Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στο κφάλαιο αυτό πριγράφται ν υντοµία η πίλυη προβληµάτων παραµορφώιµων ωµάτων µ λατο-πλατική υµπριφορά, µέω της µθόδου των ππραµένων τοιχίων. Παρουιάζται αρχικά µία διατύπωη της βαικής θωρίας πλατικότητας των µτάλλων, και τη υνέχια η αριθµητική ολοκλήρωη των λατο-πλατικών ξιώων και η νωµάτωη της µθοδολογίας αυτής ένα πριβάλλον ππραµένων τοιχίων. Επίης, παρουιάζται το πως η διαδικαία ολοκλήρωης των κατατατικών ξιώων της λατο-πλατικότητας ντάται ένα πρόγραµµα µη-γραµµικής ανάλυης ππραµένων τοιχίων. Η παρουίαη αφορά την βαική πλατικότητα των µτάλλων. Είναι όµως ηµιωτέο πως η θωρία της πλατικότητας έχι φαρµοτί και προβλήµατα άλλων υλικών (π.χ. γω-υλικών και κυροδέµατος. ονοµατική τάη P Y Α E πριοχή πλατικού lateau λατική πριοχή.5% re Γ Γ Β E Γ 0 πριοχή κράτυνης νέα λατική πριοχή Y ανηγµένη παραµόρφωη L L Σχήµα 5.: Πλατική υµπριφορά απλού δοµικού χάλυβα. Φόρτιη, αποφόρτιη από το Β το Γ και παναφόρτιη, πάλι το Β. 5. Πλατική υµπριφορά των µτάλλων Σ πολλές πριπτώις, η παραδοχή της λατικής υµπριφοράς νός υλικού δν παρκί για να πριγράψι την πραγµατική του υµπριφορά. Ειδικότρα τα µέταλλα, όταν οι τάις ξπράουν ένα υγκκριµένο όριο (το οποίο µονοαξονικό φλκυµό ονοµάζται όριο διαρροής και υµβολίζται µ, τότ η υµπριφορά γίνται πλατική. Χαρακτηριτικό της Y υµπριφοράς αυτής ίναι η µικρή αύξηη των τάων για µγάλς χτικά πιβαλλόµνς παραµορφώις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις ονοµατική τάη P Β πριοχή κράτυνης Y Α E E νέα λατική πριοχή Y λατική πριοχή re Γ Γ Γ 0 ανηγµένη παραµόρφωη L L Σχήµα 5.: Πλατική υµπριφορά χάλυβα υψηλής αντοχής. Φόρτιη, αποφόρτιη από το Β το Γ και παναφόρτιη, πάλι το Β. Η υµπριφορά νός δοκιµίου από υνήθη δοµικό χάλυβα φαίνται το χήµα 5., και υγκκριµένα φαίνται η χέη της ανηγµένης πιµήκυνης (δηλαδή παραµόρφωης και της αντίτοιχης ονοµατικής τάης (δηλαδή δύναµης διαιρµένης µ το µβαδό της διατοµής του δοκιµίου. Η αρχική πριοχή ίναι οιονί γραµµική (λατική πριοχή, νώ µτά την τάη διαρροής το ηµίο Α η καµπύλη γίνται χδόν οριζόντια (πριοχή του πλατικού lateau. Μτά από µία παραµόρφωη της τάξης του.5%, η καµπύλη αρχίζι να αναβαίνι λόγω του φαινόµνου της κράτυνης. Μία άλλη καµπύλη το χήµα 5. δίχνι τη υµπριφορά νός χάλυβα υψηλής αντοχής όπου δν υπάρχι η πριοχή του πλατικού lateau µτά την τάη διαρροής, και αµέως µτά την διαρροή ξκινά η κράτυνη του υλικού. Ίδια υµπριφορά µ το χήµα 5. παρουιάζουν οι ανοξίδωτοι χάλυβς καθώς και οριµένα κράµατα αλουµινίου. Και τα δύο ανωτέρω χήµατα ένα πιπλέον βαικό χαρακτηριτικό ίναι πως όταν το δοκίµιο αποφορτίζται, τότ η αποφόρτιη γίνται «λατικά», δηλαδή κατά µία υθία η οποία ίναι παράλληλη µ την αρχική λατική υµπριφορά. Αυτό ηµαίνι πως η µίωη της παραµόρφωης από το Β το Γ ίναι ίη µ την υνολική λατική παραµόρφωη που αντιτοιχί το ηµίο Β, δηλαδή ίη µ e E όπου ίναι η τάη το ηµίο Β. Επιπλέον, µ την πλήρη αποφόρτιη το ηµιο Γ (τάη ίη µ µηδέν υπάρχι µία «παραµένουα» παραµόρφωη ίη µ την υνολική πλατική παραµόρφωη µέχρι το ηµίο Β, νώ. ηλαδή η πλατική παραµόρφωη ίναι «µηαντιτρέψιµη». ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις ονοµατική τάη P Β E d > 0 E T φαπτοµνικό µέτρο (κράτυνης Y Α λατική αποφόρτιη d < 0 E E S τέµνον µέτρο (κράτυνης ανηγµένη παραµόρφωη L L Σχήµα 5.: Εφαπτοµνικό και τέµνον µέτρο κράτυνης.. Ας θωρήουµ τώρα την λατοπλατική υµπριφορά του χήµατος 5.. Η κλίη της φαπτοµένης της καµπύλης ένα ηµίο (έτω το Β υµβολίζται µ, και υνήθως ιχύι ET E. Το ET ονοµάζται φαπτοµνικό µέτρο τιβαρότητας του υλικού. Υποθέτουµ πίης πως έχουµ ήδη ξπράι το όριο διαρροής Y, βρικόµατ το ηµίο Β και πιβάλλουµ µία αύξηη της παραµόρφωης d. Αυτό µπορί να θωρηθί πως ίναι το άθροιµα µίας λατικής e αύξηης d και µίας πλατικής αύξηης d, ώτ e d d d + ( E T Η αντίτοιχη αύξηη των τάων d ίναι ή αλλιώς ( d E d d ( d E d T Ορίζοντας το µέτρο κράτυνης E E H T E E T ή H ET E E T µπορώ να γράψω d H d ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Ας υποθέουµ τώρα ότι ένα δοκίµιο µ υµπριφορά όπως το χήµα 5.4, µτά την αποφόρτιη του δοκιµίου από το ηµίο Β το ηµίο Γ, υνχίζω να φορτίζω το δοκίµιο αλλά από την αντίθτη πλυρά, τότ η λατική υµπριφορά κάποια τιγµή θα ταµατήι και το δοκίµιο θα υµπριφρθί