Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr
έκδοση 5-6
wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό Για να εκφράσουμε τη αριθμό Το ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με διαδικασία αυτή, γράφουμε: : A Το γράμμα παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α και λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα, που παριστάνει την τιμή της στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή Το πεδίο ορισμού Α της συμβολίζεται με D Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε όλα τα A, λέγεται σύνολο τιμών της και συμβολίζεται με A /, A A Είναι δηλαδή: 5 Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση συνάρτησης; Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Ο ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο Το M, για τα οποία ισχύει, δηλαδή το σύνολο των σημείων σύνολο των σημείων M,, A, λέγεται γραφική παράσταση της και συμβολίζεται με C 6 Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες; Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει () g() Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες γράφουμε g 7 Πως ορίζονται οι πράξεις των συναρτήσεων; Ορίζουμε ως άθροισμα g, διαφορά g, γινόμενο g και πηλίκο g δύο συναρτήσεων, g τις συναρτήσεις με τύπους ( g)() () g(), ( g)() () g(), (g)() ()g(), () () g g() Το πεδίο ορισμού των g, g και g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g είναι το A B, εξαιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g, δηλαδή το σύνολο A και B με g 8Τι ονομάζουμε σύνθεση της με την g; Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και τη συμβολίζουμε με g, τη συνάρτηση με τύπο go g Το πεδίο ορισμού της go αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το () ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είναι το σύνολο A A (A) () g B g g(b) g( ())
wwwaskisopolisgr A A / B Είναι φανερό ότι η go ορίζεται αν A, δηλαδή αν (A) B ΣΧΟΛΙΑ Γενικά, αν, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι g και δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες g, τότε αυτές Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h g, τότε ορίζεται και η h g ισχύει h g h g Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των, g και h και τη συμβολίζουμε με h g Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις και 9 Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα και πότε γνησίως μονότονη σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση λέγεται: γνησίως αύξουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: ( ) ( ) (Σχ α) γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: ( ) ( ) (Σχ β) ( ) ( ) ( ) ( ) Ο Δ (a) Ο Δ (β) Για να δηλώσουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε (αντιστοίχως ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο και πότε ελάχιστο; Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το ( ), όταν () ( ) για κάθε A (Σχ α) ( ) () Παρουσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο, το ( ), όταν () ( ) για κάθε A (Σχ β) () ( ) (a) C C (β) Πότε μια συνάρτηση λέγεται -;
wwwaskisopolisgr Μια συνάρτηση :A λέγεται συνάρτηση συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( ), όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι: Μια συνάρτηση :A είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν ( ) ( ), τότε ΣΧΟΛΙΑ Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση () έχει ακριβώς μια λύση ως προς Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο A B συνάρτηση - Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι συνάρτηση " " συνάρτηση όχι - προφανώς, Πως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση γραφικές τους παραστάσεις; μιας συνάρτησης και τι γνωρίζεται για τις Έστω μια συνάρτηση Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι, τότε για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών,, της υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση g : A με την οποία κάθε (A) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό A για το οποίο ισχύει () Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών (A) της, A (A) έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της και ισχύει η ισοδυναμία: () g() Αυτό σημαίνει ότι, αν η αντιστοιχίζει το στο, τότε η g αντιστοιχίζει το στο και αντιστρόφως Δηλαδή η g είναι η g()= =() αντίστροφη διαδικασία της Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη g συνάρτηση της και συμβολίζεται με Επομένως έχουμε οπότε () () και, A Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και που διχοτομεί τις γωνίες και, A είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής,, lim αν και μόνο αν lim lim 3, τότε:
wwwaskisopolisgr lim lim lim lim h h lim και lim c c 3 Ποια θεωρήματα ισχύουν για το όριο και τη διάταξη; Για το όριο και τη διάταξη ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν lim (), τότε () κοντά στο Αν lim (), τότε () κοντά στο ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν οι συναρτήσεις,g έχουν όριο στο και ισχύει () g() κοντά στο, τότε lim () lim g() 4 Ποιες είναι οι ιδιότητες των ορίων; Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων και g στο, τότε: lim () g lim () lim g() lim k () 3 lim ()g 4 5 6 k lim () για κάθε σταθερά k lim () lim g() () lim g lim (), εφόσον lim g lim () lim () k k lim g lim () lim () εφόσον () κοντά στο 7 lim () lim (), 5 Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πολυώνυμο P, ισχύει lim P P Έστω P Σύμφωνα με τις ιδιότητες ορίων, ισχύει:, lim P lim lim lim lim lim lim lim lim P 6 Να αποδείξετε ότι για τα πολυώνυμα P,Q,με P P lim, Q Q Q, ισχύει 4
wwwaskisopolisgr P lim P P Είναι lim Q lim Q Q 7 Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής Έστω οι συναρτήσεις,g,h Αν h() () g() κοντά στο και lim h() lim g(),τότε και lim () 8 Ποια είναι τα βασικά τριγωνομετρικά όρια στο ; για κάθε (η ισότητα ισχύει μόνο για ) lim 3 lim 4 lim 5 lim 9 Ποιες είναι οι ιδιότητες του μη πεπερασμένου ορίου ; 3 Αν lim () lim () lim () lim () lim () lim () αν 4 Αν αν 5 Αν 6 Αν αν lim () lim () lim () lim (), τότε () κοντά στο, ενώ τότε () κοντά στο τότε lim () τότε lim () lim () ή, τότε, ενώ lim () lim () και () κοντά στο, τότε lim () και () κοντά στο, τότε lim, ενώ () lim () 7 Αν 8 Αν lim () ή, τότε lim (), τότε lim lim () () Συνέπειες lim και γενικά lim, lim και γενικά lim,, ενώ lim και γενικά lim,,,, Δηλαδή δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της 3 Ποια είναι τα όρια πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης στο ; 5
wwwaskisopolisgr Για την πολυωνυμική συνάρτηση P με, ισχύει και lim P lim lim P lim Για τη ρητή συνάρτηση lim lim,,, ισχύει: και lim lim 3 Ποια είναι τα όρια της εκθετικής και της λογαριθμικής συνάρτησης στα άκρα του πεδίου ορισμού τους; Αν, τότε: lim, lim, lim log Αν, τότε: lim, lim, lim log 3 Τι ονομάζεται ακολουθία; Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση : 3 Πότε η ακολουθία α ν έχε όριο ; και lim log και lim log Θα λέμε ότι η ακολουθία ( ) έχει όριο το και θα γράφουμε lim, όταν για κάθε, υπάρχει τέτοιο, ώστε για κάθε να ισχύει 3 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής στο του πεδίου ορισμού της; Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο, όταν lim () ( ) 33 Πότε μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής; Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέμε ότι είναι συνεχής συνάρτηση 34 Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο (α, β); Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα,, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του, 35 Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο, ; Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα,, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του, και επιπλέον lim () ( ) και lim () ( ) 36 Αν δύο συναρτήσεις,g είναι συνεχείς στο, τότε ποιες άλλες συναρτήσεις που ορίζονται μέσω των,g είναι συνεχείς στο ; 6
wwwaskisopolisgr Αν οι συναρτήσεις και g είναι συνεχείς στο, τότε είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις: g, c, όπου c, g, g, και Επιπλέον αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο ( ), τότε η σύνθεσή τους go είναι συνεχής στο 37 Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να «δώσετε» την γεωμετρική του ερμηνεία Έστω μια συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει ( ) ( ), τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε ( ) Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης () στο ανοικτό διάστημα (, ) Γεωμετρική ερμηνεία Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση (β) B(β,(β)) μιας συνεχούς συνάρτησης στο [, ] Επειδή τα σημεία A(, ( )) και B(, ( )) βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, a η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε β ένα τουλάχιστον σημείο (a) Α(α,(α)) ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι: Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ (Σχ ) a ()> β a ()< β (α) Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του πρόσημου της για τις διάφορες τιμές του Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής: α)βρίσκουμε τις ρίζες της (β) ρ + ρ ρ 3 + ρ 4 + ρ 5 β) Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της στον αριθμό αυτό Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της στο αντίστοιχο διάστημα 7
