Kompleksn brojev Skup prrodnh brojeva Skup cjelh brojeva Skup raconalnh brojeva Skup raconalnh brojeva Skup realnh brojeva Skup magnarnh brojeva Skup kompleksnh brojeva Računske operacje s kompleksnm brojevma Konjugrano kompleksn brojev Djeljenje kompleksnh brojeva Kompleksna ravnna Apsolutna vrjednost kompleksnog broja.
. Skup prrodnh brojeva............................ Pojam broja javlja se z potrebe prebrajanja predmeta, bća pojava u čovjekovoj okoln. Tako su nastal brojev,, 3,... koje nazvamo prrodnm brojevma. Skup prrodnh brojeva označavamo s N: N = {,, 3, 4, 5,...}. Ovaj skup ma početn element broj, koj je ujedno najmanj element, al ovaj skup nema najveć element, tj. ne postoj najveć prrodn broj. To znač da od svakog, ma kako velkog prrodnog broja n, uvjek postoj prrodn broj već od njega. Za svak njegov element, osm prvoga, postoj neposredn prethodnk broj za manj, neposredn sljedbenk broj za već. Za svaka dva razlčta prrodna broja a b vrjed l a < b l b < a, što znač da u skupu N postoj uređaj. U skupu prrodnh brojeva uvedena je računska operacja zbrajanja. Prtom brojeve koje zbrajamo nazvamo prbrojncma (sumandma), a rezultat zbrajanja zbrojem (sumom). Svojstva zbrajanja u N 33Skup N zatvoren je na zbrajanje, tj. zbroj blo kojh dvaju prrodnh brojeva prrodn je broj. Smbolčk, za a, b N vrjed: a + b N. 33Asocjatvnost: prbrojnke možemo na blo koj načn združt zbroj se neće promjent. Smbolčk, za a, b, c N vrjed: (a + b) + c = a + (b + c). 33Komutatvnost: prbrojncma možemo zamjent mjesta zbroj se neće promjent. Smbolčk, za a, b N vrjed: a + b = b + a. 8
KOMPLEKSNI BROJEVI U skupu prrodnh brojeva uvedena je računska operacja množenja. Brojeve koje množmo nazvamo faktorma, a rezultat množenja umnoškom (produktom). Svojstva množenja u N 33Skup N zatvoren je na množenje, tj. umnožak blo kojh dvaju prrodnh brojeva prrodn je broj. Smbolčk, za a, b N vrjed: a b N 33Asocjatvnost: faktore možemo na blo koj načn združt umnožak se neće promjent. Smbolčk, za a, b, c N vrjed: (a b) c = a (b c). 33Komutatvnost: faktorma možemo zamjent mjesta umnožak se neće promjent. Smbolčk, za a, b N vrjed: a b = b a. 33Neutraln element za množenje jest broj, to znač: Jednadžba a = a = a, a N. x + a = b, gdje su a, b N, ne mora mat rješenje u skupu N. Tako, prmjerce, jednadžba x + 3 = 5 ma prrodn broj x = za rješenje, dok ne postoj prrodn broj x koj b bo rješenje jednadžbe x + 7 = 4. Rješenje ove jednadžbe jest broj x = 3, koj prpada skupu cjelh brojeva. 9
. Skup cjelh brojeva............................ Skup cjelh brojeva prošrenje je skupa prrodnh brojeva nulom negatvnm brojevma. Označavamo ga sa Z: Z = {..., 3,,, 0,,, 3,...}. Ako je a cjel broj, tada je a cjel broj. Brojeve a a nazvamo suprotnm brojevma. Ovaj skup nema n najmanj n najveć element. Kao u skupu prrodnh brojeva, za svak cjel broj postoj neposredn prethodnk neposredn sljedbenk. I u skupu Z postoj uređaj, tj. za svaka dva razlčta cjela broja a b vrjed l a < b l b < a. Skup cjelh brojeva nasljedo je operacje zbrajanja množenja z skupa prrodnh brojeva, a ovdje je moguća operacja oduzmanja, tj. za svaka dva cjela broja a b vrjed a b Z. Prtom broj od kojeg oduzmamo nazvamo umanjenkom (mnuendom), broj koj oduzmamo umanjteljem (suptrahendom), a rezultat oduzmanja razlkom (dferencjom). Za oduzmanje vrjed: a b = a + ( b), a, b Z, što znač da je oduzmanje zbrajanje umanjenka s umanjteljem kojem je promjenjen predznak. Svojstva zbrajanja u Z Svojstva zbrajanja nasljeđuju se z skupa N, al vrjed sljedeće: 33U skupu Z postoj neutraln element za zbrajanje. To je broj 0 jer za njega vrjed 0 + a = a + 0, a Z. 33Za svak cjel broj a postoj njemu suprotan cjel broj a takav da vrjed: 0 a + ( a) = ( a) + a = 0.
