Seinar i : Laplaceove tranforacije Koritio izvadak iz dva tudentka rada koje donoio na ljede ih pet tranica ovih aterijala. Sljede u tablicu oºete korititi na ipitia. Takožer oºete korititi tablicu koju je profeor Ugle²i dijelio na predavanjia i koja e oºe prona i odvojeno na web tranici predeta. Tablica Laplaceovih tranforacija: f(t) F () = Lf() c c t t n n! n πt e at a t e at (a) ( at) e at (a) in(at) a a co(at) a f(t) F () = Lf() inh(at) a a coh(at) a e at f(t) F ( a) f(a t) a F ( a ) t n f(t) ( ) n F (n) () f(t) t F (q) dq t 0 f(τ) dτ F () f (t) F () f(0) f (t) F () f(0) f (0) f (t) F () f(0) f (0) f (0)
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE MATEMATIČKE METODE U KEMIJSKOM INŽENJERSTVU LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Studenti : Nikolina Jakšić Kornelije Kraguljac
. Laplaceova tranforacija U ateatici potoji više vrta tranforacija funkcija: Fourierova, Laplaceova, Poionova, Mellinova... Zajedničko i je da e definiraju pooću integrala pa e zovu i integralne tranforacije, a natale u iz dubokih ateatičkih i praktičnih razloga. Uz druge važne prijene, Laplaceova tranforacija ia i prijenu u rješavanju linearnih difercijalnih jednadžbi (kupa početni uvjetia Cauchyev proble). Takva e prijena ože e prikazati heatki: Diferencijalna jednadžba Algebarka jednadžba Rješenje diferencijalne jednadžbe Rješenje algebarke jednadžbe Za razuijevanje Laplaceove tranforacije potrebno je poznavati poja nepravog integrala, poja vektorkog protora ( u ovo lučaju to će biti vektorki protor funkcija definiranih bar za ve pozitivne brojeve) i poja linearnog operatora. Linearni operator je tranforacija na vektorki protoria koja zbroj prebacuje u zbroj, razliku, i općenito, linearnu kobinaciju u linearnu kobinaciju.
Sveučilište u Zagrebu Fakultet keijkog inženjertva i tehnologije Zavod za ateatiku Kolegij: Mateatičke etode u keijko inženjertvu LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Marko Ukrainczyk 0 Zagreb, vibanj 00.
d Ako e f(t) i f () t ogu tranforirati i ako je tranforat od f(t) jednak F(), a li dt f(t) potoji kad t, tada je: li F( ) = li f ( t) 0 6. Teore konačne vrijednoti. d Ako e f(t) i f () t ogu tranforirati i ako je tranforat od f(t) jednak F(),a dt potoji li F(), tada je : li F( ) = li f ( t) Pooću teorea početne vrijednoti i konačne vrijednoti ožeo naći vrijednoti funkcije u realno području f(t) kod dva ektrea, t=0 i t=, i to bez korištenja inverzne tranforacije. t t 0 Parcijalni razloci Za prijene je oobito važna inverzna tranforacija razloljene racionalne funkcije obziro na. Takve funkcije ratavljao na parcijalne razloke i onda e prea teoreu o linearnoti ožeo ograničiti na inverzne tranforacije parcijalnih razloaka. Rješenje je tada zbroj vih pojedinih razloaka prelikanih u realno područje. Općenito e tranforat F() ože prikazati kao ojer dvaju polinoa G() i H(), koji u redova i n, i koji e ogu prikazati padajući redo potencija varijable : G () a a a a F () = = n H() b b b n n 0 0 a i b n u realne kontante, a koeficijent najviše potencije od u nazivniku ože e izjednačiti jedinico. Uz to pretptavljao da je n> i da je toga F() pravi razloak. Jedan od načina da e nađu parcijalni razloci funkcije F() je pooću algebarke etode tzv. Heaviideovog razvoja. Kao konačni oblik dobijeo: F () G () α α α α αn H() β β β β β i = = i n gdje je H() reda n, a β i u uprotne vrijednoti korijena jednadžbe H()=0. Koeficijenti α i e dobiju pooću lijedećeg generaliziranog izraza: G () αi = li ( βi) βi H() no, iao li poeban lučaj da e korijeni β jednadžbe H()=0 ponavljaju: 9