wwwaskisopolisgr 38 Να διατυπώσετε το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών και να το αποδείξετε Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η είναι συνεχής στο [, ] και ( ) ( ) τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των ( ) και ( ) υπάρχει ένας, τουλάχιστον (, ) τέτοιος, ώστε ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι ( ) ( ) Τότε θα ισχύει ( ) ( ) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g() (), [, ], παρατηρούμε ότι: η g είναι συνεχής στο [, ] και g( )g( ),αφού g( ) ( ) και g( ) ( ) Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε g( ) ( ), οπότε ( ) (β) η (a) a Α(α,(α)) B(β,(β)) =η β 39 Τι γνωρίζετε για την εικόνα ενός διαστήματος Δ μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης; Η εικόνα διάστημα ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι 4 Να διατυπώσετε για μια συνεχής συνάρτηση το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε η παίρνει στο [, ] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m Δηλαδή, υπάρχουν, [, ] τέτοια, ώστε, αν m ( ) και M ( ), να ισχύει, m M, για κάθε ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το [, ] είναι το κλειστό διάστημαm,m, όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της Τέλος, αποδεικνύεται ότι: Aν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα,, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (, ) όπου lim () και B lim () Αν, όμως, η είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο (, ), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (B, A) ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 4 Tι ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο της A(,( )) ; 8
wwwaskisopolisgr Έστω μια συνάρτηση και A(, ( )) ένα σημείο της C Αν υπάρχει το () ( ) και lim είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο () ( ) σημείο A(, ( )) είναι, όπου lim 4 Πότε μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει () ( ) το lim και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο () ( ) και συμβολίζεται με Δηλαδή: ( ) lim 43 Πότε ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά κοντά στο ; Όταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο t ισχύει St S t t t, οπότε είναι St S t t, ενώ, όταν το κινητό κινείται προς τα αριστερά κοντά στο t ισχύει t t t είναι 44 Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Για έχουμε () ( ) () ( ) ( ),οπότε, οπότε () ( ) () ( ) lim[ () ( )] lim ( ) lim lim( ) ( ) αφού η είναι παραγωγίσιμη στο Επομένως, δηλαδή η είναι συνεχής στο ΣΧΟΛΙΟ lim () ( ), Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο Για παράδειγμα η συνάρτηση Η είναι συνεχής στο, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ αυτό, αφού lim lim, ενώ lim lim 45 Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Α; 9
wwwaskisopolisgr H είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο 46 Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα, του πεδίου ορισμού της; Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα, του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο, 47 Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα, του πεδίου ορισμού της; A Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα, του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο, και επιπλέον ισχύει lim και lim 48 Πως ορίζεται η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t ; Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης st τη χρονική στιγμή t Δηλαδή t st 49 Τι ονομάζεται κλίση της στο και ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της Κλίση της στο ή συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: C στο 5 Ποια συνάρτηση ονομάζεται πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης ; C στο ;, ονομάζεται το Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Α το σύνολο των σημείων του Α στο οποίο αυτή είναι παραγωγίσιμη Αντιστοιχίζοντας κάθε A στο, ορίζουμε τη συνάρτηση : A η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της ή απλά παράγωγος της 5 Έστω η σταθερή συνάρτηση παραγωγίσιμη στο και ισχύει, δηλαδή c,c Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι c Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει: () ( ) c c () ( ) Επομένως, lim, δηλαδή (c) 5 Έστω η συνάρτηση στο και ισχύει, δηλαδή Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη
wwwaskisopolisgr Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει: () ( ) () ( ) Επομένως, lim lim, δηλαδή () 53 Έστω η συνάρτηση,, Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει, δηλαδή Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει: () ( ) ( )( ) οπότε () ( ) lim lim( ) δηλαδή ( ),, 54 Έστω η συνάρτηση () Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, ) και ισχύει (), δηλαδή Να αποδείξετε ότι η δεν είναι παραγωγίσιμη στο Αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει: () ( ) ( )( ),οπότε ( )( ) ( )( ) () ( ) lim lim, δηλαδή ( ) () () Στο είναι lim lim lim, δηλαδή η δεν είναι παραγωγίσιμη στο 55 Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση gείναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ( g) ( ) ( ) g ( ) ( g)() ( g)( ) () g() ( ) g( ) () ( ) g() g( ) Για, ισχύει: Επειδή οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε: ( g)() ( g)( ) () ( ) g() g( ) lim lim lim ( ) g ( ), Δηλαδή ( g) ( ) ( ) g ( ) 56 Έστω η συνάρτηση (), παραγωγίσιμη στο Πράγματι, για κάθε έχουμε: * Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι * και ισχύει (), δηλαδή ( ) () ( ) ( ) ( )
