ARCHIMEDOVSKÉ MNOHOSTENY VESELO I VÁŽNE

ARCHIMEDOVSKÉ MNOHOSTENY VESELO I VÁŽNE Miroslava Konrádová, KAM SjF ŽU, Žilinská univerzita, Žilina Úvod Počiatky samotnej teórie mnohostenov siahajú k počiatkom geometrických úvah vôbec. Pravidelné konvexné mnohosteny boli popísané už v.knihe Euklidových Základov. V staroveku a stredoveku sa tieto telesá stali zdrojom rôznych, väčšinou zavádzajúcich úvah filozofického charakteru. Hoci týchto päť mnohostenov dodnes nazývame Platónske telesá, neznamená to, že ich objavil Platón. Boli tak nazvané najmä preto, že Platón vo svojom diele Tímaios pripisuje tvar prvých štyroch pravidelných mnohostenov atómom štyroch základných živlov. Johannes Kepler zas pomocou týchto telies určoval počet planét a vzdialenosti ich dráh. Skutočnosť, že pravidelných konvexných mnohostenov je len päť bola dokázaná až v 8. storočí. symbol V S H reprezentant [,] 4 4 6 štvorsten- tetraeder [,4] 6 8 osemsten- oktaeder [4,] 8 6 šesťsten- hexaeder [5,] 0 0 dvanásťsten- dodekaeder [,5] 0 0 dvadsaťsten- ikosaeder Tab. Pravidelné konvexné mnohosteny Obr.. Mnohouholníky a mnohosteny základné pojmy. Rovinný mnohouholník Def..: Rovinným mnohouholníkom sa nazýva rovinná lomená čiara A A A...A n A, t.j. zjednotenie úsečiek A A, A A,...A n A, kde A A A...A n sú rôzne nekolineárne body E. Body A A A...A n sa nazývajú vrcholy mnohouholníka, úsečky A A, A A,...A n A sa nazývajú strany mnohouholníka. ( Dve strany, ktoré majú spoločný vrchol, nazveme susedné strany). Často (ak nebude povedané inak i v nasledujúcich kapitolách) za mnohouholník považujeme nielen lomenú čiaru A A A...A n A, ale aj vnútornú oblasť ohraničenú touto lomenou čiarou. Def..: Prostým mnohouholníkom nazveme taký mnohouholník, ktorého žiadne dve nesusedné strany sa nepretínajú, žiadny z vrcholov neleží na strane a každý vrchol je koncovým bodom práve dvoch strán mnohouholníka Predpokladáme, že definície vnútornej a vonkajšej oblasti mnohouholníka, konvexného mnohouholníka a vnútorného uhla mnohouholníka sú všeobecne známe, preto ju neuvádzame.. Mnohosten Def..: Uvažujme o konečnom počte mnohouholníkov M rozložených v priestore tak, že: ) každá strana ľubovoľného z mnohouholníkov M je stranou ešte jedného a práve jedného mnohouholníka M, 5

