ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της f : A Rανάγεται στην εύρεση των πραγµατικών τιµών της παραµέτρου για τις οποίες η εξίσωση: f () =, µε άγνωστο έχει λύση στο Α. Η εύρεση του συνόλου τιµών µιας συνάρτησης f : A Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f () = ηµ και g() =συν είναι δύσκολο να βρούµε το πεδίο τιµών τους. Γενικά ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A ) µιας συνάρτησης µπορεί να γίνει µε έναν από τους παρακάτω τρόπους: α) Με ορισµός, προσδιορίζοντας το σύνολο f( A ) β) Με την βοήθεια των εννοιών του ορίου, της συνέχειας και της µονοτονίας γ) Με την βοήθεια των παραγώγων δ) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της f. Πράγµατι, η προβολή όλων των σηµείων της γραφικής παράστασης της fπάνω στον δίνει το σύνολο τιµών της f. Μορφή : Συνάρτηση µε τύπο f () ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ =α +βκαι D(f ) = R. Έχουµε A= R. Θέτουµε = f () =α +β α + ( β ) = 0 α = β () ιακρίνουµε περιπτώσεις: Αν α 0 τότε β = και άρα (f )A= R α Αν α= 0 (σταθερή συνάρτηση) η () γίνεται : =β Άρα (f )A={ β }
Μορφή : Συνάρτηση µε τύπο f () θέτουµε f () βρίσκονται στο D(f ). =α +βκαι D(f ) R. Στην περίπτωση αυτή = και λύνουµε την εξίσωση µε άγνωστο. Ζητάµε οι λύσεις να Παράδειγµα: Να βρείτε το σύνολο λύσεων της f :[,) R µε τύπο f () =. Θέτουµε Πρέπει + f () = = = + < < [, ). Άρα f( A) = [, ) α +β Μορφή : Συνάρτηση µε τύπο f () =, γ 0, D(f ) = R \ δ γ +δ γ. Σ αυτή την περίπτωση θέτουµε f () = και αναζητούµε τις τιµές του για τις οποίες η εξίσωση f () = έχει, ως προς λύση στο R \ δ γ. Παράδειγµα: Να βρείτε το σύνολο τιµών της Η f έχει πεδίο ορισµού A= R \{ }. Θέτουµε f () = + = + f () = + = ( ) ιακρίνουµε περιπτώσεις για τον συντελεστή του : Αν = 0 = η () γίνεται 0= 7αδύνατη Άρα f( A) Αν 0 τότε + = Εποµένως σύνολο τιµών είναι f( A) = R \{ } που ανήκει στο R \ { } = + () Μορφή 4: Συνάρτηση µε τύπο f () α +β f () =, γ 0 και D(f ) R. Θέτουµε γ +δ = και λύνουµε ως προς. Οι λύσεις θα πρέπει να βρίσκονται στο D(f ).
Παράδειγµα: Να βρείτε το σύνολο τιµών της ( ) f :, Rµε τύπο + f () =. Έχουµε f () = + = + = ιακρίνουµε περιπτώσεις για τον συντελεστή του : Αν = 0 δηλαδή 0 = η () γίνεται = + Αδύνατη. Άρα f( A) Αν 0 δηλαδή η λύση + = = + () είναι δεκτή µόνο όταν ικανοποιεί τον περιορισµό < < (ο περιορισµός προέρχεται από το πεδίο ορισµού) πρέπει λοιπόν + + 4 < < < + < 8, 9 Εποµένως, 4 f A = 8, 9 Μορφή : Συνάρτηση µε τύπο f () =α +β +γ, α 0 και D(f ) = R. Το σύνολο τιµών της fείναι το: f (A) 0 = α +β +γ= α +β + γ = () Η () είναι β βαθµού και έχει λύση στο Rαν 0 β 4 γ α 0 4α 4αγ β () δηλαδή Αν α> 0 τότε Αν α< 0τότε 4 = 4α 4α αγ β 4 = 4α 4α αγ β Εποµένως, + αν α> 0 4 α f (A) =, αν α< 0 4α