KOMPLEKSNI BROJEVI Svojstva množenja u Z Svojstva množenja u Z nasljeđuju se z skupa N. Uočmo da broj 0, s obzrom na operacju množenja, ma važno svojstvo: Jednadžba a 0 = 0 a = 0 za svak a Z. x a = b, gdje su a, b Z, ne mora mat rješenje u skupu Z. Tako, prmjerce jednadžba x 3 = ma cjel broj x = 4 za rješenje, dok ne postoj cjel broj x koj b bo rješenje jednadžbe 7 x = 4. Rješenje je ove jednadžbe broj x = 4 koj prpada skupu raconalnh brojeva. 7
3. Skup raconalnh brojeva.......................... Skup raconalnh brojeva čne brojev koje možemo zapsat u oblku razlomka: m, m Z, n N, n pr čemu ovaj zaps predstavlja djeljenje cjelog broja m (brojnka) prrodnm brojem n (nazvnkom). Ako je brojnk djeljv nazvnkom, raconaln broj ujedno je cjel. Vrjed obrat: svak cjel broj možemo napsat u oblku razlomka nazvnka : m = m, m Z. Dakle, skup raconalnh brojeva prošrenje je skupa cjelh brojeva. Označavamo ga s Q: Q = m n : m Z, n N Ako je broj m n Q tada je broj n m Q u slučaju kad je m 0. Brojeve m n, n m m 0, nazvamo recpročnm brojevma. U skupu Q postoj uređaj, tj. za svaka dva razlčta raconalna broja a b vrjed l a < b l b < a. Za elemente ovog skupa ne možemo odredt neposrednog prethodnka n neposrednog sljedbenka. Između blo koja dva raconalna broja postoj beskonačno mnogo raconalnh brojeva. Tako, prmjerce za a, b Q, a < b postoj broj za koj vrjed: a < a+ b < b. Osm računskh operacja nasljeđenh z skupa cjelh brojeva njhovh svojstava, za raconalne brojeve defnrana je operacja djeljenja, pa za svaka dva raconalna broja a b, b 0, vrjed a : b Q. Prtom broj kojeg djelmo nazvamo djeljenkom (dvdendom), broj kojm djelmo djelteljem (dvzorom), a rezultat djeljenja kolčnkom (kvocjentom). Za djeljenje raconalnh brojeva vrjed:
KOMPLEKSNI BROJEVI a: b= a, a, b Q, b 0, b što znač da je djeljenje množenje recpročnm brojem. Računske operacje u skupu Q nasljeđuju svojstva z skupa Z, a za množenje još vrjed: 33Za svak element skupa Q (osm nule) postoj nverzn element za množenje. To znač da za svak raconaln broj a (razlčt od nule) postoj njemu recpročn broj a takav da vrjed: a = a =. a a Jednadžba x x = a, a Z, a 0, l kraće x = a ne mora mat rješenje u skupu Q. Tako su, prmjerce, rješenja jednadžbe x = 6 raconaln brojev x = 4 x = 4, dok ne postoj raconaln broj x koj b bo rješenje jednadžbe x = 7. Rješenja ove jednadžbe su brojev x = raconalnh brojeva. 7 x = 7 koj prpadaju skupu 3
4. Skup raconalnh brojeva......................... Istaknul smo da se svak raconaln broj može prkazat kao razlomak. No, svak raconaln broj možemo zapsat u decmalnom oblku (prmjerce djeljenjem brojnka nazvnkom) pr čemu je broj decmalnh mjesta l konačan l se skupna znamenaka ponavlja. Obrat ne vrjed jer postoje decmaln brojev koje ne možemo napsat u oblku razlomka. Takv brojev čne skup raconalnh brojeva. Tom skupu prpadaju, prmjerce,, 3, 5,... Decmaln zaps raconalnog broja ma beskonačno mnogo decmalnh mjesta pr čemu ne postoj skupna znamenaka koja se ponavlja. Takve brojeve, dakle, ne možemo prkazat u decmalnom oblku, al, buduć da h korstmo u računu, aproksmramo h decmalnm brojem s konačno mnogo decmala. Prmjerce: π 3.4596535897933846643383795, e.788884590453536087473566. Skup raconalnh brojeva uobčajeno je označt s I. 4
