ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2015-ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Όνομα/Επίθετο:

Transcript

1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 8 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 5-ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Όνομα/Επίθετο: ΘΕΜΑ Α Να δείξετε ότι αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Β Έστω μία συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Πότε η f λέγεται παραγωγίσιμη στο ; Γ Πότε μία συνάρτηση f λέγεται -; Δ Να χαρακτηρίσετε με «Σωστό» ή «Λάθος» τις παρακάτω προτάσεις 7 Μονάδες 4 Μονάδες 4 Μονάδες i) Aν μία συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο, τότε δεν είναι και συνεχής στο σημείο αυτό ii) Μία συνεχής συνάρτηση στο (α,β), παίρνει σε κάθε περίπτωση στο (α,β) μία μέγιστη και μία ελάχιστη τιμή iii) Αν, τότε lim f f κοντά στο iv) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο και έχει δύο ρίζες, τότε η f έχει τουλάχιστον μία ρίζα v) Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε ισχύει f f Μονάδες Τηλ:77536 wwwmethodikalgr contact@methodikalgr Ανδρέου Δημητρίου 8 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ --

2 ΘΕΜΑ Α Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων: t ln α) f dt,, β) 3t g 4 t dt, 7 Μονάδες B Δίνεται συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f d f d f d f d 4 4 Να αποδείξετε ότι f d f d 3 4 Μονάδες Γ Δίνεται η συνάρτηση g με g ln Να δείξετε ότι η συνάρτηση g αντιστρέφεται και να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση 6 Μονάδες Δ Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f ln e 8 Μονάδες ΘΕΜΑ 3 Α Δίνεται η συνάρτηση με f a a, ln 3,,όπου α) Να βρεθεί η τιμή του α,ώστε η να είναι συνεχής 7 Μονάδες β) Να δείξετε ότι για θετική ρίζα a, η εξίσωση a ln, έχει μία τουλάχιστον 9 Μονάδες Τηλ:77536 wwwmethodikalgr contact@methodikalgr Ανδρέου Δημητρίου 8 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ --

3 Β Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση,για την οποία ισχύει 3 8 f f e e, για κάθε Να δείξετε ότι η τέμνει τον άξονα το πολύ σε ένα σημείο 9 Μονάδες ΘΕΜΑ 4 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει : f f 4 f 4,για κάθε Να αποδείξετε ότι : α) f f 4 4 8, 6 Μονάδες β) υπάρχει σημείο, με, στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην ευθεία γ) υπάρχει, ώστε, 6 Μονάδες 6 Μονάδες δ) υπάρχουν,ώστε : f f 7 Μονάδες Τηλ:77536 wwwmethodikalgr contact@methodikalgr Ανδρέου Δημητρίου 8 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ -3-

4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 7 Β Σχολικό βιβλίο σελίδα 3 Γ Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Δ i) Λάθος ii) Λάθος iii) Σωστό iv) Σωστό v) Λάθος ΘΕΜΑ Α ln t ln ln f dt ln 3t 3 ln 3ln g t dt t dt t dt t dt Β f d f d f d f d f d f d f d f d f d f d f d f d f d f d Γ Πρέπει, οπότε, Έστω,, με g g g ln ln ln ln Άρα η g είναι συνάρτηση - και αντιστρέφεται ισχύει y g Για Άρα είναι g e, y y ln y ln e Τηλ:77536 wwwmethodikalgr contact@methodikalgr Ανδρέου Δημητρίου 8 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ -4-

5 Δ Πρέπει, οπότε, Έστω,, f με,τότε ισχύουν: ln ln () e e e e () Προσθέτοντας κατά μέλη τις () και () προκύπτει: ln e ln e f f,άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, lim ln lim f e,αφού lim e lim f lim ln e lim ln,αφού e Άρα το σύνολο τιμών είναι: f, f f lim e lim, lim, ΘΕΜΑ 3 A α) Αν,η είναι συνεχής ως διαφορά της εκθετικής με τον αριθμό Αν,η είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων Αν,έχουμε : lim f lim a a a lim f lim ln 3 f a a a Ακόμα Για να είναι η είναι συνεχής αρκεί a a β) Για ln ln a έχουμε : a μοναδικός,ώστε Θεωρούμε τη συνάρτηση ln και θα αποδείξουμε ότι υπάρχει Τηλ:77536 wwwmethodikalgr contact@methodikalgr Ανδρέου Δημητρίου 8 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ -5-

6 Είναι: lim lim ln γιατί lim και lim ln Επομένως είναι στην περιοχή του Άρα υπάρχει, ώστε Επομένως ισχύει το θ Bolzano για την στο, διότι: η είναι συνεχής στο ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, Άρα υπάρχει ένας τουλάχιστον, ώστε Β Έστω ότι η τέμνει τον άξονα σε δύο σημεία με Η είναι : συνεχής στο,αφού είναι παραγωγίσιμη στο παραγωγίσιμη στο και Οπότε από ΘRolle υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο,ώστε Αν παραγωγίσουμε την δοθείσα σχέση (αφού και τα μέλη είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων),θα πάρουμε: 3 f f 6 f f e e Για και αφού,θα έχουμε : e e, άτοπο Άρα η δεν μπορεί να τέμνει τον άξονα σε δύο σημεία και θα τον τέμνει το πολύ σε ένα Τηλ:77536 wwwmethodikalgr contact@methodikalgr Ανδρέου Δημητρίου 8 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ -6-

7 ΘΕΜΑ 4 α) Αφού η σχέση f f 4 f 4 για και,ισχύει για κάθε,θα ισχύει και Για,έχουμε : f f f f f Για,έχουμε: f 4 4 f 4 f 4 8 f 4 f 4 Από τις σχέσεις και προκύπτει ότι f f β) Έστω f ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της,στο ζητούμενο σημείο, με Αρκεί να δείξουμε ότι f ί Θεωρούμε την συνάρτηση Για την ισχύει το θ Rolle στο, αφού: συνεχής στο ως παραγωγίσιμη, παραγωγίσιμη στο από α) ισχύει Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε, γ) Θεωρούμε την συνάρτηση f f 4 4 Για την συνάρτηση ισχύει το θ Bolzano αφού:, συνεχής στο,ως πράξεις παραγωγίσιμων (άρα συνεχών) συναρτήσεων, 4 4 f 4 f 4 4 f 4 f Επομένως υπάρχει,ώστε f f 4 4 δ) Για την ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στα και (όπου, αυτό του προηγούμενου ερωτήματος), αφού είναι: συνεχής στα και, παραγωγίσιμη στα και, Τηλ:77536 wwwmethodikalgr contact@methodikalgr Ανδρέου Δημητρίου 8 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ -7-

8 οπότε υπάρχουν και αντίστοιχα, τέτοια,ώστε : ή f f f f f f f f 4 f f 4 f ή f 4 (3) και Προσθέτουμε τώρα τις σχέσεις (3) και (4) κατά μέλη απ όπου προκύπτει το ζητούμενο (4) Τηλ:77536 wwwmethodikalgr contact@methodikalgr Ανδρέου Δημητρίου 8 & Ακριτών 6 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ -8-