Μορφή 6: Συνάρτηση µε τύπο f () =α +β +γ, α 0, D(f ) R. Σε αυτή την περίπτωση λύνουµε την εξίσωση f () απαιτούµε µια τουλάχιστον λύση της f () Παράδειγµα: Να βρείτε το σύνολο τιµών της f :[, 4) Πεδίο ορισµού είναι το Α= [, 4) Θέτουµε f () = 4 + = = µε άγνωστο και παράµετρο και = να ανήκει στο Α= D(f ). Rµε τύπο 4+ = 0 () Η () είναι β βαθµού και έχει διακρίνουσα = 6 4( ) = 4+ 4 Θα πρέπει τώρα 0 4+ 4 0 () Με τον περιορισµό αυτό θα πρέπει οι λύσεις της f () f () = 4+ = να ανήκουν στο [, 4 ) (µία τουλάχιστον) Είναι όµως: 4 4 + = και 4+ 4 + = = + και = + + Απαιτούµε τώρα µία τουλάχιστον από αυτές τις ρίζες να ανήκει στο [, 4 ). Αυτή η απαίτηση µας οδηγεί στις παρακάτω διπλές ανισώσεις + < 4 ή + + < 4 0 + < (αδύνατη) ή 0 + < < () ηλαδή και Προσοχή: <. Άρα f (A) [,) =. Αν εργαζόµαστε «κατασκευστικά» θα είχαµε < 4 άρα 4 < 6 (4) < 4 άρα 6< 4< 8 () Με πρόσθεση των (4) και () παίρνουµε ηλαδή 9 f () + < 4+ < 8+ < <. εν µας δίνει το πεδίο τιµών αλλά µας λέει f (A) ( 9,) 4
Μορφή 7: Συνάρτηση µε τύπο α +β +γ f () =, 0 α +β +γ α και D( f) R. i) Σ αυτή την περίπτωση λύνουµε την εξίσωση f () = και απαιτούµε µία τουλάχιστον λύση της να ανήκει στο D( f ). ii) Αν D( f) ανήκει στο R. = R δεν «απαιτούµε» διότι η λύση της f () = (αν υπάρχει) θα Παράδειγµα: Να βρείτε το σύνολο τιµών της Το πεδίο ορισµού είναι A= R \{,} + + f () = = f () = + 6 [απλοποιήσαµε µόνο τον τύπο όχι το πεδίο ορισµού] + Θέτουµε f () = = + = ( ) = + ιακρίνουµε περιπτώσεις Αν = : 0 = 4 Αδύνατη άρα f (A) () Αν : + =. Για να ανήκει αυτή η λύση στο Α θα πρέπει + + και και - που ισχύει Άρα f (A) = R \{, } { } Παρατήρηση: Η () είναι πρωτοβάθµια γι αυτό δεν χρειάστηκε να πάρουµε 0, και έπειτα να απαιτήσουµε οι ρίζες, να ανήκουν στο Α. Μορφή 8: Συνάρτηση µε τύπο f () =α+ φ () ή f () = α φ () Σ αυτή την περίπτωση βρίσκουµε αρχικά το πεδίο ορισµού Α της fκαι κατόπιν αναζητούµε τις τιµές του για τις οποίες η εξίσωση f () στο Α. Ισχύει: g() 0 φ () = g() φ () = g () = έχει ως προς λύση
Παράδειγµα: Να βρείτε το σύνολο τιµών της Πρέπει Άρα D(f ) = R Θέτουµε + > 0 όµως = 8< 0και α= > 0 f () = + + f () = + + = + = 0 ( ) + ( ) + = = 0 Η τελευταία έχει λύση µόνο όταν = 4 4 0 + 0 ( ) > ή Άρα + Εποµένως, f (A) = +, + ) Μορφή 9: Σύνολο τιµών συνάρτησης της οποίας ο τύπος περιέχει τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς ηµφ () ή συνφ (). Σ αυτή την περίπτωση µετατρέπουµε, µε τη βοήθεια τύπων τριγωνοµετρίας όλους τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς που εµφανίζονται στον τύπο της συνάρτησης µόνο σε ηµφ () ή συνφ() και λύνουµε την εξίσωση που προκύπτει ως προς αυτόν τον τριγωνοµετρικό αριθµό. Έπειτα χρησιµοποιούµε την συνθήκη ηµφ() ή συνφ() και προσδιορίζουµε το σύνολο τιµών f (A). Παράδειγµα: Να βρείτε το σύνολο τιµών της Πεδίο ορισµού της fείναι το A Θέτουµε = Rγιατί +ηµ f () = = + 4συν +ηµ f () = + 4 συν συν > 4 + 4συν = +ηµ ηµ 4συν = Χρησιµοποιούµε τώρα ότι 6