) v prípade, že A je vrchol jedného z mnohouholníkov M a B je vrchol ľubovoľného iného, existuje lomená čiara, ktorej koncovými bodmi sú vrcholy A, B a stranami sú strany niektorých mnohouholníkov z M, ) ak V je množina všetkých vrcholov mnohouholníkov M, potom aspoň jeden z vrcholov leží v inej rovine ako zvyšné. Potom množinu zloženú z vrcholov, bodov strán a vnútorných oblastí mnohouholníkov M nazveme uzavretou mnohostenovou plochou resp. mnohostenom. Strany a vrcholy tvoriacich mnohouholníkov nazveme hranami a vrcholmi príslušného mnohostena. Mnohouholníky M (chápané ako časti roviny) nazveme steny mnohostena. Dve steny, ktoré majú spoločnú hranu, nazývame susedné steny a uhol, ktorý zvierajú nazveme dvojstenný uhol. Ak S je spoločným vrcholom viacerých stien mnohostena, potom časť priestoru ohraničenú týmto vrcholom a ním prechádzajúcimi stenami nazveme mnohostenný resp. vrcholový uhol mnohostena pri vrchole S. Uhol, ktorý zvierajú hrany tej istej steny mnohostena, sa nazýva hranový uhol. Def..4: Mnohosten nazveme jednoduchý resp. prostý, ak spĺňa podmienky: ) všetky jeho steny sú prosté mnohouholníky, ) žiadne jeho dve nesusedné steny nemajú spoločné body (vnútorné ani hraničné) s výnimkou jediného spoločného vrcholu, ) dve susedné steny majú iba jednu spoločnú hranu a nemajú iné spoločné body. Obr.a Obr.b Def..5: Mnohosten nazveme konvexným, ak sa všetky jeho vrcholy nepatriace ľubovoľnej jednej stene mnohostena, nachádzajú v jednom a tom istom polpriestore vzhľadom na rovinu, v ktorej táto stena leží (obr.akonvexný mnohosten, obr.b- nekonvexný mnohosten) Najjednoduchšími konvexnými mnohostenmi sú n-boké ihlany a n-boké hranoly.. Dôležité vety o mnohostenoch Veta.: Eulerova veta Pre každý konvexný mnohosten platí rovnosť: S + V H =. Dôkaz Eulerovej vety je jednoduchý a prenecháme ho na čitateľa. Vo všeobecnosti je možné Eulerovu vetu dokázať matematickou indukciou pre všetky planárne mapy (teória grafov). Uvažujme o mnohostene na obr.. V tomto prípade veta. neplatí: S+V-H = +-4 = 0! Prečo? Čím sa líši od iných mnohostenov? Nazvime tento mnohosten toroidný resp. mnohosten s priechodným prstencom. Mnohosteny, ktoré takýto prstenec nemajú, nazveme mnohosteny nultého rádu. Rádom mnohostena teda budeme Obr. nazývať počet priechodných prstencov, ktoré prostý mnohosten obsahuje. Odvoďme teda Eulerovu vetu vo všeobecnom tvare: Veta.: Pre každý prostý mnohosten nultého rádu platí rovnosť : S + V H =. Veta.: Dôsledok Eulerovej vety 5

a) S / H V / H b) S / H + V / H + c) V S -- 4 S V-- 4 Dôkaz: a) Každá stena mnohostena má najmenej tri hrany (S /H ) a zároveň každá hrana patrí dvom stenám S H S /H V každom vrchole sa stretávajú tri hrany a zároveň každá hrana inciduje s tromi vrcholmi V H V /H b) Z EV S+V = +H, z a) V /4H, potom S+ /H S + V S + /H+ Analogicky dokážeme V + /H c) Z EV H =S+V--, z a) V /H, potom /(S+V--) V /S -- 4/ / S 4 V Analogicky dokážeme S V-- 4 Eulerova veta a jej dôsledky sú nevyhnutnými podmienkami k tomu, aby k ľubovoľnej trojici čísel S, V, H existoval mnohosten M taký, že S je počet jeho stien, V je počet vrcholov a H je počet jeho hrán. Sú to však aj postačujúce podmienky? Odpoveď na túto otázku dal v r.906 nemecký univerzitný profesor E. Steinitz. Veta.4: Steinitzova veta Ku každej trojici prirodzených čísel S, V, H spĺňajúcej podmienky Eulerovej vety a jej dôsledkov existuje mnohosten M s počtom vrcholov V, stien S a hrán H. Dôkaz vykonáme tak, že tento mnohosten zostrojíme.. Kombinatorické topologické vlastnosti mnohostenov vlastnosti mnohostenov vyplývajúce len z incidenčných vzťahov medzi prvkami určujúcimi daný mnohosten Def..: Dva mnohosteny sú izomorfné, ak medzi vrcholmi, hranami a stenami jedného mnohostena a medzi vrcholmi, hranami a stenami druhého mnohostena existuje také vzájomne jednoznačné zobrazenie, pre ktoré platí: a) vrcholom (hranám, stenám) jedného mnohostena priradí vrcholy (hrany, steny) druhého mnohostena, b) incidenčné vzťahy medzi jednotlivými vrcholmi, hranami a stenami sa zobrazením nemenia. Ako príklad izomorfných mnohostenov uvádzame na obr.4a trojboký hranol, na obr.4b zrezaný trojboký ihlan a na obr.4c klin. Obr.4a Obr.4b Obr.4c O dvoch izomorfných mnohostenoch potom hovoríme ako o mnohostenoch jedného kombinatorického typu. Pri skúmaní kombinatorických vlastností mnohostena teda môžeme tento zameniť ľubovoľným iným, ktorý je s ním izomorfný, čiže je toho istého kombinatorického typu. Ak teda chceme zadať mnohosten niektorého kombinatorického typu (hovoríme tiež, že zadávame mnohosten s presnosťou až na izomorfizmus), stačí, ak zadáme jeho vrcholy, hrany a steny a určíme, ktoré z nich sú navzájom incidentné. 54

