Úlohy o kvadratických funkciách

Transcript

1 VaFu7-T List Úloh o kvadratických funkciách RNDr. Beáta Varinčíková U: V prai sa neraz stretávame s úlohami vžadujúcimi nájsť optimálne riešenie. Napríklad naplánovať výrobu podniku v snahe dosiahnuť maimáln zisk či minimálne náklad. Ž: Už tuším, že v tom bude mať prst matematika. U: Samozrejme. V jednoduchých prípadoch si vstačíme aj s vedomosťami o kvadratickej funkcii. Tak si ich najprv pripomeňme. Ž: Kvadratickou funkciou nazývame každú funkciu danú rovnicou f : = a + b + c, kde a, b, c R, a. Jej definičným oborom je množina R. U: Veľmi dobre, ešte mi povedz niečo o rafe kvadratickej funkcie. Ž: Grafom je krivka, ktorá sa nazýva parabola. Môže bť obrátená nahor alebo nadol, podľa toho, či koeficient a je kladný alebo záporný. U: Na nasledujúcom obrázku máme ukážk rafov kvadratických funkcií: = a + b + c = a + b + c a > a < V V V oboch prípadoch má funkcia iba jeden etrém buď minimum alebo maimum. Ž: Ten etrém je určite vo vrchole parabol. Jeho súradnice sa však počítajú dosť zložito, nepamätám si to. U: Dá sa odvodiť, že pre súradnice vrcholu parabol platí [ V b ] a ; b 4a + c. Nemusíš si to však pamätať, užitočnejšie je vedieť, akou metódou môžeme nájsť súradnice vrcholu. Ž: Tak to náhodou viem úpravou na štvorec!

2 VaFu7-T List U: Výborne. Skúsime vriešiť slovnú úlohu, ktorá sa dá popísať kvadratickou funkciou. Jej optimálne riešenie bude súvisieť s vrcholom príslušnej parabol. Ž: To neznie ťažko, poďme na to. U: Hokejový klub požiadal železničnú spoločnosť o vpravenie špeciálneho vlaku pre svojich fanúšikov. Železničná spoločnosť vpraví vlak, ak bude aspoň cestujúcich. Pritom cestovné je 8 na jednu osobu pri počte cestujúcich a znižuje sa o cent za každého cestujúceho nad počet. Pri akom počte cestujúcich bude mať železničná spoločnosť najväčší príjem? Ž: Zaujímavá úloha. Ak bude viac cestujúcich, iste zarobia viac eur. Lenže oni dali akciu cena sa znižuje s počtom ľudí. Takže pri určitom počte ľudí sa už môže stať, že to pre nich nebude výhodné. U: To práve máme zistiť. Navrhujem zaviesť vhodné označenie. Ž: Počet cestujúcich označím a zisk spoločnosti. Teraz ešte potrebujem zistiť cenu lístka. Tá závisí od počtu ľudí nad a tých je. A čo s tými centami? U: Cent je jedna stotina eura. Za každého z ľudí sa cestovné zníži o jeden cent. Teda celkovo sa cena lístka zníži o, ( ). Ž: To znamená, že nová cena za jeden lístok je 8, ( ). Vnásobím to počtom cestujúcich a dostanem vjadrenie pre celkovú sumu zisku Upravím to? U: Samozrejme. Ž: Najprv odstránim okrúhle zátvork odkiaľ Odstránim hranaté zátvork a dostanem = [8, ( )]. = [8, + ], = [,]. =,. U: Našiel si závislosť medzi ziskom spoločnosti a počtom cestujúcich. Predstavuje ju kvadratická funkcia a teraz potrebuješ nájsť jej maimum.