5. Skup realnh brojeva............................. Skup raconalnh brojeva skup raconalnh brojeva zajedno čne skup realnh brojeva koj označavamo s R. Dakle, Q I= R. U skupu realnh brojeva defnrane su računske operacje zbrajanja množenja sa svojstvma nasljeđenm z skupa raconalnh brojeva. Elementma skupa R možemo prdružt točke pravca kojeg u tom slučaju nazvamo brojevnm pravcem. Tako je svakom realnom broju prdružena točno jedna točka brojevnog pravca obratno, svakoj je točk brojevnog pravca prdružen točno jedan realn broj. Pokažmo kako se to prdružvanje vrš. Odredmo na pravcu točku O kojoj prdružmo broj 0 te točku E kojoj prdružmo broj. Točku O nazvamo shodštem, a točku E jednčnom točkom. Udaljenost točaka O E nazvamo jednčnom udaljenošću. Nanesmo dužnu OE desno od točke E. Tako dobvamo točke (počevš od točke E) kojma su prdružen prrodn brojev, tj. element skupa N. Nanesmo dužnu OE ljevo od točke O. Tako dobvamo točke kojma su prdružen negatvn cjel brojev, pa tme na brojevnom pravcu dobvamo točke kojma su prdružen sv brojev skupa Z. Podjelmo l dužnu OE na n djelova, pa jedan od njh nanesemo m puta desno (odnosno ljevo) od točke O, dobl smo točku kojoj je prdružen raconaln broj m n (odnosno m ). Ako smo dužnu OE nanosl desno od O, dobl smo poztvan n raconalan broj, a ako smo to učnl ljevo od O, dobl smo negatvan raconalan broj. Tako smo odredl točke u koje se preslkavaju element skupa Q. 5
KOMPLEKSNI BROJEVI Neke elemente skupa I na brojevnom pravcu možemo dobt konstrukcjom pravokutnka kojemu se duljna djagonale može zračunat korsteć se Ptagornm poučkom. Ako je realnom broju x prdružena točka T, kažemo da je x koordnata točke T, što zapsujemo T(x). Brojevn pravac zorno prkazuje uređaj u skupu realnh brojeva. Name, ako je točka T (x ) ljevo od točke T (x ), tada je realn broj x manj od broja x pšemo x < x. Neka je realnom broju x prdružena točka T brojevnog pravca. Udaljenost točke T od shodšta O nazvamo apsolutnom vrjednošću l modulom broja x. Apsolutna vrjednost realnog broja uvjek je poztvan broj, tj. x x za x< 0 = 0 za x = 0 x za x> 0. Apsolutna vrjednost negatvnom broju promjen predznak, a poztvan broj nulu ostavlja nepromjenjenma. Za nas će često bt značajan podskup skupa R čj su element samo poztvn realn brojev. Taj ćemo podskup označavat smbolom R +. Dakle, R + = {x R : x > 0}. U skupu realnh brojeva moguće je rješt jednadžbu oblka x = a samo ako je a 0. Tako, prmjerce, jednadžba x = 4 nema rješenja u skupu realnh brojeva. Njh treba potražt u jednom drugom skupu - skupu magnarnh brojeva. 6
6. Skup magnarnh brojeva......................... Jednadžbu x = rješt ćemo korjenovanjem: x =±. Prtom se ptamo koj broj moramo pomnožt samm sobom da bsmo dobl. Jednadžba ma dva realna rješenja: Rješmo analogno jednadžbu: Sljed: x =, x =. x =. x =±. Broj nje realan jer ne postoj broj koj, pomnožen sam sobom, daje kao umnožak. Broj nazvamo magnarnom jedncom označavamo oznakom : = Očgledno vrjed: = ( ) =. Nadalje vrjed: Zapamtmo: 3 = = ( ) = 4 = = ( ) ( ) =. = 3 = 4 =. 7
