Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (0, - γ), Ε (0, γ) κι στθερό άθροισµ. 3. * Τ σηµεί M ( x, y) µε x = συνθ, y = ηµθ, θ [0, π), Σ Σ Λ Λ νήκουν στην έλλειψη C : x + y = 1. Σ Λ 4. * Η εκκεντρότητ της έλλειψης C είνι ε=, γ όπου γ = -. Σ Λ 5. * Η εκκεντρότητ της έλλειψης C : x + y = 1 µε γ = - γ είνι ε=. 6. * Η έλλειψη C : x + y = 1 τέµνει τον άξον x x στ σηµεί Σ Λ Α (-, 0), Α (, 0) κι τον άξον y y στ σηµεί Β (0, - ), Β (0, ). Σ Λ 7. * Η έλλειψη µε κέντρο K ( x, ) προς τον x x έχει εξίσωση 0 y 0 ( x x ) 0 κι µεγάλο άξον πράλληλο + ( y y ) 0 = 1 κι >. Σ Λ 8. * Ο ριθµός ε = 1, είνι εκκεντρότητ έλλειψης. Σ Λ 146
( x 3 ) 9. * Η εξίσωση y + = 9 16 1 πριστάνει έλλειψη µε εστίες σε άξον πράλληλο των x x. Σ Λ 10. * Η ευθεί µε εξίσωση x = - είνι εφπτοµένη της έλλειψης C: x 4 + y = 1. 11. * Η έλλειψη C: x + y = 1 κι η ευθεί x = 4 δεν έχουν κοινά 3 σηµεί. Σ Λ 1. * Η έλλειψη C: x + y = 1 κι η ευθεί y = έχουν δύο 4 9 διφορετικά κοινά σηµεί. Σ Λ 13. * Οι ελλείψεις C: κι C : 4 1 9 1 7 1 όµοιες. Σ Λ 14. * Το κέντρο της έλλειψης C : x + y = 1είνι το µέσον του τµήµτος που ορίζουν οι εστίες. Σ Λ 15. * Μι φωτεινή κτίν που ξεκινάει πό τη µί εστί έλλειψης, νκλώµενη σ υτήν, διέρχετι πό την άλλη εστί. Σ Λ 16. * Η έλλειψη C x : + y = 1περιέχετι στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες x =, x = -, y = κι y = -. Σ Λ 17. ** Αν Ε στθερό σηµείο του επιπέδου κι Ε το συµµετρικό του ως προς τον άξον x x, τότε τ σηµεί Μ του επιπέδου, διφορετικά των Ε, Ε, τ οποί ικνοποιούν τη σχέση 1 + 1 = 004 ( ME) ( ME ) ( ME)( ME ) νήκουν σε έλλειψη µε εστίες Ε, Ε κι στθερό άθροισµ 004. Σ Λ Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής Σ Λ 147
1. * ίνετι η έλλειψη C x : + y = 1 µε εκκεντρότητ ε. Η ευθεί x = 3 A. είνι εφπτόµενη της έλλειψης C B. είνι τέµνουσ της έλλειψης C Γ. ρίσκετι εκτός της ελλείψεως. ρίσκετι σε πόστση, πό το κέντρο της έλλειψης, ίση µε Ε. κνέν πό τ πρπάνω. * Η έλλειψη µε εξίσωση ( ) ( x x ) y y 0 + Α. πράλληλο προς τον άξον x x Β. πάνω στον άξον x x Γ. πάνω στον άξον y y. πράλληλο προς τον άξον y y Ε. πράλληλο προς την ευθεί µε εξίσωση y = x 3. * H έλλειψη C : + =1 είνι όµοι µε την 9 4 Α.. x 0 = 1 κι < έχει µεγάλο άξον 36 + 1 = 1 Β. 36 + 16 = 1 Γ. x + y = 1 9 y Ε. x 9 y 4. * Η έλλειψη C x : + y = 1 µε γ = - έχει εκκεντρότητ Α. Β. γ Γ.. Ε. κνέν πό τ πρπάνω 5. * Η έλλειψη C : + =1 µε > έχει εστική πόστση: γ 148
Α. Β. + Γ. +. Ε. κνέν πό τ πρπάνω 6. * Η έλλειψη C x : + y = 1, γ = - µε εκκεντρότητ ε έχει εστίες: Α. Ε (-, 0), Ε (, 0) Β. Ε (- ε, 0), Ε (ε, 0) Γ. Ε (- ε, 0), Ε (- ε, 0). E,0, Ε, 0 ε ε Ε. κνέν πό τ πρπάνω 7. * Η ευθεί µε εξίσωση y = είνι εφπτοµένη της έλλειψης C: x + y = 1, 9 k k > 0 µόνο ότν: Α. k = 3 Β. k = - Γ. k =. k = 1 Ε. k = 9 8. ** Η ευθεί y= x+4 είνι εφπτοµένη της έλλειψης C: x k + y = 1, k >0 ότν Α. k = Β. k = 4 Γ. k = 15. k = - Ε. κνέν πό τ πρπάνω Ερωτήσεις ντιστοίχισης 149
