VaFu0-T List Graf funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Vieme, že funkcia vjadruje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Akým spôsobom b mohla bť funkcia zadaná? Ž: Stretol som sa najmä srovnicami, napríklad =. U: Je to naozaj najpoužívanejší spôsob. Jeho výhodou je to, že umožňuje vpočítať hodnotu funkcie vktoromkoľvek bode definičného oboru a tiež zistiť rôzne vlastnosti funkcie. Ďalším spôsobom zadania funkcie je slovný opis. Napríklad veta objem kock je rovný tretej mocnine dĺžk jej hran vjadruje funkčnú závislosť medzi objemom ahranou. Vedel b si ju vjadriť rovnicou? Ž: Na objem kock máme vzorec V = a. U: Dobre, mohli b sme ho vjadriť aj v tvare =, kde b bola veľkosť hran kock a b bol objem. Určite si sa ale stretol aj sďalším spôsobom zadania funkcie. Napríklad, ak ste na fzike robili nejaké merania. Ako ste zapisovali výsledk meraní? Ž: Do tabuľk, do jedného riadku jednu veličinu, do druhého druhú. U: Tabuľku používame najmä vted, ak definičným oborom je konečná množina, napríklad 4 5 4 9 6 5 Ž: Nieked však na fzike znameraných hodnôt zostrojujeme aj graf. U: Výborne, to je ďalší spôsob určenia funkcie, povieme si oňom podrobnejšie. Graf funkcií zostrojujeme vpravouhlej súradnicovej sústave vrovine, ktorá je tvorená dvoma kolmými priamkami. Ž: Vodorovná sa volá -ová os, zvislá je -ová os aich priesečník je začiatok súradnicovej sústav. U: Áno. Ďalej sú na osiach určené dĺžkové jednotk. Ak sú rovnaké, hovoríme otzv. karteziánskej súradnicovej sústave. Ž: Aak chcem vznačiť vobrázku bod Aso súradnicami [; ], znamená to, že -ová súradnica bodu Abude a-ová bude, čo nakreslím takto:
VaFu0-T List A 0 U: Dobre. Keď sú nám jasné tieto základné pojm, povedzme si otom, ako zostrojiť graf funkcie. Keďže funkcia priraďuje číslam zdefiničného oboru čísla zoboru hodnôt, vtvára tak vlastne usporiadané dvojice [; f()], ktoré môžeme znázorniť ako bod vsúradnicovej sústave. Teda: Grafom funkcie f nazývame množinu všetkých bodov so súradnicami [; f()], zostrojenú vpravouhlej súradnicovej sústave, pričom D(f). Tu máme tri ukážk: 0 = 4 5 4 0 4 5 = 4 0 = U: Na prvom obrázku je graf funkcie f : =, pričom D(f) = {0; ; ; ; 4}. Keďže definičným oborom je konečná množina, grafom bude množina izolovaných bodov. Na druhom obrázku je graf funkcie g : =, pričom D(g) = ; ). Grafom bude úsečka. Vtreťom prípade sme zvolili funkciu h : = definovanú na celej množine reálnch čísel, grafom tejto funkcie je krivka parabola.