KOMPLEKSNI BROJEVI Ovo posljednje možemo skorstt za prkaz svake cjelobrojne potencje magnarne jednce. Djeljenjem prrodnog broja s 4, ostatak može bt 0,, l 3. To znač da se svak prrodn broj može napsat kao: 4k l 4k + l 4k + l 4k + 3, gdje je k N. Potencramo l broj prrodnm brojem, rezultat može bt: 4k = ( 4 ) k = k = 4k + = 4k = = 4k + = 4k = ( ) = 4k + 3 = 4k 3 = ( ) =. Prmjer Izračunajmo 7 + 7 + 3 557. Rješenje Prv prbrojnk možemo transformrat na sljedeć načn: 7 = 4 6 + 3 = ( 4 ) 6 3 = 6 ( ) =. Očgledno je dovoljno gledat samo ostatak djeljenja eksponenta brojem 4: 7 = 3 =. Tako je 7 = =. Prsjetmo se: broj je djeljv s 4 ako mu je dvoznamenkast završetak djeljv s 4. To znač da je ovdje dovoljno promatrat ostatak djeljenja broja 7 s 4. Buduć da ostatak djeljenja broja 57 s 4 znos, to je 3 557 = = pa je 7 + 7 + 3 557 = + + =. Podsjetmo se da smo raconalzacju nazvnka provodl prošrvanjem razlomka: 8 = a = a, a R +. a a a a
KOMPLEKSNI BROJEVI Buduć da je = nazvnku:, slčno možemo postupt u slučaju magnarne jednce u = = = ( ) =. Sada možemo pojednostavnt svaku potencju magnarne jednce s negatvnm cjelobrojnm eksponentom. Prmjer Izračunajmo 9 + 90 + 90. Rješenje Buduć da je to je 90 = 90 = = = 90 = 90 = 0 = =, 9 = 9 = 3 = = ( )= 9 + 90 + 90 = + =. Skup magnarnh brojeva čne brojev oblka b, b R, gdje je magnarna jednca. U ovaj skup možemo uvest operacju zbrajanja ona će mat sva svojstva koja ma zbrajanje realnh brojeva. Međutm, množenjem dvaju magnarnh brojeva, nećemo dobt magnarn već realn broj, što znač da skup magnarnh brojeva nje zatvoren na operacju množenja. Da b se struktura skupa realnh brojeva prošrla na magnarne brojeve, uveden je skup kompleksnh brojeva. 9
7. Skup kompleksnh brojeva......................... Brojeve oblka z = x + y, x, y R nazvamo kompleksnm brojevma. Prtom je magnarna jednca. Broj x R nazvamo realnm djelom kompleksnog broja oblježavamo Re z, a broj y R magnarnm djelom kompleksnog broja oblježavamo Im z. Skup kompleksnh brojeva uobčajeno je označt oznakom C: C = {x + y : x, y R}. Dakle, opć oblk kompleksnog broja je z = x + y, x, y R. Uočmo, ako je y = 0, onda je z = x, pa zaključujemo da je skup R podskup skupa C, tj. R C. Prmjer 3 Odredmo realn magnarn do kompleksnog broja z = 3 + 4. Rješenje Re z = 3, Im z = 4. 0
8. Računske operacje s kompleksnm brojevma...................... Uvedmo operacju zbrajanja u skup C: (x + y) + (u + v) = (x + u) + (y + v). Zbroj kompleksnh brojeva kompleksn je broj kojemu je realn do zbroj realnh djelova prbrojnka, a magnarn do zbroj magnarnh djelova prbrojnka. Svojstva zbrajanja u C 33Skup C zatvoren je na zbrajanje, tj. zbroj blo kojh dvaju kompleksnh brojeva kompleksn je broj. Smbolčk, za z, z C vrjed: z + z C. 33Asocjatvnost zbrajanja: prbrojnke možemo na blo koj načn združt zbroj se neće promjent. Smbolčk, za z, z, z 3 C vrjed: (z + z ) + z 3 = z + (z + z 3 ). 33Komutatvnost zbrajanja: prbrojncma možemo zamjent mjesta zbroj se neće promjent. Smbolčk, za z, z C vrjed: z + z = z + z. 33U skupu C postoj neutraln element za zbrajanje. To je, naravno, 0 koju, u skladu s općm oblkom kompleksnog broja, pšemo 0 + 0. Name, vrjed: (x + y) + (0 + 0) = (0 + 0) + (x + y) = x + y. 33Za svak kompleksn broj z = x + y postoj njemu suprotn broj z = x y sa svojstvom: z + ( z) = ( z) + z = 0, tj. zbroj blo kojeg kompleksnog broja njemu suprotnog elementa jednak je neutralnom elementu za zbrajanje. U skupu C defnrana je operacja množenja na sljedeć načn: (x + y) (u + v) = (xu yv) + (xv + yu). Name, (x + y) (u + v) = xu + xv + yu + yv = xu + xv + yu yv = = (xu yv) + (xv + yu). Kompleksne brojeve množmo kao bnom bnomom, a prtom vodmo računa o čnjenc da je =.