1. * Σε κάθε έλλειψη της στήλης Α του πίνκ (Ι) ν ντιστοιχίσετε τις εστίες της στην στήλη Β, συµπληρώνοντς τον πίνκ (ΙΙ). Πίνκς (Ι) Στήλη Α Εξίσωση έλλειψης 1. x y 4 9. x y 16 9 3. ( x 1 ) 4 + y = 1 4. x + 4y = 4 Στήλη Β Εστίες Α. ( 3 + 10, ), ( 3 + 10, )) Β. ( 50, ), ( 5, 0) Γ. ( 0, 5), ( 0, 5). ( 70, ), ( 7, 0) Ε. ( 0, 3), ( 0, 3 ) Ζ. ( 30, ), ( 3, 0) Πίνκς (ΙΙ) 1 3 4 150
. * Σε κάθε έλλειψη της στήλης Α του πίνκ (Ι) ν ντιστοιχίσετε την εκκεντρότητά της στη στήλη Β, συµπληρώνοντς τον πίνκ (ΙΙ). Πίνκς (Ι) Στήλη Α Εξίσωση έλλειψης Στήλη Β Εκκεντρότητ Α. 4 5 1. x 3 + y = 1 Β. 3 4. 9 + 5 = 1 Γ. 6 3 3. 5 4. 5 4. 7 + 16 = 1 Ε. 5 5 Ζ. 3 Πίνκς (ΙΙ) 1 3 4 151
3. ** Ν ντιστοιχίσετε σε κάθε έλλειψη της στήλης Α του πίνκ (Ι) την εξίσωσή της στην στήλη Β, συµπληρώνοντς τον πίνκ (ΙΙ). Πίνκς (Ι) Στήλη Α Έλλειψη Στήλη Β Εξίσωση έλλειψης Α. 8 9 Β. x y 4 Γ. 9 8. 3 Ε. 36 + 16 = 1 Πίνκς (ΙΙ) 1 3 4 15
Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. * Ν συµπληρώσετε τον πίνκ: Εξίσωση έλλειψης 1. 9x + 4y = 36. 4x + y = 4 Εστική πόστση Εκκεντρότητ Εστίες Μεγάλος άξονς 3. 5 + 16 = 1. ** Ν συµπληρώσετε τον πίνκ: Εξίσωση έλλειψης Συντετγµένες κορυφών Εξισώσεις εφπτοµένω ν στις κορυφές Εξισώσεις προλών µε κορυφές τις εστίες της έλλειψης κι εστίες τις κορυφές της έλλειψης 1. x + 4y = 4. x y 4 9 153
Ερωτήσεις νάπτυξης 1. * ίνοντι οι ελλείψεις 1 + y = 1, C : 5x + 6y = 30, C3 : 9x + 4y = x C : 9 Ν ορίσετε: ) τις συντετγµένες των κορυφών τους κι ν τις σχεδιάσετε. ) τις συντετγµένες των εστιών της, την εκκεντρότητ κι τ µήκη των ξόνων.. * ίνετι η έλλειψη C: x 4 + = 0 15 1. Ν ρείτε τ σηµεί της έλλειψης που πέχουν πό τον µικρό άξον µονάδες. 36 3. * Ν ποδείξετε ότι τ σηµεί Μ (x, y) µε x = 1 + 4 συνθ, y = + 3ηµθ, θ [0, π) νήκουν σε έλλειψη της οποίς ν ρείτε την εξίσωση. 4. * ίνετι η έλλειψη C: x + y = 1. 9 4 Ν ρείτε τ κοινά σηµεί της C µε την ευθεί ε στις περιπτώσεις: ) ε: x = 3 ) ε: x = 4 γ) ε: x = δ) ε: y = ε) y = 5 5. ** ίνετι η έλλειψη C : + =1. ) Ν ποδείξετε ότι τ σηµεί Κ (συνθ, ηµθ), θ [0, π) κι π π Λ συν θ +, ηµ θ + είνι σηµεί της έλλειψης C. 3 π ) Ν ποδείξετε ότι τ δινύσµτ OΚ κι OΛ ότν θ π κι θ δεν είνι κάθετ. 154
6. ** Έστω η έλλειψη C: x + y = 1. N ποδείξετε ότι η ευθεί που διέρχετι 9 4 πό το σηµείο Μ (5, 0) κι είνι πράλληλη προς την ευθεί µε εξίσωση x + y = 5 εφάπτετι της έλλειψης C. 7. *** Στο διπλνό σχήµ το ευθύγρµµο τµήµ ΑΒ µήκους l κινείτι κτά τέτοιο τρόπο ώστε τ άκρ του Α,Β ν κινούντι στους άξονες x x κι y y ντιστοίχως. Έστω Μ (x, y) σηµείο της ΑΒ µε (ΑΜ) = κι (ΜΒ) =. Αν η γωνί ΟΑΒ είνι ίση µε θ rad, ) Ν ποδείξετε ότι: OA = l συνθ i, ΑΜ = συνθ i + ηµθ j ) Ν ρείτε την δινυσµτική κτίν OM του σηµείου Μ. γ) Ν ποδείξετε ότι, ότν θ [0, π), το σηµείο Μ (x, y) κινείτι σε έλλειψη της οποίς ν ρείτε την εξίσωση. 8. ** Το τόξο µις γέφυρς πεζών που φίνετι στο διπλνό σχήµ είνι ηµιέλλειψη. Ο µεγάλος άξονς της έλλειψης είνι 10m, το δε δυντό ύψος της γέφυρς πό το κέντρο του επιπέδου του κέντρου του δρόµου είνι 3m. Ν ρείτε το ψηλότερο σηµείο της γέφυρς, ότν τοποθετούµε έν σηµείο σε πόστση m πό το κέντρο του επιπέδου του δρόµου. 155