ανλατικά, έτω το ηµίο Β. Έτω ότι η τάη την οποία θα γίνι αυτό ίναι η. Τίθται το ρώτηµα ποιο ίναι το ηµίο Β. Αν θωρήω ότι τότ το υλικό µας έχι «ιοτροπική» κράτυνη. Όταν + Y τότ το υλικό µας έχι «κινηµατική» κράτυνη. Σηµιώνται πως η υµπριφορά νός πραγµατικού δοκιµίου ίναι υνήθως ανάµα τις δύο ανωτέρω υποθέις. Η ιοτροπική κράτυνη αυξάνι το ύρος της λατικής πριοχής «υµµτρικά» δηλαδή όο την πριοχή του φλκυµού τόο και την πριοχή της θλίψης. Αντιθέτως, η κινηµατική κράτυνη «διατηρί» το αρχικό ύρος της λατικής πριοχής του υλικού, δηλαδή ίο µ Y. Παρατήρηη Χάριν απλότητας, αρκτές φαρµογές, θωρούµ πως η υµπριφορά µτά τη διαρροή πριγράφται µ µία υθία γραµµή (χήµα 5.5 και η υµπριφορά ονοµάζται «γραµµική κράτυνη». Η γραµµική αυτή θώρηη την πλατική πριοχή δν ίναι απαραίτητη για την ανάλυη που θα παρουιάουµ αυτό το κφάλαιο, αλλά µρικές πριπτώις ίναι αρκτά χρήιµη για την κατανόηη των βαικών ννοιών, καθώς και την απλοποιητική προοµοίωη της λατο-πλατικής υµπριφοράς. Παρατήρηη Σ αντίθη µ την λατική υµπριφορά, η πλατική υµπριφορά έχι το χαρακτηριτικό πως δν υπάρχι πλέον η µία-προς-µία αντιτοιχία µταξύ τάων και παραµορφώων. Αυτό ηµαίνι πως µία τιµή της τάης αντιτοιχούν γνικώς άνω της µίας (ουιατικά άπιρς τιµές παραµορφώων. ονοµατική τάη Α Y Α E P κράτυνη λατική πριοχή? re Y Γ Γ Β E νέα λατική πριοχή ανηγµένη παραµόρφωη L L Σχήµα 5.4: Φόρτιη, αποφόρτιη και παναφόρτιη κατά την αντίθτη διύθυνη. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 4 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Α Y? P Α E λατική πριοχή Y E T ταθ. γραµµική κράτυνη Γ Β E re Γ νέα λατική πριοχή L L Σχήµα 5.5: Ελατο-πλατική υµπριφορά µ ταθρό µέτρο λατο-πλατικής τιβαρότητας µ φόρτιη, αποφόρτιη και παναφόρτιη κατά την αντίθτη διύθυνη (ταθρή κράτυνη. 5. Μρικά βαικά τοιχία τανυτών καρτιανά υτήµατα Πριν προχωρήουµ την διατύπωη των βαικών ξιώρων της µαθηµατικής θωρίας της πλατικότητας θα παρουιάουµ ν υντοµία µρικά βαικά τοιχία από την άλγβρα τανυτών ης και 4 ης τάξης. Έτω ότι ο ίναι τανυτής ας τάξης. Ορίζται ως ένα γραµµικός τλτής που απικονίζι τον χώρο V των διανυµάτων τον αυτό του. ηλαδή Γράφουµ u V v V v u νώ οι υνιτώς του τανυτή αυτού ως προς µία Καρτιανή βάη ίναι ij v i i juj O τανυτής 4ης τάξης απικονίζι τον χώρο L των τανυτών ης τάξης το χώρο L των τανυτών ης τάξης. L L ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 5 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις και γράφω όπου οι υνιτώς του ίναι, ως προς ένα Καρτιανό ύτηµα ij ijkl kl όπου χρηιµοποιούµ την ύµβαη άθροιης παναλαµβανόµνων δικτών. Ο πολλαπλαιαµός δύο τανυτών ης τάξης (ξ οριµού δίνι έναν νέο τανυτή C ως ξής C µ υνιτώς ως προς ένα Καρτιανό ύτηµα C ij ik kj Το ωτρικό γινόµνο δύο τανυτών ης τάξης (ξ οριµού δίνι έναν αριθµό ως ξής ij ij νώ το ωτρικό γινόµνο δύο διανυµάτων (ξ οριµού δίνι έναν αριθµό u v uv i i T Ο ανάτροφος τανυτής νός τανυτή 4 ης τάξης ορίζται ως ξής: T ( ( για κάθ τανυτές,. T Ο ανάτροφος τανυτής νός τανυτή ης τάξης ορίζται ως ξής: T ( ( u w w u για κάθ διανύµατα u, v. Το τανυτικό γινοµένο δύο διανυµάτων u, v ίναι ένας τανυτής ης τάξης που υµβολίζται µ u v και έχι την ιδιότητα για κάθ διάνυµα w να ιχύι ( u v w ( v w u Αν u v τότ οι υνιτώς του τανυτή ης τάξης ως προς ένα καρτιανό ύτηµα υντταγµένων ίναι ij uv i j ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 6 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Το τανυτικό γινοµένο δύο τανυτών ης ης τάξης, ίναι ένας τανυτής 4 τάξης που υµβολίζται µ και έχι την ιδιότητα για κάθ τανυτή ης τάξης C να ιχύι ( ( C C Αν τότ οι υνιτώς του τανυτή ως προς ένα καρτιανό ύτηµα υντταγµένων ίναι ijkl ijkl όπου οι, έχουν υνιτώς ij και ij αντίτοιχα. Σηµιώνται πως αν ιχύι τότ ο ανάτροφος ίναι T Επίης, για τον τανυτή ης τάξης, µ u v τότ ο ανάτροφος ίναι T v u Μ βάη τα ανωτέρω µπορώ να ορίω το ωτρικό γινόµνο E δύο τανυτών 4 ης τάξης και E όπου ο τανυτής E ίναι ίος µ E δίνι έναν αριθµό ως ξής Επίης ιχύι T ( ( E T ( ( u v u v Για οποιονδήποτ τανυτή ης τάξης µ υνιτώς ij, µπορώ να γράψω: + 0 0 ( Επίης αν + 0 και ο ίναι αποκλίνων τανυτής, τότ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 7 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Αν ο 4 ης τανυτής ίναι υµµτρικός, θα ιχύι ( ( ( ( Τέλος αν ο ης τάξης ίναι αποκλίνων και ίναι ο 4 ης τάξης τανυτής τιβαρότητας της ιότροπης λατικότητας (βλέπ την πόµνη νότητα µ υνιτώς G( δ δ + δ δ + K G δ δ ijkl ik jl il jk ij kl τότ ιχύι G ( Για πραιτέρω πληροφορίς χτικά µ τανυτές που κφράζονται Καρτιανά υτήµατα υντταγµένων, ο αναγνώτης παραπέµπται τα βιβλία των oriheko & Taraov και Αράβα. 