3 VaFu7-T List Ž: Budem ho hľadať dopĺňaním do úplného štvorca. Ale keďže koeficient pri nie je jednotka, začnem vberaním pred zátvorku: Člen v zátvorke doplním do štvorca takto: =, =, ( ). = = ( 5) 5. U: Zatiaľ úplne bez chb, môžeš sa vrátiť k vjadreniu celkového zisku. Ž: Dostanem =, [( 5) 5 ] =, ( 5) + 5. U: Z tohto zápisu už pekne vidieť, že zisk železničnej spoločnosti je suma 5 znížená o čiastku, ( 5). Ž: A preto maimáln zisk je 5. To nastane vted, keď = 5, pretože vted sa od sum 5 neodpočíta nič. U: Našli sme teda odpoveď na otázku. Najväčší zisk dosiahne spoločnosť pri 5 cestujúcich. Ž: Rozmýšľam nad tým, že ak bude viac cestujúcich, pre spoločnosť to síce nebude výhodné, ale pre cestujúcich áno. Veď cena lístka b klesla. A teoretick b mohol nastať aj taký prípad, keď b už cestovali zadarmo! U: Samozrejme. A nie je ťažké vpočítať, že b to nastalo pre cestujúcich. Avšak železničná spoločnosť iste zamestnáva matematika, ktorý toto všetko vie. A ten im poradí, ab hokejovému klubu ponúkli, že odvezú maimálne 5 fanúšikov. U: Teraz prejdeme na úplne iný tp úloh na raf kvadratických funkcií s absolútnmi hodnotami. Skúsme zostrojiť raf funkcie f : = ( ) 4. Ž: Viem, že pri absolútnej hodnote treba rozlišovať, či výraz v jej vnútri je kladný alebo záporný. U: A nemohol b bť aj nulový? Ž: Aha, mohol. Takže najprv uvažujem o prípade, keď výraz vnútri absolútnej hodnot je nezáporný, čiže 4, odkiaľ 4. Potom platí 4 = 4. Predpis funkcie môžem vjadriť v tvare f : = ( ) ( 4) ; 4; ). U: To už je predpis kvadratickej funkcie bez absolútnej hodnot, nájdi jej nulové bod a vrchol parabol.

4 VaFu7-T List 4 Ž: Nulové bod vidím okamžite, sú to = a = 4. Vrchol nájdem dopĺňaním do úplného štvorca: = ( ) ( 4) = = ( ) = ( ). Vrchol má súradnice [; ]. U: Perfektne, môžeš to zopakovať aj pre druhú časť riešenia. Ž: Teraz uvažujem o prípade, keď výraz vnútri absolútnej hodnot je záporný, čiže 4 <, odkiaľ < 4. Potom platí 4 = 4. Predpis funkcie sa zmení na tvar f : = ( ) (4 ), ( ; 4). Nulové bod sú tie isté, = a = 4. A hľadám vrchol parabol: = ( ) (4 ) = U: V tomto kroku sa predpis funkcie f líši od funkcie f len znamienkom, preto po doplnení do štvorca vznikne = ( ) +. Ž: Súradnice vrcholu druhej parabol sú [; ]. Napokon už len raf. Ten získam tak, že zostrojím raf funkcií f aj f do jedného obrázku. Červenou potom vznačím, že pre 4 berieme do úvah časť rafu prvej funkcie a pre < 4 časť rafu druhej funkcie. f f 4 5 f U: Výborne. Podobným rozborom iste zvládneš aj ďalšie úloh.

