ΚΕΝΤΡΟ Αγίας Σοφίας 39 3044444 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 68 3048400 ΕΥΟΣΜΟΣ ΜΑλεξάνδρου 45 30770360 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 3 OKTΩΒΡΙΟΥ 06 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ94 Α ) Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ5 - Σχόλιο Σχολικού Βιβλίου σελ5 ) Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ9 Α3 ) Λ ) Σ 3) Λ 4) Σ 5) Σ ΘΕΜΑ Β Β Πρέπει:, άρα A 0, 0 e 0 e e 0 f Για κάθε, 0, με e γναύξουσα 0 e e 0 e e 0 e e e e f f άρα η f είναι γν αύξουσα στο [0, ) οπότε και «-» στο [0, ) β τρόπος: Για κάθε, 0, : f f e e e e e e e e Άρα η f είναι «-» στο [0, ) Β Είναι: y f y e y e y e y e y Πρέπει ln y 0 ln y ln y 0 που ισχύει, οπότε και ο τύπος της αντίστροφης είναι A, f Για κάθε, έχουμε ότι f ln f "" 0 f 0 f f f 0 e Άρα το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με είναι το Α(,0) Β3 Για το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f f έχουμε ότι: Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα
ΚΕΝΤΡΟ Αγίας Σοφίας 39 3044444 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 68 3048400 ΕΥΟΣΜΟΣ ΜΑλεξάνδρου 45 30770360 A 0 A f f : 0 f A f e 0 f, οπότε A f f 0, Επίσης e f f f f e Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f f βρίσκεται πάνω από την ευθεία y= όταν f γναύξουσα f f f f f 0 f 0 e 0 που ισχύει για κάθε 0, Β4 h f e h f e h e e () Θέτουμε e ω e ω e ω e ω, οπότε =ω hω ω δηλαδή h Β5 Είναι lim lim 0 h f e αφού lim e, lim ln και Θέτω u u lim h f lim e lime lim 0 u0 Συνεπώς lim h f ln h f ΘΕΜΑ Γ Γ α) Είναι: Όμως 0 προκύπτει ότι Έστω ημ f ημ f lim ημ ημ0 και 0 lim f οπότε σύμφωνα με το Κρ Παρεμβολής lim 0 0 0 g και h με lim h 0 lim g lim h 0 Τότε 0 0 β) Είναι: ημ f για κάθε R () ημ f Αν >0 τότε () Όμως ημ lim και 0 g h για κάθε κοντά στο 0 0 0 0 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα lim lim lim
ΚΕΝΤΡΟ Αγίας Σοφίας 39 3044444 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 68 3048400 ΕΥΟΣΜΟΣ ΜΑλεξάνδρου 45 30770360 Επειδή Σύμφωνα με το Κρ Παρεμβολής προκύπτει ότι Αν <0 τότε () f ημ Όμως ημ lim και 0 0 f lim lim lim lim 0 0 0 Σύμφωνα με το Κρ Παρεμβολής προκύπτει ότι 0 0 f f lim lim είναι 0 f lim 0 f lim Γ Είναι: 0 0 g 3 g 3 g 3 g 3 4 lim lim lim 0 0 0 g 3 g 3 g g lim lim lim =α 0 0 0 g 3 g 3 3 4 Επίσης g 3g g g g ημ lim ημ lim ημ lim g 0 0 0 g ημ lim lim g lim β 0 0 0 Οπότε 4α 4 β Γ3 Είναι: lim g f 0 0 0 οπότε lim f 3 3 0 οπότε g f 0 για κάθε κοντά στο 0 f 3 0 για κάθε κοντά στο 0 Συνεπώς g f f 3 g f f 3 g f 3 lim lim lim 0 g 0 g 0 g Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 3
ΚΕΝΤΡΟ Αγίας Σοφίας 39 3044444 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 68 3048400 ΕΥΟΣΜΟΣ ΜΑλεξάνδρου 45 30770360 f g f g g f lim lim lim g 0 g 0 g g 0 g 5 Γ4 Είναι ημ g Θέτω gu ημu 0 0 g lim g 0 u0 u lim φ lim lim lim φ lim λ f f λ λ λ λ λ 0 0 0 Έστω lim φ lim φ 0 0 Άρα δεν υπάρχει το 0 και λ λ λ λ 0 Άτοπο (Δ<0) limφ ΘΕΜΑ Δ Δ Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R είναι συνεχής και στο 0 Είναι f β αβ α α β lim f f β () lim f lim α β αβ β β και β οπότε ισχύει ότι: Λόγω της () έχουμε ότι: β αβ αβ α α β α α β α α β α 0 β 0 και α Οπότε f, αν 0, αν 0 δηλαδή f, για κάθε R Δ Για κάθε R ισχύει ότι: f ημ f ημ f άρα f f ημ f Όμως lim f lim lim lim lim 0 lim lim αφού Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 4
ΚΕΝΤΡΟ Αγίας Σοφίας 39 3044444 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 68 3048400 ΕΥΟΣΜΟΣ ΜΑλεξάνδρου 45 30770360 Οπότε lim f lim f 0 και lim f lim f 0 Σύμφωνα με το Κρ Παρεμβολής προκύπτει ότι lim f ημ 0 Δ3 Είναι Θεωρούμε λ ln f ln λ ln f ln 0 λ ln ln 0 φ λ ln ln, R Η συνάρτηση ln είναι συνεχής στο R ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ln, (τετραγωνική ρίζα συνεχούς συνάρτησης) Οπότε η φ είναι συνεχής στο R, άρα και στο [0,] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων φ0 λ ln ln ln 0 αφού ln ln 0 λ λ λ φ λ ln ln λ ln ln ln ln ln ln 0 Άρα φ0φ 0 αφού λ Αν φ0φ 0 τότε από ΘΒolzano η εξίσωση φ 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,) Αν φ00 φ 0 φ 0 φ 0 Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση τουλάχιστον θετική ρίζα που δεν υπερβαίνει το φ 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,], δηλαδή μία Δ4 ) Για κάθε R g g ημ f συν ισχύει ότι: g g ημ συν g g ημ συν g gημ ημ g ημ h () Έστω υπάρχει ρ R τέτοιος ώστε hρ 0 Τότε η () για =ρ γίνεται: β τρόπος: Επειδή για κάθε R ισχύει Συνεπώς h ρ ρ 0 ρ ρ που είναι άτοπο 0 h 0 h 0 h 0 για κάθε R και επειδή η h συνεχής στο R, συμπεραίνουμε ότι η h Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 5
ΚΕΝΤΡΟ Αγίας Σοφίας 39 3044444 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 68 3048400 ΕΥΟΣΜΟΣ ΜΑλεξάνδρου 45 30770360 διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R Είναι επομένως h(α), h(β) ομόσημοι, δηλαδή h α h β h α h α lim lim lim h β h α h β h β αφού lim h α 0 h β και ) Είναι h0 g0 ημ0 0 οπότε h 0 h g ημ g ημ Είναι: για κάθε R Από () έχουμε ότι για κάθε R 0 g lim συν = lim lim ημ συν συν ημ 0 0 συν ημ 0 lim 0 0 0 Τις απαντήσεις επιμελήθηκαν οι καθηγητές: Ίμπος Χρήστος Καψαλιάρης Στέλιος Νίκου Δημήτρης Παπαθανασίου Νίκος Σιταρίδης Σπύρος Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 6