αηµ +βσυν =ρηµ ( +φ ) όπου Τότε ρ= + ( 4) = + 6 ρ= α +β β ηµφ= ρ και έχουµε: α συνφ= ρ ρηµ +φ = ηµ +φ = + 6 ( ) ( ) : Η λύση αυτή ανήκει στο Rαν και µόνο αν: ηµ ( +φ) + 6 + 6 + 6 9 0 0 0 ( 9 0) 0 0 9 Εποµένως το σύνολο τιµών της fείναι 0 f (A) = 0, 9 Μορφή 0: Σύνολο τιµών συνάρτησης της οποίας ο τύπος περιέχει εκφράσεις της µορφής φ() α ή log φ α () όπου α> 0 µε α. Σ αυτή την περίπτωση, αφού πρώτα βρούµε το πεδίο ορισµού της f, κατόπιν λύνουµε ως προς φ() α και παίρνουµε τον περιορισµό φ() α > 0 ή αντίστοιχα λύνουµε ως προς log αφ () = και αναζητούµε λύσεις µέσα στο πεδίο ορισµού της φ (). Παράδειγµα: Να βρείτε το σύνολο των τιµών των συναρτήσεων µε τύπους i) α f () =, α> 0 ii) +α i) Πεδίο ορισµού της fείναι A= R Θέτουµε α +α α f () = ln α+, α> 0 f () = = + α = α + α = () ιακρίνουµε περιπτώσεις: 7
Αν + = 0 = : 0= Αδύνατη. Άρα το ( ) f (A) Αν + 0 α = και επειδή + α > 0έπεται > 0 ( )(+ ) > 0 (,) + Άρα f (A) = (,) ii) Για το πεδίο ορισµού της fπρέπει ( α, α ). Άρα D( f ) = ( α, α ) α > 0 α+ ( α )( α+ ) > 0 Θέτουµε α f () = ln = α+ α + =α = + ( ) ( ). α = α + =α α+ Για να είναι δεκτή η λύση θα πρέπει να ανήκει στο D( f ). ηλαδή α α< <α < < + + + ( ) ( ) < + Εποµένως το σύνολο τιµών της fείναι : f( D( f) ) = R < < + + < + + 4 > 0, που ισχύει R Μορφή : Σύνολο τιµών συνάρτησης πολλαπλού τύπου. Σε αυτή την περίπτωση βρίσκουµε το σύνολο τιµών κάθε «κλάδου» ξεχωριστά, σαν να πρόκειται για διαφορετικές συναρτήσεις, και κατόπιν παίρνουµε την ένωσή τους, σύµφωνα µε την παρακάτω εφαρµογή. Εφαρµογή: Έστω συνάρτηση f : A R. Αν A A, A A είξτε ότι: f( A A ) = f( A ) f( A ) Απόδειξη: Θα δείξουµε ότι ( ) f A A f A f A f A A = f A f A f A f A f A A Έστω f( A A ). Τότε υπάρχει A A ώστε f () = 8
ηλαδή υπάρχει ( A ή A ) ώστε f () = ηλαδή υπάρχει ( A : f () = ) ή ( A : f () = ) Άρα f( A ) ή f( A ) ηλαδή f( A ) f( A ) Εποµένως f( A A ) f( A ) f( A ) Αντίστροφα: (Ι) ( ) Έστω f( A ) f( A ) τότε ή f A ( ) f A ( A και f = ) ηλαδή υπάρχει A και f( ) = ή ηλαδή υπάρχει ( A A ) Εποµένως f( A A ) και f () =. Άρα f A f A f A A (ΙΙ) Από (Ι) και (ΙΙ) έχουµε ( ) = f A A f A f A Γενίκευση: Έστω f συνάρτηση: A R Αν A, A,...,A κ Α τότε ( ) = f A A... A f A f A... f A κ Συντοµογραφικά κ κ f Ai = f A i= i= i Η απόδειξη µε επαγωγή ως προς κ ( κ Ν ) κ Παράδειγµα: Να βρείτε το σύνολο τιµών της f () = + Η fέχει πεδίο ορισµού το A = R, γιατί + > 0 Η fγράφεται : αν 0 + f () = αν < 0 9
Έστω A = (,0) και A = [ 0, + ) Τότε f (A) = f( A ) f( A ) Εύρεση του f( A ) Θέτουµε f () = και < 0. Εποµένως = = + = () Αν + = 0 = τότε η (): 0 = αδύνατη άρα ( ) f A Αν + 0 δηλαδή : = + Η λύση αυτή είναι δεκτή όταν Άρα f( A ) = (,0) Εύρεση του f( A ) Θέτουµε f () = και 0. Εποµένως + = = + = < 0 < 0 + Αν = 0 = η () γίνεται 0 = αδύνατη Άρα f( A ) Αν 0 : [ ) [ ) 0, : f A = 0, : () = πρέπει Τότε f (A) = f( A ) f( A ) = (,) ( + ) < 0 (, 0) > 0 ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ Αν στον τύπο µιας συνάρτησης fυπάρχουν παράµετροι και θέλουµε να τις προσδιορίσουµε, ώστε η f να έχει σύνολο τιµών ένα γνωστό σύνολο Β, εργαζόµαστε ως εξής: Βρίσκουµε το σύνολο τιµών f (A)της f, µε τη διαδικασία που αναπτύξαµε στα προηγούµενα παραδείγµατα, και το εκφράζουµε ως διάστηµα ή ένωση διαστηµάτων σε συνάρτηση µε τις παραµέτρους. 0