KOMPLEKSNI BROJEVI Svojstva množenja u C 33Skup C zatvoren je na množenje, tj. umnožak blo kojh dvaju kompleksnh brojeva kompleksn je broj. Smbolčk, za z, z C vrjed: z z C. 33Asocjatvnost množenja: faktore možemo na blo koj načn združt umnožak se neće promjent. Smbolčk, za z, z, z 3 C vrjed: (z z ) z 3 = z (z z 3 ). 33Komutatvnost množenja: faktorma možemo zamjent mjesta umnožak se neće promjent. Smbolčk, za z, z C vrjed: z z = z z. 33U skupu C postoj neutraln element za množenje. To je broj + 0 =. Name, vrjed: (x + y) = (x + y) = x + y. Prmjer 4 Zbrojmo, oduzmmo pomnožmo brojeve z = 3 + 5 z = 4. Rješenje z + z = 3 + 5 + 4 = (3 + 4) + (5 ) = 7 + 3 z z = 3 + 5 (4 ) = 3 + 5 4 + = (3 4) + (5 + ) = + 7 z z = (3 + 5) (4 ) = 6 + 0 0 = ( + 0) + ( 6 +0) = = + 4 Prmjer 5 Izračunajmo z za z = + 3. Rješenje z = ( + 3) = + 3 + (3) = 4 + 9 = 5 +
9. Konjugrano kompleksn brojev.............. Za svak kompleksn broj z = x + y postoj kompleksn broj z = x y. Rad se, dakle, o brojevma jednakh realnh djelova suprotnh magnarnh djelova. Ovakav par brojeva nazvamo konjugranm parom kompleksnh brojeva. Zbroj para konjugrano kompleksnh brojeva realn je broj: z + z = x + y + x y = x. Razlka para konjugrano kompleksnh brojeva magnarn je broj: z z = x + y (x y) = x + y x + y = y. Umnožak para konjugrano kompleksnh brojeva realn je broj jednak zbroju kvadrata realnog magnarnog djela toga broja: z z = (x + y) (x y) = x (y) = x + y. Prethodna jednakost, čtana zdesna naljevo, daje rastav zbroja kvadrata na faktore: x + y = (x + y) (x y). Prmjer 6 Rastavmo na faktore: a) x + 4, b) a 4 b 4. Rješenje a) x + 4 = (x + ) (x ) b) a 4 b 4 = (a + b ) (a b ) = (a + b) (a b) (a + b) (a b) 3
0. Djeljenje kompleksnh brojeva.................. Prsjetmo se da smo razlomke s raconalnm brojem u nazvnku raconalzral na sljedeć načn: Buduć da je = analogno: = a b = a b a+ b a + b a b a b., to u slučaju kompleksnog broja u nazvnku postupamo x = x+ y x + y x y x y = y x ( y) = x x + y y x + y. Djeljenje kompleksnh brojeva možemo prkazat u oblku razlomka, a njega možemo prošrt kompleksnm brojem koj predstavlja konjugrano kompleksn broj nazvnka. Na taj se načn u nazvnku pojavljuje zbroj kvadrata, a to je realn broj s kojm možemo djelt realn magnarn do brojnka, te tme odredt opć oblk traženog kompleksnog broja. Dakle, kolčnk kompleksnh brojeva kompleksn je broj. Prmjer 7 Podjelmo z = + 0 brojem z = + 3. Rješenje z z : z +0 +0 3 5 3 5 3 = = = = = =4. z + 3 + 3 3 4+ 9 3 3 4
. Kompleksna ravnna....................... Konstrurajmo koordnatnu ravnnu na sljedeć načn. Neka je os apscsa brojevn pravac na kojem će se očtavat realn do kompleksnh brojeva. Nazovmo taj pravac realnom os. Položmo okomto na njega os ordnata brojevn pravac na kojem će se očtavat magnarn do kompleksnog broja. Nazvamo ga magnarnom os. Tako određenu koordnatnu ravnnu nazvamo kompleksnom ravnnom l Gaussovom ravnnom. Na ovaj je načn kompleksnom broju z = x + y prdružena u kompleksnoj ravnn točka s koordnatama (x, y) pa često kompleksn broj prkazujemo u oblku uređenog para. Dakle, svakom je kompleksnom broju prdružena točno jedna točka ravnne. Vrjed obrat: svakoj je točk Gaussove ravnne prdružen točno jedan kompleksn broj. Buduć