5. Εξιώις γραµµικής λατικής υµπριφοράς Στην γραµµική λατικότητα χύουν οι ολικές χέις τάων παραµορφώων και οι αυξητικές χέις τάων παραµορφώων προκύπτουν µ παραγώγιη όπου ίναι ο τανυτής λατικής τιβαρότητας. Για ιότροπο γραµµικά λατικό υλικό τα τοιχία του τανυτή ίναι G( δ δ + δ δ + K G δ δ ijkl ik jl il jk ij kl ή αλλιώς ( G δ δ + δ δ + λδ δ ijkl ik jl il jk ij kl όπου. I. oriheko ad I. E. Taraov, Vector ad Teor alyi with licatio, over, 979. Ν. Αράβας, «Καρτιανοί Τανυτές», Πανπιτήµιο Θαλίας, 004. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 8 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις E (, E, E v G K λ K G ( + v ( v ( + v( v Αν γράψουµ + 0 e + 0 όπου ίναι ο µοναδιαίος τανυτής, τότ ( K K 0 kk kk kk (4 ij Ge ij Σηµιώνουµ πως για γραµµικό λατικό ιότροπο υλικό ιχύι, λόγω της ( G Τέλος, οι χέις γραµµικής ιότροπης λατικότητας γράφονται και G + λδ ij ij ij kk λ δ G G G ( + λ ij ij ij kk 5.4 Βαικά τοιχία µαθηµατικής θωρίας λατο-πλατικής υµπριφοράς Η θωρία λατο-πλατικής υµπριφοράς, ή αλλιώς «θωρία πλατικότητας, ξκινά από µία γνίκυη των αυξητικών χέων τάων και παραµορφώων ( και ( πολυδιάτατη ντατική κατάταη. Συγκκριµένα ιχύι και e (5 + ( (6 Υπάρχουν αρκτές θωρίς πλατικότητας. Κάθ θωρία πριλαµβάνι τρία βαικά τοιχία Ένα κριτήριο διαρροής Έναν νόµο πλατικής ροής Έναν νόµο κράτυνης τα οποία θα παρουιατούν πιο κάτω αναλυτικά. Για µία βάθος ανάλυη της λατοπλατικής υµπριφοράς, ο αναγνώτης παραπέµπται τα βιβλία: W. F. Che &. J. Ha, Platicity for Structural Egieer, Sriger-Verlag, 988. J. Lublier, Platicity Theory, Macmilla, 990. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 9 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις 5.4. Κριτήριο διαρροής Ορίζουµ µία υνάρτηη F που ονοµάζται υνάρτηη διαρροής, και ίναι υνάρτηη των τάων και των ποοτήτων και που χτίζονται (όπως θα δούµ µ τον νόµο της ˆ κράτυνης. ηλαδή F(,,. Η χέη F(,, 0 (7 κφράζι µία πιφάνια το χώρο των τάων, η οποία ονοµάζται πιφάνια διαρροής ή κριτήριο διαρροής. Το χήµα της πιφάνιας ίναι υνήθως κυρτό, και όταν ίναι το υλικό απαραµόρφωτο, η πιφάνια διαρροής πριλαµβάνι το κέντρο του «χώρου» των τάων (το ηµίο δηλαδή όπου οι τάις ίναι µηδέν. Μ απλά λόγια η πιφάνια διαρροής δηλώνι τον «υπόχωρο» του υνολικού «χώρου» των τάων όπου το υλικό υµπριφέρται λατικά. Όταν οι τάις αυξηθούν και φτάουν την πιφάνια διαρροής, τότ το υλικό το υπόψη ηµίο αρχίζι να υµπριφέρται ανλατικά (λατο-πλατικά. Στην πρίπτωη αυτή, η πιφάνια διαρροής µταβάλλται και αρχίζι ίτ να µτακινίται, ίτ να αλλάζι το χήµα της, ίτ και τα δύο µαζί. Το ίναι ένας τανυτής που κφράζι το πώς κινίται το κέντρο της πιφάνιας διαρροής, νώ ίναι µία ποότητα που λέγται ιοδύναµη πλατική παραµόρφωη και µας δίχνι το µέγθος της πλατικής παραµόρφωης (θα το ορίουµ την πόµνη παράγραφο. ηλαδή το µας δίχνι το πώς κινίται η πιφάνια διαρροής το χώρο και το δίχνι το πόο µταβάλλται το µέγθος της πιφάνιας διαρροής. Εδώ υπογραµµίζουµ µία πολύ βαική παραδοχή της µαθηµατικής θωρίας της πλατικότητας. Συγκκριµένα, αν κάποιος υπολογίι τη υνάρτηη τάων F(,,, τότ αυτή οφίλι να ίναι ίτ µηδέν (δηλαδή F(,, 0 και τότ ηµαίνι πως η τάη το υπόψη ηµίο βρίκται πάνω την πιφάνια διαρροής και το υλικό «διαρέι» (δηλ. παρουιάζι πλατική υµπριφορά, ίτ αρνητική (δηλαδή F(,, < 0, δηλαδή η τάη το υπόψη ηµίο βρίκται ντός της πιφάνιας διαρροής και η υµπριφορά του υλικού το υπόψη ηµίο ίναι λατική. Επιπλέον, η δυνατότητα θτικής τιµής για την υνάρτηη διαρροής δν υπάρχι. Αν έχουµ F(,, 0 και F > 0 (χήµα 5.6, δηλαδή το διαφορικό του τανυτή της τάης ίναι προς το «ξωτρικό» της πιφάνιας διαρροής, τότ θα µταβληθούν καταλλήλως και τα, ώτ την νέα θέη να έχω πάλι F(,, 0. Αυτή η παραδοχή λέγται ιδιότητα της «υνέπιας» και κφράζται µαθηµατικά µ F 0 ή df 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 0 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις πιφάνια διαρροής F > 0 F λατική αποφόρτιη πλατική φόρτιη F > 0 φαπτοµένη την πιφάνια διαρροής Σχήµα 5.6: Πλατική φόρτιη και λατική αποφόρτιη όταν βρικόµατ πάνω την πιφάνια διαρροής. Συνοψίζοντας: Η πρίπτωη F(,, 0 και F > 0, λέγται πλατική φόρτιη. Η πρίπτωη F(,, 0 και F < 0, λέγται λατική αποφόρτιη. Όταν F(,, < 0 έχω λατική υµπριφορά για οιοδήποτ, νώ η κατάταη F(,, > 0 δν υφίταται (δν ίναι αποδκτή. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Αν έχω ιότροπο υλικό µέχρι την πρώτη διαρροή του υλικού το υπόψη ηµίο, αυτό ηµαίνι πως το µέγθος της πιφάνιας διαρροής ίναι ανξάρτητο της διύθυνης κατά την οποία γίνται η φόρτιη του υλικού το υπόψη ηµίο, άρα θα πρέπι η αρχική πιφάνια διαρροής (δηλαδή πριν την πρώτη τιγµή που θα παρουιατί πλατικότητα το υπόψη ηµίο να ξαρτάται από τις αναλλοίωτς ποότητς του τανυτή των τάων. Αυτό ηµαίνι πως θα µπορούα να γράψω F( F( I, I, I 0 (8 Επίης, έχι αποδιχθί πως τα µταλλικά υλικά, η πλατική παραµόρφωη ίναι ανξάρτητη της υδροτατικής πίης, και ποµένως ξαρτάται από τον αποκλίνοντα τανυτή της τάης και µόνον. Εποµένως, για ιότροπο µταλλικό υλικό η αρχική πιφάνια διαρροής ξαρτάται από τις αναλλοίωτς ποότητς του αποκλίνοντα τανυτή, δηλαδή ιχύι F( F( J, J 0 (9 Παραδίγµατα τέτοιων πιφανιών διαρροής που χρηιµοποιούνται υρέως την λατοπλατική ανάλυη υλικών και κατακυών ίναι τα ξής: Κριτήριο διαρροής vo Mie F J k 0 (0 Κριτήριο διαρροής Treca ( ( ( 4 6 4 7 6 96 64 0 ( F J J k J k J k Η µορφή της πιφάνια διαρροής που πριγράφται από τη χέη (9 ηµαίνι πως η πιφάνια διαρροής ίναι «κυλινδρικού τύπου» µ γνέτιρς κατά τη διύθυνη του διανύµατος που ίναι κάθτο το αποκλίνον πίπδο (π-lae του χώρου των (κυρίων τάων. Αυτό φαίνται το χήµα 5.7 για τις πιφάνια vo Mie. Επίης, το χήµα 5.8 φαίνται η τοµή των δύο πιφανιών διαρροής µ το αποκλίνον πίπδο. Σχήµα 5.7: Τριδιάτατη απικόνιη της πιφάνιας διαρροής vo Mie το χώρο των κυρίων τάων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Σχήµα 5.8: Γωµτρική απικόνιη της πιφάνιας διαρροής vo Mie και της πιφάνιας διαρροής Treca το πίπδο του χώρου των κυρίων τάων (όψη κάθτη το πίπδο. π π 5.4. Νόµος πλατικής ροής Ορίζουµ µία υνάρτηη πλατικού δυναµικού τάων και των ποοτήτων,, δηλαδή Q Q(,, Q, η οποία ίναι πίης µία υνάρτηη των. Αν το λ ίναι µία βαθµωτή ποότητα, το οποίο λέγται και πλατικός πολλαπλαιατής, ο ρυθµός αύξηης της πλατικής παραµόρφωης δίνται από τον τύπο Θέτοντας Q λ ( Q ( έχω λ (4 Η ανωτέρω χέη κφράζι τον νόµο πλατικής ροής. Αν το πλατικό δυναµικό υµπίπτι µ τη υνάρτηη διαρροής, τότ η πλατική παραµόρφωη λέγται «υχτιµένη» ή «υνηρτηµένη» (aociated, και ίναι η υνήθης πρίπτωη για τα µταλλικά υλικά. Τότ, λ (5 όπου F (6 5.4. Νόµος κράτυνης Στην ξίωη της πιφάνιας διαρροής, ο τανυτής δίχνι τη θέη του κέντρου της πιφάνιας διαρροής το χώρο των τάων. Πριν την µφάνιη οιαδήποτ πλατικής παραµόρφωης, έχω. Για την οικονοµία της υζήτηης, θα θωρήω την πλέον απλή 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις χέη για την ξέλιξη του ν λόγω τανυτή, υποθέτοντας πως µ τη ξέλιξη της πλατικής παραµόρφωης έχω C (7 Επίης, ορίζω το µέγθος (ιοδύναµη πλατική παραµόρφωη ως ξής µ t dt (8 0 (9 Μ τη βοήθια της χέης (4, µπορώ να γράψω λ (0 Βαικός τόχος ίναι να διατυπώω κατατατικές χέις - που να λαµβάνουν υπόψη πλατική υµπριφορά. Αντί για ολικές χέις - θα έχω χέις αυξητικές χέις της e ης µορφής, όπου ο τανυτής 4 τάξης ξαρτάται, µταξύ άλλων, από την παρούα κατάταη τάης και παραµόρφωης. Αρχικά θωρώ την ιδιότητα της υνέπιας F 0 και παραγωγίζω την χέη (7, και έχω Θέτοντας για υκολία F F F + + 0 F e φ F έχουµ ϕ F + φ + ϕ 0 ( Αντικαθιτώντας την ( τις χέις του νόµου κράτυνης (7 και ροής (0, καταλήγω µία έκφραη για το λ µ λ ( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 4 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις C ( φ + ϕ ( Αυτό ηµαίνι πως ο νόµος πλατικής ροής µπορί να γραφί ( ( Στην υνέχια πολλαπλαιάζω ωτρικά και τα δύο µέλη της (6 µ το και έχω (4 ( ( Συνδυάζοντας τις ( και (4, και χρηιµοποιώντας τις (0, (7 και (4, καταλήγω µία νέα έκφραη για το λ λ ( ( (5 όπου ( C ( φ ϕ (6 Η χέη (6 λόγω της (4 γράφται ( λ (7 και αντικαθιτώντας το λ από την χέη (5 την χέη (7 καταλήγω την τλική αυξητική χέη τάων παραµορφώων όπου e ( ( e ( ( (8 (9 ίναι ο 4 ης τάξης τανυτής φαπτοµνικής (τιγµιαίας λατοπλατικής τιβαρότητας και ( C ( φ ϕ (0 Παρατηρήτ πως τη γνική πρίπτωη, ο τανυτής e δν ίναι υµµτρικός. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 5 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις 5.5 Ειδικές Πριπτώις της γνικής θωρίας 5.5. «Συχτιµένη» (ή «υνηρτηµένη» πλατικότητα (aociated laticity Στην πρίπτωη αυτή, η υνάρτηη πλατικού δυναµικού διαρροής F, οπότ ιχύι Q ίναι η ίδια µ την υνάρτηη F Q δηλαδή Εποµένως οι ολικές χέις - γίνονται: όπου e ( ( ( e ( ( ( και ( C ( φ ϕ Παρατηρήτ πως την προκίµνη πρίπτωη, ο τανυτής e ίναι υµµτρικός. 5.5. Πλατικότητα vo Mie µ ιοτροπική κράτυνη Το κριτήριο διαρροής γράφται F k ( 0 ( ή F J k 0 ( Η πρίπτωη αυτή ονοµάζται και J πλατικότητα. Στην πρίπτωη αυτή, η πιφάνια διαρροής µγαλώνι µέγθος όο αυξάνται η πλατική παραµόρφωη (δηλαδή το νώ δν µτακινίται το κέντρο της το χώρο των τάων ( C 0. Επίης θωρώ «υχτιµένη» πλατικότητα, οπότ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 6 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις F και G Ο νόµος πλατικής ροής γίνται λ (4 Η ιοδύναµη τάη ορίζται: (5 και ποµένως το κριτήριο διαρροής γράφται k νώ η αύξηη της ιοδύναµης πλατικής παραµόρφωης γίνται λ λ νώ µ κατάλληλη παραγώγιη της υνάρτηης διαρροής έχω ϕ F dk k d Από την (4, µ την βοήθια των ( και ( έχω (6 Επιπλέον, µτά από κάποις απλές πράξις, ο τανυτής λατο-πλατικής τιβαρότητας γίνται: e 9G dk d ( + G Ότι υµβαίνι τη γνική πρίπτωη πολυ-διάτατης ντατικής κατάταης που µόλις ξτάαµ, θα υµβαίνι και την ιδική πρίπτωη του µονοαξονικού φλκυµού. Στην πρίπτωη αυτή έχω 0 0, τ 0 y z ij και ο αποκλίνων τανυτής των τάων έχι τις ξής υνιτώς ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 7 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις y z Επίης, από τη χέη (4 ο τανυτής ίναι αποκλίνων, και ποµένως y z, γ ij 0 Από τη χέη (5 έχω Θα µπορού ποµένως να δι λοιπόν κάποιος την ως µια γνίκυη της µονοαξονικής τάης για καθαρό φλκυµό. Από το κριτήριο διαρροής ( έχω k ( y z ( F + + k 0 ή αλλιώς k άρα το k κφράζι την τάη διαρροής τον καθαρό (µονοαξονικό φλκυµό. Εποµένως dk d d H d όπου H ίναι το µέτρο κράτυνης τον µονοαξονικό φλκυµό. ηλαδή ο λόγος dk d µπορί να θωρηθί πως ξαρτάται από το, µ τον ίδιο τρόπο που το µέτρο κράτυνης τον µονοξαονικό φλκυµό ξαρτάται από το. ηλαδή e 9 G ( ( H + G (7 όπου H ξαρτάται από το µονοαξονικό φλκυµό από το µ τον ίδιο τρόπο που το µέτρο κράτυνης ξαρτάται τον. Η διαδικαία αυτή προδιοριµού της υνάρτηης H ( µέω της υµπριφοράς µονοαξονικό φλκυµό ονοµάζται «βαθµονόµηη» του µοντέλου της πλατικότητας (calibratio of the laticity model. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 8 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις 5.5. Πλατικότητα vo Mie µ κινηµατική κράτυνη Το κριτήριο διαρροής την πρίπτωη αυτή ίναι µία παραλλαγή του (, και γράφται k F ( α ( α 0 µ k ταθρό και α το αποκλίνον τµήµα του τανυτή που δίχνι την θέη της πιφάνιας διαρροής. Θωρώντας υχτιµένη πλατικότητα έχω F ( α ξ (8 ώτ ( λ ξ λ α (9 Επίης, θωρώ µία χέη για την ξέλιξη του τανυτή πιφάνιας διαρροής ανάλογη της χέης (7, ως ξής που δίχνι την θέη (το κέντρο της (40 α C χρηιµοποιώντας το α δηλαδή το αποκλίνον τµήµα του τανυτή, δδοµένου πως ο τανυτής ίναι αποκλίνων λόγω της (9. Ορίζοντας την «ιοδύναµη τάη» ξ ως ξής: ξ ξξ το κριτήριο διαρροής γίνται k F ξξ 0 ή αλλιώς ξ k Στην πρίπτωη αυτή ιχύουν G ξ και ποµένως ( ( 4G ( ξ ξ k Gξξ G ( ( Μτά από κάποις απλές πράξις την έκφραη ( έχω ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 9 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις e 9G C ξ ( ξ ξ + G Εξτάζω τώρα την πρίπτωη του µονοαξονικού φλκυµού. Ο αποκλίνων τανυτής των τάων ίναι y z και το αποκλίνον τµήµα α του τανυτή έχι υνιτώς α αy αz Το κριτήριο διαρροής γίνται δηλαδή k ( -α( -α 0 6 k ( + k (4 9 Επίης, ο νόµος κράτυνης (7 δίνι C α Εποµένως ή d d dα d C C H Εποµένως, τις υνολικές χέις της πολυ-διάτατης υµπριφοράς θα ιχύι α H νώ µπορώ να γράψω την κάτωθι µορφή για την λατοπλατική τιβαρότητα: e ( ξ ξ ( H + G 9G ξ όπου το H ξαρτάται από το τον µονοαξονικό φλκυµό. µ τον ίδιο τρόπο που το µέτρο κράτυνης ξαρτάται από το ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 0 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις 5.5.4 Πλατικότητα vo Mie χωρίς κράτυνη Το κριτήριο διαρροής για την πρίπτωη της τέλιας πλατικότητας ίναι k F 0 µ C 0 ( α 0 και k ταθρό ( k 0. Στην πρίπτωη αυτή έχουµ H 0, και από την χέη (7, Παρατηρήτ πως G e e ( G ( G ( G G G 0 ηλαδή η τιµή µηδέν ( ίναι µία ιδιοτιµή του και το ίναι το αντίτοιχο ιδιοδιάνυµα. Εποµένως 0 e ( det 0. e Και ο τανυτής ίναι µη-αντιτρέψιµος και δν ίναι πλέον θτικά οριµένος. ΕΡΩΤΗΣΗ: Τι πίπτωη έχι η µη-αντιτρψιµότητα του e την υνολική ακαµψία µίας κατακυής? 