VaFu0-T List Ž: To ale vzerá, že graf môžu bť veľmi rôznorodé, teda keď si nakreslím hocijakú krivku, bude to graf nejakej funkcie? U: To určite nie, vráťme sa pekne kdefinícii funkcie. Ž: Funkciou nazývame predpis, ktorý každému prvku definičného oboru priradí práve jedno reálne číslo. U: Preto napríklad krivka na ďalšom obrázku nemôže predstavovať graf žiadnej funkcie, keďže číslu priradila až tri hodnot: ; a. 4 0 4 U: Ak máme rozhodnúť, či krivka na obrázku predstavuje graf funkcie alebo nie, pomôžeme si týmto poznatkom: Množina bodov vrovine je grafom funkcie vted alen vted, keď každá priamka rovnobežná sosou má stouto množinou spoločný najviac jeden bod. Ešte doplním, že sfunkciou zadanou grafom sa stretávame utzv. empirických funkcií, napr. prístroj termograf nám grafick zachtáva závislosť teplot ovzdušia od času, výsledok môže vzerať takto:
VaFu0-T List 4 Ž: Niečo také som videl aj na seizmografe. U: Áno, podobne pracuje aj elektrokardiograf aďalšie prístroje. Dávajú nám informácie otom, ako sa správa funkcia na istom intervale, ale nevieme získať dostatočné informácie o funkcii mimo toho intervalu. Ak vnašich ďalších úvahách budeme zadávať funkcie pomocou grafov, budú mať buď ohraničený definičný obor alebo budeme predpokladať, že sa funkcia správa rozumne, teda ženezmení svoj charakter včasti, ktorú sme nenakreslili. U: Zhrňme najčastejšie spôsob určenia funkcií sú: rovnicou slovným opisom tabuľkou grafom Ž: Načo nám budú dobré graf funkcií? U: Zgrafu vieme zistiť veľmi veľa ovlastnostiach funkcií, pomáhajú nám lepšie si zapamätať arozlíšiť jednotlivé tp funkcií. Ukážme si hneď prvú úlohu. Ako b si z grafu funkcie na obrázku určil jej definičný obor a obor hodnôt? 4 0
VaFu0-T List 5 Ž: Definičný obor, to sú vlastne, ale čo s tým? U: Definičný obor tvoria tie reálne čísla, ktorým funkcia priradila určité číslo. Nájsť ich môžeš tak, že si z každého bodu na grafe spustíš šípku kolmo na os. Teda ak nájdeš kolmý priemet každého bodu grafu funkcie na os. Šípk ti ukážu, že definičným oborom je interval D = ( ;. 4 4 0 0 Ž: Aha, a s oborom hodnôt to bude asi rovnako, len spravím kolmý priemet bodov grafu na os, teda H = ; 4. U: Výborne. Vedel b si na ďalšom obrázku určiť priesečník grafu funkcie so súradnicovými osami? f 0 Ž: To je ľahké, s osou sú to bod [; 0] a [; 0], s osou je to bod [0; ]. U: Dobre a teraz sa spýtam, ako b sa tieto priesečník hľadali výpočtom, ak b sme poznali rovnicu funkcie. Ž: Priesečník s osou sa hľadá ľahko, lebo je to bod, ktorý má -ovú súradnicu nula, stačí teda dosadiť nulu.
VaFu0-T List 6 U: Presnejšie povedané, bude to bod so súradnicami [0;f(0)]. Ž: Priesečník s osou majú zase -ovú súradnicu nulovú. U: Nájdeme ich teda riešením rovnice f() = 0, ak eistujú. U: Posledná vec, na ktorú sa spýtam ako b sme našli priesečník grafov dvoch funkcií? P f g 0 Ž: Je to bod P [; ], ktorý leží na oboch grafoch, teda preň platí = f() aj = g(). Ypsilon sú rovnaké, teda porovnaním dostaneme f() = g(). U: Výborne. A riešením tejto rovnice získame -ové súradnice priesečníkov grafov, ich dosadením do predpisu funkcie získame -ové súradnice.
VaFu0- List 7 Príklad : Určte definičné obor, obor hodnôt a rovnice funkcií daných nasledujúcimi tabuľkami. Načrtnite graf týchto funkcií: a) 0 4 0 4 b) 0,, 6 5 c) 4 5 0 8 5 4 Ž: Začnem prvou tabuľkou: 0 4 0 4 Do definičného oboru funkcie patria čísla z prvého riadku a do oboru hodnôt patria čísla, ktoré sú k nim funkciou priradené, teda tie z druhého riadku. Preto D = { ; ; 0; ;, } H = { 4; ; 0; ; 4}. Rovnicu tejto funkcie tiež nie je problém napísať, pretože som si všimol, že každému číslu priradí jeho dvojnásobok, teda =. U: Výborne, skús ešte načrtnúť graf. Ž: Nakreslím si pravouhlú súradnicovú sústavu. Do nej potom dokreslím bod so súradnicami [ ; 4], bod so súradnicami [ ; ], ďalší bod má súradnice [0; 0], teda je to vlastne začiatok súradnicovej sústav. No a ešte tam budú posledné dva bod [; ] a [; 4]. A je to: 4 0 4 U: Grafom je teda množina piatich izolovaných bodov. Ležia na jednej priamke, ktorej smernicový tvar je =.
