2.2. Analiza vremena Pert metodom Dok je kod CPM metode poznato samo jedno vreme trajanja aktivnosti t, kod Pert metode dane su tri procjene: a - optimistično vreme (najkraće moguće vreme u kojemu se može izvršiti aktivnost) m - najvjerojatne vreme (vreme u kojem bi se najvjerojatne izvršila aktivnost) b - pesimistično vreme (najduže vreme koje bi bilo potrebno za izvršenje aktivnosti) Vredi: a <m < b
Pert metoda polazi od empirske pretpostavke potvrđene u praksi da je vreme trajanja aktivnosti slučajna varabla koja se ponaša po zakonu Beta razdiobe. Očekivano vreme trajanja aktivnosti izračunava se po formuli: ( t e ) a + 4m + b S očekivanim o vremenom pojedinih aktivnosti nacrta se mrežni dagram kao i kod CPM metode i odredi kritični put.
Pre nego li se počnemo služiti očekivanim vremenom treba utvrditi odstupanja od podataka koji se uzimaju kao reprezentativni, tj. treba izračunati varancu σ 2 : (t e) σ 2 b a 2. Ukoliko su odstupanja manja, utoliko je vreme trajanja aktivnosti pouzdane.
Izračunavanje minimalnih vremena nastupanja događaja i određivanje kritičnoga puta Za svaki događaj u projektu izračuna se najrane i najkasne vreme nastupa i ubilježi i u krug koji označuje čvor. i (T E ) i (T L ) i
(T E ) i - najrane vreme nastupa događaja. Računa se po formuli: ( T E ) j max(( T i E ) i ( T + ( t ) ), j 1 E e ) 0 2,,..., n (T L ) i - najkasne vreme nastupa događaja. Računa se po formuli: ( T L ) i min(( T j L ) j ( T ( t L ) n e ) ), ( T E ) i n n 1, n 2,..., 2,1
Primjer: Za polazne podatke dane u tablici izvršimo analizu vremena po Pert metodi. Aktivnost (i, j) a m b (1 2) (1 ) (1 4) (2 ) ( ) (4 ) ( ) 2 2 4 7 8 11 14 18 20 1 2 1 9
Rješenje Aktivnost (i, j) a m b (t e ) σ 2 (1 2) 2,17 0,2 (1 ) (1 4) 2 4 7 4 0,44 0,11 (2 ) ( ) 8 11 14 18 20 8 17,7 1,00 1,00 (4 ) ( ) 1 2 1 9 2, 0,9 1,78 Prema: ( t ) e a+ 4m+ b je: 2+ 4 + 19 ( t e ) 12, 17; 2+ 4 4+ ( te) 1 4 itd. Prema: σ 2 b a 2 je: 2 2 12 σ 2 2 1 2 σ 1 2 0,44 ; 0,2; itd.
Odgovarajući mrežni dagram je: 2 8,17 8,7 11,17 1,7,17 1 0 0 4 4 4 17,7 21,7 21,7 4 2, 19,17 ( T ) max(( T ) + ( t ) ) max(11,17 + ; 4 + 17,7; + 2,) max(1,17; 21,7; 8,) E E i e i L ) min(( TE ) j ( te) j ( T 1 ) min(8,7,17; 4 4; 19,17 ) min(,; 0;11) 0 21,7
Određivanje vremenske rezerve i vjerojatnosti nastupa događaja Vremenska rezerva određenoga događaja predstavlja vremensku razliku između najkasnega završetka svih aktivnosti koje mu neposredno prethode i najranega početka narednih aktivnosti koje neposredno slede, tj.: S 1 (T( L ) 1 - (T E ) 1 0 0 0 S i (T( L ) i - (T E ) i, i 1, 2,, n S 2 (T( L ) 2 - (T E ) 2 8,7,17, S (T( L ) - (T E ) 4 4 0 S 4 (T( L ) 4 - (T E ) 4 19,17,17 S (T( L ) - (T E ) 1,7 11,17, S (T( L ) - (T E ) 0
Ako s (T S ) i i (T E ) i označimo planirano i očekivano vreme ostvarenja i-toga događaja, onda se odgovarajući faktor vjerojatnosti Z i računa preko testa razlike: gdje je σ 2 Z i ( T ) ( T σ 2 ) S i E i, zbroj varanci svih aktivnosti koje prethode događaju i, a leže e na putu s najduljim trajanjem. Tako, primjerice, ako je planirani rok ostvarenja događaja u promatranom primjeru (T s ) i 1 bit će: Z ( T S ) ( T ) 1 11,17 E 2 2 σ 0,2 + 1 12 + σ2 1,4. Prema vrednostima za normalnu distribucu očitamo o vjerojatnost da će se događaj ostvariti o u predviđenome roku.. Ona je visoka i iznosi 94,9%.