5.5.5 Σύνοψη πλατικότητας vo Mie Α. Ιοτροπική κράτυνη F k ( 0 (4 λ (4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις e 9 G ( ( H + G (44 όπου H dk d και ο λόγος dk d µπορί να θωρηθί πως ξαρτάται από το κράτυνης τον µονοξαονικό φλκυµό ξαρτάται από το., µ τον ίδιο τρόπο που το µέτρο Β. Κινηµατική κράτυνη µ k ταθρό, k F ( α ( α 0 (45 ( (46 λ α H α (47 e ( ξ ξ ( H + G 9G ξ (48 όπου το H ξαρτάται από το τον µονοαξονικό φλκυµό. Γ. Τέλια πλατικότητα µ τον ίδιο τρόπο που το µέτρο κράτυνης ξαρτάται από το k F 0 (49 λ (50 e G ( (5 5.6 Γνική λατο-πλατική ανάλυη ππραµένων τοιχίων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Θωρώ την ιορροπία του λατοπλατικού υτήµατος που καταλαµβάνι το χωρίο Ω µ ύνορο, όπως αυτή κφράζται από την αρχή των δυνατών έργων. Ω Ω δdω b δudω + t δ ud b t Στην ανωτέρω χέη ίναι οι τάις, και ίναι οι δυνάµις ανά µονάδα όγκου και πιφανίας το ύνορο, νώ δ και δu ίναι ένα ύτηµα κινηµατικά αποδκτών (δυνατών παραµορφώων και µτατοπίων. Συνήθως τα προβλήµατα που ξτάζουµ δν έχουν δυνάµις όγκου ( έχω δ d Ω Ω t δud t t + t Θωρώ τώρα πως οι ξωτρικές δυνάµις µταβάλλονται και γίνονται b 0, οπότ πιο απλά Αυτό ηµαίνι πως θα πρέπι το παραµορφώιµο ώµα να αλλάξι η παραµορφωιακή του κατάταη και η ντατική του κατάταη ώτ να έχουµ ιορροπία µία νέα θέη, υπό τη νέα τιµή των ξωτρικών δυνάµων t t + t, δηλαδή να ιχύι Ω δ dω t + t ud ( δ (5 Η µη-γραµµική αυτή ξίωη µπορί να γραµµικοποιηθί ως ξής χρηιµοποιώντας τη µέθοδο Newto αναπτύοντας κατά Taylor την τάη την νέα θέη ιορροπίας + + (5 ιατηρώντας µόνον τους γραµµικούς όρους την (5, και ιάγοντάς την την (5 έχω Ω δdω ( t + t δud δdω Ω ηλαδή, θωρήαµ πως η µταβολή των τάων ίναι ( µία πρώτη προέγγιη Ο 4 ης (54 τάξης τανυτής ίναι η «Ιακωβιανή» της µθόδου Newto. Συγκρίνοντας τις χέις (8 και (54, ίµατ τον πιραµό να θωρήουµ πως ο 4 ης τάξης τανυτής ίναι ίος µ τον 4 ης τάξης τανυτή της λατοπλατικής τιβαρότητας µ τάις, οπότ την πρίπτωη αυτή e την αρχική θέη ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5
e ( δ d ( δ d Ω Ω t + t u dω Σ µορφή πινάκων, η ανωτέρω χέη (55 γράφται ( δ T e d Ω δ T + d T Ω Ω u t t δ d Ω Θωρώ διακριτοποίηη Galerki (ππραµένων τοιχίων, οπότ Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Ω δ (55 και [ N ] [ N ] u uˆ δu [ ] [ ] δuˆ uˆ δ δuˆ όπου ˆ u και άγνωτα και τα δ û οι υντλτές των υναρτήων Galerki, όπως έχουµ πριγράψι (τα u ˆ û N ο πίνακας των υναρτήων βάης και δ τυχαία, [ ] ο πίνακας µ τις παραγώγους των υναρτήων βάης. Μ την ανωτέρω διακριτοποίηη, οι γραµµικοποιηµένς ξιώις ιορροπίας γράφονται: ή αλλιώς T e T ( [ ] [ ] ˆ [ ] ( [ ] Ω d Ω u N t + t d d Ω [ K ] uˆ Pet P it (56 όπου το µητρώο ακαµψίας [ K ] ίναι T e [ ] [ ] [ ] K dω Ω Ω T [ ] νώ τα διανύµατα ίναι ία µ P et, P it κφράζουν τις ξωτρικές και ωτρικές δυνάµις αντίτοιχα, και T [ ] ( P N + d et t t [ ] T Pit dω Ω Επίλυη της (56 ως προς (δοκιµατική θέη ιορροπίας ˆ u µας δίνι τις µτατοπίις το τυχαίο ηµίο τη νέα [ N ] ˆ u u+ u u+ u Οι παραµορφώις το τυχαίο ηµίο τη νέα (δοκιµατική θέη ιορροπίας ίναι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 4 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις [ ] ˆ + + u Η αύξηη τάων µπορί να γραφί προγγιτικά (57 e και ποµένως, οι τάις την δοκιµατική θέη ιορροπίας θα ίναι προγγιτικά + Μ βάη αυτές τις τάις µπορώ να υπολογίω τις νές «ωτρικές δυνάµις» θα πρέπι να ιορροπούν τις ξωτρικές δυνάµις, οι οποίς. Αν αυτό δν υµβαίνι, τότ παναλαµβάνω την ανωτέρω διαδικαία, θωρώντας την ξίωη (56, βρίκοντας τις νές αυξητικές µτατοπίις u ˆ κτλ. P et P it ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η ανωτέρω χέη (57 απαιτί ιδιαίτρη προοχή. Ο τανυτής λατοπλατικής τιβαρότητας e δν ίναι ανξάρτητος της τρέχουας ντατικής κατάταης, δηλαδή ξαρτάται από την τρέχουα τάη. Εποµένως, η ολοκλήρωη της αυξητικής χέης (58 e δίνι µία χέη που µόνον προγγιτικά µπορί να γραφί µ τη µορφή της χέης (57. Γνικά, η ολοκλήρωη αυτή απαιτί µγάλη προοχή ώτ να υπολογιτούν µ ακρίβια οι νές τάις. Εποµένως, αντί της χέης (57 µπορούµ να γράψουµ πιο ωτά, ( f Σηµιώνται πως η ακριβής ολοκλήρωη των λατοπλατικών χέων ίναι το «κλιδί» για µια αξιόπιτη λατοπλατική ανάλυη µίας κατακυής. Η ολοκλήρωη των ν λόγω κατατατικών ξιώων θα µας απαχολήι την πόµνη παράγραφο. 