4. Metrické vlastnosti mnohostenov vlastnosti mnohostenov opierajúce sa o pojmy ako sú veľkosť, dĺžka a pod. Metrická teória mnohostenov skúma teda povrch a objem mnohostenov, polomer opísanej, či vpísanej guľovej plochy, dĺžky hrán, obsahy stien, veľkosti vnútorných uhlov mnohostenov a podobne. 4. Zhodnosť mnohostenov Každý, kto lepil alebo aspoň držal v rukách papierový, či iný model mnohostena, si mohol všimnúť jeho tvar a možno sa nad ním zamyslel. Intuícia určite všetkým napovie, že tvar mnohostenov nie je náhodný, že je podmienený nejakými nejasnými, očividne existujúcimi vzťahmi medzi stenami mnohostena. Otázka tvaru mnohostenov je veľmi stará a ako sa ukázalo, vôbec nie jednoduchá. Prvý dôležitý krok pri jej riešení urobil až v roku 8 francúzsky matematik A.L.Cauchy. Nie bez príčiny nesie veta o jednoznačnosti tvaru mnohostenov resp. o zhodnosti dvoch mnohostenov práve jeho meno. Dôkaz tejto vety bol, tak ako ho vo svojich prácach uviedol A.L.Cauchy, nedokonalý a až omnoho neskôr ho upravil E.Steinitz. Veta 4.: Cauchyho veta Nech M a M sú konvexné mnohosteny a nech existuje izomorfizmus φ taký, že zodpovedajúce si steny mnohouholníkov M a M sú zhodné. Potom sú tieto mnohosteny zhodné. Keďže podľa predpokladu vety je izomorfizmus φ taký, že odpovedajúce si steny M a M sú zhodné, stačí dokázať, že aj dvojstenné uhly pri odpovedajúcich si hranách sú v izomorfizme φ zhodné. Dôkaz samotnej vety je pomerne zdĺhavý, opiera sa o niekoľko pomocných tvrdení platných pre rovinné i sférické mnohouholníky a pre nedostatok priestoru ho neuvádzame. 4. Sieť mnohostena Def.4.: Súhrn mnohouholníkov zhodných so stenami nejakého mnohostena (alebo ich časťami) spolu s označením vrcholov a strán, ktoré treba spolu zlepiť, nazveme sieť mnohostena. Je samozrejmé, že ak máme daný mnohosten, vždy môžeme zostrojiť jeho sieť. Už menej je jasné, či túto sieť môžeme zostrojiť jednoznačne, t.j. či pre daný mnohosten existuje jediná sieť. Ďalej je otázne, či naopak, zadaním B F B skupiny mnohouholníkov a schémy C A zlepovania jednotlivých strán a vrcholov F G C D vždy určíme nejaký mnohosten a ak áno, B E A koľko rôznych mnohostenov môžeme týmto spôsobom zostrojiť. Inými slovami, E A H D E A vynárajú sa otázky:. o jednoznačnosti siete daného E A E A mnohostena,. o existencii a jednoznačnosti F B B mnohostena s vopred danou sieťou. E C Obr.5 D 55 Na prvú otázku odpovieme jednoduchým príkladom. Na obr.5 sú dve siete kocky.