wwwaskisopolisgr 57 Έστω η συνάρτηση () εφ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο { συν } και ισχύει (), δηλαδή (εφ) συν συν Πράγματι, για κάθε έχουμε: ημ (ημ) συν ημ(συν) συνσυν ημημ συν ημ (εφ) συν συν συν συν συν 58 Πότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και πότε σε ένα διάστημα Δ; Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και η είναι παραγωγίσιμη στο g( ), τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( g) ( ) (g( )) g ( ) Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η είναι παραγωγίσιμη στο g( ) g g g, τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει Δηλαδή, αν u g, τότε u u u 59 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση (), είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει (), δηλαδή ( ) Πράγματι, αν e (e ) e u e ln και θέσουμε u ln u u ln, τότε έχουμε u e Επομένως, 6 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση, δηλαδή () Πράγματι, αν ln ln e ( ) ln (), είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει και θέσουμε u ln, τότε έχουμε ( ) ( ) Επομένως, u u ln (e ) e u e ln ln 6 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () ln, ισχύει (ln ) * είναι παραγωγίσιμη στο * και αν, τότε αν, τότε ln ln( ) Επομένως, (ln ) (ln ), ενώ, οπότε, αν θέσουμε ln( ) και u, έχουμε ln u (ln u) u ( ) u και άρα (ln ) 6 Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, συνδέονται με τη σχέση () ρυθμό μεταβολής του ως προς το στο σημείο ;, τι ονομάζουμε
wwwaskisopolisgr Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, συνδέονται με τη σχέση (), όταν είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του ως προς το στο σημείο την παράγωγο ( ) 63 Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (, ) και ( ) ( ) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε: ( ) Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C στο M(, ( )) να είναι παράλληλη στον άξονα των Μ(ξ,(ξ)) Α(α,(α)) α ξ ξ β Β(β,(β)) 64 Να διατυπώσετε το θεώρημα Μέσης τιμής και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (, ) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε: ( ) ( ) ( ) Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M(, ( )) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ Ο M(ξ,(ξ)) A(a,(a)) a ξ ξ β Β(β,(β)) 65 Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η είναι συνεχής στο Δ και () για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, να αποδείξετε ότι: η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε, ισχύει ( ) ( ) Πράγματι Αν, τότε προφανώς ( ) ( ) Αν, τότε στο διάστημα [, ] η ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής ( ) ( ) Επομένως, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε ( ) () Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ( ),οπότε, λόγω της (), είναι ( ) ( ) Αν, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι ( ) ( ) Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι ( ) ( ) 66 Αν για μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σύνολο Α που αποτελείται από ένωση διαστημάτων, είναι παραγωγίσιμη στο Α και () για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Α, τότε η είναι σταθερή στο Α; Δώστε παράδειγμα 3
wwwaskisopolisgr Έστω η συνάρτηση,, Παρατηρούμε ότι, αν και για κάθε (, ) (, ), εντούτοις η δεν είναι σταθερή στο (,) (, ) 67Έστω δυο συναρτήσεις,g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν οι, g είναι συνεχείς στο Δ και () g () για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: () g() c Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο ισχύει ( g) () () g () Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση g είναι σταθερή στο Δ Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει () g() c, οπότε () g() c =g()+c =g() 68 Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ Αν () σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ Αν () σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι () Έστω, με Θα δείξουμε ότι ( ) ( ) Πράγματι, στο διάστημα [, ] η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομένως, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε ( ) ( ) ( ), οπότε έχουμε ( ) ( ) ( )( ) Επειδή ( ) και, έχουμε ( ) ( ), οπότε ( ) ( ) Στην περίπτωση που είναι () εργαζόμαστε αναλόγως ΣΧΟΛΙΟ Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει Δηλαδή, αν η είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ 3 Για παράδειγμα ας δούμε τη συνάρτηση Είναι 3, και γνησίως αύξουσα στο, χωρίς να είναι για κάθε, Δηλαδή, βλέποντας το σχήμα, η είναι 69 Να δώσετε τους ορισμούς για το τοπικό μέγιστο, το τοπικό ελάχιστο και το τοπικό ακρότατο Μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει, τέτοιο ώστε () ( ) για κάθε A (, ) Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το ( ) τοπικό μέγιστο της Μία συνάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο 4 A τοπικό
