ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 30 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Όνομα/Επίθετο: Θέμα ο A Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα Αν η είναι συνεχής στο και δείξτε ότι για κάθε εσωτερικό αριθμό μεταξύ και υπάρχει ένας τουλάχιστον τέτοιος, ώστε 0M B Πότε δυο συναρτήσεις λέγονται ίσες ; 5M Γ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν για δύο συναρτήσεις ορίζονται οι και,τότε είναι υποχρεωτικά β Αν υπάρχει το lim f x g x,τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα lim f x xx0 lim g x xx0 xx0 και γ Αν με,τότε ή δ Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει ε Αν μια συνάρτηση είναι "-", τότε είναι γνησίως μονότονη 0M Θέμα ο Α Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: α f x x ln x Τηλ:0775360 wwwmethodikalgr e-mail:contact@methodikalgr Ανδρέου Δημητρίου 8 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ
β f x x e x ln x γ f x x δ f x g x,αν g παραγωγίσιμη στο R Β Δίνεται η συνάρτηση,για την οποία ισχύει για κάθε R Θέμα 3ο R Να δείξετε ότι,αν η είναι συνεχής στο,τότε είναι συνεχής στο Α Δίνεται η εξίσωση R i Να λυθεί η εξίσωση ii Να δείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της σε κύκλο 6M 9M 6M στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται πάνω iii Αν οι ρίζες της,να βρείτε τη μέγιστη τιμή του Β Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί με Αν Α, Β, Γ οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, και αντίστοιχα, τότε: 4M 4M i Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο 7M ii Αν,να βρείτε το εμβαδό του ΑΒΓ 4M Θέμα 4ο Α Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή και γνησίως μονότονη στο διάστημα για την οποία ισχύει Nα αποδείξετε ότι: i Η είναι γνησίως φθίνουσα 4M Τηλ:0775360 wwwmethodikalgr e-mail:contact@methodikalgr Ανδρέου Δημητρίου 8 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ
ii Αν ισχύει ότι και να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικά και στο διάστημα τέτοια ώστε: α Η γραφική παράσταση της τέμνει την σε μοναδικό σημείο με τετμημένη f x 3 f 4 f 5 f e β B Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση R για την οποία f ισχύουν lim 3 x0 x x 5 και x x f x x για κάθε 0, Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης x και στη συνέχεια τις ρίζες αυτής 6M 6M 9M Τηλ:0775360 wwwmethodikalgr e-mail:contact@methodikalgr Ανδρέου Δημητρίου 8 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ 3
Απαντήσεις Θέμα ο Α Σχολικό (Σελ94) Β Σχολικό (Σελ4) Γ α Λ β Λ γ Σ δ Λ ε Λ Θέμα ο Α α Το πεδίο ορισμού της είναι το 0,,,στο οποίο η είναι παραγωγίσιμη Έχουμε : x x x x ln ln ln f x x x x x ln x ln x ln x β Το πεδίο ορισμού της είναι το R,στο οποίο η είναι παραγωγίσιμη x Έχουμε: x x x x f x x e x e x e e x e x x x x e xe x e x γ Το πεδίο ορισμού της είναι το 0,, στο οποίο η είναι παραγωγίσιμη Έχουμε: ln x ln x ln x ln x ln x ln x ln x ln x f x x e e e ln x x ln x ln x x x Τηλ:0775360 wwwmethodikalgr e-mail:contact@methodikalgr Ανδρέου Δημητρίου 8 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ 4
δ Το πεδίο ορισμού της είναι το R,στο οποίο η είναι παραγωγίσιμη Έχουμε : f x g x g x g x g x g x g x Β Αφού συνεχής στο θα ισχύει : lim f x f x Έστω R Θα έχουμε για το lim f x xx0 () Θέτουμε : x x0 h και όταν x x0, h Τότε το όριο θα γίνει : lim xx0 f x = lim f x 0 h lim f x0 f h lim f x0 lim f h h h h h f x f f x f x 0 0 0 Άρα συνεχής στο R Θέμα 3ο Α Έχουμε : z 4z 4 0, R i 6 6 6 6,οπότε 4 4i z, i i iiέστω x και y,τότε x y 4 4 4 Οπότε οι ρίζες της εξίσωσης κινούνται πάνω στον κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα iii Αν Μ και Λ οι εικόνες των ριζών στο μιγαδικό επίπεδο, τότε επειδή αυτές είναι συζυγείς, τα σημεία Μ και Λ είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα Οπότε η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το είναι το, για Τηλ:0775360 wwwmethodikalgr e-mail:contact@methodikalgr Ανδρέου Δημητρίου 8 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ 5
B i Έστω Α, Β, Γ οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των, και αντίστοιχα Για να δείξουμε ότι σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο, αρκεί να δείξουμε ότι Όμως: iiγνωρίζουμε ότι το εμβαδό ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο a 3 E, επομένως το παραπάνω ισόπλευρο τρίγωνο έχει εμβαδό 4 z 3 4 3τμ 4 Θέμα 4ο i Είναι: f f f f f f f 3 6 0 4 0 6 0 9 4 4 0 f 0 3 f 0 3 f 0 f Έχουμε ότι η f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη,επίσης ενώ, οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Τηλ:0775360 wwwmethodikalgr e-mail:contact@methodikalgr Ανδρέου Δημητρίου 8 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ 6
ii α Θεωρούμε τη συνάρτηση g x f x 3 x, x 0, 0, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων και ισχύει : Η g είναι συνεχής στο g0 f 0 3 0 και g f 3 3 0 Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0, τέτοιο ώστε Για, 0, με έχουμε f a f είναι f a 3a f 3 g a g στο x μοναδική ρίζα της gx 0 Οπότε από το θεώρημα g x 0 f x 3 x και a 3a 3 οπότε θα,επομένως η g είναι γνησίως φθίνουσα 0, Άρα η τέμνει την ευθεία y 3x σε ένα μόνο σημείο β Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, έχουμε ότι : Οπότε η γραφική παράσταση της f 0 x f 0 f x f 3 f x f x 3 Έτσι: έχουμε e Για x 0, έχουμε Για x 0, x έχουμε Για 0, f 3 6 3 f 9 e e f 3 8 4 f f 3 0 5 f 5 Προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε 4 3 f 4 f 5 f 36 e,οπότε 3 f 4 f 5 f e 3 Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων 3 f 4 f 5 f e τιμών υπάρχει x 0,,τέτοιο ώστε f x δηλαδή, f x 3 f 4 f 5 f Και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο e 0,, έχουμε ότι το x είναι μοναδικό f x 5 Β Θέτουμε g x, x 0,οπότε f x x g x 5 x Τηλ:0775360 wwwmethodikalgr e-mail:contact@methodikalgr Ανδρέου Δημητρίου 8 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ 7
x f 5 Γνωρίζουμε ότι lim lim g x 3 x0 x x0 Επομένως f x x g x x0 x0 lim lim 5 0 3 5 5 Ακόμα έχουμε x x f x x,οπότε για 0, x x f x x x Θέτουμε ux Όταν x, u 0 Οπότε : x u0 x u lim lim x u Οπότε από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε x lim lim x και x x x x x lim f Επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, έχει σύνολο τιμών το lim f x, lim f x,5 x x0 x έχουμε Η συνάρτηση συνάρτησης δεν έχει ρίζες αφού το 0 δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της Τηλ:0775360 wwwmethodikalgr e-mail:contact@methodikalgr Ανδρέου Δημητρίου 8 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ 8