5 VaFu7- List 5 Príklad : Určte nasledujúce závislosti:. Vrábame kartónové hranolové krabice bez vrchnáka so štvorcovou podstavou. Určte závislosť spotreb materiálu od dĺžk postavnej hran, ak ; 4 cm a výška krabice je cm.. Z plieškov v tvare kruhu s priemerom cm a hrúbkou mm vrábame podložk v tvare medzikružia s rôznmi vnútornými polomermi r. Určte funkciu, ktorá udáva závislosť objemu V (v mm ) podložk od polomeru r (v mm). Ž: V prvej časti vrábame hranolové krabice. Skúsim urobiť náčrt. V zadaní je povedané, že krabica má štvorcovú podstavu s hranou. Výšku krabice môžem potom označiť, náčrt vzerá takto: U: Dobre. Potrebujeme vjadriť spotrebu materiálu. S ktorou matematickou veličinou to bude súvisieť? Ž: Krabicu vrábame z kartónu, ktorý vtvorí jej povrch. Označím ho S. U: Celý zápis našej úloh môže skrátene vzerať takto: ; 4 cm = cm S =? Ž: Povrch nie je ťažké vpočítať. Keďže krabica nemá vrchnák, tak počítam obsah len pre dolnú podstavu a pre bočné sten. Podstava je v tvare štvorca, teda jej obsah je. Bočné sten sú štri rovnaké obdĺžnik s obsahom. V súčte dostávam S = + 4. Ešte môžem za dosadiť hodnotu cm a dostávam vjadrenie S = + 8. U: Ja už len doplním, že ide o kvadratickú závislosť definovanú na intervale ; 4 cm.

6 VaFu7- List 6 Ž: V druhej časti máme pliešk v tvare kruhu. Z nich vrežeme v strede ďalší kruh, takže nám vznikne podložka v tvare medzikružia. Priemer kruhu označím d a polomer otvoru označím r. Je loické, že tento polomer musí bť menší ako polomer celého kruhu. U: V zadaní je uvedená aj hrúbka. Ž: No áno, pliešk majú svoju hrúbku, označím ju h. U: To ale znamená, že b sme mali upresniť použitú terminolóiu. Pliešk v skutočnosti nie sú kruh, ale... Ž:... valce. Skúsim jeden taký nakresliť, tu je obrázok: d h r Mám vpočítať objem podložk, označím ho V. U: Celý zápis úloh je takýto: d = cm = mm r (; 5) mm h = mm V =? Ž: Objem podložk vpočítam ako rozdiel objemu dvoch valcov pôvodného a toho, čo sme vrezali: V = V V. Viem, že objem valca sa počíta podľa vzťahu V = πr v, kde r je polomer a v je výška valca. V našom prípade teda V = π U: Úpravou získame výsledný vzťah ( ) d h πr h = π 5 πr. V = π ( 5 r ). Opäť predstavuje kvadratickú závislosť, definovanú na otvorenom intervale (; 5).

7 VaFu7- List 7 Príklad : Farmár chce použiť m pletiva na oplotenie troch rovnakých obdĺžnikových výbehov pre kurčatá. Výbeh majú spoločnú stranu, ktorú tiež tvorí pletivo. Ako má zvoliť rozmer celého oploteného pozemku, ab jeho obsah bol maimáln? b a Ž: Na obrázku máme rozmer pozemku označené písmenami a, b. K dispozícii máme pletivo m dlhé. Tu však budeme pletivo dávať nielen okolo pozemku, ale aj dovnútra. Preto má platiť 4a + b =. Ďalej má platiť, že obsah pozemku má bť čo najväčší. Obsah obdĺžnika sa počíta a b, ale ako to zapísať? U: Smbolick môžeme zapísať S = a b ma. Ž: Budeme teda hľadať maimum funkcie? U: Áno, budeme hľadať maimum funkcie, ktorá vjadruje závislosť obsahu pozemku od jednej jeho stran. Zo vzťahu 4a + b = si vjadríme b = 5 a a dosadíme do vjadrenia obsahu S = a b = a (5 a) = 5a a. Získali sme kvadratickú funkciu. Skús nájsť maimum tejto funkcie. Ž: Budem to riešiť úpravou na štvorec. Ale keďže pred a je koeficient, musím ho najprv vbrať pred zátvorku: S = 5a a = (a 5a). Teraz už môžem dopĺňať: S = [ a 5a + ( ) 5 ( ) ] 5. U: Veľmi dobre, prvé tri člen v hranatej zátvorke predstavujú druhú mocninu dvojčlena. Ž: Pokračujem v úpravách = [ ( a 5 ) ] 65 = (a,5) +,5. 4 Ďalej viem, že (a,5), teda (a,5) a napokon Teda najväčší obsah bude,5 m. S = (a,5) +,5,5.