Hoci siete sú na pohľad rôzne, kocky, ktoré z nich vymodelujeme sú zhodné. Odpoveď na druhú otázku je o niečo zložitejšia. Z veľkej časti sme na ňu už odpovedali. Cauchyho vetou je totiž zaručená existencia a jednoznačnosť konvexného mnohostena daného sieťou, ktorej tvoriace mnohouholníky sú stenami, vrcholy vrcholmi a strany týchto mnohouholníkov sú hranami mnohostena. Na obrázku 5 je však znázornená sieť kocky, pre ktorú toto neplatí. Z akých sietí je teda možné zostrojiť konvexný mnohosten? Na túto otázku v roku 99 odpovedal leningradský matematik A.D.Alexandrov. Veta 4.: Alexandrovova veta K tomu, aby sme z danej mnohouholníkovej siete mohli zostrojiť konvexný mnohosten, je nevyhnutné a dostačujúce, aby boli splnené podmienky:. pre danú sieť musí platiť Eulerova veta : S+V H = (hrany, ktoré zlepujeme rátame x),. súčet hranových uhlov pri každom vrchole musí byť menší ako 60. Dôkaz:. zrejmý z Eulerovej vety pre konvexné mnohosteny a z definície siete mnohostena,. predpokladajme, že súčet hranových uhlov pri niektorom vrchole by bol väčší nanajvýš rovný 60 : keby súčet bol rovný 60, splynuli by všetky steny incidentné s daným vrcholom do jednej steny tvorili by jednu rovinu; keby súčet uhlov by bol väčší ako 60, existovali by aspoň dve steny incidujúce s týmto vrcholom, ktoré by nespĺňali podmienku konvexnosti mnohostena. Alexandrovovu vetu môžeme teda vo všeobecnosti považovať za silnejšie tvrdenie ako je tvrdenie Cauchyho vety. Ak z danej siete možno zlepiť konvexný mnohosten, tak iba jeden. Navyše z tejto siete nemožno získať iné konvexné povrchy mnohostena ani inej plochy. 5. Polopravidelné mnohosteny a ich vlastnosti Už v úvode článku sme spomenuli, že existuje 5 rôznych (s presnosťou až na podobnosť) topologicky i metricky pravidelných mnohostenov. Skôr ako sa dostaneme k mnohostenom polopravidelným a k ich vlastnostiam, považujeme za potrebné zadefinovať pojem hviezda vrcholu. Def.5.: Hviezdou vrcholu A daného mnohostena nazývame množinu všetkých s ním incidentných stien a všetkých vrcholov a hrán týchto stien. Definícia izomorfizmu medzi dvomi hviezdami rôznych vrcholov je analogická definícii. izomorfných mnohostenov (stačí, ak pojem mnohosten nahradíme pojmom hviezda vrcholu). Hviezdu niektorého vrcholu zadáme s presnosťou až na izomorfizmus, ak určíme počet s stien tejto hviezdy, počet n vrcholov jednej zo stien α, počet vrcholov n k nej susednej steny α,... počet vrcholov n i steny α i... 5. Topologicky polopravidelné mnohosteny Def.5.: Topologicky vrcholovo polopravidelným mnohostenom nazveme taký mnohosten, ktorého hviezdy všetkých vrcholov sú navzájom izomorfné. Pokúsme sa nájsť všetky také mnohosteny. Sústreďme sa pritom len na mnohosteny nultého rádu, ktoré nie sú topologicky pravidelné. Na vyčíslenie všetkých typov topologicky vrcholovo polopravidelných mnohostenov postačí nájsť všetky možné typy hviezd ich vrcholov. Pre každý nájdený typ hviezdy vrcholu potom dokážeme zostaviť schému 56

zodpovedajúceho mnohostena a pomocou Steinitzovej vety dokázať existenciu a jednoznačnosť hľadaného mnohostena až na izomorfizmus. Nech V, S a H sú počty vrcholov, stien a hrán mnohostena, pričom s je počet n - uholníkových stien, s je počet n -uholníkových stien,... s i je počet n i -uholníkových stien a podobne. Nech ďalej každý vrchol mnohostena je incidentný s s stenami, z toho nech je s n - uholníkových,... s i n i - uholníkových atď. Ukážme predovšetkým, že v žiadnom z vrcholov mnohostena sa nemôže stretávať príliš mnoho stien, t.j. ohraničme s zhora. V každom vrchole sa stretáva s hrán, spoločný počet hrán vo všetkých vrcholoch mnohostena je teda s. V. Keďže takto započítavame každú hranu dvakrát, musí platiť s. V = H. () Z vety..a) vyplýva S H a podľa () platí... S sv () Ak podľa vety. platí S + V H = teda S + V > H, potom po dosadení () a () do tohto sv. sv. sv. vzťahu dostávame : S V + S + V > H = 6 < s. Počet stien s incidentných s jedným vrcholom môže teda byť,4 alebo 5. Všetky n -uholníkové steny obsahujú na jednej strane n.s hranových uhlov a na strane druhej vzťah pre s. V hranových uhlov. Potom n. S = s. V resp. S..., S S n, vo všeobecnosti teda platí: S s. V s. V S =. Analogicky nájdeme n k k =. () nk s s Pre spoločný počet stien mnohostena potom platí: S = S + S +... =. V + V +... (4) n n s s s Po dosadení () a (4) do Eulerovej vety dostávame rovnosť: V + V +... = V V +, n n teda s s s + +... = + (5) n n V Hľadajme teda prirodzené čísla s s, s,..., n, n,,... a V tak, aby spĺňali vzťah (5). Uvažujme o rôznych hodnotách s :, n A. s = v každom vrchole sa stretávajú tri steny, ktoré môžu byť alebo rôznych typov: A.. s = ; s = rovnica (5) má tvar : + = +, teda + >. Ak n n V n n n, musí byť, preto > a n n 6 n <. Z geometrického hľadiska ľahko zistíme, že počet n musí byť párny, teda n môže nadobúdať hodnoty 4, 6, 8, 0. A..a n = 4, zo vzťahu : + = + vyplýva V = n, čím je daný počet n n V V prirodzeným číslom pri ľubovoľnom celom n = n. Z () potom dostávame S = n = n a S =. Našli sme teda mnohosten s n 4-uholníkovými stenami a s dvoma n-uholníkovými stenami. Tento mnohosten je izomorfný s n-bokou prizmou. Našli sme prvú nekonečnú sériu topologicky polopravidelných mnohostenov (pre rôzne n). Je nutné vylúčiť z tejto série mnohosten s n = 4, ktorý je pravidelný. n A..b n = 6, zo vzťahu : + = + vyplýva + = + odkiaľ V =. n n V n V 6 n 57

