ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ? Εύρεση εφαπτόμενης της γνωστό σημείο (, ( )) με την βοήθεια του ορισμού: Εάν το σημείο αλλαγής τύπου η σημείο μηδενισμού της ύπαρξης ποσότητας, εξετάζω αν η είναι παραγωγισιμη με τον ορισμό και μετά παίρνω τον τύπο e : y ( ) = ( )( ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C (αν ορίζεται) σημείο (, ( )) A παρακάτω συναρτήσεις όταν: για κάθε μια από τις 3 4 i) () = hm 3 + hm και = ii) () = και = iii) ï ì + hm, < () = í π και + e, < = ïî? Εύρεση εφαπτόμενης με την βοήθεια ορίων: Αν η συνάρτηση R : Rείναι συνεχής = και ισχύει: () + 3 lim = 3, να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη = και να υπολογίσετε την παράγωγο () Στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C σημείο (,() ) 3 Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R () + ισχύει: lim = 9 να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C σημείο της A (, ())? Εύρεση παραμέτρων ώστε η C να έχει συγκεκριμένη εφαπτόμενη 4 Να βρεθεί ο a Î R ώστε η εφαπτομένη της C της συνάρτησης () = a ln, > = να περνάει από την αρχή των αξόνων
5 Έστω η συνάρτηση () = ( a b) + ( a + b + ) + a b, να υπολογισθούν οι αριθμοί a, b, ÎR ώστε η C να διέρχεται από την αρχή των αξόνων και η εφαπτομένη της C σημείο της æ 3 ö A ç, να σχηματίζει γωνία è 4 ø o 45 με τον άξονα ìa + 4, 6 Δίνεται η συνάρτηση με () = í να îb +, > υπολογισθούν οι τιμές των a, b, Î R ώστε η C να δέχεται σημείο A (,() ) εφαπτομένη με κλίση ì + α + β, ï 7 Έστω η συνάρτηση () = í γ, να υπολογισθούν +, > ïî οι τιμές των a, b, Î R ώστε να ορίζεται η εφαπτομένη C σημείο A (,() ) και να είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση 3 y + 3 =? Εύρεση κοινής εφαπτόμενης για τις C, Α Εάν έχουμε κοινή εφαπτόμενη σε κοινό τους σημείο απαιτώ C () = ( ) και () = () και βρίσκω το Β Εάν η κοινή εφαπτόμενη είναι σε διαφορετικά σημεία τότε υποθέτω τα κοινά σημεία επαφής (,( )) A και B( ( )), και απαιτώ να ταυτίζονται οι ευθείες : y ( ) = ( )( ) και ε : y ( ) = ( )( ) ε Γ Για να δείξω ότι εφάπτονται οι C, C υποθέτουμε ότι, y ) είναι το σημείο επαφής και απαιτούμε ( ) = ( ) και ( ) ( ) = ( ) (Στο κοινό σημείο επαφής θα έχουν και κοινή εφαπτόμενη) Δ Για να δείξω ότι η ευθεία y=α+β εφάπτεται στην C
υποθέτω ότι A(, ( )) είναι το σημείο επαφής και απαιτώ η εφαπτόμενη σημείο αυτό : y ( ) = ( )( ) να ταυτίζεται με την y=α+β ε 3 8 Έστω οι συναρτήσεις () = + a + b + και ( ) = + + Εάν A (,y ) είναι κοινό σημείο των C και C, να υπολογισθούν οι τιμές των έχουν κοινή εφαπτομένη Α a, bî R ώστε οι C και C να 9 Να βρεθούν οι κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: () = + και () = Δίνονται οι συναρτήσεις, : R R με () = 4 + 5 και () = + 4 Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της C σημείο Α(3,) εφάπτεται και στη C a Έστω οι συναρτήσεις ( ) = + 4 και () =, a ¹, να προσδιορίσετε την τιμή του a Î R, ώστε η εφαπτομένη της A,3 να εφάπτεται και της C C σημείο ( ) Δίνεται η συνάρτηση () = + a + και η ευθεία y = + a Να βρεθεί η τιμή του στην C a Î R ώστε η ευθεία να εφάπτεται? Εύρεση εφαπτόμενης με την βοήθεια κανόνων παραγωγισης 3 A Έστω ώστε ()e εφαπτόμενης A(,) e () + = να βρεθεί η κλίση της B Έστω παραγωγισιμη ώστε ( + ) + ( + + ) = () Να δείξετε ότι η εφαπτόμενη = είναι παράλληλη ν 4 Έστω η συνάρτηση y = ( ) παραγωγίσιμη R Αν η ευθεία με εξίσωση y = είναι εφαπτομένη της C =, να βρεθεί η εφαπτομένη της C της συνάρτησης
æ ö () = ç = è ø 5 Η ευθεία y = + είναι η εφαπτομένη ευθεία της C σημείο A (, () ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C όταν æ ö () = ç è ø σημείο B (,() ) είναι παραγωγίσιμη R ) (Δίνεται ότι η 6 Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση ισχύει η σχέση: ( + ) ( ) = για κάθε Î R Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης σημείο (, ()) είναι κάθετη στην ευθεία y =? Εύρεση εφαπτόμενης της όταν αυτό δεν δίνεται: Βρίσκουμε το από τα δεδομένα της άσκησης 7 Έστω η συνάρτηση ( ) = να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C που σχηματίζει με τον άξονα γωνία ίση με 3 π 8 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C που είναι κάθετη στην ευθεία (ε) όταν () = 4 + 5 (ε): + 6y = 9 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης y = () που διέρχεται από το σημείο Α όταν () + = e ( ) e Α(,)? Εφαπτομένη αντίστροφης!! Έστω η συνάρτηση 3 ( ) = + + α) Να δείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση και να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να βρείτε την εφαπτομένη της C = εάν θεωρήσουμε ότι αυτή είναι παραγωγισιμη Έστω η συνάρτηση ( ) = + ln α) Να δείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση πεδίο ορισμού της και να βρείτε το
β) Να βρείτε την εφαπτομένη της C = εάν θεωρήσουμε ότι αυτή είναι παραγωγισιμη? Εφαπτόμενη και θεωρήματα ύπαρξης i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4( ) e = έχει μια τουλάχιν ρίζα διάστημα (,) ii Να αποδείξετε ότι η C και C έχουν κοινή εφαπτομένη, όπου: () = e και () = 3 A Δείξε ότι η εξίσωση lu = = έχει μον/κή ρίζα (,) Β Δείξε ότι υπάρχει ακριβώς ένα o Î(,) ώστε η εφ/νη το (,) της h( ) = + lu ( o, h( o)) να δ/ται από? Διάφορες περιπτώσεις 4 Έστω οι συναρτήσεις R, : Rπαραγωγίσιμες R, αν ισχύει () = () να αποδείξετε ότι των γραφικών παραστάσεων των, στα σημεία A (,( ) ) και B (, ( )) αντίιχα τέμνονται σε σημείο Μ του άξονα yy 5 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :(, + ) R, αν για κάθε 3 3 Î R ισχύει: () + = (), δείξτε ότι η ευθεία με εξίσωση y = εφάπτεται στη C 6 Σημείο Α κινείται κατά μήκος της y = lu Εάν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης a (t) του Α δίνεται από τον τύπο a ( t) = a( t) Να βρεθεί: Ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου τομής Μ της εφ/νης τηςc Α με τον την στιγμή που το Α έχει τετμημένη e Τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ που σχηματίζει η εφ/νη της c Α Με τον την ίδια στιγμή