ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 009
ÚVOD Cieľové požidvky z mtemtiky sú rozdelené n čsti Obsh Požidvky n vedomosti zručnosti. Tet v jednotlivých čstich vytlčený obyčjnou kurzívou predstvuje odvolávky, vysvetlivky komentáre. V kždej kpitole sú v odseku Obsh (rozdelenom sprvidl n menšie čsti s názvmi Pojmy Vlstnosti vzťhy) vymenovné termíny vzťhy (vzorce, postupy, tvrdeni), ktoré má žik ovládť. Toto ovládnie v prípde pojmov znmená, že žik - rozumie zdnim úloh, v ktorých s tieto pojmy vyskytujú, - vie ich správne použiť pri formuláciách svojich odpovedí, - vie ich stručne opísť (definovť). V prípde vlstností vzťhov ovládním rozumieme žikovu schopnosť vybviť si tieto vzťhy v mysli (bez toho, by mu bolo potrebné pripomínť konkrétnu podobu uvedeného vzťhu, postupu, či tvrdeni) použiť ich pri riešení dnej úlohy (pričom spôsob tohto použiti špecifikuje čsť Požidvky n vedomosti zručnosti, o ktorej hovoríme nižšie). Pre prehľdnosť neuvádzme úplné znenie jednotlivých vzťhov so všetkými predpokldmi podmienkmi, le len tkú ich podobu, z ktorej je jsné, ké tvrdenie máme n mysli. Pokiľ s v zdnich úloh lebo otázok, ktoré má žik riešiť lebo zodpovedť, vyskytnú pojmy, ktoré nie sú uvedené v čsti Obsh, bude potrebné ich v tete zdni vysvetliť. Rovnko tk v prípde, že zdnie vyžduje použitie postupu lebo vzťhu, ktorý nie je zhrnutý do čsti Obsh, musí byť žikovi k dispozícii opis poždovného postupu lebo vzťhu (tento opis všk nemusí byť súčsťou zdni, môže byť npríkld uvedený vo vzorčekovníku, ktorý bude priložený k celému súboru zdní). Výnimku z tohto prvidl predstvuje situáci, keď riešením úlohy má byť objvenie lebo odvodenie tkého vzťhu, ktorý nebol uvedený v odseku Vlstnosti vzťhy. Čsť Požidvky n vedomosti zručnosti opisuje v kždej kpitole činnosti, ktoré má byť žik schopný správne relizovť. V tete používnú formuláciu žik vie... pritom chápeme v zmysle žik má vedieť... ; podobne formuláci... pokiľ (k) žik vie... znmená... k je v týchto cieľových požidvkách uvedené, že žik má vedieť.... Ted npríkld tet žik vie nájsť všetky riešeni nerovnice f (), pokiľ vie riešiť rovnicu f () = súčsne vie nčrtnúť grf funkcie f (ktorý čitteľ nájde v kpitole 1.4) treb chápť tk, že n inom mieste týchto cieľových požidviek je špecifikovné, grfy ktorých funkcií f má žik vedieť nčrtnúť, pre ktoré funkcie f má žik vedieť riešiť rovnicu f () =. Podobnú úlohu plní odvolávk pozri... ; npríkld v tete žik vie nájsť definičný obor dnej funkcie (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy) táto odvolávk upozorňuje, že stupeň náročnosti, n ktorom má žik zvládnuť určovnie definičného oboru funkcie, je dný náročnosťou rovníc nerovníc, ktoré pri tom musí vyriešiť, pričom táto náročnosť je opísná v čsti 1.4. Odvolávk pozri tiež... upozorňuje čitteľ, že uvedený pojem lebo činnosť s vyskytuje j n inom mieste tohto tetu. Žik by ml byť schopný riešiť úlohy kompleného chrkteru, ted úlohy, ktorých riešenie vyžduje spojenie neveľkého počtu činností opísných v týchto cieľových požidvkách (pritom nevylučujeme spájnie činností opísných v rôznych kpitolách); npr. pri riešení klsickej slovnej úlohy by ml žik zvládnuť formuláciu príslušného problému v reči mtemtiky, jeho vyriešenie prístupnými mtemtickými prostriedkmi formuláciu odpovede opäť v reči pôvodného slovného zdni. Jednotlivé činnosti uvedené v čsti Požidvky n vedomosti zručnosti predstvujú ted len kési tehličky či zákldné stvebné kmene, pričom riešenie jedného konkrétneho zdni môže vyždovť i použitie spojenie vicerých tkýchto tehličiek. V snhe o ucelenosť jednotlivých kpitol uvádzme tie pojmy zručnosti, ktoré súvisi s vicerými kpitolmi, v kždej z nich. Z toho istého dôvodu sú do tetu zrdené i niektoré pojmy, vzťhy činnosti, ktoré sú obshom učiv zákldnej školy. Vyznčené (zvýrznené) učivo s v prechodnom období 01 016 nebude testovť v eternej čsti mturitnej skúšky.
CP - mtemtik 1 ZÁKLADY MATEMATIKY 1.1 Logik množiny Obsh výrok, ióm, definíci, hypotéz, tvrdenie, prvdivostná hodnot, logické spojky, negáci, konjunkci, disjunkci, implikáci, obmen implikácie, obrátená implikáci, ekvivlenci, vyplýv, je ekvivlentné, kvntifikátor (eistenčný, všeobecný, spoň, njvic, práve), primy neprimy dôkz, dôkz sporom, množin, prvky množiny, podmnožin, ndmnožin, prienik, zjednotenie rozdiel množín, Vennove digrmy, disjunktné množiny, prázdn množin, doplnok množiny, konečná nekonečná množin, počet prvkov množiny. Vlstnosti vzťhy: / / Implikáci (výrok) A B je ekvivlentná s implikáciou (výrokom) B A (výrok z A vyplýv B pltí práve vtedy, keď pltí výrok z negácie B vyplýv negáci A), výroky A, B sú ekvivlentné, k plti obe implikácie A B, B A, negáci konjunkcie (disjunkcie) je disjunkci (konjunkci) negácií, implikáci A B je neprvdivá práve vtedy, keď je prvdivý výrok A neprvdivý výrok B, prvdivosť zložených výrokov negácie ( tbuľk prvdivostných hodnôt ), negáci výroku M pltí V() je M, pre ktoré nepltí V(), negáci výroku M, pre ktoré pltí V() je M nepltí V(), A= práve vtedy, keď súčsne pltí A B, B A, B pre počet prvkov zjednoteni dvoch množín pltí A B = A+ B A B, / /. / / / / ( A B) = A B, ( A B) = A B Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: rozlíšiť používnie logických spojok kvntifikátorov vo vyjdrovní s v bežnom živote n jednej strne v rovine zákonov, nridení, zmlúv, návodov, mtemtiky n strne druhej, zistiť prvdivostnú hodnotu zloženého výroku (vytvoreného pomocou negácie, konjunkcie, disjunkcie, implikácie, ekvivlencie) z prvdivostných hodnôt jednotlivých zložiek (ted npísť pre dnú situáciu príslušný ridok tbuľky prvdivostných hodnôt ), v jednoduchých prípdoch rozhodnúť, či je výrok negáciou dného výroku, vytvoriť negáciu zloženého výroku (nielen pomocou nie je prvd, že ), v jednoduchých prípdoch zpísť určiť množinu vymenovním jej prvkov, chrkteristickou vlstnosťou lebo množinovými operácimi, v jednoduchých prípdoch rozhodnúť o konečnosti či nekonečnosti dnej množiny, opísť zákldné druhy dôkzov (primy, neprimy, sporom) dokumentovť ich príkldmi, použiť zákldné druhy dôkzov pri dokzovní jednoduchých tvrdení, určiť zjednotenie, prienik rozdiel množín i doplnok množiny A (k A je podmnožinou B) vzhľdom n množinu B (intervly pozri v 1. Čísl, premenné výrzy), použiť vzťh pre počet prvkov zjednoteni dvoch množín pri hľdní počtu prvkov týchto množín, resp. ich prieniku lebo zjednoteni, pri riešení úloh o množinách použiť ko pomôcku Vennove digrmy (pre 4 množiny). Štátny pedgogický ústv 3