Je zrejmé, že n 6. Ak n =, V= mnohosten má vrcholov a v každom z nich sú dve 6-uholníkové a jedna -uholníková stena (mnohosten je izomorfný s otupeným dodekaédrom), ak n = 4, V=4 mnohosten má 4 vrcholov a v každom z nich je jedna 4-uholníková a dve 6-uholníkové steny (mnohosten je izomorfný s otupeným hexaédrom), n = 5, V=60 mnohosten má 60 vrcholov a v každom z nich sa stretajú dve 6-uholníkové steny s jednou 5-uholníkovou stenou (mnohosten je izomorfný s otupeným dodekaédrom). 8n A..c n = 8, zo vzťahu : + = + + = + odkiaľ V = teda n n V 4 n V 4 n n 4 Jediná možnosť existuje pre n =, V=4 mnohosten má 4 vrcholov a v každom z nich sú dve 8-uholníkové a jedna -uholníková stena (mnohosten je izomorfný s otupeným oktaédrom) 0n A..d n = 0, zo vzťahu : + = + + = + odkiaľ V = teda, n n V 5 n V 0 n ak 0 n > 0, potom n a súčasne n, teda n = V=60 mnohosten má 60 vrcholov a v každom z nich sú dve 0-uholníkové a jedna -uholníková stena (mnohosten je izomorfný s otupeným ikosaédrom). A.. s = s = s = Aj v tomto prípade každá z hodnôt n, n, n musí byť párna rovnica (5) má tvar : + + = +, teda + + > musí aspoň jedna z neznámych na ľavej strane n n n V n n n byť väčšia ako. Nech napríklad >, teda 6 6 n 6 n <. Odtiaľ n = 4, + = +. Je n n 4 V očividné, že + > a teda jedna z hodnôt na ľavej strane musí byť väčšia ako. Nech n n 4 8 napríklad >, teda 8 n 8 n <. Ak uvážime, že n n, potom n = 6 a > čiže n n <. Keďže n n n ostávajú prípady, keď n = 0 alebo n = 8. A..a n = 8, V = 48 mnohosten má 48 vrcholov a v každom z nich je jedna 4-uholníková, jedna 6-uholníková a jedna 8-uholníková stena (mnohosten je izomorfný s otupeným kubooktaédrom) A..b n = 0, V = 0 mnohosten má 0 vrcholov a každý z nich je incidentný s jednou 0-uholníkovou, jednou 6-uholníkovou a jednou 4-uholníkovou stenou (mnohosten je izomorfný s otupeným ikosododekaédrom). Tým sme vyriešili prípad, kedy je každý vrchol mnohostena incidentný s tromi stenami a ostáva nám vyriešiť prípad B, kedy každý vrchol je incidentný so štyrmi stenami (možnosti typov stien: +, +, ++, +++) a prípad C, keď každý vrchol je incidentný s 5 stenami. Túto analýzu však už ponecháme na čitateľa. Ak nepočítame dve nekonečné série n-boké prizmy a n-boké antiprizmy, môžeme po vyčerpaní všetkých možností vysloviť nasledujúce tvrdenia: Veta 5.: Existuje 4 kombinatorických typov topologicky vrcholovo polopravidelných mnohostenov nultého rádu (tab.) 58