VaFu0- List 8 Ž: Idem na druhú tabuľku: 0,,6 5 Toto je taký zvláštn prípad funkcie, pretože každému je priradená ako hodnota vžd dvojka. Teda definičný obor síce bude obsahovať štri čísla D = {0;, ;, 6; 5}, ale obor hodnôt bude obsahovať len jedno číslo H = {}. U: V takomto prípade hovoríme o konštantnej funkcii, jej rovnica bude =. Aj jej graf bude niečím zvláštn, skús ho načrtnúť. Ž: Idem na to, do súradnicovej sústav si potrebujem vznačiť štri bod, ktorých súradnice budú [0; ], [,; ], [,6; ] a [5; ]. Mám to, grafom je opäť množina izolovaných bodov. 0 4 5 U: Áno, a keďže táto funkcia priraďuje každému prvku definičného oboru rovnakú hodnotu, ležia tieto bod na priamke rovnobežnej s osou. Rovnica tejto priamk je =. Ž: Ostala mi ešte posledná tabuľka: 4 5 0 8 5 4 Definičný obor tvoria prirodzené čísla od do 5, ktoré sú v prvom riadku a obor hodnôt čísla k nim priradené v druhom riadku, preto D = {; ; ; 4; 5}, H = {0; ; 8; 5; 4}. Lenže akým spôsobom sú k nim priradené? Jednotke nula, to je o jedno menšie, dvojke trojka, to je o jedno väčšie, ďalej trojke osmička... No ja tu veru žiadnu súvislosť nevidím!
VaFu0- List 9 U: A pritom tam je jednoduchá závislosť. Pozri sa ešte raz na druhý riadok, na čísla 0; ; 8; 5; 4. Nevidíš medzi nimi žiaden vzťah? Ž: Asi som slepý, ale nevidím. U: Tak ti pomôžem. Pridaj si do tabuľk tretí riadok, v ktorom vpočítaš hodnotu +. Ž: Teda každé číslo zväčším o jedna? Potom to bude vzerať takto: 4 5 0 8 5 4 + 4 9 6 5 Objavili sa mi čísla ; 4; 9; 6; 5. No jasné! Veď to sú druhé mocnin! Ale ako to teraz zapísať? U: Naša funkcia funguje tak, že každému z prvého riadku priradí najprv jeho druhú mocninu (to máme v treťom riadku), ale tú potom ešte zmenší o jednotku a dostaneme v druhom riadku. Teda f : =, D. Ž: Ostáva mi ešte graf, ale to nebude problém. Zostrojím si bod so súradnicami [; 0], [; ], [; 8], [4; 5] a [5; 4] takto: 5 0 5 0 5 0 4 5 Ž: Opäť je to množina izolovaných bodov, ale teraz to nevzerá, že b mali ležať na priamke. U: A ani neležia, tentokrát sú súčasťou krivk, ktorá sa nazýva parabola. Jej analtické vjadrenie je presne také ako predpis funkcie, t. j. f : =.