5.7 Μέθοδοι ολοκλήρωης λατο-πλατικών ξιώων Όπως ήδη αναφέρθηκ, η ακριβής ολοκλήρωη των λατοπλατικών χέων ίναι το βαικό τοιχίο για µια αξιόπιτη λατοπλατική ανάλυη. Θα τιάουµ τις πριπτώις της πλατικότητας κατά vo Mie ( J πλατικότητα. Αντί της ολοκλήρωης της χέης (58 θα χρηιµοποιήουµ τις ιοδύναµς (αλλά πιο απλές λατο-πλατικές χέις: ( ( k ( F ( α,, α α 0 (59 ( (60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 5 από 5
( Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις λ α (6 (6 α C (6 Το πρόβληµα τίθται ως ξής: Σ ένα υλικό ηµίο (µία χρονική τιγµή t t βρικόµατ πάνω την πιφάνια διαρροής και γνωρίζουµ τις τάις, τις παραµορφώις, και τα α, P, δηλαδή ιχύι F(, α, 0. Για δδοµένη αύξηη των παραµορφώων, να βρθί η αντίτοιχη αύξηη των τάων. Ή αλλιώς, αν την νέα ντατική κατάταη την χρονική τιγµή t t + γνωρίζω την παραµόρφωη + +, τότ να βρθί η αντίτοιχη τάη + 5.7. Τέλια πλατικότητα vo Mie Το κριτήριο διαρροής ίναι: µ k ταθρό, και k F F ο ΒΗΜΑ: Ελατική πρόβλψη. Έτω ότι έχω λατική υµπριφορά. Τότ (64 Ολοκληρώνοντας την (64 υπολογίζω τις (δοκιµατικές νές τάις ( + oπότ, ο αποκλίνων τανυτής των τάων ίναι και ( ( ( ( (, µ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 6 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις ( 0 ( ( ( Για να ιχύι η λατική αυτή πρόβλψη, θα πρέπι να λέγξω αν ιχύι ( k. Αν ιχύι k τότ ίναι ωτή η παραδοχή της λατικής υµπριφοράς, οπότ + ( και η πλατική παραµόρφωη δν µταβάλλται. Εποµένως, + + > τότ η υπόθη της καθαρά λατικής υµπριφοράς δν ιχύι, και Αν όµως ( ποµένως έχω λατο-πλατική υµπριφορά, οπότ πρέπι να προχωρήω το κάτωθι βήµα. k ο ΒΗΜΑ: Πλατική διόρθωη. Θωρώ λατο-πλατική υµπριφορά. Στην πρίπτωη αυτή έχω λατο-πλατική παραµόρφωη e 0, + Η αύξηη των τάων δίνται από τον κάτωθι τύπο ( e ( λ (65 λg Ολοκληρώνω την ανωτέρω χέη (65 µ τη µέθοδο Euler backwark (πίω-αντικατάταη λ + + λg ( + + Εποµένως, το αποκλίνον τµήµα του τανυτή + ίναι λg ( + + ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 7 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις + + G λ ( (66 Μ βάη το κριτήριο της υνέπιας ( F 0, η νέα τάη + οφίλι να ικανοποιί το κριτήριο διαρροής. Θα πρέπι δηλαδή, k 0 (67 F + 0 + + Αντικαθιτώντας την χέη (66 την χέη (67 έχουµ και ιοδύναµα, ( + G λ ( ( k 0 ( ( k + G λ λ k G k (68 Η ανωτέρω χέη (68 µας πιτρέπι να υπολογίουµ το λ, δδοµένου ότι τα G και k ίναι γνωτά από την αρχή, νώ το ( έχι υπολογιτί το βήµα της λατικής πρόβλψης. Μ τον ανωτέρω υπολογιµό του λ, µπορούµ να υπολογίουµ τις νές αποκλίνους τάις ( + + G λ (69 νώ η πλατική παραµόρφωη γίνται + + λ + + και η ιοδύναµη πλατική παραµόρφωη δηλαδή + + + + λ + + Τέλος, η τάη + τη νέα θέη ίναι ( + + + ( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 8 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις δδοµένου ότι το υδροτατικό τµήµα των τάων δν υµπριφέρται λατο-πλατικά, παρά µόνον λατικά. 5.7. Πλατικότητα ιοτροπικής κράτυνης vo Mie Το κριτήριο διαρροής ίναι k F µ k k(, και F, λ Στη θέη t t έχω ιοδύναµη πλατική παραµόρφωη και ποµένως το µέγθος της πιφάνιας διαρροής ίναι k k(. Επιβάλλω αύξηη της παραµόρφωης και ζητώ τις νές τάις τη θέη t t +. ο ΒΗΜΑ: Ελατική πρόβλψη. Έτω ότι έχω λατική υµπριφορά. Τότ και ολοκληρώνοντας υπολογίζω τις (δοκιµατικές νές τάις ( + Οπότ, ο αποκλίνων τανυτής των τάων ίναι ( ( ( ( ( ( ( (, µ Για να ιχύι η ανωτέρω λατική πρόβλψη θα πρέπι να λέγξω αν ( k ( τότ ίναι ωτή η παραδοχή της λατικής υµπριφοράς, οπότ 0 + ( ( k (. Αν ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 9 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις και η πλατική παραµόρφωη δν µταβάλλται. Οπότ + + Αν όµως ( > k ( λατο-πλατική