F () G () α α α α i H() = = ( β) ( β) β ( βi ) korijeni α i e dobiju na ljedeći način: ( β ) G() = α α β α β H() ( β ) G( ) α = li β H() k ( ) ( ) k d ( β ) G( ) αk = li (k=,,,-) β ( )! k k d H ( ) Koeficijente α i ožeo dobiti i etodo neodređenih koeficijenata. Dobivene parcijalne razloke ožeo prijeno tablice ada lako preveti u realno područje: α f () t = Λ - F() =Λ - α ( β ) Λ - α ( β ) Λ - αi ( β ) βi α....λ - n ( βn ) Prijer Pronađi inverznu tranforaciju od: G () Y() = = H() 6.....Λ - ( ) Prikažio Y() u obliku parcijalnih razloaka: Y() A A A ( )( ) = = Nađio koeficijente: /( ) A = = /( )( ) 6 = 0 B = = ( ) 0 = C = = ( ) 5 = Iao: Y() = 6 0( ) 5( ) Inverzna tranforacija: Λ - Y()= e 6 0 0 t t e 0
Prijer () Korite i tablicu Laplaceovih tranforacija odrediti original funkcije F () = ( ). Ukratko, funkcija F () = ( ) natala je Laplaceovo tranforacijo kao F () = L(f(t)) i toga eo traºeni original f(t) dobiti inverzno Laplaceovo tranforacijo f(t) = L F (). Neke forule Laplaceove tranforacije nalaze e u priloºeni tablicaa tako da je u lijevi tupcia funkcije original f, a u deni plod Laplaceove tranforacije F. Dakle, trebali bi prepoznati oblik zadane funkcije F u deno tupcu i na teelju toga napiati original f iz lijevog tupca. U tablici e nalaze ao onovni oblici, u koje ne pada i zadana funkcija F. Stoga treba najprije F tranforirati kori²tenje ratava na parcijalne razloke: F () = ( ) = A B C D = A A B B C D ( ) = (A D) (B C) A B A D = 0 B C = 0 A = 0 B = D = 0 C = A = 0 B = Tek ada oºeo priijeniti inverz Laplaceove tranforacije: f(t) = L F () = L = L L = t in (t) 8 F () = gdje o u poljednje koraku ikoritili priloºenu tablicu Laplaceovih tranforacija.
Prijer () Korite i Laplaceovu tranforaciju rije²iti diferencijalnu jednadºbu: x (t) x (t) x(t) =, x(0) =, x (0) =. Diferencijalnu jednadºbu x (t) x (t) x(t) = prvo pretvorio u algebarku jednadºbu korite i forule za f, f i f iz tablica (koritio oznaku Lx(t) = X()): Lx (t) Lx (t) Lx(t) = L X() x(0) x (0) X() x(0) X() = }{{}}{{}}{{} = = = X() = 6 Sada poku²ao prilagoditi izraz za X forulaa iz tablice, koliko je potrebno korite i i ratav na parcijalne razloke: = ( ) ( ) X() = ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) { D = 5 E = ( ) ( ) 6 ( ) ( ) = A B C = A A A B B C C ( ) ( ) A =, A B C = 0, A B C = 0 A =, B =, C = 6 = ( ) 6 ( ) D = E D D E E = ( ) ( ) 6 ( ) ( ) = 5 ( ) ( ) X() = ( ) 6 ( ) 5 ( ) ( ) X() = ( ) { D E = 6 D E = Zati rije²io za original od X priijenjuju i inverznu tranforaciju L X() i itaju i iz tablice: x(t) = L X() = L ( ) x(t) = L L L x(t) = e t e t
Prijer () Korite i Laplaceovu tranforaciju rije²iti ljede u diferencijalnu jednadºbu: d y dt dy dt y = 0, y(0) = 0, y (0) =. Diferencijalnu jednadºbu prvo pretvorio u algebarku i rije²io (oznaka Ly(t) = Y ()) : 0 = L d y dy dt L L y = ( Y () y(0) y (0) ) (Y () y(0)) dt = Y () ( ) gdje o u poljednje retku ikoritili po etne uvjete y(0) = 0, y (0) =. Slijedi jednadºba za Y : Y () =. Kako e nazivnik ne oºe veti na realne faktore prikaºio razloak kako lijedi: Sada oºeo piati: Y () = ( ). Y ( ) =. Dalje na tu jednadºbu djelujeo a L : L Y ( ) = L e t y(t) = in t y(t) = e t in t Ovo ito rje²enje ogli o uz ne²to anje pola direktno pro itati iz forula koje je na predavanjia dijelio profeor Ugle²i gdje pi²e pod broje 9: F (p) f(t) 8...... 9 (p a) b b eat in bt 0...... Dakle odah oºeo pro itati da je L () = e t in ( t ).