VaFu0- List 0 Príklad : Rozhodnite, či nasledujúce krivk predstavujú graf funkcií. Ak áno, určte ich definičné obor a obor hodnôt. 0 0 0 0 U: Najprv si pripomeňme, že funkciou na množine D nazývame ľubovoľný predpis, ktorý každému prvku množin D priradí práve jedno reálne číslo. Preto nie každá krivka, ktorú si nakreslíme do súradnicovej sústav, musí bť grafom nejakej funkcie. Ž: Máme na to aj pomôcku predstavím si, že zostrojím všetk rovnobežk s osou. Ak krivka je grafom funkcie, tak ju žiadna z týchto rovnobežiek nemôže pretnúť viac ako raz. U: To je veľmi dobrá pomôcka. Ž: Začnem prvým grafom, dokreslím si pomocné čiar:
VaFu0- List 0 Ž: Vidím, že je to v poriadku, každá z čiar pretne graf iba raz alebo ho nepretne. Teda je to graf funkcie. U: Dobre, máme ešte určiť definičný obor a obor hodnôt. Ž: Na to máme tiež pomôck. Pri definičnom obore sa pýtam, pre ktoré je táto funkcia definovaná a nájdem ich tak, že si z bodov grafu spustím šípk kolmo na os, teda graf premietnem kolmo na os. Vidím, že D = ; ). 0 U: Pri obore hodnôt sa zase pýtame, aké hodnot nadobúda naša funkcia. 0
VaFu0- List Ž: Tu si tiež pomôžem šípkami, ale teraz budú kolmé na os. Čiže urobím kolmý priemet grafu na os. Potom oborom hodnôt je interval H = (0;. U: Ide ti to výborne, pokračuj. Ž: Na druhom obrázku to asi nie je graf funkcie, pretože na -ovej osi sú dva krúžk: 0 U: Mal b si pravdu, ak b oba krúžk boli plné, vted b to znamenalo, že bodu nula sú priradené dve hodnot, a. Ale keďže pri je prázdn krúžok, tak bodu nula je priradená iba jedna hodnota a to. Teda na obrázku máme graf funkcie. Predpokladáme, že tento graf zachováva svoje správanie sa aj v časti, kde už nie je zakreslený (v našom prípade napr. pre > ). Potom D = R, H = R. Ž: Skúsim ďalší obrázok: 0 Ž: Tak toto určite nemôže bť funkcia, keďže jednotke sú priradené dve čísla: aj. U: Máš pravdu, ja len doplním, že jednotke sú podľa obrázka priradené všetk čísla z intervalu ;. Ž: Krivka na poslednom obrázku je grafom funkcie, neviem však, čo s tou nulou.
VaFu0- List 0 U: Graf tejto funkcie sa približuje k obom osiam, ale nikd sa ich nedotkne. Preto táto funkcia nie je definovaná v bode 0 a ani nikd nenadobudne hodnotu 0. Ž: Z toho vplýva, že jej definičný obor a obor hodnôt sú rovnaké, sú to množin všetkých reálnch čísel okrem nul: D = H = R {0} Úloha : Rozhodnite, či nasledujúce krivk predstavujú graf funkcií. Ak áno, určte ich definičné obor a obor hodnôt. 0 0 0 0 Výsledok: a) áno, D = R, H = R + 0, b) nie, c) áno, D = ( ; ), H = ( ;, d) nie