8 VaFu7- List 8 U: Áno, a toto maimum nastane práve vted, keď čiže keď a =,5 m, b = 5 a = 5,5 = 5 m. Teda pri rozmeroch pozemku a =,5 m, b = 5 m budú mať všetk tri výbeh spolu najväčší obsah. Úloha : V meste stavajú nový supermarket. Hneď vedľa neho chcú naprojektovať parkovisko s pravouholníkovým pôdorsom. Jedna strana parkoviska má bť tvorená stenou obchodného domu, zvšné stran musia bť oplotené. Akú najväčšiu rozlohu môže mať parkovisko, ak dĺžka plotu nesmie presiahnuť 8 metrov? 5 m SUPERMARKET P Výsledok: 98 m

9 VaFu7- List 9 Príklad : Realitná kancelária prenajíma 8 apartmánov. Nájomné za jeden mesiac v každom z apartmánov je 8. Podľa prieskumu b každé zvýšenie cen o 6 spôsobilo zmenšenie počtu obsadených apartmánov o jeden. Mesačné náklad na prevádzku jedného apartmánu sú 8. Pri akej cene za jeden apartmán dosiahne realitná kancelária maimáln zisk? Ž: V zadaní je priveľa čísel, musím sa v tom najprv zorientovať. Apartmánov majú 8 a prenajímajú ich mesačne za 8. Zatiaľ je to jasné. Nerozumiem ale ďalšej vete. Podľa prieskumu b každé zvýšenie cen o 6 spôsobilo zmenšenie počtu obsadených apartmánov o jeden. U: Realitná kancelária b chcela mať väčší zisk, a preto chce zvýšiť cenu. Uvedomujú si však, že ak cena pôjde veľmi nahor, ľudia prestanú mať záujem o ich služb. Urobili preto prieskum trhu a výsledok je takýto: ak zvýšia cenu o 6, budú mať jeden apartmán voľný. Ak zvýšia cenu o, už budú neobsadené dva apartmán atď. Ž: Už tomu začínam rozumieť. Rozhodujúce je teda to, koľkokrát zvýšia cenu o 6. U: Presne tak, preto navrhujem ako neznámu označiť práve počet zvýšení cen. Potom nová cena za apartmán bude Ž: A zároveň počet obsadených apartmánov klesne na 8. U: Zhrniem to: počet apartmánov... 8 nájomné... 8 nové nájomné počet obsadených apartmánov... 8 náklad na apartmán... 8 zisk.... Ž: Idem sa pustiť do vjadrenia zisku. Na každom z obsadených 8 apartmánov zarobia mesačne 8 + 6, teda spolu zarobia (8 ) (8 + 6). U: Uvažuješ dobre, len nezabudni na náklad spojené s prenajímaním apartmánov. Ž: Náklad musím samozrejme odčítať, ale len za tie apartmán, ktoré sú obsadené. Preto = (8 ) (8 + 6) 8 (8 ). U: Výborne, po roznásobení zátvoriek a úprave dostaneme takúto závislosť medzi ziskom realitnej kancelárie a počtom zvýšení cen: = Ž: Nájdená závislosť je kvadratická funkcia. Keďže pri je záporný koeficient, jej rafom je parabola obrátená nahor. Preto má určite maimum. U: Uvažuješ výborne, tvojou úlohou je teraz nájsť to maimum.