wwwaskisopolisgr ελάχιστο, όταν υπάρχει, τέτοιο ώστε () ( ), για κάθε A (, ) Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το ( ) τοπικό ελάχιστο της Τα τοπικά μέγιστα και τα τοπικά ελάχιστα της λέγονται τοπικά ακρότατα αυτής 7 Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του Fermat Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι η παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει τέτοιο, ώστε (, ) και () ( ), για κάθε A (, ) () Επειδή, επιπλέον, η είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει () ( ) () ( ) ( ) lim lim Επομένως, αν (, ), τότε, λόγω της (), θα είναι () ( ) ( ) lim () αν (, ), τότε, λόγω της (), θα είναι () ( ) ( ) lim (3) () ( ), οπότε θα έχουμε () ( ), οπότε θα έχουμε Έτσι, από τις () και (3) έχουμε ( ) Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη ( ) δ +δ 7 Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις τοπικών ακρότατων και ποια σημεία ονομάζονται κρίσιμα; Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης σ ένα διάστημα Δ είναι: Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της μηδενίζεται Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η δεν παραγωγίζεται 3 Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της) Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ στα οποία η δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της στο διάστημα Δ 7 Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι: i) Αν () στο (, ) και () στο (, ), τότε το ( ) είναι τοπικό μέγιστο της ii) Αν () στο (, ) και () στο (, ), τότε το ( ) είναι τοπικό ελάχιστο της i) Επειδή () για κάθε (, ) και η είναι συνεχής στο, η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] Έτσι έχουμε () ( ), για κάθε (, ] () Επειδή () για κάθε (, ) και η είναι συνεχής στο, η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) Έτσι έχουμε: () ( ), για κάθε [, ) () 5
wwwaskisopolisgr Επομένως, λόγω των () και (), ισχύει: () ( ), για κάθε (, ), που σημαίνει ότι το ( ) είναι μέγιστο της στο (, ) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής ii) Εργαζόμαστε αναλόγως 73 Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Αν η () διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), να αποδείξετε ότι το ( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η είναι γνησίως μονότονη στο (, ) Έστω ότι (), για κάθε (, ) (, ) Επειδή η είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, ] και [, ) Επομένως, για ισχύει ( ) ( ) ( ) Άρα το ( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο της Θα δείξουμε, τώρα, ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Πράγματι, έστω, (, ) με Αν, (, ], επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ], θα ισχύει ( ) ( ) Αν, [, ), επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο [, ), θα ισχύει ( ) ( ) Τέλος, αν, τότε όπως είδαμε ( ) ( ) ( ) Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει ( ) ( ), οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Ομοίως, αν () για κάθε (, ) (, ) 74 Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, πότε θα λέμε ότι η στρέφει τα κοίλα προς τα άνω και πότε προς τα κάτω; Έστω μία συνάρτηση συνεχής σ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θα λέμε ότι: Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ 75 Με βάση ποιο θεώρημα εξετάζουμε την κυρτότητα μιας συνάρτησης ; Ισχύει το αντίστροφό του; Δώστε παράδειγμα Έστω μια συνάρτηση συνεχής σ ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Αν ( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι κυρτή στο Δ Αν ( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι κοίλη στο Δ Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει Για παράδειγμα, 3 (Σχ 4) Επειδή η 4 έστω η συνάρτηση 4 είναι γνησίως αύξουσα στο, η 4 ( ) είναι κυρτή στο Εντούτοις, η δεν είναι θετική στο αφού = 4 76 Ποια είναι η σχετική θέση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με μία εφαπτομένη της με βάση τη κυρτότητα της συνάρτησης ; Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω (αντιστοίχως πάνω ) από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους 77 Πότε το σημείο Α(,( ) ) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της ; 6