Παράδειγµα α +β Να βρείτε τους αριθµούς α 0 και β, ώστε η συνάρτηση fµε τύπο f () = + να έχει σύνολο τιµών στο διάστηµα [,]. Λύση Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το R. α +β f () = = α +β= + α + β = 0 Θέτουµε + ιακρίνουµε περιπτώσεις για τον συντελεστή του β Αν = 0 η () γίνεται α β= 0 = R α Αν 0 η () είναι εξίσωση β βαθµού ως προς και για να έχει λύση στο 0 4α 4 β 0 β α 0 () Rπρέπει Η τελευταία ανίσωση είναι β βαθµού: () =β + 4α > 0 και έχει ρίζες Η () αληθεύει όταν δηλαδή β β + 4α = και β+ β + 4α = β β + 4α β+ β + 4α, Άρα β β + 4α β+ β + 4α f (A) =, Επειδή θέλουµε f (A) = [,] πρέπει και αρκεί : β β + 4α 4 = και β+ β + α = β β + 4α = () και β+ β + 4α = 6 (4) Με πρόσθεση κατά µέλη των () και (4) β= 4 β= Για β= : + 4+ 4α = 6 α = α=± Άρα για α= και β= ή α= και β=.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε τα σύνολα τιµών των παρακάτω συναρτήσεων µε τύπους : i) f () = 4+ ii) f :[ 4,] Rµε iii) iv) f () = + f () = v) f :[ 0,4] vi) f :[,] vii) f :[,6] viii) f :[,] i) f :(,] ) f :[,) R µε f () = + 6+ f () = + R µε f () = R µε f () = 4 R µε f () = R µε R µε f () = + + f () = + + 6. Οµοίως i) 4 f () = + + 4 iii) f () = + ii) iv) f () = f () = + 4 + + 9 + 9 v) f () = vi) f () = 4+ vii) f () = 4 viii) f () = +. Οµοίως +συν i) f () = ii) f () = + συν συν συν iii) f () = iv) f () = 4 ηµ +
v) vii) f () = ηµ συν vi) κ f () =, * κ R f () =ηµ 4συν 4. Οµοίως i) iii) f () = ii) f () ln = iv) + f () = + f () = log v) f () = + vii) g() ln( ) + vi) f () = 4 + 7 = + viii) f () = ln( + ). Οµοίως i) f () ln = ii) f () = ln + iii) f () = [ ] iv) g() = + 6. Να προσδιορίσετε τα σύνολα τιµών των συναρτήσεων µε τύπους [ ) [ ) αν, i) f () = + αν,4 [ ) [ ] 4+ αν 0, ii) f () = αν,7 7. Να βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης [ ] [ ] f () = + 8. ίνεται η συνάρτηση: f () = λ + + + Να βρεθεί ο λ Rώστε η fνα έχει σύνολο τιµών το σύνολο,.
9. ίνεται η συνάρτηση: Να βρεθεί ο f () = + 6 λ λ Rώστε η fνα έχει σύνολο τιµών το R. 0. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει και το σύνολο τιµών της. f () f + = 0 να βρεθεί ο τύπος της. Αν ισχύει + f () + f = να βρεθεί ο τύπος της και το σύνολο τιµών της.. ίνεται η συνάρτηση f () = +λ. + Να βρεθεί ο λ Rώστε η fνα έχει σύνολο τιµών το [ 0, ].. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε η συνάρτηση f µε τύπο: f () = λ + + + να έχει σύνολο τιµών το διάστηµα [, ]. 4