da su točke (x, 0), x R, smještene na os apscsa, zaključujemo da se skup realnh brojeva u kompleksnoj ravnn nalaz na toj os pa je označavamo s Re. Sve točke s koordnatama (0, y), y R, smještene su na os ordnata. Buduć da su kompleksn brojev oblka 0 + y = y zapravo magnarn brojev, to su on u kompleksnoj ravnn smješten na os ordnata pa je označavamo s Im. Prmjer 8 Prkažmo u kompleksnoj ravnn brojeve z = 3 +, z = 4 +, z 3 = 3, z 4 = 3 prdružmo m uređene parove. Rješenje slka z = (3, ), z = ( 4, ), z = ( 3, 0), z = (0, 3) 5
KOMPLEKSNI BROJEVI Prmjer 9 Prkažmo u kompleksnoj ravnn sve točke za koje vrjed: Re z Im z = 3. Rješenje Ako je rječ o kompleksnom broju z = x + y, gdje je Re z = x, a Im z = y, zadanu jednakost možemo napsat: x y = 3, z čega sljed y = x 3, što predstavlja eksplctn oblk jednadžbe pravca. Dakle, sve točke koje zadovoljavaju jednadžbu y = x 3 (a tme jednadžbu Re z Im z = 3), prpadaju grafu toga pravca. slka Podsjetmo se postupka crtanja grafa lnearne funkcje y = ax + b, a, b R. Realn broj b predstavlja odsječak pravca na os ordnata najprje crtamo točku T (0, b). Gledamo l realn broj a (kojeg nazvamo koefcjentom smjera pravca, jer određuje njegov nagb u koordnatnom sustavu) kao razlomak a = c, pomaknmo se od d nacrtane točke T za d (nazvnk!) jednca udesno, tj. nacrtajmo točku T (d, b). Od točke T pomaknmo se u točku T 3 (d, b + c), a to znač c jednca prema gore ako je koefcjent smjera poztvan, odnosno prema dolje ako je koefcjent smjera negatvan. 6
. Apsolutna vrjednost kompleksnog broja.......................... Apsolutna vrjednost l modul kompleksnog broja predstavlja udaljenost točke prdružene tom broju od shodšta. slka 3 Prmjenom Ptagorna poučka (slka 3) apsolutnu vrjednost kompleksnog broja z = x + y računamo na sljedeć načn: x = x + y. Prmjer 0 Izračunajmo apsolutnu vrjednost kompleksnog broja z = 3 4. Rješenje 3 9 5 5 z = + ( ) = + = = 4 6 6 4 7
KOMPLEKSNI BROJEVI Prmjer Odredmo točke kompleksne ravnne koje zadovoljavaju jednadžbu z =. Rješenje Zadanu jednadžbu možemo napsat ovako: x + y =, z čega kvadrranjem dobvamo x + y = 4. Posljednja jednadžba predstavlja jednadžbu kružnce sa sredštem u shodštu polumjera. Općento, jednadžbom (x p) + (y q) = r određena je kružnca sa sredštem u točk S(p, q) polumjera r. Dakle, z jednadžbe je potrebno pročtat koordnate sredšta odredt ga u koordnatnoj ravnn, a zatm oko njega opsat kružncu polumjera r čj kvadrat stoj na desnoj stran zadane jednadžbe. 8
Zadac. Rješ jednadžbe: a) x 5 = 0, b) 9x 00 = 0, c) x + 5 = 0, d) x + 9 = 0, e) x + 7 = 0, f ) x + 8 = 0, g) 0.6x + = 0, h) 7x + 6 = 0.. Izračunaj: a) + 4 9, b) 4 8+ 3 49 7 64, c) 8 8+ 3 50, d) + 7 + 9 8 9, e) + 9, f ) 4+ 4 + 4 6, g) 5+ 5 45 + 5, h) 3 + 3 50 3 5 8. 3. Izračunaj: a) ( ) + ( 9), b) ( 5+ 5) ( 49), c) ( 4 3) + ( + 7), d) ( + 8) ( 3 8). 4. Izračunaj: a) + 3 + 3 9, b) 4 + 3 + 5 6, 4 3 c) + 3 + 3, d) 3 + 7 5. 6 8 5 3 5. Izračunaj: a) 3 ( 4) + ( ), b) 5 ( + 5 ) ( 5 ), c) (4 3 ) ( + 7 ), d) 3 ( 4) 3 ( + ). 6. Izračunaj: 3 5 a) + + + 7 0 0 30 40, b) 4 + 8 6, 4 8 6 c) +, d) + + + 7. Izračunaj: 33 55 66 77 a) [( ) 3 + ( ) 4 6 ]:( ) 6, b) ( 4) :( ) 4 ( 3) 4 :( 9),. 3 3 c) ( 3 8) + ( 8) d) 3 : 3 3. 9