VaFu0- List 4 Príklad : Zapíšte rovnicou funkčnú závislosť a) dob sťahovania súborov z internetu v závislosti od ich veľkosti, ak rýchlosť pripojenia je 00 Mb/s b) času, za ktorý prejdeme vzdialenosť 0 km v závislosti od priemernej rýchlosti auta. Ž: Odkiaľ mám začať? U: Označ si veličin, ktoré v úlohe vstupujú a uvedom si, ktorá od ktorej závisí. Ž: Doba sťahovania súborov závisí od ich veľkosti, teda si označím:... veľkosť súboru... doba sťahovania U: Dobre a teraz si môžeš do tabuľk zapísať niekoľko konkrétnch príkladov. Ž: Ak rýchlosť pripojenia je 00 Mb/s, tak povedzme 00 Mb súbor bude počítač sťahovať sekund, 700 Mb súbor mu potrvá 7 sekúnd, ale na GB potrebuje 0 sekúnd. Tabuľka vzerá takto: [M b] 00 700 000 [s] 7 0 U: Teraz ešte vjadri túto závislosť rovnicou. Ž: To nie je ťažké, stačí veľkosť súboru vdeliť stomi, teda f : = 00. U: Pekne. Ja len doplním, že 0; ). Podobnými úvahami zvládneš aj ďalšiu časť. Ž: V druhej úlohe mám vjadriť čas, za ktorý prejdeme vzdialenosť 0 km v závislosti od priemernej rýchlosti auta. Mám si rýchlosť označiť alebo v ako na fzike? U: Kľudne použi označenie v, pretože je to zaužívaný smbol pre rýchlosť. Ž: Dobre, v je priemerná rýchlosť auta v km/h, t je čas v hodinách. Čas bude závisieť od rýchlosti, pretože čím väčšou rýchlosťou pôjdeme, tým kratší čas potrebujeme na prejdenie 0 kilometrov. Pri rýchlosti 60 km/h nám to potrvá hodin, pri rýchlosti 40 km/h až hodin, môžeme si to opäť zapísať do tabuľk: v [km/h] 60 40 0 0 t [h] 4 Teraz vidím, že g : t = 0 v.
VaFu0- List 5 U: Ak z fzik poznáme vzťah medzi rýchlosťou, časom a dráhou s = v t, tak vjadríme z neho čas t = s v, pričom v 0; ). V našom prípade s = 0 km, teda Dospeli sme k tomu istému vjadreniu. Úloha : Zapíšte rovnicou funkčnú závislosť a) obsahu štvorca od jeho obvodu b) polomeru kruhu od obsahu kruhu. ( o ), S Výsledok: a) S = b) r = 4 π g : t = 0 v.
VaFu0-4 List 6 Príklad 4: Zostrojte graf funkcie pre < f() = pre < pre 0. Potom určte hodnot tejto funkcie v bodoch, 5; ; ; 0 a. Ž: S takýmto zápisom som sa ešte nestretol. Znamená to, že funkcia sa skladá z viacerých častí? U: Áno, tento zápis signalizuje, že funkcia f je určená na dielčích intervaloch rôznmi predpismi. Ž: Budeme teda kresliť tri graf? U: Môžeme to tak urobiť a nakoniec ich spojíme do jedného. V prvej časti je funkcia daná predpisom f() =. Ž: Grafom je teda priamka prechádzajúca začiatkom súradnicovej sústav a bodom [; ]. U: Áno a m ešte zvýrazníme tú časť, ktorá nás zaujíma, teda <. = Ž: V druhej časti máme predpis f() =, čo je konštantná funkcia, teda grafom bude rovnobežka s osou. U: Opäť zvýraznime, že pre nás platí len časť pre ; ).
VaFu0-4 List 7 = 0 Ž: V poslednej časti je funkcia daná predpisom f() =, grafom je priamka prechádzajúca bodmi [0; 0] a [; ]. A zvýrazníme časť, kde 0. = 0 U: Výborne, teraz to už len spojíme a zistíme, že graf našej funkcie vzerá takto: 0 U: Ešte máme určiť hodnot funkcie v niektorých bodoch.
VaFu0-4 List 8 Ž: To nie je ťažké: f(, 5) =, 5 f( ) = f( ) = f(0) = 0. Akurát v bode sa nedá vpočítať funkčná hodnota, pretože v trojke funkcia nie je definovaná.
