = 1 cm, šíka medzey je d = mm, magnetická indukcia v medzee je B = 4 mt. Rozptyl magnetického toku na okajoch medzey možno zanedbať. Učte vekto intenzity magnetického poľa v mateiále magnetu. (Návod : Celkový púd vystupujúci v Ampéovom zákone je v tomto pípade nulový.) Poznámka: Pi iešení tejto úlohy sa stetávame so zaujímavým faktom, že v pemanentnom magnete s medzeou sú vekto magnetickej indukcie a vekto intenzity magnetického poľa vnúti v magnete oientované nesúhlasne. 1 5.16 Na pemanentnom magnete v tvae valca s dĺžkou l = 15 cm je ovnomene navinutých N = 3 závitov tenkého dôtu. Keď púd vo vinutí dosiahne hodnotu I = 4 ma, vonkajšie magnetické pole v okolí magnetu vymizne. Schematicky vyznačte na hysteéznej kivke body zodpovedajúce stavu magnetu ped odmagnetizovaním a po odmagnetizovaní. Učte koecitívnu intenzitu magnetického poľa pe tento magnet! 1 Bližšie vysvetlenie pozi lit. [4], st. 36. 8