8. Izračunaj: a) ( 3 ) 7, b) ( 4 4 + 8 8 ) ( 37 4 9 ), 4 3 c) ( ) ( ) ( ) ( ), 8 4 9 3 5 + + d) 0. 5 9 ( ) 5 ( 8). 3 9. Odred realn magnarn do sljedećh kompleksnh brojeva: a) z = 3 +, b) z = 4, c) z =, d) z = 3 + 3 4 e) z = 3, f ) z = 9, g) z = 9 +, h) z = 3. 0. Odred nepoznate realne brojeve x y z uvjeta da kompleksn brojev z z budu jednak: a) z = 3 +, z = x +, b) z = 3 + y, z = 3, c) z = x +, z = 5 + y, d) z = 3 + x, z = y 4, e) z = x + y, z = 8, f ) z = (x + y) + y, z = 3, g) z = 3 + (x + y), z = x, h) z = x + 3y + y, z = 3 6.. Odred realne brojeve x y ako je zadano: a) x + y = 3 4, b) x + (y + ) = 6 3, c) (x + 6) + (y ) = 3 4, d) (x + y) + (x + y) = 3 +.. Zbroj oduzm sljedeće kompleksne brojeve: a) z = 3 +, z = +, b) z = 3 + 7, z = 3, c) z = +, z = 5 +, d) z = 3 4 + 5, z = 4 4, e) z = 3 +, z = 3, f ) z = 0.3 +., z = 3.3 0.. 3. Zadan su kompleksn brojev z = 3 + 7, z = 3 z 3 = + 4. Izračunaj: a) z + z + z 3, b) z +3z z 3, c) z 4z + z 3, d) z z + z 3, e) 3(z +z ) z 3, f ) 3 z 3 z + z 3. 4. Pomnož sljedeće kompleksne brojeve: a) z = +, z = +, b) z = 3 + 5, z = 3, c) z = 3 +, z = 4 +, d) z = 7 + 5, z = 7 3, 30
e) z = + 4, z = 4 +, f ) z = 5 +, z = 5, g) z = 3 + 3, z = 3, h) z = 0. +., z = 0.3 0.. 5. Izračunaj: a) (5 + ), b) (3 + 5), c) (3 ), d) 5), e) +, f ) + 3, g) ( + ) 3, h) ( 3) 3, ) 3 6. Izračunaj: 3 +, j) 3 3, k) ( ) 4, l) ( + ) 8. a) ( + ) + ( 3), b) ( + ) ( ), c) (3 ) + ( + ), d) (3 ) (6 ). e) (4 + ) (4 ) ( ), f ) (3 ) ( + ) ( ). 7. Izračunaj: a) ( ) 4 + ( + ) 4, b) ( + ) 4 ( ) 4, c) ( 80 + 90 ) 0, d) e) + 40 40 g) 8. Podjel: 33 44 404 55 40 4, f ) +, h) 53 4 43 00 00 + 45, 0, 35 35 35 53 53. a) + 7, b) 0 + 5 + 3+ 4, c) 7 +, d) 4 + 3, 3+ 3+ e), f ) 3 5 +, g) 3 5+, h) + 3. 9. Odred realn magnarn do sljedećh kompleksnh brojeva: a) z = 3 + ( ) ( 3), b) z = ( ) + 3 (3 ), c) z = (4 4) + ( ) ( 3), d) z = + 3, e) z = 3 + 3 + +, f ) z = ( 3+ )( 5 ). + 3
0. Izračunaj: a) Re 3 + +, b) Re (4 ), c) Im + 3 5, d) Im +. Neka je z = 3 z = +. Izračunaj: a) z + z, b) z + 3z, c) z z, d) z, e) z, f ) z : z, g) z z, h) 5z : z... Izračunaj: a) ( + ) + ( + ) 3 + ( + ) 4, b), + + 3 c) ( ) + 3 : 5, 5 ( 5 ) + + 3. Rješ jednadžbe: d) 64 5 000 004 : + + +. 00 003 + + a) z + 4 5 = + 6, b) 7 z + 5 = 4 c) z (3 + ) = 3 +, d) z : (4 + 3) =, e) (7 + ) : z = 3 + 4, f ) (3 + ) + z (3 ) = 7. 4. Odred konjugran broj sljedećh kompleksnh brojeva: a) z = +, b) z = +, c) z = 7, d) z = 3, e) z = 3 4, f ) z = 5, g) z = 3 +, h) z =. 6 6 5. Za zadan kompleksn broj z zračunaj z + z, z z, z z z : z ako je: a) z = + 3, b) z = +, c) z = 5 3 d) z =. 6. Ako je z = +, zračunaj: a) z + z, b) z z 7. Ako je z = +, zračunaj: z z z. a) +, b) + z z z z, c) + zz + z+ z, d) z z z z 8. Iz zadanh jednakost odred kompleksn broj z: a) z + z = 8 b) z 3 z = + z z =, z 4z = 4, c) 5 z : 3 z= 3 + 4 z+ z =, 3 3 d) z 3z = + 5 z : z =..
9. Izračunaj apsolutnu vrjednost sljedećh kompleksnh brojeva: a) z = 4 + 3, b) z = 8 6, c) z = 3, d) z =, e) z = 4 3 +, f ) z = 5 8 +. 30. Izračunaj apsolutnu vrjednost sljedećh kompleksnh brojeva: a) z = ( ) (3 ), b) z = ( + ) ( ), c) z = 6 4 + 3, d) z = ( 3 ). 3+ 4 3. Izračunaj z ako je zadano: a) z= ( 3+ 4) ( 8+ 5 ), b) z = 7 +. 3. Neka je z z = 3, = + 3 +. Odred: a) Re (z + z ), b) Im (z z ), c) z, d) z z. 33. U kompleksnoj ravnn prkaž sljedeće kompleksne brojeve: z = +, z =, z 3 = 3, z 4 = + 3, z 5 = 4, z 6 = 3, z 7 = 3, z 8 =. 34. Koj su brojev prkazan u kompleksnoj ravnn na sljedećoj slc? Im z z z 5 z 3 O z 4 Re z 6 z 7 35. U kompleksnoj ravnn prkaž sljedeće skupove: a) Re z =, b) Im z = 3, c) Re z + Im z =, d) z + = z, e) z = z, f*) z = 3, g*) z 4 =, h*) z 3 + =. 36. U kompleksnoj ravnn prkaž sljedeće skupove: a) Re z < 3, b) Re z, c) Im z >, d) Im z 0, 33