VaFu0-5 List 9 Príklad 5: Nájdite priesečník grafov funkcií f : = 4 a g : = 9 so súradnicovými osami. Ž: Začnem s funkciou f : = 4. Priesečník s osou je taký bod, ktorý má -ovú súradnicu nula, teda ju dosadím za : = 4 0 =. U: Priesečník grafu funkcie f s osou je preto bod Y [0; ]. Ž: Idem na priesečník s osou, ten je zase výnimočný tým, že má -ovú súradnicu nula, ktorú dosadím za : 0 = 4. Toto už nepôjde tak ľahko. U: Ale pôjde, dostali sme jednoduchú kvadratickú rovnicu bez lineárneho člena. Pusť sa do nej. Ž: Prehodím jednotku na druhú stranu a vdelím štrmi, dostanem = 4 ešte odmocním a bude =. U: Počkaj, počkaj. Eistujú predsa dve také reálne čísla, ktorých druhá mocnina je 4. Ž: Aha, je to aj. Zabudol som na absolútnu hodnotu pri odmocňovaní. U: Teda vráťme sa ku kroku = 4. Ž: Odtiaľ =, čiže = ±. Takže budú dva priesečník grafu s osou a to budú bod [ X ; 0] [ a X ; 0]. U: Dobre, skús druhú funkciu g : = 9. Ž: Priesečník s osou opäť získam dosadením nul za, teda =.0 9 = 9. Ale to sa predsa nedá, odmocniť záporné číslo! U: Áno, neeistuje požadované, a preto graf tejto funkcie os -ovú nepretína. Ž: Skúsim os -ovú, teda za dám nulu: 0 = 9. U: To je iracionálna rovnica, nezabudni na podmienk. Ž: Podmienka je 9 0, odkiaľ. Môžem rovnicu 0 = 9 umocniť, dostanem Čiže 9 =, riešením je =. 0 = 9.
VaFu0-5 List 0 U: Toto číslo vhovuje podmienke, teda funkcia g pretne -ovú os v bode X[; 0]. Úloha 5: Určte súradnice priesečníkov grafov funkcií so súradnicovými osami: Výsledok: f : Y [0; ], X [ ; 0] g : Y [0; ], X [; 0], X [ ; 0] f : = + { pre g : = pre <.
VaFu0-6 List Príklad 6: Zistite, v ktorých bodoch sa pretnú graf funkcií f() = + 8 + a g() = + + 8. U: Hľadáme vlastne spoločné bod, teda také, v ktorých platí f() = g(). Ž: Z toho dostanem takúto rovnicu: + 8 + = + + 8. Našťastie z nej vpadne, prehodím všetko na jednu stranu 5 6 = 0. To je občajná kvadratická rovnica, viem ju Vietovými vzťahmi rozložiť na súčin ( 6)( ) = 0, takže riešením sú čísla = 6 a =. U: Pekne si to zvládol, to sú však iba -ové súradnice. Naša úloha požaduje nájsť priesečník. Ž: K tomu mi ešte chýbajú psilon. Nájdem ich tak, že si dosadím a do rovnice. Teraz rozmýšľam, či do f() alebo do g(). Ale to b vlastne malo bť jedno, do ktorej funkcie to dosadím, keď hľadám spoločné bod. U: Áno, v oboch prípadoch, ak si dobre počítal, dostaneš rovnaké výsledk. Ž: Tak to dosadím do funkcie f: f(6) = 6 +.6 8.6 + = 6 + 7 48 + = 4 f( ) = ( ) +.( ) 8.( ) + = + + 8 + =. U: Graf funkcií f a g sa pretínajú v bodoch A[6; 4]; B[ ; ]. Úloha 6: Určte súradnice priesečníkov grafov funkcií f : = 4 + 7 a g : = 7. Výsledok: A [ ; ] 4 4, B[ ; 7]
VaFu0-7 List Príklad 7: Daný je graf funkcie 0 Určte hodnot tejto funkcie v bodoch ; 0; ; 5. Vedeli b ste zapísať, ako je funkcia zadaná? Ž: Hodnot funkcie môžeme včítať z grafu, f( ) = f(0) = f() = f(5) =. U: Pekne. Teraz skús vsvetliť, ako je táto funkcia vlastne vtvorená a zapísať to. Ž: Všetkým číslam, ktoré sú väčšie ako priradí trojku, číslam menším ako priradí mínus jednotku. A pri čísle je plný krúžok nakreslený tak, že udáva hodnotu. Teda f : =. U: To si síce správne zapísal, ktoré hodnot funkcia nadobúda, ale neuviedol si, ked nastáva ktorá možnosť, pripíšeme to tam takto: ; pre > f : = ; pre = ; pre <.