1. Čísl, premenné výrzy Obsh CP - mtemtik konštnt, premenná, výrz, obor definície výrzu, rovnosť výrzov, hodnot výrzu, mnohočlen, stupeň mnohočlen, doplnenie do štvorc (pre kvdrtický mnohočlen), člen mnohočlen, vynímnie pred zátvorku, úprv n súčin, krátenie výrzu, prirodzené (N), celé (Z), nezáporné (N 0 ), záporné ( Z ), rcionálne (Q), ircionálne (I), reálne (R) čísl, n-ciferné číslo, zlomky (čitteľ, menovteľ, spoločný menovteľ, zákldný tvr zlomku, zložený zlomok, hlvná zlomková čir), destinný rozvoj (konečný, nekonečný periodický), číslo π, nekonečno, číselná os, znázorňovnie čísel, komuttívny, socitívny distributívny zákon, odmocnin (druhá), n-tá odmocnin, mocnin (s prirodzeným, celočíselným, rcionálnym eponentom), eponent zákld mocniny, zákld logritmu, bsolútn hodnot čísl, úmer (prim neprim), pomer, percento, promile, zákld (pre počítnie s percentmi), fktoriál, kombinčné číslo, desitková sústv, dekdický zápis, intervl (uzvretý, otvorený, ohrničený, neohrničený). Vlstnosti vzťhy: +, kde 1, sú y = ( y) ( + y), ± y+ y = ( ± y), b+ c= ( 1) ( ) korene rovnice + b+ c= 0, ( 0), + y m n = = y y 1 =, = y, ( ) m m n n n m =, ( ),, ( ) b = b, c 0 = 1,, b 0, c> 0,, y Z, Q, n n n =, y = y, pre, y 0, m, n N, je vzdilenosť obrzov čísel n číselnej osi, π π α, cos α = sinα, sin α = cosα, sin α = sin, cos ( α) = cosα, sin ( π α) = sinα, cos( π α) = cosα, sin + cos α = 1 ( ) α sin α = sinα cosα, cos α = cos α sin α, sinα tg α =, cos α log = b = log, =, pre > 0, 1, > 0, b > 0, b + log y= log ( y) log, y log ( ) y log =, pre > 0, 1, > 0, log log y= log, pre > 0, 1,, y > 0, y n! = 1 3... n, pre prirodzené čísl n, 0!=1, n n! =, pre prirodzené čísl n nezáporné celé čísl k, nie väčšie ko n, k k!( n k)! práve rcionálne čísl mjú destinný periodický rozvoj, R= Q I, Q I = {}, Z = N Z { 0}, N Z Q R. Štátny pedgogický ústv 4
Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: (čísl) zokrúhľovť čísl, uprviť reálne číslo n tvr CP - mtemtik n ± 10, kde n je celé číslo číslo z intervlu,10) 1, vypočítť bsolútnu hodnotu reálneho čísl, zpísť vzdilenosť n číselnej osi pomocou bsolútnej hodnoty, znázorňovť čísl n číselnú os, porovnávť čísl n číselnej osi, odčítť čísl z číselnej osi, pre konkrétne n všeobecne zpísť n-ciferné číslo, n približný výpočet číselných výrzov hodnôt funkcií (vrátne log ) používť klkulčku, pričom vie - uprvovť číselné výrzy n tvr vhodný pre výpočet n klkulčke, - zvoliť vhodný postup, by mu vyšiel čo njpresnejší výsledok (npr. pri približnom výpočte 0! ), 10! 10! pomocou klkulčky zistiť ostrý uhol, ktorý má dnú goniometrickú hodnotu, porovnť dve reálne čísl n úrovni presnosti klkulčky, vyjdriť zjednotenie, prienik rozdiel konečného počtu intervlov pomocou njmenšieho počtu nvzájom disjunktných intervlov, jednoprvkových množín prázdnej množiny, (výrzy) určiť hodnotu výrzu (dosdiť) ručne lebo pomocou klkulčky, určiť obor definície výrzu (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), odstrániť bsolútnu hodnotu rozlišovním vhodných prípdov (t.j. V ( ) = V( ) pre, prektoré ( ) 0 V( ) = V( ) pre, pre ktoré V( ) 0 V ), doplniť kvdrtický trojčlen do štvorc (pozri tiež. Lineárn kvdrtická funkci, ritmetická postupnosť), uprvovť mnohočlen n súčin vynímním pred zátvorku použitím vzťhov pre rozkldy výrzov y, ± y+ y, + b+ c, použiť pri úprvách výrzov (číselných lebo výrzov s premennými) rovnosti uvedené v čsti Vlstnosti vzťhy, roznásobovnie, vynímnie pred zátvorku, krátenie, úprvu zloženého zlomku n jednoduchý, (prác s premennou) používť percentá úmeru, nhrdiť premennú vo výrze novým výrzom (substitúci, pozri tiež 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), pri primo závislých veličinách vie vyjdriť jednu pomocou druhej (pozri tiež.1 Funkci jej vlstnosti, postupnosti), vyjdriť neznámu zo vzorc (pozri.1 Funkci jej vlstnosti, postupnosti), zpísť slovný tet lgebricky (mtemtizáci), - zpísť vzťhy (v jednoduchom tete) pomocou premenných, čísel, rovností nerovností, - zpísť, vyjdriť bežné závislosti v geometrii, - v jednoduchých prípdoch odvodiť zo známych vzťhov niektoré nové vzťhy, riešiť kontetové (slovné) úlohy vedúce k rovnicim nerovnicim (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy) interpretovť získné riešeni v jzyku pôvodného zdni. Štátny pedgogický ústv 5
1.3 Teóri čísel Obsh CP - mtemtik deliteľ, násobok, deliteľnosť, njväčší spoločný deliteľ (NSD), njmenší spoločný násobok (NSN), prvočíslo, zložené číslo, súdeliteľné nesúdeliteľné čísl, zvyšok, prvočíselný rozkld, prvočiniteľ. Vlstnosti vzťhy: Znky deliteľnosti číslom, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: zistiť bez deleni, či je dné číslo deliteľné niektorým z čísel uvedených v znkoch deliteľnosti, sformulovť použiť kritériá deliteľnosti niektorými zloženými číslmi, ktoré sú súčinom nesúdeliteľných čísel uvedených v znkoch deliteľnosti (npr. 6, 1, 15), nájsť NSN, NSD dných čísel, nájsť celočíselné riešeni úloh, v ktorých možno jednoduchou úvhou určiť vhodnú konečnú množinu, ktorá hľdné riešeni musí obshovť (riešeni úlohy potom nájde preverením jednotlivých prvkov získnej konečnej množiny), pri riešení jednoduchých úloh využiť prvidelnosť rozloženi násobkov celých čísel n číselnej osi. 