10 VaFu7- List Ž: Tak začnem hľadať vrchol parabol. Najprv vberiem pred zátvorku ten záporný koeficient, = = 6( 5 6). V zátvorke pokračujem úpravou na štvorec: Ďalej si pomôžem kalkulačkou 5 6 = 5 + ( ) 5 = 6( 6,5) + 7 7,5. Odtiaľ už vidím, že funkcia nadobúda maimum pre = 6,5. ( ) 5 6. U: S tým súhlasím. Než však dáme definitívnu odpoveď, zamsli sa nad reálnosťou výsledku. Ž: No asi nebudú cenu zvšovať 6 a pol krát. U: A hlavne nemôžu prenajať pol apartmánu. Preto aj keď sme to na začiatku nezdôraznili, má pre nás zmsel uvažovať iba o prirodzených hodnotách premennej. Ž: Tak čo s tým teraz? U: Uvedom si, že pracujeme s kvadratickou funkciou. Ako si sám povedal, jej rafom je parabola obrátená nadol. Zároveň je aj súmerná podľa priamk prechádzajúcej jej vrcholom a rovnobežnej s osou. Preto namiesto maima v bode 6,5 budeme uvažovať o najbližšej celočíselnej hodnote. Vzhľadom na súmernosť to môže bť číslo 6 aj 7. Ž: A v oboch prípadoch bude zisk realitk rovnaký. Už mi ostáva len vpočítať novú cenu apartmánov. Tá bude = 6 alebo = 4. U: V prvom prípade budú mať obsadených 54 apartmánov a v druhom len 5. Ich zisk bude 7 7. Ž: Zaujímavé, to b som dopredu nepovedal. Zhruba tretinu apartmánov majú prázdnu a aj tak sa im to najviac oplatí. Úloha : Cestovná kancelária oranizuje zájazd pre najmenej 5-členné turistické skupin. Ak má skupina presne 5 členov, zájazd pre jednu osobu stojí. Za každú ďalšiu osobu navše cestovná kancelária znižuje cenu zájazdu pre jednu osobu o. Pri akom počte osôb na zájazde dosiahne cestovná kancelária najvšší príjem? Výsledok: 7 alebo 8 osôb

11 VaFu7-4 List Príklad 4: Teleso je vrhnuté zo zeme zvisle nahor začiatočnou rýchlosťou v v čase t = s. Z fzik je známa závislosť vzdialenosti s od miesta vrhu na čase t vzťahom s = v t t, pričom je tiažové zrýchlenie. Zistite maimálu výšku, do ktorej teleso vletí. Ž: Ak tomu dobre rozumiem, tak vhodím zvisle nahor nejaké teleso, napríklad kameň. On bude chvíľu stúpať, ale potom začne padať naspäť na zem. A ja mám určiť do akej výšk vletí. U: Vstihol si to dobre. V zadaní máme určenú závislosť medzi vzdialenosťou a časom pomocou vzťahu s = v t t. Pritom čas meriame od nul až po tzv. dobu výstupu t h, teda t ; t h. Vedel b si povedať, o aký tp závislosti tu ide? Ž: Samozrejme, je to kvadratická funkcia. U: Určiť najväčšiu vzdialenosť telesa od zeme vlastne znamená nájsť maimum tejto funkcie. Ž: Maimum kvadratickej funkcie môžem určiť úpravou na štvorec. U: Dobre, tak sa do toho pusťme. Najprv vber koeficient pred zátvorku, ab si dostal pri t koeficient jedna. Ž: Vberám: s = v t t = ( t v ) t. U: Výborne. Teraz vezmime člen v zátvorke a skúsme ich doplniť do štvorca. Použijeme znám vzorec A AB + B = (A B). Ak ho porovnáš s našimi členmi, tak vidíš, že A = t, AB = v t. Odtiaľ dostaneme Ďalej môžeš pokračovať aj sám. B = v. Ž: Potrebujem ešte doplniť B. Preto tam pridám a hneď aj odoberiem B = ( ) v. Teda U: Zatiaľ veľmi dobre, pokračuj. t v t = t v t + ( ) v ( ) v. Ž: V ďalšom kroku už prvé tri člen nahradím podľa vzorca druhou mocninou. Je to zapísané v rámčeku.

