HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #3 Ιδιάζοντα σήματα Βασικές κατηγορίες συστημάτων Διασυνδέσεις συστημάτων
Ιδιάζοντα σήματα (singular signals) Τα ιδιάζοντα σήματα είναι σήματα τα οποία είναι ιδεατά (δηλ. δεν υπάρχουν στη φύση ακριβώς όπως ορίζονται μαθηματικά), τα οποία μας βοηθούν στην ανάλυση σημάτων/ συστημάτων Μοναδιαίο βηματικό σήμα/ συνάρτηση (uni sep signal/funcion) 1 0 u () = 0 < 0 u(): Ασυνεχής στο μηδέν x ( ) 0 y () = xu () () = 0 < 0 Τετραγωνικός παλμός (recangular pulse) 1 -T T rec( ) = 2 2 T 0 αλλιώς rec( ) = u ( + T ) u ( T ) T 2 2
Ιδιάζοντα σήματα (singular signals) Κρουστικό σήμα/συνάρτηση ή συνάρτηση Dirac(impulse signal/funcion or Dirac dela funcion) Ερώτηση: Πως ορίζεται η παράγωγος του βηματικού σήματος στο μηδέν? Το βηματικό σήμα u() μπορεί να προσεγγιστεί ως: d d du() d = 0 Στο όριο (Δ 0), το πλάτος της παραγώγου τείνει στο άπειρο αλλά η περιοχή κάτω από τον παλμό παραμένει σταθερή και ίση με 1. Έτσι, προσεγγίζουμε ένα σήμα (κρουστικό σήμα δ()) με τις εξής ιδιότητες: δ ( ) = 0 0 δ () d= 1
Ιδιάζοντα σήματα (singular signals) Ορισμός: Το κρουστικό σήμα δ() είναι το σήμα το οποίο ικανοποιεί: δ ( ) = 0 0 f () δ () d = f(0) για κάθε διαφορίσιμη συνάρτηση f(). Γραφικά: lim f() δ () d = f(0)lim δ () d = f(0) Δ 0 Δ Δ 0 Δ Η κρουστική συνάρτηση δεν είναι μια συνηθισμένη συνάρτηση (δεν ορίζεται στο μηδέν) αλλά μια γενικευμένη συνάρτηση, δηλ. ορίζεται από τις ιδιότητές της. f ( ) δ ( ) = f ( ) δ ( ) 0 0 0 f() δ ( ) d = f( ) 1 δ( a) = δ( ) a 0 0
Ιδιάζοντα σήματα (singular signals) Σχέση μεταξύ του βηματικού και κρουστικού σήματος. Είδαμε ότι: du() δ () = d Άρα: u () δ ( τ) dτ = < 0 0 > 0 1
Ιδιάζοντα σήματα (singular signals) Σε διακριτό χρόνο το κρουστικό σήμα ορίζεται ως: 1 n= 0 δ[ n] = 0 n 0 ενώ το βηματικό σήμα ως: 1 n 0 un [ ] = 0 n < 0 Βασικές ιδιότητες (ανάλογες με συνεχή χρόνο): n= δ [ n ] = 1 un [ ] = δ[ m] n m= δ [ n ] = u [ n ] u [ n 1] x[ n] δ[ n n ] = x[ n ] δ[ n n ] 0 0 0
Συστήματα και διασυνδέσεις συστημάτων Μαθηματικά, ένα σύστημα αναπαριστάται ως η απεικόνιση (mapping) μεταξύ του σήματος εισόδου x και του σήματος εξόδου y Ανάλυση συστημάτων: Ποια είναι η έξοδος ενός δεδομένου συστήματος (S γνωστό) σε μια γνωστή είσοδο x? Σχεδίαση/σύνθεση συστημάτων: Ποιο είναι το σύστημα που παράγει μια επιθυμητή έξοδο y σε μια γνωστή είσοδο x? Αναγνώριση συστημάτων: Ποια είναι μια ακριβής περιγραφή της (άγνωστης) απεικόνισης S που αντιστοιχεί στις (γνωστές) τιμές της εισόδου και εξόδου? Αλληλουχία ή σειριακή σύνδεση συστημάτων (cascade/serial inerconnecion) x S y y ( ) = S [ z ( )] = S [ S [ x ( )]] 2 2 1 z() S 1 S 2 Παράλληλη σύνδεση (parallel inerconnecion) y ( ) = S[ x ( )] + S[ x ( )] 1 2 S 1 S 2
Συστήματα και διασυνδέσεις συστημάτων Ανάδραση (feedback): Θετική ή αρνητική ανάδραση = S1 z = 1 2 2 x() z() + - y() [ ()] y() S [ x() S [ y()]] z () = x () S[ y ()] S 2 S 1 y() Παράδειγμα: y () = S2[ y2()] y2( ) = S1[ y1( )] S3[ y( )] y1() = x() S4[ y()] y ( ) = S [ S [ y ( )] S [ y ( )]] = S [ S [ x ( ) S [ y ( )]] S [ y ( )]] 2 1 1 3 2 1 4 3
Βασικές κατηγορίες/ ιδιότητες συστημάτων Στατικά και Δυναμικά Συστήματα (Saic and Dynamic Sysems) Ορισμός: Ένα σύστημα λέγεται στατικό ή σύστημα χωρίς μνήμη (saic/ memoryless) εάν η έξοδός του y() για κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται από την τιμή της εισόδου x() την ίδια χρονική στιγμή μόνο Παραδείγματα: Αντίσταση υ () = Ri () y() = sin( x()) x () y () = + x 3 1 ( ) Ορισμός: Ένα σύστημα λέγεται δυναμικό ή σύστημα με μνήμη (dynamic/ sysem wih memory) αν η έξοδός του y() τη χρονική στιγμή εξαρτάται από κάποια/ κάποιες τιμές της εισόδου x(τ) σε διαφορετικές χρονικές στιγμές (τ ) Παραδείγματα: Πυκνωτής υ 1 () = i( ) d C τ τ y () = x ( 2)