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy Obsh rovnic, nerovnic, sústv rovníc, sústv nerovníc ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminnt, doplnenie do štvorc, úprv n súčin, substitúci, kontrol (skúšk) riešeni, (ekvivlentné neekvivlentné) úprvy rovnice nerovnice, lineárny, kvdrtický člen, koeficient pri lineárnom (kvdrtickom) člene. Vlstnosti vzťhy: Diskriminnt kvdrtickej rovnice + b+ c= 0 je D= b 4c, b± D riešením kvdrtickej rovnice + b+ c= 0 sú 1, =, vzťh medzi diskriminntom počtom (nvzájom rôznych) koreňov kvdrtickej rovnice, + b+ c= ( 1) ( ), kde 1, sú korene rovnice + b+ c= 0, 0, vzťh medzi znmienkom súčinu dvoch výrzov znmienkom jednotlivých činiteľov. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: (rovnice) nájsť všetky riešeni lineárnej rovnice + b= 0 kvdrtickej rovnice + b+ c= 0, pričom pozná vzťh medzi koreňmi kvdrtickej rovnice koreňovými činiteľmi, počtom riešení, nájsť všetky riešeni, resp. všetky riešeni ležice v dnom intervle I (k s nedá presne, tk približne s pomocou klkulčky) rovnice f =, kde A R f je funkci ( ) A -, b, log ( Q, b je kldné číslo rôzne od 1), b Štátny pedgogický ústv 6
-, CP - mtemtik - sin, cos, tg, vie určiť, koľko riešení má uvedená rovnic (v závislosti od čísl A, čísel, b, c, resp. intervlu I), y= ϕ uprviť rovnicu zpísnú v tvre f ( ϕ ( ) ) = A n tvr f ( y) = A, špeciálne vie nájsť všetky riešeni (resp. všetky riešeni ležice v dnom intervle I) rovníc - f ( + b) = A, kde f je funkci, b, log, sin, cos, použitím dnej substitúcie ( ) - f ( + b+ c) = A, kde f je funkci, b, log, b nájsť všetky riešeni (resp. všetky riešeni ležice v dnom intervle I) rovníc zpísných v tvre f ( ) g( ) = 0, pokiľ vie riešiť rovnice f ( ) = 0, g ( ) = 0, nájsť všetky riešeni (resp. všetky riešeni ležice v dnom intervle I) rovníc, ktorých tvr možno uprviť n niektorý z predchádzjúcich tvrov - použitím úprv jednotlivých strán rovnice, využívjúcich úprvy výrzov zákldné vlstnosti funkcií (pozri 1. Čísl, premenné výrzy, Funkcie), - pripočítním (špeciálne odpočítním) vynásobením (špeciálne vydelením) obidvoch strán rovnice výrzom, umocnením (špeciálne odmocnením) obidvoch strán rovnice, - odstránením bsolútnej hodnoty v prípde rovníc s jednou bsolútnou hodnotou (rozlišovním dvoch vhodných prípdov), pričom vie rozhodnúť - či použitá úprv zchová lebo či môže zmeniť množinu riešení dnej rovnice, - ktoré z koreňov rovnice, ktorá vznikl uvedenými úprvmi, sú j koreňmi pôvodnej rovnice, resp. pri použití postupov, ktoré mohli množinu potenciálnych koreňov zmenšiť, o ktorých číslch ešte treb zistiť, či sú koreňmi pôvodnej rovnice, riešiť kontetové (slovné) úlohy vedúce k rovnicim interpretovť získné riešeni v jzyku pôvodného zdni, (sústvy rovníc) opísť geometricky interpretovť množinu všetkých riešení jednej dvoch lineárnych rovníc s dvom neznámymi (pozri 3. Anlytická geometri v rovine, 4. Súrdnicová sústv v priestore), nájsť všetky riešeni sústvy rovníc s neznámymi, ktorú možno jednoducho uprviť n tvr y = f( ) g(, y) = 0 (resp. = f( y) g(, y) = 0 ), pokiľ vie riešiť rovnicu g (, f( ) ) = 0 (resp. g ( f( y), y) = 0 ), uprvovť sústvy rovníc použitím - úprv jednotlivých strán rovnice, využívjúcich úprvy výrzov zákldné vlstnosti elementárnych funkcií (pozri 1. Čísl, premenné výrzy, Funkcie), - pripočítni (špeciálne odpočítni) vynásobeni (špeciálne vydeleni) obidvoch strán rovnice výrzom, pričom vie rozhodnúť, - či použitá úprv zchová lebo či môže zmeniť množinu riešení dnej sústvy, - ktoré z riešení sústvy, ktorá vznikl uvedenými úprvmi, sú j riešenimi pôvodnej sústvy, resp. pri použití postupov, ktoré mohli množinu potenciálnych riešení zmenšiť, o ktorých číslch ešte treb zistiť, či sú riešenimi pôvodnej sústvy, (nerovnice ich sústvy) nájsť množinu všetkých riešení nerovnice - ( ) L α ( + b), b, log, f, kde L je reálne číslo, je jeden zo znkov nerovnosti <,,, >, f je niektorá z funkcií b b, resp. množinu všetkých riešení tejto nerovnice ležicich v dnom intervle, f, kde f je niektorá z funkcií sin, cos, tg je prvkom dného ohrničeného intervlu, - ( ) L Štátny pedgogický ústv 7
( ) ( ) CP - mtemtik f - 0 f ( ) g( ) 0, pokiľ vie riešiť nerovnice f ( ) 0, g ( ) 0, kde je znk g nerovnosti, nájsť všetky riešeni nerovníc, ktorých riešenie možno postupmi uvedenými v nsledujúcej odrážke nhrdiť riešením nerovníc uvedených v predchádzjúcej odrážke, pri riešení úprvách nerovníc správne použiť - vynásobenie obidvoch strán nerovnice kldným lebo záporným číslom, - pripočítnie výrzu k obidvom strnám nerovnice, riešiť sústvu nerovníc s jednou neznámou v prípdoch, keď vie vyriešiť smosttne kždú z dných nerovníc (pozri prieniky zjednoteni intervlov v 1. Čísl, premenné výrzy), vyznčiť n -ovej osi riešenie nerovnice f()*g(), pokiľ vie nčrtnúť grfy funkcií y = f(), y = g(), v rovine opísť geometricky interpretovť množinu všetkých riešení jednej nerovnice s dvom neznámymi, y, ktorú možno zpísť v tvre (kde je znk nerovnosti) v tých prípdoch, kedy vie nčrtnúť grf =, - + by+ c 0, riešiť kontetové (slovné) úlohy vedúce k nerovnicim interpretovť získné riešeni v jzyku pôvodného zdni. - y f( ) lebo f( y) funkcie y= f( ), resp. f( y) FUNKCIE.1 Funkci jej vlstnosti, postupnosti Obsh premenná (veličin), dná premenná je funkciou inej premennej, funkci, postupnosť, rgument, funkčná hodnot, (n-tý) člen postupnosti, definičný obor obor hodnôt funkcie, grf funkcie, rstúc, klesjúc, monotónn funkci (postupnosť), mimum (minimum) funkcie (postupnosti), lokálne mimum minimum funkcie, zhor (zdol) ohrničená funkci (postupnosť), ohrničená funkci (postupnosť), horné (dolné) ohrničenie, konštntná, prostá, párn nepárn, inverzná, zložená, periodická funkci, rekurentý vzťh, postupnosť dná rekurentne. Vlstnosti vzťhy: Rstúc (klesjúc) funkci je prostá, k prostej funkcii eistuje inverzná funkci, grf inverznej funkcie 1 f je súmerný s grfom funkcie f podľ primky y=, f(f 1 ()) =, grf párnej funkcie f je súmerný podľ osi y, grf nepárnej funkcie f je súmerný podľ bodu [0, 0]. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: v jednoduchých prípdoch rozhodnúť, či niektorá z dvoch dných premenných veličín je funkciou druhej z nich túto závislosť vyjdriť, k je to možné urobiť pomocou predpisov funkcií, ktoré pozná, Štátny pedgogický ústv 8