υµπριφορά, οπότ πρέπι να προχωρήω το βήµα. τότ η υπόθη της καθαρά λατικής υµπριφοράς δν ιχύι και έχω ο ΒΗΜΑ: Πλατική διόρθωη. Θωρώ λατο-πλατική υµπριφορά. Έχω λατο-πλατική παραµόρφωη e 0, + Ιοδύναµα, e 0, + Η αύξηη των τάων δίνται από τον τύπο ( e ( λ λg (70 Ολοκληρώνω την ανωτέρω χέη (70 µ τη µέθοδο Euler backwark + + λg + + ποµένως, λg ( + + λg ( + + + + G ( λ (7 Μ βάη το κριτήριο της υνέπιας ( F 0 κριτήριοδιαρροής. Θα πρέπι δηλαδή, + F + 0 + +, η νέα τάη + οφίλι να ικανοποιί το k ( 0 (7 Αντικαθιτώντας την χέη (7 την χέη (7, έχουµ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 0 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις ( ( + ( + G λ k ( 0 (7 η οποία γράφται ιοδύναµα διότι ( + G λ ( k + + ( + (74 Επίης, ιχύι λ λ + (75 + + + Εποµένως, λ + + k ( + (76 Συνδυάζοντας τις χέις (74 και (76 έχουµ ( + G k + k + ( ( (77 ποµένως k ( G ( + + (78 Η ανωτέρω ξίωη µπορί να πιλυθί ως προς. Μ τον υπολογιµό του να υπολογίουµ τα µγέθη που µας νδιαφέρουν, δηλαδή µπορούµ λ k ( + (79 ( G λ (80 + + + + ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις νώ η πλατική παραµόρφωη τη νέα θέη t t + γίνται + + λ G + + Τέλος, η τάη + τη νέα θέη t t + υπολογίζται ως ξής: ( + + + ( δδοµένου ότι το υδροτατικό τµήµα των τάων υµπριφέρται µόνον λατικά, ύµφωνα µ τη χέη (4, νώ η λατική παραµόρφωη ξαρτάται από τον αποκλίνοντα τανυτή των τάων και µόνον. 5.7. Γωµτρική απικόνιη του αλγορίθµου Θα ξτάουµ αρχικά την πρίπτωη της τέλιας πλατικότητας vo Mie. Στην πρίπτωη αυτή, η πιφάνια διαρροής παραµένι αµτάβλητη µέγθος και θέη. Το χήµα της τοµής της πιφάνιας µ το αποκλίνον πίπδο ίναι ένας κύκλος ακτίνας k, όπως φαίνται το χήµα ( 5.9. Όταν έχουµ πλατική φόρτιη, και η δοκιµατική τάη το αποκλίνον πίπδο ίναι κτός πιφανίας διαρροής, τότ αυτή θα πρέπι να διορθωθί, ώτ η τλική τάη να βρίκται πάνω την πιφάνια διαρροής. Μ βάη τη χέη (69 και υνδυαµό µ την χέη (68, έχουµ ή k ( + + ( ( + ( ηλαδή οι τανυτές + και προκύπτι από την «παναφορά» της δοκιµατικής τάης ( ίναι υγγραµµικοί, και ποµένως η τλική τάη + ( κατά τη διύθυνη της ακτίνας του κύκλου, όπως αυτό φαίνται το χήµα 5.9. Για το λόγο αυτό, η ανωτέρω µέθοδος ονοµάζται και «µέθοδος της ακτινικής παναφοράς» (radial-retur method. Στην πρίπτωη που έχουµ πλατικότητα µ κράτυνη, πάλι έχω ακτινική παναφορά. Αυτό φαίνται από τη χέη (80, η οποία υνδυαµό µ την χέη (77 και τη χέη (79 γράφται ή ( k + + + ( ( + ( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις Γωµτρικά αυτό απικονίζται το χήµα 5.0. Η διαφορά της παρούας πρίπτωης µ την πρίπτωη της τέλιας πλατικότητας ίναι πως δώ η πιφάνια διαρροής αυξάνι µέγθος («φουκώνι» από, παράλληλα µ τη διαδικαία της ακτινικής υµπριφοράς. k k + Σηµιώνται πως το βαικό ηµίο για την υπόψη µθοδολογία ίναι η ολοκλήρωη της χέης (65 µ τη µέθοδο Euler πίω-αντικατάταη. Αυτό βέβαια δν απαραίτητο. Θα µπορού κάποιος να κατακυάι έναν άλλον αλγόριθµο, χρηιµοποιώντας τη µέθοδο Euler µπρόςαντικατάταη για την χέη (65. J τέλια πλατικότητα (πιφάνια διαρροής αµτάβλητη k αρχική τάη + τλική τάη ( δοκιµατική (λατική τάη + ( αµτάβλητη πιφάνια διαρροής k F Σχήµα 5.9: Γωµτρική απικόνιη του αλγορίθµου «ακτινικής παναφοράς» για τέλια πλατικότητα vo Mie. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις J πλατικότητα µ ιοτροπικήκράτυνη (η πιφάνιαδιαρροήςµγαλώνι µέγθος k k( αρχική τάη + τλική τάη ( δοκιµατική (λατική τάη + ( k + k( + πιφάνια διαρροής k F Σχήµα 5.0: Γωµτρική απικόνιη του αλγορίθµου «ακτινικής παναφοράς» για πλατικότητα vo Mie µ κράτυνη. 5.7.4 Σύνοψη του αλγορίθµου δοµένα και την «χρονική τιγµή», καθώς και η αύξηη των παραµορφώων. t t Ζητούµνα + και + την «χρονική τιγµή». t t +. Υπολόγι ( + (8 ( ( ( ( (8 ( ( ( (8. Έλγξ αν ιχύι: α. Αν ναι, τότ ( k ( (84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 4 από 5
Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις και + ( (85 + (86 νώ το µητρώο τιβαρότητας ίναι το λατικό. ΤΕΛΟΣ β. Αν όχι, τότ λύ την κάτωθι αλγβρική ξίωη ως προς k και υπολόγι ( G ( + + (87 λ k ( + (88 ( G λ (89 + + + + (90 ( ( + + + (9 νώ το µητρώο τιβαρότητας ίναι το λατοπλατικό e. e 9 G ( ( H + G (9 ΤΕΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητική Επίλυη Ελατοπλατικών Προβληµάτων λίδα 5 από 5