wwwaskisopolisgr Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του Αν η είναι κυρτή στο (, ) και κοίλη στο (, ), ή αντιστρόφως, και η C έχει εφαπτομένη στο σημείο A(, ( )), τότε το σημείο A(, ( )) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της 78 Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής; Αν μια συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και το σημείο A(,( )) είναι σημείο καμπής της, τότε ποια σχέση ισχύει για τη δεύτερη παράγωγο της στο ; Πότε ένα σημείο είναι βέβαιο σημείο καμπής; Οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης σ ένα διάστημα Δ είναι: i) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η μηδενίζεται, και ii) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η A, είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της και η είναι δυο φορές Αν το παραγωγίσιμη, τότε Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα, η αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του και ορίζεται εφαπτομένη της τότε το C στο A, A, είναι σημείο καμπής και, Αν 79 Πότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της ; Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim (), lim () είναι ή, τότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της 8 Πότε η ευθεία λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο (αντιστοίχως στο ); Αν lim () (αντιστοίχως lim () ), τότε η ευθεία λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο (αντιστοίχως στο ) 8 Πότε η ευθεία λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο, (αντιστοίχως στο ); Η ευθεία λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο, αντιστοίχως στο, αν lim[ () ( )], αντιστοίχως lim[ () ( )] ΣΧΟΛΙΑ Αποδεικνύεται ότι: Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του δεν έχουν ασύμπτωτες Οι ρητές συναρτήσεις P(), με βαθμό του αριθμητή P μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δύο του Q() βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες 7
wwwaskisopolisgr Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς, ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης αναζητούμε: Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η δεν ορίζεται Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η δεν είναι συνεχής Στο,, εφόσον η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής ( α, ), αντιστοίχως (, ) 8 Να διατυπώσετε τους κανόνες De L Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή ) Αν lim (), lim g(), {, } και υπάρχει το () () άπειρο), τότε: lim lim g() g () ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή ) Αν lim (), άπειρο), τότε: lim g(), () () lim lim g() g () {, } και υπάρχει το ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ () lim (πεπερασμένο ή g () () lim (πεπερασμένο ή g () 83 Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Τι ονομάζετε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ; Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F () (), για κάθε 84 Να αποδείξετε ότι: Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε όλες οι συναρτήσεις της μορφής G() F() c, c, είναι παράγουσες της στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G() F() c, c Κάθε συνάρτηση της μορφής G() F() c, όπου c, είναι μια παράγουσα της στο Δ, αφού G () (F() c) F () (), για κάθε Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της στο Δ Τότε για κάθε ισχύουν F () () και G () (), οπότε G () F (), για κάθε Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G() F() c, για κάθε 85 Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης (), τον άξονα των και τις ευθείες και είναι E 3 8
wwwaskisopolisgr = 5 = 6 Ω v v v v Μια μέθοδος να προσεγγίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν είναι η εξής: Χωρίζουμε το διάστημα [,] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους Δ, με άκρα τα σημεία:, ν ν, ν,, ν ν ν, ν ν ν Σχηματίζουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα υποδιαστήματα αυτά και ύψη την ελάχιστη τιμή της σε καθένα από αυτά (Σχ 6) Μια προσέγγιση του εμβαδού που ζητάμε είναι το άθροισμα, ε ν, των εμβαδών των παραπάνω ορθογωνίων Δηλαδή, το: () ν ν ν ν ν ( ν ) ν(ν ) ν 3ν [ ( ν ) ] 3 3 ν ν 6 6ν Αν, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα παραπάνω υποδιαστήματα και ύψη την μέγιστη τιμή της σε καθένα απ αυτά (Σχ 7), τότε το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι μια ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού Είναι όμως, ν ν( ν )(ν ) ν 3ν ( ν ) 3 3 ν ν ν ν ν ν 6 6ν Το ζητούμενο, όμως, εμβαδόν Ε βρίσκεται μεταξύ των και E Δηλαδή ισχύει, οπότε lim lim Επειδή lim lim, έχουμε 3 3 86 Να δώσετε τον ορισμό του εμβαδού χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με, τον άξονα και τις ευθείες = α και = β v v = v v 7 9