CP - mtemtik z dného grfu funkcie (postupnosti) - určiť približne - jej etrémy, - intervly, n ktorých rstie (klesá), - zistiť, či je zdol (zhor) ohrničená, párn, nepárn, nájsť definičný obor dnej funkcie, resp. rozhodnúť, či dné číslo ptrí do definičného oboru dnej funkcie (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), rozhodnúť, či dné číslo ptrí do oboru hodnôt dnej funkcie (pozri 1.4 Rovnice nerovnice), nájsť funkčnú hodnotu funkcie v dnom bode, určiť jej priesečníky so súrdnicovými osmi, nájsť priesečníky grfov dvoch funkcií (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), v prípde konštntnej funkcie funkcií + b, + b+ c, + b,, c+ d tg - určiť n dnom intervle ich obor hodnôt, - určiť intervly, n ktorých sú tieto funkcie rstúce, resp. klesjúce, - nčrtnúť ich grfy, - nájsť ich njväčšie, resp. njmenšie hodnoty n dnom intervle, b, - rozhodnúť, ktoré z nich sú n dnom intervle I - prosté, - zhor (zdol) ohrničené, - párne, nepárne, nčrtnúť grfy funkcií - + b, - + f( ), f ( + ), f( ), f ( ), f( ) uvedený grf z grfu funkcie f, nčrtnúť grf inverznej funkcie nájsť inverzné funkcie k funkciám + b,, log, sin, cos,, k pozná grf funkcie f opísť, ko vznikne 1 f, k pozná grf prostej funkcie f, + b,, c+ d, log, v jednoduchých prípdoch rozhodnúť o eistencii riešeni rovnice f ( ) = 0 (resp. f ( ) = ), pokiľ vie nčrtnúť grf funkcie f, grficky znázorniť n číselnej osi množinu riešení nerovnice f( ), kde je jeden zo symbolov <,,, >, pokiľ vie nčrtnúť grf funkcie f, nájsť všetky riešeni nerovnice f( ), pokiľ vie riešiť rovnicu f ( ) = súčsne vie nčrtnúť grf funkcie f, vypočítť hodnotu dného člen postupnosti dnej jednoduchým rekurentným vzťhom.. Lineárn kvdrtická funkci, ritmetická postupnosť Obsh lineárn kvdrtická funkci, ritmetická postupnosť, smernic primky, diferenci ritmetickej postupnosti, vrchol prboly. Vlstnosti vzťhy: Grfom lineárnej (kvdrtickej) funkcie je primk (prbol), lineárn (kvdrtická) funkci je jednoznčne určená funkčnými hodnotmi v (3) bodoch, Štátny pedgogický ústv 9
CP - mtemtik vzťh medzi koeficientom pri lineárnom člene rstom, resp. klesním lineárnej funkcie, vzťh medzi diferenciou ritmetickej postupnosti jej rstom, resp. klesním, kvdrtická funkci má n R jediný globálny etrém, minimum v prípde kldného koeficientu pri kvdrtickom člene, mimum v opčnom prípde, prbol (t.j. grf kvdrtickej funkcie) je súmerná podľ rovnobežky s osou y, prechádzjúcej vrcholom prboly. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: (pozri tiež.1 Funkci jej vlstnosti) riešiť lineárne kvdrtické rovnice nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), špeciálne vie nájsť priesečníky grfov lineárnych (resp. kvdrtických) funkcií lebo lineárnej kvdrtickej funkcie, nájsť predpis lineárnej (lebo konštntnej) funkcie, k pozná - hodnoty v bodoch, - hodnotu v 1 bode smernicu grfu tejto funkcie, nájsť predpis kvdrtickej funkcie, k pozná - jej hodnoty v 3 vhodne zvolených bodoch, - vrchol jej grfu hodnotu v ďlšom bode, nájsť intervly, n ktorých je dná lineárn lebo kvdrtická funkci rstúc, resp. klesjúc, nájsť, pokiľ eistuje, njväčšiu njmenšiu hodnotu kvdrtickej lineárnej funkcie n dnom intervle, špeciálne vie nájsť vrchol grfu kvdrtickej funkcie, k pozná jej predpis, určiť hodnotu ľubovoľného člen ritmetickej postupnosti, k pozná - jeden jej člen diferenciu, - dv rôzne členy, pre ritmetickú postupnosť (dnú eplicitne) npísť zodpovedjúci rekurentný vzťh, nájsť súčet n (pre konkrétne n) z sebou nsledujúcich členov dnej ritmetickej postupnosti..3 Mnohočleny mocninové funkcie, lineárn lomená funkci Obsh mocnin, mocnin s prirodzeným, celočíselným rcionálnym eponentom, n-tá odmocnin, polynóm, mnohočlen, mocninová funkci, koeficient pri n-tej mocnine (v polynomickej funkcii), eponent, lineárn lomená funkci, symptoty grfu lineárnej lomenej funkcie. Vlstnosti vzťhy: Polynóm stupň n má njvic n rôznych reálnych koreňov, polynóm nepárneho stupň má spoň jeden reálny koreň, r+ s r s r s rs 1 r r r r =, ( ) =, =, ( y) = y, r, s Z, Q, r m n m n m n n m n n n =, ( ) =, y = y, pre, y 0, m, n N. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: (pozri tiež.1 Funkci jej vlstnosti) použiť rovnosti z čsti Vlstnosti vzťhy pri úprvách výrzov (pozri 1. Čísl, premenné, výrzy), riešiť rovnice nerovnice s polynomickými, mocninovými lineárnymi lomenými funkcimi (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), Štátny pedgogický ústv 10
CP - mtemtik schemticky nčrtnúť porovnť grfy funkcií, 1, 1, 0, 0,1, 1,, ( ) ( ) ( ) ( ) n y = pre rôzne hodnoty n Z n intervloch nájsť rovnice symptot grfu lineárnej lomenej funkcie nčrtnúť grf tejto funkcie, nájsť intervly, n ktorých je lineárn lomená funkci rstúc, resp. klesjúc nájsť k nej inverznú funkciu..4 Logritmické eponenciálne funkcie, geometrická postupnosť Obsh eponenciáln logritmická funkci, zákld eponenciálnej logritmickej funkcie, logritmus, dekdický logritmus, číslo e prirodzený logritmus, geometrická postupnosť, kvocient geometrickej postupnosti. Vlstnosti vzťhy: s r+ s r s r rs =, ( ) =, pre > 0, 1, r, s R, 1 =, = b = log b, pre > 0, 1, b> 0, R, r log r+ log s= log rs, log r log s= log, pre > 0, 1, r, s> 0, s s log ( r ) = s log r, pre > 0, 1, r > 0, s R, log =, pre > 0, 1, > 0. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: (pozri tiež.1 Funkci jej vlstnosti) (eponenciáln funkci) použiť rovnosti uvedené v čsti Vlstnosti vzťhy pri úprve výrzov (pozri 1. Čísl, premenné, výrzy), riešiť eponenciálne rovnice nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), rozhodnúť o rste, resp. klesní funkcie v závislosti od čísl vie nčrtnúť grf tejto funkcie s vyznčením jeho význčných bodov (t.j. [0, 1], [1, ]), rozhodnúť o ohrničenosti zhor, resp. zdol funkcie n dnom intervle, vyjdriť n-tý člen geometrickej postupnosti (pre konkrétne n) pomocou jej prvého (lebo iného než n-tého) člen kvocientu q, nájsť súčet n z sebou nsledujúcich členov geometrickej postupnosti (pre konkrétne n), rozhodnúť o rste, resp. klesní geometrickej postupnosti v závislosti od jej prvého člen kvocientu, (logritmická funkci) použiť rovnosti uvedené v čsti Vlstnosti vzťhy pri úprvách výrzov (pozri 1. Čísl, premenné, výrzy), riešiť logritmické rovnice nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), rozhodnúť o rste, resp. klesní funkcie log v závislosti od čísl vie nčrtnúť grf tejto funkcie s vyznčením jeho význčných bodov (t.j. [1, 0], [, 1]), rozhodnúť o ohrničenosti zhor, resp. zdol logritmickej funkcie n dnom intervle, vyriešiť jednoduché príkldy n výpočet úrokov. Štátny pedgogický ústv 11
.5 Goniometrické funkcie Obsh CP - mtemtik π, goniometrická funkci, sínus, kosínus, tngens, (njmenši) periód, jednotková kružnic, oblúková mier, stupňová mier, uhol zákldnej veľkosti. Vlstnosti vzťhy: π π π π Hodnoty goniometrických funkcií pre uhly 0,,,,, 6 4 3 vzťhy pre sínus kosínus dvojnásobného uhl: sin α = sinα cosα, cos α = cos α sin α, sinα π π tg α =, sin α + cos α = 1, cos α = sinα, sin α = cosα, cos α sin sin ( α) = sinα, cos ( α) = cosα, tg( α) = tgα, ( π + α) = sinα, cos( π + α) = cosα, grf funkcie kosínus vznikne posunutím grfu funkcie sínus, periodickosť njmenšie periódy jednotlivých goniometrických funkcií. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: (pozri tiež.1 Funkci jej vlstnosti) použiť rovnosti uvedené v čsti Vlstnosti vzťhy pri úprve goniometrických výrzov (pozri 1. Čísl, premenné, výrzy), nájsť pomocou klkulčky riešenie rovnice f ( ) =, kde f je goniometrická funkci, to j v prípde, že n klkulčne niektoré goniometrické lebo inverzné goniometrické funkcie nie sú (pozri tiež 1. Čísl, premenné, výrzy), riešiť goniometrické rovnice nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), vyjdriť hodnoty goniometrických funkcií pre uhly α 0, π ko pomery strán prvouhlého trojuholník, použiť goniometrické funkcie pri výpočte prvkov prvouhlého trojuholník (pozri tiež 3.1 Zákldné rovinné útvry), vyjdriť (n záklde znlosti súmerností periodickosti grfov goniometrických funkcií) sin α, cosα, tg α pre α R ko sínus, kosínus lebo tngens vhodného uhl β 0, π, nájsť hodnoty všetkých goniometrických funkcií pre dný rgument, k pre tento rgument pozná hodnotu spoň jednej z nich, π π π π nčrtnúť grfy funkcií sin, cos, tg, určiť hodnoty v bodoch 0,,,,, určiť njmenšie 6 4 3 periódy týchto grfov, určiť podintervly dného ohrničeného intervlu, n ktorých sú funkcie sin, cos, tg rstúce, resp. klesjúce, rozhodnúť o ohrničenosti funkcie tg n dnom intervle, nčrtnúť grfy funkcií k(f()), f(k), f( + b), f() +, kde k,, b R f je niektorá z goniometrických funkcií, určiť priesečníky týchto funkcií s -ovou osou ich periódu v prípde f() = sin lebo f() = cos j njmenšie njväčšie hodnoty. Štátny pedgogický ústv 1
CP - mtemtik 3 PLANIMETRIA 3. 1 Zákldné rovinné útvry Obsh ) Lineárne útvry bod, primk, polprimk, úsečk, stred úsečky, delici pomer, polrovin, rovnobežné rôznobežné primky, uhol (ostrý, prvý, primy, tupý), susedné, vrcholové, súhlsné striedvé uhly, os úsečky, os uhl, uhol dvoch primok, kolmé primky, kolmic, vzdilenosť (dvoch bodov, bodu od primky, rovnobežných primok). b) Kružnic kruh stred, polomer (ko číslo i ko úsečk), priemer, tetiv, kružnicový oblúk, dotyčnic, sečnic nesečnic, stredový obvodový uhol, obvod kruhu dĺžk kružnicového oblúk, kruhový výsek odsek, medzikružie, obsh kruhu kruhového výseku, spoločné (vonkjšie, vnútorné) dotyčnice dvoch kružníc. c) Trojuholník trojuholník (ostrouhlý, prvouhlý, tupouhlý, rovnormenný rovnostrnný trojuholník), vrchol, strn (ko vzdilenosť, ko úsečk), výšk (ko vzdilenosť, ko úsečk i ko primk), uhol, ťžnic, ťžisko, stredná priečk, kružnic trojuholníku opísná, kružnic do trojuholník vpísná, obvod plošný obsh trojuholník, trojuholníková nerovnosť, Pytgorov vet, Euklidove vety, sínusová kosínusová vet. d) Štvoruholníky mnohouholníky vrchol, strn (ko vzdilenosť, ko úsečk), uhlopriečk, uhol, konvený štvoruholník, rovnobežník, kosoštvorec, obdĺžnik, štvorec, lichobežník, rovnormenný lichobežník, zákldň rmeno lichobežník, výšk rovnobežník lichobežník, plošný obsh rovnobežník lichobežník, konvené, nekonvené prvidelné mnohouholníky, obsh mnohouholník. Vlstnosti vzťhy: ) Lineárne útvry Súhlsné uhly pri dvoch rovnobežkách sú rovnké, striedvé uhly pri dvoch rovnobežkách sú rovnké, súčet susedných uhlov je 180, vrcholové uhly sú rovnké. b) Trojuholník Trojuholníková nerovnosť, súčet vnútorných uhlov trojuholník, oproti väčšej (menšej) strne leží väčší (menší) uhol, oproti rovnkým strnám leži rovnké uhly, delenie ťžníc ťžiskom, priesečník osí strán je stred opísnej kružnice, priesečník osí uhlov je stred vpísnej kružnice, vyjdrenie obshu trojuholník pomocou - dĺžky strny k nej príslušnej výšky, - dĺžky dvoch strán sínusu uhl týmito strnmi zovretého, Pytgorov vet, goniometri prvouhlého trojuholník (pozri.5. Goniometrické funkcie), vyjdrenie kosínusov uhlov trojuholník pomocou dĺžok strán (kosínusová vet), sinα sinβ b sinα =, =, = (sínusová vet), sinβ b sinγ c sinγ c zhodné podobné trojuholníky, vety o zhodnosti (sss, sus, usu, Ssu) podobnosti (sss, sus, uu) trojuholníkov, Euklidove vety, Štátny pedgogický ústv 13