Prijer () Sluºe i e Laplaceovo tranforacijo izra unati f ako je zadano: f (t) = f(t), f(0) = f (0) = 0, f (0) = Priijenio Laplaceovu tranforaciju na danu jednadºbu: L f (t) = L f(t). Direktan ra un daje F () = F (), odnono F () F () = ( i dalje ) F () =. Iz toga izrazio F kao F () = ( ) = ( )( ) i napravio ratav na parcijalne razloke, a nakon toga priijenio L da bi dobili f : F () = Uvido u tablicu lijedi L = i L L L = e t, pa preotaje jo² odrediti L. Da f(t) = L li nazivnik ia realne korijene? Traºio x, = ± / R, dakle nea. To zna i da H() = a trebao nekako veti na linearnu kobinaciju izraza a i a i poo u toga izra unati h(t) = L H(). Prvo prikaºio nazivnik kao ( b) a za neke brojeve a i b: H() = = ( ). šelja je u nazivniku dobiti ao na jetu gdje toji. Stoga, kada ujeto paraetra u funkciju H uvrtio paraetar dobijeo: H( ) = ( ) = = }{{} = Dalje djelujeo na gornju jednadºbu a L : L H( ) = L L Iz tablice lijedi L H( ) = e t h(t), L pa dakle e t h(t) = co h(t) }{{} =L = e t co ( t ( t ) = co ) ( t ) in t ( i L ( ( e t in t ) ) ) ( = in ), t i na kraju rje²enje f(t) = e t e t co t e t in t L H() ogli o jednotavnije izra unati uz kori²tenje forula Laplaceove tranforacije 8 i 9 papira koje je na predavanju dijelio profeor Ugle²i, gdje pi²e L a ( a) = e at co bt b i L ( a) = b b eat in bt. Tada iz H() = ( = lijedi L H() = e t co t in ). t ( ) ( ) ( )
Zadaci za aotalnu vjeºbu. Korite i Laplaceovu tranforaciju rije²iti diferencijalne jednadºbe:. y (t) y (t) = t, y(0) = y (0) = 0, y(0) =.. Rj. y(t) = 9 t 9 t 9 in ( t ). y (t) y(t) = e t, y(0) = y (0) =, y (0) =.. Rj. y(t) = e t et. x (t) 5 x (t) = t, x (0) = x (0) = 0, x(0) =.. Rj. x(t) = 6 50 0 t 5 co 5 t. f (t) f (t) = 0, f(0) = f (0) =, f (0) = 0.. Rj. f(t) = t e t 5. x (t) x (t) = t, x (0) = x (0) = 0, x(0) =.. Rj. x(t) = 8 9 6 t 9 co ( t ) 6. x (t) x(t) =, x(0) = 0, x (0) = 0.. Rj. x(t) = co ( t ) 7. y y y = 0, y(0) = 0, y (0) = 5.. Rj. y(t) = 5e t in t 8. f (t) f (t) =, f (0) =, f (0) =, f(0) =.. Rj. f(t) = t co t