. Analiza troškova Da bi se mogla izvršiti iti analiza troškova potrebno je prikupiti informace o mogućnostima skraćivanja vremena trajanja pojedinih aktivnosti i o odgovarajućim dodatnim troškovima. Za svaku se aktivnost može e odrediti njezino normalno i skraćeno vreme trajanja: t,n i t,s, te odgorarajući troškovi: C,n i C,s
Osnovu za optimalno projektiranje vremena s obzirom na troškove čini pretpostavka da je povećanje troškova aktivnosti proporcionalno sa skraćenjem vremena trajanja aktivnosti. C (troškovi) C,s C,n t,s t,n t (vreme) U tome slučaju možemo odrediti prosječni prirast troškova po jedinici skraćivanja aktivnosti: a ΔC Δt C t, s, n C t, n, s
Primjerice, ako se neka aktivnost (posao) može obaviti za t,n 1 dana s odgovarajućim troškovima C,n 000 n.j. i ako se povećanim ulaganjima na C,s 9 000 n.j. vreme trajanja toga posla može skratiti na t,s 10 dana, tada je prosječni priraštaj troškova po jednome danu: a 9000 000 1 10 4000 800. To znači i da je za svako skraćenje promatrane aktivnosti potrebno angažirati dodatnih sredstava (troškova) u visini od 800 n.j. po danu. Pažnju ćemo posvetiti samo direktnim troškovima, tj. onim troškovima koji neposredno ovise o vremenu.
Osnovni principi metode PERT/Troškovi Skratiti aktivnosti koje leže na kritičnom putu, sve dok se ne dođe do prenošenja kritičnosti, tj. dok se ne pojavi još neki kritični put. Ako je moguće skratiti vreme trajanja nekoliko aktivnosti, onda u prvome redu treba skratiti vreme onih aktivnosti či su troškovi skraćivanja najmanji. Kod mrežnih dagrama koji imaju više kritičnih puteva vrši se skraćivanje svakoga kritičnog puta za isti broj vremenskih jedinica, pri čemu se kod skraćivanja najpre skraćuju aktivnosti kod kojih je to skraćivanje najefikasne. Postupak se nastavlja sve dok se ne postigne željeni rok završetka procesa ili se bar na jednome kritičnom putu iskoriste sva moguća skraćenja vremena trajanja aktivnosti.
Primjer Pođimo od mrežnoga dagrama na sljedećoj slici. 2 8 1 4 17 4 Potrebni podaci vezani za normalno i skraćeno vreme trajanja aktivnosti, kao i odgovarajući troškovi dani su u sljedećoj tablici.
Aktivnost Vreme (u danima) Razlika vremena Troškovi (u tisućama) Razlika troškova (u tisućama) Prosječni troškovi (u tisućama) 1 2 t,n t s 2 Δt, t,n t,s C,n C,s ΔC C,n C,s 1 00 0 0 0 a 1 4 1 00 900 00 100 1 4 2 4 900 100 00 10 2 8 2 00 440 140 70 17 12 800 1000 200 40 4 2 1 00 800 200 200 0 400 400 0 - Ukupno 4 100 90
Kritični put označen je na slici: 2 8 1 4 17 4
Najmanje prosječne troškove priraštaja ima aktivnost (, ) na kritičnome putu. Ta će se aktivnost skratiti sa 17 na 12 dana s prosječnim priraštajem troškova od 40 000 n.j. Trajanje projekta skraćeno je za dana i sada iznosi 21 1 dana. Zbog skraćenja aktivnosti (, ) troškovi se povećavaju za 40 000 200 000 n.j. Ukupni troškovi sada iznose 4 100 000 + 200 000 4 00 000 n.j. Nakon ovoga skraćivanja pojavljuje se mrežni dagram s dva kritična puta: (1, ), (, ) i (1, 2), (2, ), (, ) s istim vremenom trajanja od 1 dana.
2 8 1 4 12 4 Prema rane navedenoj preporuci, skraćivanje se mora izvršiti na oba kritična puta za isti broj dana. Iz tablice i mrežnog dagrama vidimo da se aktivnost (1, ) može skratiti za dana na kritičnome putu(1, ), (, ). Jednako se skraćivanje može dobiti na kritičnome putu (1, 2), (2, ), (, ) i to 1 dan za aktivnost (1, 2) i 2 dana za aktivnost (2, ). Aktivnost (, ) ne može se skratiti. Dakle, projekt će posle ovoga drugog skraćenja trajati 1 dana.
Izračunajmo troškove: Aktivnost (1, ) skraćuje se za dana, pa će dodatni trošak biti 100 000 00 000 n.j. Aktivnost (1, 2) skraćuje se za 1 dan pa izaziva dodatne troškove od 1 0 000 0 000 n.j. Aktivnost (2, ) skraćuje se za 2 dana pa su dodatni troškovi 2 70 000 140 000 n.j. Ukupni troškovi su: 4 00 000 + 00 000 + 0 000 + 140 000 4 790 000 n.j.
Ujedno je završeno skraćivanje vremena trajanja čitavoga projekta, jer na kritičnom putu nema više niti jedne aktivnosti koja bi se mogla skratiti. Odgovarajući mrežni dagram je: 2 2 1 1 12 4
Dakle, uz dodatne troškove od 90 000 n.j. postiže se skraćivanje projekta s 21 na 1 dana. Primetimo da ne potrebno izvršiti skraćivanje svih aktivnosti (u našem slučaju ne skraćuju se aktivnosti (1, 4) i (4, )).