wwwaskisopolisgr Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου Ω εργαζόμαστε ως εξής: Χωρίζουμε το διάστημα [, ] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους Σε κάθε υποδιάστημα [, ] επιλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο και σχηματίζουμε τα ορθογώνια που έχουν βάση και ύψη τα ( ) Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι S ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] Υπολογίζουμε το lim S Αποδεικνύεται ότι το lim S υπάρχει στο και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των σημείων Το όριο αυτό ονομάζεται εμβαδόν του επιπέδου χωρίου Ω και συμβολίζεται Είναι φανερό ότι ( ) με, με τα σημεία 87 Να δώσετε τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνεχούς συνάρτησης στο, α= (ξ ) (ξ ) ξ k ν =β ξ Ω k- ξ k Δ (ξ k ) βa v =() (ξ ν ) ν- ξ ν Με τα σημεία χωρίζουμε το διάστημα [, ] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα μήκους =() Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα ξ k [, ], για κάθε {,,, }, και σχηματίζουμε το άθροισμα a= ξ ξ v- ξ v v =β S ( ) ( ) ( ) ( ) το οποίο συμβολίζεται, σύντομα, ως εξής: S ( ) () Αποδεικνύεται ότι, Το όριο του αθροίσματος S, δηλαδή το lim ( ) () υπάρχει στο και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων Το παραπάνω όριο () ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης από το α στο β, συμβολίζεται με d και διαβάζεται ολοκλήρωμα της από το α στο β Δηλαδή, ()d lim ( ) Από τους ορισμούς του εμβαδού και του ορισμένου ολοκληρώματος προκύπτει ότι:
wwwaskisopolisgr Αν () για κάθε [, ], τότε το ολοκλήρωμα ()d δίνει το εμβαδόν E( ) του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της τον άξονα και τις ευθείες και Δηλαδή, d ( ) Επομένως Αν (), τότε ()d =() α Ω β 88 Ποιες οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος; ΘΕΩΡΗΜΑ ο Έστω, g συνεχείς συναρτήσεις στο [, ] και, ()d ()d [ () g()]d ()d g()d Τότε ισχύουν και γενικά [ () g()]d ()d g()d ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν η είναι συνεχής σε διάστημα Δ και,,, τότε ισχύει ()d ()d ()d ΘΕΩΡΗΜΑ 3ο Έστω μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα[, ] Αν () για κάθε [, ] και η συνάρτηση δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε ()d 89 Ποιος είναι ο τύπος της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης; ()g ()d [ ()g()] ()g()d όπου,g 9 Ποιος είναι ο τύπος της ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής; είναι συνεχείς συναρτήσεις στο, (g())g ()d (u)du, u όπου,g είναι συνεχείς συναρτήσεις, u g(), du g ()d και u g( ), u g( ) u 9 Αν μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα Δ και α ένα σημείο του Δ, να γράψετε τι γνωρίζετε συνάρτηση F t dt Η συνάρτηση F είναι μια παράγουσα της στο Δ, δηλαδή F tdt για κάθε Εποπτικά το συμπέρασμα του παραπάνω θεωρήματος προκύπτει ως εξής: h F( h) F() (t)dt Εμβαδόν του χωρίου Ω () h,για α +h μικρά h Άρα, για μικρά h είναι F( h) F() F( h) F() (),οπότε F () lim () h h h () F() Ω =() β
wwwaskisopolisgr 9 Να διατυπώσετε το θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού και να το αποδείξετε Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [, ] Αν G είναι μια παράγουσα της στο[, ], τότε (t)dt G( ) G( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση F() (t)dt είναι μια παράγουσα της στο [, ] Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της στο[, ], θα υπάρχει c τέτοιο, ώστε G() F() c () Από την (), για, έχουμε G( ) F( ) c (t)dt c c, οπότε c G( ) Επομένως, G() F() G( ),οπότε, για, έχουμε G( ) F( ) G( ) (t)dt G( ) και άρα (t)dt G( ) G( ) 93 Έστω, δυο συναρτήσεις και g, συνεχείς στο διάστημα [, ] με () g() για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των,g, και τις ευθείες = α και = β είναι: =() E( ) (() g())d =() Ω =g() Ω =g() Ω Παρατηρούμε ότι ( ) ( ) ( ) ()d g()d ( () g())d E( ) ( () g())d (α) Επομένως, 94 Έστω, δυο συναρτήσεις και g, συνεχείς στο διάστημα [, ] (β) με g για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των,g, και τις ευθείες = α και = β είναι: E( ) (() g())d Επειδή οι συναρτήσεις, g είναι συνεχείς στο [, ], θα υπάρχει αριθμό c τέτοιος ώστε () c g() c, για κάθε [, ] Είναι φανερό ότι το χωρίο Ω έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο (γ)
wwwaskisopolisgr =()+c Ω =() Ω =g()+c α β α β =g() (α) (β) Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (), έχουμε ( ) ( ) [( () c) (g() c)]d ( () g())d Άρα E( ) ( () g())d 95 Έστω, μια συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [, ] με g για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, του άξονα και τις ευθείες = α και = β είναι: E( ) g()d Επειδή ο άξονας είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης (), έχουμε E( ) ( () g())d [ g()]d g()d Επομένως, αν για μια συνάρτηση g ισχύει g ( ) για κάθε α Ω β [ α, β], τότε E( ) g()d =g() 3