e) Re z Im z <, f ) Re z + Im z, g) z + z, h) z > z, *) z < 3, j*) z > 4, k*) z 3, l*) z 3. 37. Rastav na faktore: a) a + b, b) a + 9, c) 5 + b, d) 4a + b, e) x + 6y, f ) 36x + 49y. 38. Skrat: a) 9 + x, b) 5x + 3 + x 0x 39. Rješ sustav jednadžb: z 3z = + 9 z+ z = 3 a) b) z z = 7+ 8, z z =. Rješenja. a) ±5, b) ± 0, c) ±5, d) ±3, e) ± 7, f ) ± 3, g) ±.5, h) ± 3.. a) 0, b), c) 4, d) 4, e), f ) 6, g) 3, h) 3 + 3. 3 3. a) 3 4, b) 3 +, c) 6+ 3, d) + 5. 4. a) 5 3 4 4, b) 4 + 5, c) 7 3 3 4, d) 9 3 0 + 77 30. 5. a) 8 4, b) 3+ 7 5, c) ( 3), d). 6. a) 0, b) 0, c), d). 7. a), b) 0, c) 8, d). 8. a), b) 4, c) 4 35, d) 6. 9. a) Re z = 3, Im z =, b) Re z = 4, Im z =, c) Re z = 0, Im z =, d) Re z = 3 4, Im z = 3, 34 e) Re z = 3, Im z =, f ) Re z = 9, Im z = 0, g) Re z =, Im z = 9, h) Re z = 0, Im z = 3. 0. a) x = 3, b) y =, c) x = 5, y =, d) x = 4, y = 3, e) x = 8, y =, f ) x = 4, y =, g) x = 3, y = 8, h) x =, y = 3.. a) x = 3, y =, b) x = 3, y = 5, c) x = 3, y =, d) x =, y =.. a) z + z = 4 + 4, z z =, b) z + z = 6 + 6, z z = 8, c) z + z = 5 +, z z = 4 +, d) z + z = +, z z = 0.5 + 9, e) z + z = 3 3, z z = 3+ 3, f ) z + z = 3.6 +, z z = 3 +.4.
3. a) 4 + 0, b) 4, c) 8 +, d) +0, e) + 0, f ) + 9. 4. a) 3 + 4, b) 4 +, c) + 7, d) 64 +4, e) 6, f ) 0 4 0, g) 9+ 5 3, h) 0.4 +0.3. 5. a) + 0, b) 6 + 30, c) 8 6, d) 4 0, e) 3 + 4, f ) 3, g), h) 46 9, ), j), k) 4, l) 6. 6. a), b) 4, c) 5 + 0, d) 7 8, e) 7 +, f ) 4. 7. a) 4, b) 0, c) 0, d) 0, e), f ) 3, g), h). 8. a) 3 + 4, b), c) 3 + 4, d) 3 +, e) 4 + 3, f ), g) 3, h). 9. a) Re z =, Im z = 0, b) Re z = 8, Im z = 5, c) Re z = 4, Im z = 39, d) Re z = 3, Im z =, e) Re z = 4, Im z = 0, f ) Re z =, Im z =. 0. a), b) 5, c) 0, d).. a) 5, b) 7, c) 3 4, d) 5, e) 3 + 4, f ) 5 ( 4+ 7 ), g) ( 8 + ), h) (4 + 7).. a) + 39, b) 3, c), d). 5 5 3. a) z = +, b) z = 3 + 6, c) z = + 3, d) z = +, e) z =, f ) z =. 4. a), b), c) 7 +, d) 3 +, e) 3 4, f ) 5 +, g) 3, h). 6 6 5. a) z+ z = 4, z z = 6, z z = 3, 5 z : z = +, 3 3 b) z+ z =, z z = 4, z z = 5, 3 4 z : z = +, 5 5 c) z+ z = 0, z z = 6, z z = 34, 8 5 z : z =, 7 7 d) z+ z = 0, z z =, z z =, z : z =. 6. a) 4, b). 5 7. a), b), c), d). 5 35
8. a) 4 +, b), c), d) +. 9. a) 5, b) 0, c) 0, d), e) 5 3, f ) 7 8. 30. a) 5, b) 5, c), d). 3. a) 85, b) 5. 3. a) 4 5, b) 5, c) 33. 5 5, d) 5. Im z 4 z 8 z z 7 z 5 z 3 O z Re z 6 34. z = + 3, z =, z 3 = 3 +, z 4 = 3, z 5 = 4, z 6 =, z 7 = 3. 35. a) b) c) d) Im Im Im Im x+y = x = x = 0.5 Re Re Re O O O O Re x = 3 e) f ) g) h) Im Im Im Im O y=x x +y =9 ( x 4) +y = ( x 3) + ( y +) =4 Re Re O O O 36
36. a) b) c) d) Im Im Im Im x = 3 x = Re Re Re y =0 Re O O O O y = e) f ) g) h) Im Im Im O x y = Re x+y = Re Re O O O 4 x y +3=0 Im x 4y +3=0 Re ) j) k) l) Im Im Im Im x + y =9 Re Re Re O O O O ( x ) + y =6 ( x 3) +( y ) =4 ( x ) +( y ) =9 37. a) (a b) (a + b), b) (a 3) (a + 3), c) (5 b) (5 + b), d) (a b) (a + b), e) (x 4y) (x + 4y), f ) (6x 7y) (6x + 7y). 38. a) 3 x, b) 5 x+. 39. a) z = + 3, z = 3, b) z = +, z =. 37