Βασικές κατηγορίες/ ιδιότητες συστημάτων Αντιστρέψιμα και μη αντιστρέψιμα συστήματα (Inverible and non inverible sysems) Ορισμός: Ένα σύστημα λέγεται αντιστρέψιμο εάν δύο οποιαδήποτε διαφορετικά σήματα εισόδου x 1 () και x 2 () έχουν ως αποτέλεσμα διαφορετικά σήματα εξόδου y 1 () και y 2 (), δηλαδή: x () x () S[ x ()] S[ x ()] 1 2 1 2 Ισοδύναμα: Η απεικόνιση S είναι ένα προς ένα Παραδείγματα: y () = Kx () Αντιστρέψιμο 2 y () = x() Μη αντιστρέψιμο Εάν ένα σύστημα S είναι αντιστρέψιμο, τότε υπάρχει ένα αντίστροφο σύστημα το οποίο συμβολίζουμε S 1 το οποίο εάν συνδεθεί σειριακά με το S δίνει ως αποτέλεσμα το μοναδιαίο σύστημα I x() z() S S -1 x() x() Ι x() Παράδειγμα: x() x( τ ) dτ y() dy () S -1 d x()
Βασικές κατηγορίες/ ιδιότητες συστημάτων Αιτιατά και μη αιτιατά Συστήματα (Causal and noncausal Sysems) Ορισμός: Ένα σύστημα λέγεται αιτιατό (causal) εάν η έξοδός του y() για κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται μόνο από τιμές της εισόδου x(τ) στο παρόν και το παρελθόν (τ ) Ισοδύναμα: Οι μεταβολές της εξόδου ενός αιτιατού συστήματος έπονται των μεταβολών της εισόδου του x() () y() x() S y() 0 0 Παραδείγματα: 1 Πυκνωτής υ() = i( ) d Αιτιατό C τ τ y () = x ( + 2) Μη αιτιατό Γιαίμαςενδιαφέρουν Γιατί τα αμηαιιαά αιτιατά συστήματα? ήμαα? Η ανεξάρτητη μεταβλητή μπορεί να μην είναι χρόνος Η επεξεργασία μπορεί να γίνεται εκτός γραμμής (offline)
Βασικές κατηγορίες/ ιδιότητες συστημάτων Ευστάθεια (sabiliy): Υπάρχουν διάφοροι ορισμοί ευστάθειας. Ορισμός: Ένα σύστημα λέγεται ευσταθές φραγμένης εισόδου φραγμένης εξόδου (ΦΕΦΕ ) (bounded inpu bounded oupu (BIBO) sable) αν για κάθε φραγμένη είσοδο x(), η έξοδος y() είναι επίσης φραγμένη, δηλ. υπάρχουν θετικοί πραγματικοί αριθμοί Μ,Κ ώστε: Αν x ( ) M τότε y ( ) K Παραδείγματα: υ () = Ri() Ευσταθές ΦΕΦΕ 1 υ () = i ( τ ) d τ Ασταθές ΦΕΦΕ C
Βασικές κατηγορίες/ ιδιότητες συστημάτων Χρονικά αμετάβλητα και χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα (ime invarian and ime varying sysems) Ορισμός: Ένα σύστημα λέγεται χρονικά αμετάβλητο (ime invarian) αν μια οποιαδήποτε χρονική μετατόπιση χρονική μετατόπιση 0 στην είσοδο x() έχει ως αποτέλεσμα την ίδια χρονική μετατόπιση στην έξοδο y() Ισοδύναμα: Η έξοδος y() σε μια συγκεκριμένη είσοδο x() είναι ανεξάρτητη από το ποια ακριβώς χρονική στιγμή διεγείρουμε το σύστημα Αν x ( ) y ( ) τότε x ( ) y ( ) 0 0 x() S y() x() y(- S 0 ) x() x(-0) y() y(-0) x() S y() 0 0
Βασικές κατηγορίες/ ιδιότητες συστημάτων Παραδείγματα: y() = cos( x()) Χρονικά αμετάβλητο y() = x() Χρονικά μεταβλητό R,C σταθερά: χρονικά αμετάβλητο R(), C(): χρονικά μεταβλητό
Βασικές κατηγορίες/ ιδιότητες συστημάτων Γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα (linear and nonlinear sysems) Ορισμός: Ένα σύστημα λέγεται γραμμικό (linear) αν ικανοποιεί την αρχή της υπέρθεσης: Sax [ ( ) + ax( )] = asx [ ( )] + asx [ ( )] a, a 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 Ισοδύναμα: Η απόκριση του συστήματος σε οποιονδήποτε γραμμικό συνδυασμό δύο εισόδων x 1 (), x 2 () ισούται με τον ίδιο γραμμικό συνδυασμό των εξόδων του συστήματος των αντίστοιχων εξόδων y 1 (), y 2 () Αν x1( ) y1( ), x2( ) y2( ) τότε a1x1() + a2x2() a1y1() + a2y2() y()=y1()+y2() x1() x2() x()=x1()+x2() y2() y1() x() () S y() 2 Παραδείγματα: y() = x () Μη γραμμικό y() = Kx() Γραμμικό