VaFu0-8 List Príklad 8: Zostavte tabuľku funkcie f, ktorá spĺňa všetk nasledujúce podmienk: a) definičným oborom je množina všetkých jednociferných prirodzených čísel b) oborom hodnôt je množina všetkých párnch jednociferných prirodzených čísel c) číslo 8 je obrazom práve troch čísel z definičného oboru d) funkcia je neklesajúca. Ž: To je veľa podmienok naraz. Idem postupne. Ak definičným oborom je množina všetkých jednociferných prirodzených čísel, tak môžem zapísať D = {; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9} a tieto čísla budú v prvom riadku tabuľk. Oborom hodnôt má bť množina všetkých párnch jednociferných prirodzených čísel, teda H = {; 4; 6; 8}. Tieto čísla budú v druhom riadku tabuľk. Ale je ich menej, preto sa budú niektoré opakovať. Pripravím si tabuľku 4 5 6 7 8 9 Tretia podmienka hovorí, že číslo 8 je obrazom práve troch čísel z definičného oboru. Teda v druhom riadku budú tri osmičk. Kam ich mám dať? Ako chcem? U: To nie, ešte tam máš štvrtú podmienku. Ž: Tej veľmi nerozumiem, že funkcia je neklesajúca. U: Znamená to, že hodnot v druhom riadku sú usporiadané podľa veľkosti, každá ďalšia je väčšia alebo rovnaká ako tá pred ňou. Ž: Potom ale tie tri osmičk musíme dať na koniec, lebo od nich už väčšie číslo v obore hodnôt nemáme. U: A zase najmenšie číslo z oboru hodnôt, dvojku musíme priradiť jednotke. 4 5 6 7 8 9 8 8 8 Ž: Osmičiek už nemôže bť viac, preto šestke priradíme šestku. Ešte nám chýba v druhom riadku štvorka, ale mohlo b ich bť aj viac, takže to bude mať asi viac riešení. U: Áno, skús zapísať tri rôzne riešenia. Ž: Tu sú: 4 5 6 7 8 9 4 6 8 8 8 4 5 6 7 8 9 4 4 6 6 8 8 8 4 5 6 7 8 9 4 4 4 4 6 8 8 8
VaFu0-9 List 4 Príklad 9: O funkcii sú známe tieto údaje D = ; 4, H = ;, funkčné hodnot v bodoch ; 0; 4 sú za radom 0; ;. a) Koľko eistuje funkcií, ktoré spĺňajú všetk tieto podmienk? b) Načrtnite graf niektorej z nich. Ž: Najprv si pripravím súradnicovú sústavu a do nej vznačím tie tri známe bod [ ; 0], [0; ], [4; ]. 0 4 Ž: Ďalej viem, že D = ; 4. Ako to nakresliť? U: Priamk = a = 4 nám ohraničia rovinný pás, v ktorom sa graf musí nachádzať. Ž: Tipujem, že s oborom hodnôt H = ; to bude podobne. U: Tiež tu vznikne rovinný pás ohraničený priamkami = a =. Vzerá to takto: = 0 = 4 = = 4 Ž: Celý graf je ohraničený obdĺžnikom. Ale takých grafov tam môžem nakresliť hocikoľko. U: Tým si odpovedal na prvú otázku a teraz načrtni graf jednej z nich. Ž: Napríklad takto?
VaFu0-9 List 5 = 0 = 4 = = 4 U: Nie, tvoja funkcia má obor hodnôt iba interval ; a m potrebujeme ;. Ž: Musím to potiahnuť trochu nižšie. A čo takto? = 0 = 4 = = 4 U: Výborne.