12 VaFu7-4 List t v t + ( ) v U: Môžeme sa vrátiť k vjadreniu vzdialenosti. Ž: Dostanem tvar s = ( ) ( v = t v ) [ ( t v ) ( ) ] v. ( ) v. Odstránim zátvorku s = ( t v ) + v. U: Keďže druhá mocnina reálneho čísla je vžd číslo nezáporné, tak platí odkiaľ ( t v ), ( t v ). Potom však pre vzdialenosť telesa od zeme platí Ž: Takže teleso vletí do výšk s v. h = v. U: Vedel b si určiť dobu výstupu? Ž: Áno, je to t h = v. Vted totiž výraz ( t v ) nadobúda najmenšiu hodnotu nulu. U: Na záver si ešte ukážme, ako b sa táto úloha dala riešiť fzikálnmi úvahami. Už sme spomenuli vzťah medzi vzdialenosťou a časom pri vrhu zvisle nahor: s = v t t. Okrem toho však vo fzike poznáme aj závislosť medzi rýchlosťou vrhnutého telesa a časom: v = v t. Aká bude rýchlosť telesa v momente, keď dosiahne najvšší bod svojej dráh? Ž: Bude nulová, pretože sa vlastne na okamih zastaví a potom začne padať smerom dole.

13 VaFu7-4 List U: Teda pre čas výstupu platí odkiaľ = v t h, t h = v. Výšku výstupu potom dostaneme jednoduchým dosadením do vzťahu na výpočet vzdialenosti. Uvedené to máme v rámčeku. Ž: A dostali sme rovnaký výsledok, h = v. h = v t h t h = v v = v.

14 VaFu7-5 List 4 Príklad 5: Zostrojte raf funkcií f : = a : = +. Ž: Pri prvej funkcii f : = nebude ťažké raf zostrojiť. Celý predpis funkcie je totiž v absolútnej hodnote. Preto si najprv pripravím raf funkcie =. Je to parabola, ktorej vrchol je posunutý do bodu [; ]. U: Je len upresním, že si posunul základnú parabolu =, ako to vidíme na obrázku. = = Ž: Teraz príde na rad absolútna hodnota. Tá spôsobí, že všetk kladné hodnot ostanú zachované. Ale všetk záporné hodnot sa zmenia na kladné. Preto tá časť rafu, ktorá leží pod osou sa preklopí nahor podľa tejto osi. Výsledok je takýto: f : =

15 VaFu7-5 List 5 U: Je to dobre, šikovne si vužil jednu z transformácií rafu funkcie. Konkrétne túto: Graf funkcie = f() splýva s tou časťou rafu funkcie = f(), kde f(). Tam, kde f() <, je raf funkcie = f() osovo súmerný s rafom funkcie = f() podľa osi -ovej. Ž: Pri druhej funkcii : = + už nemôžem postupovať rovnako, lebo nie je celý predpis v absolútnej hodnote. Tak si riešenie rozdelím na dva prípad. U: Aké? Ž: Prvý prípad je ten, keď výraz v absolútnej hodnote je nezáporný, teda keď. Vted môžem absolútnu hodnotu odstrániť, lebo =. Predpis funkcie bude : = +. U: Ak chceš zostrojiť raf tejto kvadratickej funkcie, urč jej nulové bod a vrchol parabol. Ž: Z rozkladu = + = ( + ) ľahko určím nulové bod. Sú to = a =. Súradnice vrcholu parabol určím pomocou úprav na štvorec: = + = + + = ( + ). Odtiaľ V [ ; ]. Graf je na nasledujúcom obrázku: : = + U: Ide ti to ako po masle, predpokladám, že nebudeš mať problém ani s druhou časťou.