5. Metricky polopravidelné mnohosteny Def.5.: Mnohosten sa nazýva metricky vrcholovo polopravidelným archimedovským, ak všetky jeho steny sú pravidelné mnohouholníky viac ako jedného typu a všetky jeho mnohostenné uhly sú zhodné. Veta 5.: Existuje rôznych (s presnosťou až na podobnosť) metricky polopravidelných archimedovských mnohostenov. 5. Archimedovské mnohosteny ako ich našiel Archimedes Svedectvo o Archimedovom objave polopravidelných mnohostenov sa zachovalo najmä zásluhou Alexandrijského encyklopedistu Pappa a jeho práce Mathematikai synagogai (matematická zbierka). Predpokladá sa, že Archimedes zostrojil všetky tieto telesá z piatich pravidelných Platónskych mnohostenov. Podľa ďalšieho alexandrijského matematika Heróna vznikli tieto telesá štyrmi spôsobmi : A. vrcholy pravidelných mnohostenov zrezal rovinami rozpoľujúcimi všetky hrany vedúce k jednotlivým vrcholom B. rezovými rovinami odťal z hrán menšie časti ako polovice tak, aby vznikli pravidelné mnohouholníky C. odsekol hrany platónskeho telesa rovinou rovnobežnou s hranou, odtínajúcou na ostatných hranách rovnaké časti D. do steny pravidelného mnohostena umiestnil sústredný pravidelný mnohouholník, podobný pôvodnému a pootočený o určitý uhol k hranám pôvodnej steny vrcholy týchto mnohouholníkov pospájal a zvyšné časti odstránil 59

symbol S H V reprezentant objem povrch Obr. [,6,6] 8 8 otupený tetraéder [,8,8] 4 6 4 otupený hexaéder a 7 a + 4 a a ( 9 + 6 5) [,0,0] 90 60 otupený dodekaéder a 0 a ( 68 + 5 5) 6c [4,4,q] q+ q q q-boká prizma 6d [4,6,6] 4 6 4 otupený oktaéder a 8 a 6( ) + 6e [4,6,8] 6 7 48 otupený kubooktaéder a ( + 4 ) a ( 4 + 0) 6f [4,6,0] 6 80 0 otupený ikosododekaéder a ( 44 + 70 a ( 46 + 4 6g [5,6,6] 90 60 otupený ikosaéder a ( 55 + 56 5) a ( 4 + 5) 6h [,,] q+ 4q q q-boká antiprizma + 5 6i a a n + S ( ) S n+ n n [,4,,4] 4 4 kubooktaéder 5 6j a + 6 [,4,4,4] 6 48 4 rombokubooktaéder ( ) a ( ) 6 + 5 a a ( + 8) [,4,5,4] 6 0 60 romboikosododekaéder 4 ( ) a + a ( 69 + 4 [,5,,5] 60 0 ikosododekaéder a ( 0 + 4 5) a ( 77 + 5) [,,,,4] 8 60 4 obsekaný hexaéder 68 a a ( 6 + 6 ) [,,,,5] 9 50 60 obsekaný dodekaéder a ( 47 + 9 5) a ( 4+ 9 ) Tab. Polopravidelné konvexné mnohosteny 6a 6b 6k 6l 6m 6n 6o Obr.6a Obr.6b 60

Obr.6d Obr.6c Obr.6e Obr.6f Obr.6g Obr.6h Obr.6i Obr.6j 6

Obr.6k Obr.6m Obr. 6l Obr.6n Obr.6o Literatúra: [] Enciklopedia elementarnoj matematiky IV.,V., Moska, Nauka, 96. 568s. [] Jucovič, E.: Konvexné mnohosteny, Bratislava, veda vydavateľstvo SAV, 98 [] Kvant číslo /978 str.8-7 [4] Kvant číslo /980 str.9-4 [5] Kvant číslo 5/988 str.6-4 [6] Sekanina, M.,Sekaninová, A..: Mnohostěny, Brno, Univerzita J.E.Purkyně, 977 6