CP - mtemtik vzťh medzi pomerom podobnosti dvoch trojuholníkov - dĺžkmi odpovedjúcich si úsečiek, - veľkosťmi odpovedjúcich si uhlov, - ich plošnými obshmi. c) Kružnic kruh Kružnic je jednoznčne určená stredom polomerom, resp. tromi svojimi bodmi, židne tri body kružnice neleži n primke, kolmosť dotyčnice k príslušnému polomeru kružnice, Tálesov vet, vzťh medzi stredovým uhlom obvodovými uhlmi príslušnými k dnej tetive, závislosť vzájomnej polohy kružnice primky n polomere kružnice vzdilenosti jej stredu od primky, dotykový bod dvoch kružníc leží n spojnici stredov kružníc, závislosť vzájomnej polohy dvoch kružníc od vzdilenosti stredov kružníc ich polomerov, vzťhy pre výpočet obvodu obshu kruhu, dĺžky kružnicového oblúk obshu kruhového výseku. d) Štvoruholníky mnohouholníky Rovnobežnosť rovnká veľkosť protiľhlých strán rovnobežník, rozpoľovnie uhlopriečok v rovnobežníku, rovnosť protiľhlých vnútorných uhlov v rovnobežníku, súčet susedných uhlov rovnobežník, súčet vnútorných uhlov lichobežník priľhlých k jeho rmenu, uhlopriečky kosoštvorc sú n seb kolmé rozpoľujú vnútorné uhly, zhodnosť uhlopriečok obdĺžnik štvorc, rovnobežník je stredovo súmerný, obdĺžnik štvorec sú súmerné podľ osí strán, kosoštvorec je súmerný podľ uhlopriečok, rovnormenný lichobežník je súmerný podľ osi zákldní, prvidelnému n-uholníku s dá vpísť opísť kružnic, v rovnormennom lichobežníku sú rovnké uhlopriečky rovnké uhly pri zákldni, obsh rovnobežník vyjdrený pomocou strny príslušnej výšky, resp. pomocou susedných strán uhl medzi nimi, obsh lichobežník vyjdrený pomocou výšky veľkosti zákldní. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: približne vypočítť obvod obsh nrysovných trojuholníkov, n-uholníkov, kruhov ich čstí, vypočítť v trojuholníku, jednoznčne určenom jeho strnmi, resp. strnmi uhlmi, zvyšné strny uhly, dĺžky ťžníc, výšok, obvod obsh, rozhodnúť, či sú dv trojuholníky zhodné lebo podobné, vlstnosti zhodnosti podobnosti použiť vo výpočtoch, vypočítť obvod obsh kruhu kruhového výseku, rozhodnúť o vzájomnej polohe - primky kružnice, - dvoch kružníc, k pozná ich polomery vzdilenosť stredov, vypočítť plošný obsh rovnobežník, lichobežník, resp. rozkldom n trojuholníky j obsh iných mnohouholníkov, vypočítť uhol medzi uhlopriečkmi, resp. medzi uhlopriečkou strnou, v prvidelnom mnohouholníku. Štátny pedgogický ústv 14
3. Anlytická geometri v rovine Obsh CP - mtemtik (krteziánsk) súrdnicová sústv n primke (číselná os) v rovine, súrdnice bodu, všeobecná rovnic primky, smernic primky, smernicový tvr rovnice primky, rovnic kružnice, vektor, umiestnenie vektor, súrdnice vektor, vektor opčný k dnému vektoru, nulový vektor, súčet rozdiel dvoch vektorov, násobok vektor číslom, dĺžk vektor, sklárny súčin vektorov, prmetrické rovnice primky, smerový normálový vektor primky. Vlstnosti vzťhy: Vyjdrenie vzdilenosti dvoch bodov pomocou ich súrdníc, vzťh medzi smernicmi dvoch rovnobežných, resp. kolmých primok, vzťh medzi koeficientmi všeobecných rovníc dvoch rovnobežných, resp. kolmých primok, spoň jeden vzťh lebo postup pre výpočet - uhl dvoch primok (npr. pomocou sklárneho súčinu, kosínusovej vety lebo smerníc), - vzdilenosti bodu od primky, geometrická interpretáci súčtu dvoch vektorov násobku vektor reálnym číslom ich vyjdrenie pomocou súrdníc dných vektorov, body A, B C leži n jednej primke, k jeden z vektorov B A C A je násobkom druhého, vzťh medzi smerovými vektormi dvoch rovnobežných primok, vzdilenosť dvoch bodov ko dĺžk vektor, kolmosť dvoch primok jej vzťh so sklárnym súčinom ich smerových vektorov, vyjdrenie sklárneho súčinu vektorov pomocou dĺžok vektorov kosínusu ich uhl (resp. vyjdrenie kosínusu uhl dvoch vektorov pomocou ich sklárneho súčinu ich dĺžok), vyjdrenie sklárneho súčinu vektorov pomocou ich súrdníc, vzťh medzi koeficientmi všeobecnej rovnice primky normálovým vektorom primky. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: zostrojiť (v dnej súrdnicovej sústve) obrzy bodov, k pozná ich súrdnice, určiť súrdnice dných bodov, vypočítť súrdnice stredu úsečky, resp. bodu, ktorý úsečku rozdeľuje v dnom pomere, npísť nlytické vyjdrenie primky - prechádzjúcej dvom dnými bodmi, - dným bodom rovnobežne s dnou primkou, - prechádzjúcej dným bodom kolmo n dnú primku, určiť vzájomnú polohu dvoch primok (k sú dné ich rovnice) nájsť súrdnice ich prípdného priesečník, vypočítť - vzdilenosť dvoch bodov, - vzdilenosť bodu od primky, - vzdilenosť dvoch rovnobežných primok, - obsh trojuholník určeného jeho vrcholmi, - uhol dvoch primok, npísť rovnicu kružnice - k pozná jej stred polomer, - v tvre + + y + by+ c= 0, k pozná tri body, ktorými kružnic prechádz, určiť z rovnice kružnice jej stred polomer, Štátny pedgogický ústv 15
CP - mtemtik opísť v súrdnicovej sústve pomocou rovníc nerovníc úsečku, kružnicu, polrovinu kruh, rozhodnúť o vzájomnej polohe - primky kružnice, - dvoch kružníc, k pozná ich rovnice, pri riešení plnimetrických úloh používť nlytickú metódu, t.j. vie - vhodne si zvoliť súrdnicovú sústvu lgebricky sprcovť zdnie, - pomocou vedomostí z lgebry pozntkoch o vektoroch lgebricky vyriešiť úlohu, - lgebrický výsledok preložiť do geometrického kontetu úlohy. 3.3 Množiny bodov dných vlstností ich nlytické vyjdrenie Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: geometricky opísť, nčrtnúť nájsť (v dnej lebo vhodne zvolenej súrdnicovej sústve) nlytické vyjdrenie množiny bodov s konštntnou vzdilenosťou od - bodu, - primky, - kružnice, geometricky opísť nčrtnúť množiny bodov, - z ktorých vidieť dnú úsečku pod dným uhlom, - ktoré mjú rovnkú vzdilenosť od - dvoch bodov, - dvoch rovnobežných primok, - dvoch rôznobežných primok, geometricky opísť nčrtnúť množiny bodov, ktoré mjú - od dného bodu vzdilenosť menšiu (väčšiu) ko dné kldné číslo, - od dnej primky vzdilenosť menšiu (väčšiu) ko dné kldné číslo, - od jedného bodu väčšiu vzdilenosť ko od druhého bodu, - od jednej dnej primky väčšiu vzdilenosť ko od druhej dnej primky, znázorniť množinu bodov [, y], pre ktoré pltí - y f( ), kde je jeden zo znkov <,,, > f je predpis funkcie, ktorej grf vie žik znázorniť (pozri.1 Funkci jej vlstnosti), - + by+ c 0, v jednoduchých prípdoch j množinu bodov [, y], ktorá je opísná sústvou dvoch z predchádzjúcich nerovníc (pozri tiež 1.4 Rovnice, nerovnice ich sústvy), tieto množiny bodov použiť pri riešení jednoduchých konštrukčných úloh (pozri 3.5 Konštrukčné úlohy). 