16 VaFu7-5 List 6 Ž: Mslím, že nie. V druhom prípade je výraz v absolútnej hodnote záporný, teda <. Vted platí =, preto predpis funkcie bude U: Opäť potrebuješ nulové bod a vrchol. Ž: Z rozkladu : =. = = ( ) určím nulové bod. Sú to = a =. Ešte potrebujem súradnice vrcholu parabol. Postupujem ako predtým: Vrchol je v bode V [; ]. = = + = ( ). U: Veľmi dobre, na obrázku máme raf tejto druhej funkcie. : = Ž: Už to treba iba dokončiť. Takže červenou vfarbím raf funkcie pre nezáporné. A naopak raf funkcie vznačím pre záporné. Vznikne takýto výsledok:

17 VaFu7-5 List 7 : = + U: Na záver dodám, že sme pri zostrojovaní rafu funkcie : = + mohli vužiť aj to, že je to párna funkcia. Potom b stačilo zostrojiť raf funkcie pre nezáporné a zobraziť ho osovo súmerne podľa osi -ovej. Úloha 5: Zostrojte raf funkcií f : = + a : = 4. Výsledok: f : = + : = 4

18 VaFu7-6 List 8 Príklad 6: Zostrojte raf funkcie f : = 4 5. Ž: To vzerá poriadne zložito, absolútna hodnota v absolútnej hodnote. U: Výsledkom však bude celkom zaujímavý raf. Odkiaľ navrhuješ začať s riešením úloh? Ž: Asi od vnútornej absolútnej hodnot, tá sa zvkne odstraňovať ako prvá. U: Súhlasím. Ž: Rozdelím si to na dve časti. Najprv si poviem, že je nezáporné a potom, že je záporné. Teda ak platí, že, tak platí aj to, že To znamená, že funkcia bude mať rovnicu U: Vieš zostrojiť raf takejto funkcie? =. = 4 5. Ž: S vašou pomocou určite. Najprv zostrojím raf funkcie f : = 4 5. K tomu potrebujem jej nulové bod, ktoré nájdem pomocou Vietových vzťahov: = 4 5 = ( + )( 5). Takže nulové bod sú = a = 5. Ešte pohľadám vrchol parabol pomocou úprav na štvorec: = 4 5 = = ( ) 9. Vrchol je v bode [; 9]. U: Výborne, na nasledujúcom obrázku máme raf tejto prvej funkcie.

19 VaFu7-6 List 9 5 f : = M však potrebujeme raf s absolútnou hodnotou, nech teda f : = 4 5. Graf tejto funkcie sa zhoduje s rafom funkcie f v tej časti, ktorá sa nachádza nad osou. Teda tam, kde platí f (). Ale v tej časti, kde je f () <, budú hodnot funkcie f nadobúdať opačné znamienka. A tak sa vlastne táto časť rafu zobrazí osovo súmerne podľa osi. Graf funkcie f je na ďalšom obrázku:

20 VaFu7-6 List 5 f : = Ž: Tým máme hotovú prvú časť a môžem ísť na druhú, kde to bude veľmi podobné. Uvažujem teraz o zápornom. Ale ak platí, že <, tak platí, že =. Preto funkcia bude mať rovnicu = U: Uvažuješ veľmi dobre, zrejme b si rovnakým postupom ako pred chvíľou úlohu dokončil. Ja ťa však zastavím, pretože ti chcem ukázať rýchlejší postup. Ž: Aký? U: Vužijeme skutočnosť, že funkcia f : = 4 5 je párna. To znamená, že jej raf je osovo súmerný podľa osi. A m jednu polovicu rafu, tú pre nezáporné, už máme. Ž: Už tomu rozumiem. Z posledného rafu funkcie f vezmeme tú časť, ktorá je napravo od osi -ovej. A zobrazíme ju osovo súmerne podľa osi. Vznikne takéto čudo:

21 VaFu7-6 List 5 f : = Úloha 6: Zostrojte raf funkcie : = 4 +. Výsledok: 5 4 f : =