3.4 Zhodné podobné zobrzeni Obsh zhodné zobrzenie, osová súmernosť, os súmernosti, posunutie, stredová súmernosť, stred súmernosti, otočenie, stred otočeni, orientovný uhol jeho veľkosti, uhol otočeni, osovo stredovo súmerný útvr, podobné zobrzenie, pomer podobnosti, rovnoľhlosť, stred koeficient rovnoľhlosti, smodružný bod. Vlstnosti vzťhy: Stredová súmernosť je jednoznčne určená stredom súmernosti, resp. dvom odpovedjúcimi si bodmi, Štátny pedgogický ústv 16
CP - mtemtik osová súmernosť je jednoznčne určená osou súmernosti, resp. dvom odpovedjúcimi si bodmi, otočenie je jednoznčne určené stredom uhlom otáčni, posunutie je jednoznčne určené vektorom posunuti, resp. dvom odpovedjúcimi si bodmi, vzťh medzi orientovným uhlom jeho veľkosťmi, rovnobežník je stredovo súmerný, obdĺžnik štvorec sú súmerné podľ osí strán, kosoštvorec je súmerný podľ uhlopriečok, rovnormenný lichobežník je súmerný podľ osi zákldní, nech A, B sú dv osovo súmerné body podľ primky p, potom AB je kolmá n p stred AB leží n p, primk jej obrz v posunutí sú rovnobežné, rovnoľhlosť je jednoznčne určená stredom koeficientom rovnoľhlosti, dvom vhodne zvolenými dvojicmi odpovedjúcich si bodov, dve rovnoľhlé primky sú rovnobežné, kždé dve nerovnké rovnobežné úsečky sú rovnoľhlé (dvom spôsobmi), kždé dve kružnice s rôznym polomerom sú si podobné (sú rovnoľhlé), vonkjšie (vnútorné) spoločné dotyčnice dvoch kružníc s pretínjú v strede rovnoľhlosti, vzťh medzi pomerom podobnosti dvoch útvrov - dĺžkmi zodpovedjúcich si úsečiek, - veľkosťmi zodpovedjúcich si uhlov, - ich plošnými obshmi. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: zobrziť dný bod (útvr, grf) v dnom zhodnom lebo podobnom zobrzení, rozhodnúť, či je dný útvr osovo (stredovo) súmerný, npísť súrdnice bodu (rovnicu primky, úsečky, kružnice), ktorý je obrzom dného bodu (dnej primky, úsečky, kružnice) - v súmernosti podľ zčitku súrdnej sústvy, - v súmernosti podľ niektorej súrdnej osi lebo podľ primky y =, - v posunutí, zostrojiť - stredy rovnoľhlosti dvoch dných kružníc, - obrz dného útvru v dnom zhodnom zobrzení lebo rovnoľhlosti, resp. útvr podobný s dným útvrom, pri dnom pomere podobnosti. 3.5 Konštrukčné úlohy Obsh rozbor, náčrt, konštrukci, postup konštrukcie. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: zdôvodniť postup konštrukcie, t. j. urobiť rozbor jednoduchých konštrukčných úloh, pričom vie použiť - nsledujúce zákldné konštrukcie (n ktoré s môže pri opise postupu zložitejších konštrukčných úloh odvolávť bez toho, by ich podrobne rozpisovl): - rovnobežku s dnou primkou dným bodom, - rovnobežku s dnou primkou v predpísnej vzdilenosti, Štátny pedgogický ústv 17
CP - mtemtik - os úsečky, os uhl, - primku, ktorá prechádz dným bodom zvier s dnou primkou dný uhol, b - úsečku dĺžky (pomocou podobnosti), kde, b, c sú dĺžky nrysovných úsečiek, c - rozdeliť úsečku v dnom pomere, - trojuholník určený: - tromi strnmi, - dvom strnmi uhlom, - dvom uhlmi strnou, - kružnicu - trojuholníku opísnú, - do trojuholník vpísnú, - dotyčnicu kružnice - v dnom bode kružnice, - z dného bodu ležiceho mimo kružnice, - rovnobežnú s dnou primkou, - stredy rovnoľhlosti dvoch kružníc spoločné dotyčnice dvoch kružníc, - obrz dného bodu, úsečky, primky, kružnice v dnom zhodnom zobrzení, resp. v rovnoľhlosti (pozri 3. 4 Zhodné podobné zobrzeni), - množiny bodov dných vlstností, uvedené v prvej druhej odrážke v 3.3 Množiny bodov dných vlstností ich nlytické vyjdrenie, - množiny bodov dných vlstností, pri kreslení náčrtu pri rozbore úlohy rozlíšiť jednotlivé možnosti zdni (npr. výšk leží v trojuholníku výšk je mimo trojuholník ), n záklde vykonného (dného) rozboru npísť postup konštrukcie, uskutočniť konštrukciu dnú opisom, určiť počet riešení v prípde číselne zdných úloh. 4 STEREOMETRIA 4.1 Zákldné spôsoby zobrzovni priestoru do roviny Obsh premietnie (voľné rovnobežné premietnie), priemet bodu, priestorového útvru do roviny. Vlstnosti vzťhy: Voľné rovnobežné premietnie zchováv delici pomer rovnobežnosť. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: použiť vlstnosti voľného rovnobežného premietni pri zobrzovní kocky, prvidelných hrnolov. 4. Súrdnicová sústv v priestore Obsh (krteziánsk) sústv súrdníc v priestore, bod jeho súrdnice, vzdilenosť bodov. Štátny pedgogický ústv 18
CP - mtemtik Vlstnosti vzťhy: Vyjdrenie vzdilenosti dvoch bodov pomocou ich súrdníc. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: zostrojiť (v dnej súrdnicovej sústve) obrzy bodov, k pozná ich súrdnice, určiť súrdnice dných bodov, určiť súrdnice stredu úsečky, špeciálne vo vhodne zvolenej súrdnicovej sústve opísť vrcholy dného kvádr. 4.3 Lineárne útvry v priestore polohové úlohy Obsh bod, primk rovin v priestore, rovnobežné, rôznobežné mimobežné primky, rovnobežnosť rôznobežnosť primky roviny, rovnobežné rôznobežné roviny, priesečnic dvoch rovín, rez teles rovinou. Vlstnosti vzťhy: Rovnobežné (rôznobežné) primky leži v jednej rovine, mimobežné primky neleži v jednej rovine, priesečnice roviny s dvom rovnobežnými rovinmi sú rovnobežné. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: opísť možnosti pre vzájomné polohy ľubovoľných dvoch lineárnych útvrov, rozhodnúť o vzájomnej polohe dvoch lineárnych útvrov pomocou ich obrzu vo voľnom rovnobežnom premietní, zostrojiť vo voľnom rovnobežnom priemete jednoduchého teles (kocky, resp. hrnol) priesečník primky (určenej dvom bodmi ležicimi v rovinách stien kocky, resp. hrnol) s rovinou steny dného teles, zostrojiť rovinný rez kocky, kvádr rovinou určenou tromi bodmi ležicimi v rovinách stien, z ktorých spoň dv leži v tej istej stene dného teles. 4.4 Lineárne útvry v priestore metrické úlohy Obsh uhol dvoch primok, kolmosť primok rovín, primk kolmá k rovine, uhol dvoch rovín, kolmý priemet bodu primky do roviny, vzdilenosť dvoch lineárnych útvrov (dvoch bodov, bodu od roviny, bodu od primky, vzdilenosť rovnobežných primok, primky roviny s ňou rovnobežnej, vzdilenosť rovnobežných rovín), uhol primky s rovinou. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: n zobrzených telesách oznčiť - úsečky, ktorých skutočná veľkosť predstvuje vzdilenosť dných lineárnych útvrov, - uhly, ktorých skutočná veľkosť predstvuje uhol dných lineárnych útvrov. Štátny pedgogický ústv 19
4.5 Telesá Obsh CP - mtemtik teleso, mnohosten, vrchol, hrn, sten, kock, sieť kocky, hrnol, kolmý prvidelný hrnol, kváder, rovnobežnosten, ihln, štvorsten, prvidelný štvorsten, podstv, výšky v štvorstene, guľ, vlec, kužeľ, objemy povrchy telies. Vlstnosti vzťhy: Vzťhy pre výpočty objemov povrchov telies. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: rozhodnúť, či dná sieť je sieťou teles dného obrzom vo voľnom rovnobežnom premietní, nčrtnúť sieť teles dného obrzom vo voľnom rovnobežnom premietní, riešiť úlohy, ktorých súčsťou je výpočet objemu, resp. povrchu kocky, kvádr, prvidelného kolmého hrnol, prvidelného ihln, gule, vlc, kužeľ vie pri tom nájsť ktívne použiť vzťhy pre výpočet objemov povrchov telies potrebné pre vyriešenie úlohy. 5 KOMBINATORIKA, PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 5.1 Kombintorik prvdepodobnosť Obsh (kombintorické) prvidlo súčtu, (kombintorické) prvidlo súčinu, permutácie permutácie s opkovním, vriácie vriácie s opkovním, kombinácie, fktoriál, kombinčné číslo, Psclov trojuholník, prvdepodobnosť, doplnková prvdepodobnosť, geometrická prvdepodobnosť, náhodný jv, nezávislé jvy. Vlstnosti vzťhy: n! = 1 3... n, 0! = 1, n n! n n! =, C ( ) k k!( k n =, V k ( n) =, P n k)! k ( n = n!, V k = n n k)! n n n n n+ 1 =, + =, k n k k k+ 1 k+ 1 pre prvdepodobnosť P udlosti A pltí 0 P ( A) 1, / / P ( A) + P( A ) = 1, kde A je doplnková udlosť k udlosti A, prvdepodobnosť istej udlosti je 1, P( A B) = P( A) P( B), k A, B sú nezávislé jvy, P( A B) = P( A) + P( B) P( A B). / k, P / n! n1, n,..., n = k n! n!... n 1 k! Štátny pedgogický ústv 0
Požidvky n vedomosti zručnosti CP - mtemtik Žik vie: riešiť jednoduché kombintorické úlohy - vypisovním všetkých možností, pričom - vie vytvoriť systém (strom logických možností) n vypisovnie všetkých možností (k s v tomto strome vyskytujú niektoré možnosti vickrát, vie určiť násobnosť ich výskytu), - dokáže objviť podsttu dného systému pokrčovť vo vypisovní všetkých možností, - n záklde vytvoreného systému vypisovni všetkých možností určiť (pri väčšom počte možností lgebrickým sprcovním) počet všetkých možností, - použitím kombintorického prvidl súčtu súčinu, - využitím vzťhov pre počet kombinácií, vriácií, vriácií s opkovním, permutácií permutácií s opkovním, použiť pri úprve výrzov rovnosti uvedené v čsti Vlstnosti vzťhy (pozri 1.4 Čísl, premenné, výrzy), rozhodnúť P A B, - o závislosti jvov A, B, k pozná P(A), P(B) ( ) - v jednoduchých prípdoch o správnosti použiti rovnosti P( A B) = P( A) P( B), riešiť úlohy n prvdepodobnosť, zložené n - hľdní pomeru všetkých priznivých všetkých možností, resp. všetkých nepriznivých všetkých priznivých možností, k vie tieto počty určiť riešením jednoduchých kombintorických úloh, - doplnkovej prvdepodobnosti, - využití geometrickej prvdepodobnosti. 5. Šttistik Obsh digrm grf (stĺpcový, obrázkový, kruhový, lomený, spojitý, histogrm), zákldný súbor, výberový súbor, rozdelenie, modus, medián, ritmetický priemer (j vic ko dvoch čísel), stredná hodnot, smerodjná odchýlk, rozptyl, triedenie. Vlstnosti vzťhy: Vzťh pre výpočet rozptylu. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: vypočítť ritmetický priemer dných čísel, získvť informácie z rôznych tbuliek (npr. utobusová tbuľk) digrmov, sprcovť údje do vhodných digrmov, zistiť v dnom súbore modus, medián, strednú hodnotu, priemer, pomocou vhodného softvéru zistiť v dnom súbore rozptyl, smerodjnú odchýlku uviesť šttistickú interpretáciu získných výsledkov, uviesť príkld súboru s poždovnými podmienkmi n modus, medián, strednú hodnotu, priemer, rozptyl, smerodjnú odchýlku, znázorniť vyhodnotiť nmerné hodnoty, urobiť triedenie znázorniť ho. Štátny pedgogický ústv 1
CP - mtemtik ÚPRAVY CIEĽOVÝCH POŽIADAVIEK Z MATEMATIKY PRE ŽIAKOV SO ZDRAVOTNÝM ZNEVÝHODNENÍM Žici so sluchovým postihnutím Cieľové požidvky z mtemtiky pre túto skupinu žikov sú totožné s cieľovými požidvkmi pre intktných žikov. Žici so zrkovým postihnutím Úlohy, ktoré vyždujú vizuálnu skúsenosť s uprvujú, nhrádzjú slovným opisom lebo vypúšťjú. Žici s telesným postihnutím Konštrukčné úlohy s nhrádzjú slovným opisom jednotlivých krokov konštrukcie (podľ druhu stupň telesného postihnuti). Žici s vývinovými poruchmi učeni lebo správni Cieľové požidvky z mtemtiky pre túto skupinu žikov sú totožné s cieľovými požidvkmi pre intktných žikov. Žikom s vývinovou poruchou učeni dysklkúli neodporúčme konť mturitnú skúšku z mtemtiky. Žici s nrušenou komunikčnou schopnosťou Cieľové požidvky z mtemtiky pre túto skupinu žikov sú totožné s cieľovými požidvkmi pre intktných žikov. Žici chorí zdrvotne oslbení Cieľové požidvky z mtemtiky pre túto skupinu žikov sú totožné s cieľovými požidvkmi pre intktných žikov. Žici s pervzívnymi vývinovými poruchmi (s utizmom) Cieľové požidvky z mtemtiky pre túto skupinu žikov sú totožné s cieľovými požidvkmi pre intktných žikov. Štátny pedgogický ústv